Một số dạng toán cơ bản của chủ đề: Các dạng bài toán của chủ đề Ước và bội rất đa dạng và phong phú, trong khuôn khổ thời gian cho phép và để có sự phù hợp giữa kiến thức của các bài tậ[r]
(1)A Đặt vấn đề I Lêi më ®Çu: To¸n häc lµ mét bé m«n khoa häc c¬ b¶n, xuÊt ph¸t tõ nh÷ng yªu cÇu cña thùc tÕ sống và trở phục vụ thực tế đời sống khoa học – kĩ thuật, đời sống xã hội và thân toán học Là môn đựơc mệnh danh là thể thao trí tuệ, nó luôn đòi hỏi người học rèn luyện thường xưyên việc kết hợp vận dụng các kiến thức đã tiếp nhận vào giải các bài tập Đối với học sinh lớp 6, các em chuyên đổi môi trường học tập ( từ bậc häc tiÓu häc lªn bËc häc trung häc c¬ së) nªn cã mét bé phËn kh«ng nhá häc sinh bỡ ngỡ trước cách thức tổ chức Dạy-Học khẩn trưong và khoa học môn toán đã làm cho học sinh khó khăn việc tiếp thu kiên thức – kĩ năng, gây c¶m gi¸c thiÕu tù tin nh÷ng giê häc to¸n, chÝnh v× thÕ b¶n th©n ®îc nhµ trường phân công giảng dạy môn toán lớp với các đối tượng học sinh có học lực từ yếu đến khá (hai lớp 6B, 6C) nhà trường thấy mình có trách nhiệm phải tạo cho c¸c em niÒm tin vµ sù høng thó häc tËp, cho c¸c em nhËn thÊy to¸n häc gần gũi và sinh động Trong chương I phần số học lớp “ Ôn tập và bổ túc số tự nhiên” thì “Ước và bội số tự nhiên” là khái niệm tương đối đợn giản, là phạm trù kiến thức khá hẹp nó lại xuyên suốt không chương trình toán lớp mà chương trình toán các khối lớp sau này Chủ đề này các kiến thức học sinh đẫ tiếp cận chương trình tiểu học, các bài toán chủ đề “Ước và bội số tự nhiên” tương đối phong phú, đa dạng nó đã gây không ít khó khăn thử thách cho nhiều học sinh lớp còn bỡ ngỡ trước cách thức tổ chøc D¹y-Häc rÊt khÈn trong vµ khoa häc cña bé m«n to¸n cÊp trung häc c¬ së Hướng dẫn học sinh học chủ đề “Ước và bội số tự nhiên” chương tr×nh to¸n líp hi väng gãp phÇn gióp cho c¸c em cã sù linh ho¹t , s¸ng t¹o vËn dụng kiến thức để giải các bài tập , và có niềm tin , hứng thú và tích cực häc tËp II Thực trạng vấn đề nghiên cứu: Thùc tr¹ng: Lop6.net (2) Chủ đề “Ước và bội số tự nhiên” có vai trò và vị quan trọng số học lớp nói riêng, toán học phổ thông nói chung, lại là chủ đề chưa ®îc khai th¸c nhiÒu v× mét vµi nguyªn nh©n nhá §øng vÒ phÝa gi¸o viªn : - Thời lượng dành cho chủ đề ít (chỉ có tiết theo phân phối chương trình : tiết lÝ thuyÕt, tiÕt luyÖn tËp) ; - Không muốn khai thác sâu , rộng ngại nhiều thời gian cho chủ đề này và có thể không phù hợp với đối tượng học sinh, có thể xẽ hướng dẫn cặn kẽ , đầy đủ học sinh đã học chủ đề Ước và bội số nguyªn §øng vÒ phÝa häc sinh: - Chủ quan kiến thức đơn giản, bài tập sau bài học Ước và bội ít (chỉ có bài tập: từ bài 111 đến bài 114/Sgk/44) nên chưa có nhu cầu cao chủ đề này KÕt qu¶ cña thùc tr¹ng : Khi kiểm tra chất lượng đầu năm môn toán lớp 6B trường THCS Phạm văn hinh víi thêi