K-quĩ đạo lượng tử của MD5-nhóm

Tuy nhi ên, các tác gi ả hoặc là đưa ra một công thức lượng tử tổng quát, hoặc khẳng định sự tồn tại của chúng n ên không th ể áp dụng. tr ực tiếp v ào nh ững trường hợp cụ t[r]

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007

K-QUĨ ĐẠO LƯỢNG TỬ CỦA MD5-NHÓM

Dương Minh Thành * 1. Mở đầu

Lượng tử hố q trình xây dựng hệ lượng tử từ hệ cổ điển nhờ

qui tắc lượng tử Một đại lượng cổ điển F lượng tử hoá thành đại lượng lượng tử Q(f), thỏa mãn nguyên lí bất định Dirac :

 

1

( , ) ( ), ( )

Q f g i Q f Q g

Nói cách khác, ánh xạ lượng tử

iQ đồng cấu đại số Lie ứng

với móc Poisson giao hốn tử

Về phương diện tốn học coi Herman Weyl người khởi xướng

khái niệm lượng tử ông xây dựng ánh xạ Q từ đại lượng cổ điển – hàm không gian pha 2n

, đến đại lượng lượng tử, tức toán tử không gian Hilbert 2 2n

L :

   2 

:

( )

n n

Q C B L

f Q f



 

Ngay từ năm 70, Berezin đưa định nghĩa toán học tổng quát

của khái niệm lượng tử, hàm tử từ phạm trù học cổ điển sang phạm trù đại số kết hợp Cùng thời với Berezin cịn có nhà toán học Bayen, Flato, Fronsdal, Lichnerowicz Sternheimer xét lượng tử hoá biến

dạng tích giao hốn thơng thường hàm thành *tích kết hợp, khơng giao hốn, tham số hoá số Plank thỏa mãn nguyên tắc tương thích Họ phát triển cách có hệ thống khái niệm lượng tử hoá biến dạng, coi lí thuyết *tích dựa khái niệm họ nhận công thức cũ mới, độc lập với học lượng tử

Một hệ học cổ điển đa tạp symplectic mà ta gọi không gian pha hàm Hamilton H X Một lượng tử hoá hệ cổ điển X

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành

1 Một họ đại số phức không giao hoán A phụ thuộc vào tham số thực

, mà ta đồng với số Planck, thỏa mãn : ( )C

A AC X 0

2 Họ ánh xạ tuyến tính Q:AA gọi tốn tử lượng tử thỏa

mãn tính chất :

  ( ) ( ) ( ) ( )

,

Q F Q G Q G Q F

F G





     



* *

0

với  , móc Poisson A

3 Một biểu biễn A không gian Hilbert X, R A:  End H( X) Các hàm thực A (C( )X ) tương ứng với toán tử Hermit Các phần tử

A gọi đối tượng lượng tử

Bước để tìm lượng tử hố hệ vật lí cổ điển xây dựng biến dạng hình thức cácđối tượng Poisson cổ điển [2] Cách xây dựng Berezin [1]đưa cách xây dựng *tích cho đa tạp

Kahler đưa cơng thức tích phân tường minh *tích  số thực Sau đó, De Wilde Lecomte [3] Fedosov [9] gần lúc xây dựng phân loại *tích hình thức đa tạp symplectic tổng quát Etingof Kazhdan [8] chứng minh tồn biến dạng hình thức cho lớp đa tạp

Poisson khác, nhóm Poisson-Lie Cuối cùng, Kontsevich [10] chứng minh tồn *tích đa tạp Poisson tổng quát Và gần đây, Reshetekhin Taktajan đưa cơng thức tích phân tường minh *tích hình thức đa tạp Kahler

Theo học lượng tử có tương ứng cách hình thức hệ

học cổ điển hệ học lượng tử Vì vậy, trình lượng tử hoá hệ

học cổ điển chấp nhận nhóm đối xứng G cho trước, ta hi

vọng thu biểu diễn unita nhóm G lên khơng gian Hilbert H

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007 Nghiên cứu phân loại biểu diễn đại số Lie hay nhóm Lie cho ta

những thơng tin nhóm đại số nhóm tương ứng Việc giải

quyết toán phức tạp nhà toán học nghiên cứu nhằm cố gắng xây dựng mô tả cách tường minh Để giải

toán này, phương pháp quĩ đạo A A Kirillov đời nhanh chóng trở

thành cơng cụ đắc lực lí thuyết biểu diễn Trong phương pháp đó, Kirillov xuất phát từ phân thớ chiều đa tạp symplectic

nhất xây dựng từ K-quĩđạo G* để thu biểu diễn nhóm Lie G

Tiếp theo ơng với B Kostant hình học hố phương pháp quĩ đạo

cách xây dựng lí thuyết lượng tử hoá đa tạp symplectic chặt

mà ta gọi lượng tử hố hình học

Vào năm 79-80, Đỗ Ngọc Diệp cộng đề

xuất qui tắc lượng tử hố hình học nhiều chiều [4] Dựa vào mà có

thể thu nhiều biểu diễn nhóm Lie G

Chương trình nghiên cứu tốn đối ngẫu unita thơng qua lượng tử hố biến dạng thu nhiều kết quan trọng.Đây vấn đề khó nhiều

nhà toán học quan tâm Tuy nhiên, tác giả đưa công thức lượng tử tổng quát, khẳng định tồn chúng nên áp dụng

trực tiếp vào trường hợp cụ thể để đưa công thức lượng tử tường

minh

Chúng quan tâm nhiều đến lớp nhóm Lie thực giải mà K-quĩ đạo 0-chiều có chiều cực đại [4] Lớp Đỗ Ngọc Diệp đưa vào khoảng năm 1975 từ việc nghiên cứu tính chất nhóm biến đổi affin đường thẳng thực aff

được gọi lớp MD-nhóm, đại số Lie tương ứng MD-nhóm gọi

MD-đại số Nếu số chiều cực đại số chiều nhóm ta gọi MD -nhóm Đại số Lie tương ứng với MD-nhóm gọi MD-đại số

Năm 1984, Hồ Hữu Việt liệt kê phân loại triệt để lớp MD-đại số

Lớp bao gồm đại số Lie giao hoán n-chiều n

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành

Đểđơn giản người ta phân chia lớp MD-nhóm MD-đại số theo số

chiều, lúc ta kí hiệu MDn-nhóm MDn-đại số (n tương ứng với số chiều

của nhóm) Lớp nhóm Lie MD4 Lê Anh Vũ liệt kê phân loại triệt để,

bức tranh K-quĩđạo lớp nhóm mô tả tường minh [14]

Năm 1999, Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Việt Hải xây dựng lượng tử hoá biến dạng K-quĩ đạo lớp MD-nhóm lớp MD4-nhóm, đồng thời đưa biểu diễn unita vơ hạn chiềutương ứng lớp nhóm [5], [6], [7] Từ đến nay, chưa có kết tương tự công bố

MD5-nhóm

Trong báo này, xây dựng K-quĩđạo lượng tử từ K -quĩ đạo MD5-nhóm đơn liên liên thơng tương ứng với MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán chiều Lê Anh Vũ đưa gần [15] Đồng thời

cũng mô tả tường minh biểu diễn unita bất khả qui vô hạn chiều MD5-nhóm

đó

2. Các kiến thức liên quan 2.1 K-quĩ đạo MD5-nhóm

Cho G nhóm Lie, G =Lie(G) đại số Lie G, tức không gian tiếp xúc T Ge điểm đơn vị e nhóm G Khi nhóm G tác động lên tự đẳng cấu :

1 ( ) :

i g xgxg

Tác động có điểm bất động e, đồng thời cảm sinh tác động đạo

hàm G lên G :

( ) :

Ad g GG

Tác động sinh biểu diễn Ad gọi biểu diễn phụ hợp

nhóm Lie G

Gọi G* không gian đối ngẫu G Khi biểu diễn đối phụ hợp

G (hay gọi K-biểu diễn) định nghĩa sau :

( ) , , ( ) ; *, ,

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007

Khi g chạy khắp G  F K g F g( ) / GG* gọi quĩđạo đối

phụ hợp (hay gọi K-quĩđạo) qua F

Mệnh đề 2.1 : Trên K-quĩ đạo F nhóm Lie G, ln tồn dạng vi

phân cấp đóng, khơng suy biến, G-bất biến mà ta gọi dạng Kirillov

Định nghĩa 2.2 : Một đa tạp symplectic đa tạp trơn mà trang

bị dạng symplectic , tức dạng vi phân cấp đóng, khơng suy biến

Như vậy, đa tạp symplectic có số chiều chẵn Đồng thời, K -quĩđạo đa tạp symplectic