gian lµm bµi 90 phót cã ®îc kÕt qu¶ cô thÓ nh sau: Tæng sè §iÓm<2 SL TL §iÓm §iÓm tõ §iÓm tõ §iÓm tõ Tõ 2=><5 5=><6.5 6.5 =><8.0 8.0 =>10 SL SL SL SL (%) 34 0 TL (%) 26,5 TL (%) 14 41,2 TL (%) 23,5 TL (%) 8,8 §iÓm<TB §iÓm TB SL SL TL (%) 26,5 TL (%) 25 73,5 Kết này phản ánh phần nào đó kĩ vận dụng kiến thức vào giải bài tập các em còn hạn chế Vì tôi đã nghiên cứu tài liệu, tham khảo kinh nghiệm các đồng nghiệp tìm biện pháp cách thiết kế và tryuền đạt kiến thức học cho phù hợp với loại đối tượng học sinh, phù hợp với tinh thần đổi phương pháp dạy học, đồng thời chú ý tinh giản ngắn gọn lời giải các bài tập nhiên phải đảm bảo tính chính xác và hệ thống B giải vấn đề I C¸c gi¶i ph¸p c¶i tiÕn: Cung cấp cho học sinh các kiến thức cần nhớ chủ đề, chú ý thực giải dạng toán chủ đề Lop6.net (3) Lựa chọn các dạng bài tập chủ đề, lựa chọn các phương pháp dạy học cho phù hợp với đối tượng học sinh và yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy 3.Tinh giản ngắn gọn lời giải các bài tập nhiên phải đảm bảo tính chính xác vµ hÖ thèng Tổ chức đánh giá , nhận xét kết quả, đối chứng và rút kinh nghiệm sau tiết học II C¸c biÖn ph¸p tæ chøc thùc hiÖn: Kiến thức chủ đề: 11 Kh¸i niÖm: NÕu sè tù nhiªn a chia hÕt cho sè tù nhiªn b th× ta nãi a lµ béi cña b vµ b lµ íc cña a Chó ý: TËp hîp c¸c íc cña a kÝ hiÖu lµ ¦(a) C¸c íc cña a (kh¸c a) ®îc gäi lµ c¸c íc thùc sù cña a TËp hîp c¸c béi cña a kÝ hiÖu lµ B(a) 12 C¸ch t×m íc vµ béi: a, Quy t¾c: * Muốn tìm bội số khác 0, ta nhân số đó với 0; 1; 2; * Muốn tìm các ước a (với a>1) ta chia a cho các số tự nhiêntừ đến a để xét xem a chia hết cho số nào Khi đó các số là ước a b, NhËn xÐt: Mét sè tù nhiªn a≠0 cã v« sè béi sè, c¸c béi cña a cã d¹ng: B(a)=k.a víi k N Chú ý: Nếu số mà tổng các ước thực nó chính nó thì ta gọi số đó lµ sè hoµn h¶o (hay sè hoµn chØnh) Ch¼ng h¹n: c¸c sè 6; 28; lµ nh÷ng sè hoµn h¶o v× 6=1+2+3 (1; 2; lµ c¸c íc thùc sù cña 6) 28=1+2+4+7+14 (1; 2; 4; 7; 14 lµ c¸c íc thùc sù cña 28) 13 Một số kiến thức cần nhớ liên quan việc giải bài tập chủ đề: Víi a, b, m, k1,k2 lµ nh÷ng sè tù nhiªn NÕu a m;b m a+b m; NÕu a m ; b m k1a + k2b m ; k1a - k2b m NÕu a b k1a + k2b b; a - b m, k1a - k2b b Lop6.net (4) Một số dạng toán chủ đề: Các dạng bài toán chủ đề Ước và bội đa dạng và phong phú, khuôn khổ thời gian cho phép và để có phù hợp kiến thức các bài tập cần truyền thụ với đối tượng học sinh tôi xin trình bày dạng toán chính với mức độ tư từ thấp đến cao: a, Dạng 1: Tìm ước và bội các số tự nhiên đã biết Môc tiªu: - Gióp cho häc sinh cñng cè l¹i kh¸i niÖm íc vµ béi cña mét sè tù nhiªn - RÌn luyÖn kÜ n¨ng vËn dông quy t¾c t×m íc vµ béi cña mét sè tù nhiªn - H×nh thµnh t kho¶ng gi¸ trÞ ( HÖ thøc) cña c¸c sè cÇn t×m b, Dạng 2: Xác định các số tự nhiên theo hệ thức cho trước Môc tiªu: - Gióp cho häc sinh cã nh÷ng t vÒ íc vµ béi cña c¸c sè tù nhiªn - Rèn luyện kĩ biến đổi hệ thức thành hệ thức mà đó thõa sè lµ íc cña mét sè tù nhiªn c, Dạng 3: Xác định yếu tố chưa biết biểu thức để biểu thức đã cho có gi¸ trÞ lµ mét sè tù nhiªn Môc tiªu: - Cñng cè vµ kh¾c s©u c¸c tÝnh chÊt chia hÕt cña mét tæng - Rèn luyện kĩ biến đổi biểu thức thành hệ thức đó các yếu tố cần tìm có thể xác định Mét sè bµi to¸n: Dạng 1: Tìm ước và bội các số tự nhiên đã biết VÝ dô 1: a, ViÕt tËp hîp c¸c béi nhá h¬n 40 cña9 b, ViÕt d¹ng tæng qu¸t c¸c sè lµ béi cña Gi¶i: a, Nhân lần lựot với các số: 0; 1; 2; ta các bội Khi đó ta có tập hợp c¸c béi nhá h¬n 40 cña lµ: {0; 9; 18; 27; 36} b, Do tËp hîp c¸c béi cña 9, mçi phÇn tö lµ tÝch cña víi mét sè tù nhiªn Nªn d¹ng tæng qu¸t c¸c sè lµ béi cña lµ: Lop6.net 9.k víi k N (5) * Là dạng toán mang tính chất củng cố khái niệm ước và bội, nhiên câu b, (Viết dạng tổng quát các số là bội 9) ta cần giải thích cặn kẽ cho đối tượng học sinh có học lực từ trung bình trở xuống vì đây yếu tố biểu thức cần xác định là biểu thức chia hết cho đó có thừa số là chữ (k N) Khi học sinh đã hiểu và xác định tốt dạng tổng quát “các số là bội số” thì đó với câu a, ta có thể hướng dẫn học sinh cách giải khác sau: Do c¸c béi cña cã d¹ng 9.k (k N), c¸c béi cña cÇn t×m lµ nh÷ng sè nhá h¬n 40 nªn ta cã: 9.k < 40 (k N) k < 40:9 (k N) k { 0; 1; 2; 3; 4} VËy tËp hîp c¸c béi nhá h¬n 40 cña lµ: {0; 9; 18; 27; 36} VÝ dô 2: a, T×m tËp hîp c¸c íc cña 30 b, TÝnh tæng c¸c íc thùc sù cña 30 Gi¶i: a, Xét tính chia hết 30 cho các số tự nhiên từ đến 30 Ta tập hợp c¸c íc cña 30 lµ: {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30.} b, Do 30 cã c¸c íc thùc sù lµ: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15 VËy tæng c¸ íc thùc sù cña 30 lµ: 1+2+3+5+6+10+15=42 VÝ dô 3: T×m c¸c sè tù nhiªn x cho: a, x vµ x <70 b, x ¦(35) vµ 0≤x≤25 Gi¶i: a, Cách 1: Hướng dẫn học sinh làm câu a, ví dụ C¸ch 2: TËp hîp c¸c sè tù nhiªn x lµ B(7) cã d¹ng: 7.k (k N) 7.k <70 (k N) k<10 k {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; } VËy: x {0; 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; 56; 63.} b, Xét tính chia hết 35 cho các số tự nhiên từ đến 35 ta tập hợp c¸c íc cña 35 lµ: ¦(35) = {1; 3; 5; 7; 35.} VËy c¸c sè tù nhiªn x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x ¦(35) vµ 0≤x≤25 lµ: x {1; 3; 5; 7.} Lop6.net (6) * C¸c bµi tËp nãi trªn thuéc d¹ng cñng cè kh¸i niÖm íc vµ béi cña mét sè tù nhiên Tuy nhiên bài ta cần phải khắc sâu kiến thức đã huy động để giải bài tập, cố gắng tìm tòi thêm cách giải để tạo cho học sinh hứng thú gi¶i to¸n Dạng 2: Xác định các số tự nhiên theo hệ thức cho trước Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để chia hết cho n-1 Gi¶i: §Ó chia hÕt cho n-1 (n N) th× n-1 ¦(5) Ta cã: ¦(5)={1; 5} - Víi n-1=1 n= - Víi n-1=5 