Cho nhóm Lie G thực giải được, K-quĩ đạo G khơng chiều có chiều cực đại nhóm G gọi MD-nhóm Vấn đề đặt tìm cách lượng tử hố biến dạng K-quĩđạo có chiều

cực đại MDn-nhóm cho trước (n số chiều nhóm G) M.Kontsevich

[10] chứng minh lượng tử hố biến dạng đa tạp

symplectic Tuy nhiên, kết khơng cơng thức tường

minh cho đa tạp symplectic cụ thể, chẳng hạn K-quĩđạo chiều cực

đại MDn-nhóm

Bài tốn lượng tử hố biến dạng K-quĩđạo lớp MD-nhóm MD4-nhóm Đỗ Ngọc Diệp Nguyễn Việt Hải giải [5], [6], [7]

Trong báo xét tốn tương tự với nhóm Lie thuộc lớp

MD5-nhóm Lê Anh Vũ đưa thời gian gần [15], cụ thể MD5-nhóm đơn liên, liên thông G mà MD5-đại số tương ứng

1, 2, 3, 4,

X X X X X

 

G có tính chất :

1

[X ,X ]=X , [X ,X ]=X2 3 5,  

4,

X X R

  

G G, G

Mệnh đề 2.3 :

Giả sử FG* được biểu diễn sở đối ngẫu  * * * * * 1, 2, 3, 4,

X X X X X

của cơ sở X X1, 2,X3,X4,X5 :

* * * * *

1

F X X X X X Khi đó, K-quĩ đạo nhóm G qua F được mơ tả sau :

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Dương Minh Thành

Chứng minh

Đặt X=aX +bX +cX +dX +fX1 2 3 4 5

Ánh xạ adX : GG, adX( )Y [X,Y] có ma trận xác định :

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

ad b a c b                   

Ánh xạ exp(ad) có ma trận :

1 0 0

0 0

exp( ) 0 0

0

0

ad b a c b                   

Nếu * * * * * *

1

F X X X X X G K-quĩ đạo qua F

mơ tả sau :

1 x b

x a c

x b x x                           

1) Nếu   0 K-quĩđạo chiều :  F {( , , , 0, 0)}   (1) 2) Nếu 2 0

   quĩđạo  F {( , , , , ) :x y z   xz}(2) Mệnh đề chứng minh

2.2 -tích khả vi hình thức Moyal -tích

Giả sử (M, ) đa tạp symplectic Z C(M)[[ ]] không gian

Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TP.HCM Số 12 năm 2007

Định nghĩa 2.4 : Lượng tử hố biến dạng C(M) (hay cịn gọi lượng tử

hoá biến dạng đa tạp M) đại số kết hợp xây dựng Z với  -tích kết hợp thỏa mãn tính chất sau :

(i) -tích có tính chất địa phương, tức hệ tử c xk( ) tích :

0

( , ) ( , ) ( , ) k k( )

k

c x a x b x   c x



 * 

chỉ phụ thuộc vào hệ tử ai



 bj với k     i j0

(ii) -tích biến dạng tích giao hốn thơng thường hàm M :

0( ) 0( ) ( )0

c x a x b x

(iii) -tích thỏa mãn tính tương thích, tức :

 0, 0 0( )

a b b a*  *  i a b  

trong  , móc Poisson hàm, 0( ) có bậc cao , với  tham

biến hình thức (cịn gọi tham biến biến dạng)

Cho u v, C(M), ta kí hiệu l ru, v tốn tử nhân trái nhân phải đại số Z,* cho l vu( )u v* r uv( ) Nếu -tích khả vi hình thức tốn tử l ru, v khả vi hình thức Các tính chất -tích chi tiết

[12]

Q trình lượng tử biến dạng địi hỏi phải tính tốn phức tạp -tích khả

vi hình thức đưa đến công thức không đẹp Tuy nhiên, không gian

symlectic M vi phôi với khơng gian 2n

R dạng symplectic tắc

1 n

i i i

dp dq





  , p1, ,p qn, 1, ,qn hệ tọa độ tắc

2n R

ta xác định biến dạng hình thức đặc biệt tích giao hốn tích Poisson  2n

C R gọi Moyal -tích