n= VËy víi n= vµ n= th× chia hÕt cho n-1 * Khi ta chØ râ vµ häc sinh thÊy ®îc kh¸i niÖm íc vµ béi tiÒm Èn bµi to¸n b»ng c¸c thuËt ng÷ “§Ó chia hÕt cho n-1 (n N) th× n-1 ¦(5) hay lµ béi cña n-1” thì kiến thức hỗ trợ để giải các bài toán các ví dụ sau là: “NÕu a b k1a + k2b b; k1a - k2b b” Ví dụ 2: Tìm n để n+10 chia hết cho n+5 Gi¶i: Ta cã: n+10 n+5 (n+10)- (n+5) n+5 n+5 n+5 ¦(5) Do ¦(5)={1; 5} - Víi n+5=1 (®iÒu nµy kh«ng x¶y ra) - Víi n+5=5 n= VËy víi n= th× n+10 chia hÕt cho n+5 Ví dụ : Tìm n để biểu thức 2n 10 cã gi¸ trÞ lµ mét sè tù nhiªn n3 Gi¶i: Ta cã: 2n 10 2n 2(n 3) 4 2 n3 n3 n3 n3 Lop6.net (7) BiÓu thøc 2n 10 cã gi¸ trÞ lµ mét sè tù nhiªn lµ mét sè tù nhiªn, ®iÒu nµy n3 n3 chØ x¶y khi: n+3 n+3 ¦(4) Do ¦(4)= {1; 2; 4} Vì n+3≥ nên xảy trường hợp: n+3= n=1 Vậy với n=1 thì Tìm n để biểu thức 2n 10 cã gi¸ trÞ lµ mét sè tù nhiªn n3 * Về nội dung thì bài tập ví dụ thì hoàn toàn tương tự hai bài trên nhiªn ta cÇn gi¶i thÝch cÆn kÏ cho häc sinh thÊy biÓu thøc 2n 10 còng lµ mét ph©n n3 số vì với n N thì 2n+10 và n+3 là hai số tự nhiên khác Khi học sinh đã làm tốt các dạng bài tập này thì có lợi giải các bài tập chủ đề “Phân số tèi gi¶n” sau nµy Dạng 3: Xác định yếu tố chưa biết biểu thức để biểu thức đã cho có giá trÞ lµ mét sè tù nhiªn VÝ dô 1: T×m c¸c sè tù nhiªn x, y biÕt: (x-7)(y+3)=13 Gi¶i: Do x, y lµ nh÷ng sè tù nhiªn, vµ cã (x-7)(y+3)=13 Nªn hai thõa sè x-7 vµ y+3 lµ hai íc cña 13 Ta cã: ¦(13)={1; 13} Nên xảy trường hợp sau: x-7= y+3= 13 (Không xảy trương hợp x= y= 10 x-7= 13 v× y+3≥ 3) y+3= * Khi gi¶i bµi toµn nµy ta cÇn nh¾c l¹i cho häc sinh tÝnh chÊt: NÕu a= b.k (a, b, k lµ nh÷ng sè tù nhiªn) th× c¸c sè b, k ¦(a) * C¸ch gi¶i trªn ®©y chØ phï hîp víi a lµ sè nguyªn tè hoÆc a lµ hîp sè cã sè íc ít, còn a là hựop số có nhiều ước thì ta hướng dẫn học sinh giải theo cách lập b¶ng Lop6.net (8) VÝ dô2: T×m c¸c sè tù nhiªn x, y biÕt: (xy-2)(y+5)=6 Gi¶i: Cách 1: Hướng dẫn học sinh làm ví dụ 1, nhiên cần kẽ (tìm y trước, thay giá trị y vừa tìm vào hệ thức thứ hai để tìm x Còn cách lập luận, diễn đạt nên thể đơn giản, ngắn gọn) cô thÓ: y+5= (Chỉ xảy trường hợp này vì y+5≥ 5) xy-2 =1 y= x= * Vì có ước nên sau hướng dẫn để học sinh nắm đựơc phơng pháp giải, ta nên hướng dẫn cho học sinh giải bài toán này theo chiều hướng sau đây (lập bảng) để gặp bài toán phải xét nhiều trường hợp ta có lời giải ngắn gọn đầy đủ C¸ch 2: Do x, y lµ nh÷ng sè tù nhiªn, vµ cã: (xy-2)(y+5)=6 Nªn hai thõa sè (xy-2) vµ (y+5) lµ hai íc cña Mµ ¦(6)={1; 2; 3; 6} Nªn ta cã b¶ng sau: y+5 xy-2 y x Lo¹i Lo¹i Lo¹i Lo¹i Lo¹i Lo¹i 1 Vậy có cặp số (x, y) thảo mãn đề bài:(3; 1) * Khi đã thành thạo các bài toán thuộc dạng này, ta có thể hướng dẫn học sinh các bài tập dạng mức độ cao hơn, Do đó đòi hỏi học sinh phải đưa đựoc bµi to¸n vÒ d¹ng quen thuéc (hai vÝ dô nªu trªn) VÝ dô 3: T×m c¸c sè tù nhiªn x, y biÕt: x.y= x- y+ Gi¶i: Do x.y= x- y+ Lop6.net (9) x.y- x+y= x.y- x+y+ 1= 7+ (x.y- x)+(y+ 1)=8 x(y+ 1)+(y+ 1)= (y+ 1)(x+ 1) =8 y+1 vµ x+ lµ hai íc cña Ta cã b¶ng sau: x+1 y+1 x y 4 VËy cã cÆp sè tù nhiªn (x,y) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n: (0; 7), (1; 3), (3; 1), (7; 0) * Trong ta cần hướng dẫn học sinh khéo léo nhóm, thêm vào hai vế cùng só hạng để có thể áp dụng tính chất phân phối phép nhân phép céng ®a vÒ d¹ng tÝch cña hai thõa sè b»ng mét sè tù nhiªn III Những kết đạt được: Chủ đề “Ước và bội số tự nhiên ”, chủ đề mà các kiến thức nó (Khái niệm, tính chất.) ngắn gọn, đơn giản các bài toán nó lại thường gặp, tương đối thú vị, nên đã tạo cho học sinh cảm giác gần gũi hấp dẫn, sù høng thó , tù tin vµ yªu thÝch m«n to¸n … Sau thời gian kiên trì áp dụng kinh nghiệm dạy “ chủ đề ước và bội số tự nhiên ” vào giảng dạy (ôn tập, bồi dưỡng học sinh lớp 6B, ) thấy chất lượng học tập các em đã nâng lên rõ rệt Cụ thể qua bài kiểm tra chất lượng học kì I đã thu kết sau: Tæng sè 34 §iÓm<2 §iÓm tõ §iÓm tõ §iÓm =><5 5=><6.5 6.5=><8.0 8.0=>10 SL TL SL TL SL TL 42,6 11 32,4 10 19,4 SL TL SL TL 0 5,6 11 IV Bµi häc kinh nghiÖm: Lop6.net tõ §iÓm tõ §iÓm<TB §iÓm TB SL SL TL 5,6 32 TL 94,4 (10) Để nâng cao chất lượng Dạy-Học Thì người thầy phải gần gũi Học sinh, luôn nghiên cứu tài liệu, học hỏi kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp , luôn tiếp thu và vận dụng phương pháp , thiết bị dạy học tiên tiến vào bài giảng… Phải đặt thân mình vào vị trí học sinh vì khái niệm, tính chất, quy tắc, mà ta có cảm giác là đơn giản với học sinh để hiểu nó và vận dụng nó là vấn đề Cần chú ý nhiều đến đến phương pháp giải d¹ng bµi h¬n lµ chØ b¶o cÆn kÏ cho c¸c em lêi gi¶i hoµn chØnh cña mét bµi to¸n cô thÓ Với bài toán cụ thể ta cần tìm tòi thêm cách giải (nếu có thể) để làm phong phú trí óc tưởng tượng học sinh để tạo hứng thú học tập Vận dụng kinh nghiệm “ Kinh nghiệm “ Dạy học chủ đề ước và bội số tự nhiên ” ” phải vào chất lượng học sinh và sở vật chất nhà trường đặc biệt là vào nội dung bài toán thì cho kết cao C KÕt luËn Kinh nghiệm “ Dạy học chủ đề ước và bội số tự nhiên ” viết từ nỗ lực học hỏi thân, cùng với giúp đỡ nhiệt tình các đồng nghiệp tổ chuyên môn, đã giúp cho học sinh có niềm tin, hứng thú ,yêu thích môn học , thấy gần gũi và tầm quan trọng toán học với đời sống, nên đã nâng cao chất lượng học tập Đồng thời giúp tôi nâng cao chất lượng Dạy- Học đảm bảo tiêu và yêu cầu giảng dạy Đề tài này có lễ đã nhiều Thầy Giáo, Cô Giáo có nhiều kinh nghiệm quan tâm nghiên cứu Song với lòng ham học hỏi để nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ, nên mong đóng góp ý kiến chân thành các đồng nghiệp Xin ch©n träng c¶m ¬n ! Kim t©n ngµy 22 th¸ng n¨m 2011 Người thực NguyÔn Ngäc Anh Lop6.net (11)