Bài tập Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

CMR: các tiếp tuyến của P tại A và B vuông góc với nhau c Tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến với P và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau 26.[r]

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I PT đường thẳng góc, khoảng cách Cho A 1;3;  : x  y   0; Viết pt đường thẳng  ' đối xứng với  qua A BL theo m vị trí tương đối hai đường thẳng sau  : x  my   m  0;  ' : 2m   x  y  2m   Lập pt đường thẳng  qua P 6;4  và tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Lập pt đường thẳng  qua Q 2;3 và cắt các tia Ox, Oy các điểm M, N khác O cho OM + ON bé Cho M a; b  a  0, b   Lập pt đường thẳng  qua M và cắt các tia Ox, Oy các điểm A, B cho tam giác OAB có diện tích bé Cho d1 : x  y   0; d : x  y   0; M 3;0  a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng trên b) Viết pt đường thẳng  qua M và cắt d1 , d A và B cho MA = MB Cho tam giác ABC có A 0;0 , B 2;4 , C 6;0 .Tìm M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh BC; P , Q trên cạnh AC cho MNPQ là hình vuông  x  2  2t Cho  :  a) Tìm A  cho đoạn AM  13 ; M 3;1  y   2t b) Tìm B   cho đoạn BM ngắn x   t Cho tam giác ABC có phương trình hai cạnh là d : x  y   0; d ' :   y t Trung điểm cạnh còn lại là M 1;1 Hãy viết pt cạnh còn lại x 1 y   10 Tam giác ABC có pt(BC): ; pt các trung tuyến BM: x  y   ; 1 CN: x  y   Viết phương trình các đường thẳng AB và AC 11 Lập phương trình các cạnh hình vuông ABCD biết A 1;2  và phương trình đường chéo: x  1  2t ; y  2t '  x  2t '  x  2  t 12 Cho  :  Viêt pt đường thẳng đối xứng với  ' qua   : ' y 1 t  y t 13 Cho A 1;2 , B 3;1;  : x   t ; y   t Tìm C trên  cho a) Tam giác ABC b) Tam giác ABC cân 14 Cho tam giác ABC có A 1;0 , B 2;3, C 3; 6  và  : x  y   a) xét xem  cắt cạnh nào tam giác ABC    b) Tìm M trên  cho MA  MB  MC 15 Cho A 2;0 , B 4;1, C 1;2  a) CMR : ABC b) Viết pt phân giác góc A tam giác ABC c) Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC 16 Tính các góc tam giác ABC biết pt các cạnh là: d1 : x  y  0; d : x  y  0; d3 : x  y  Lop10.com 17 Viết pt đường thẳng qua A 2;0  và tạo với d : x  y   góc 450 18 Viết pt đường thẳng qua B 1;2  và tạo với d : x   3t ; y  2t góc 600 19 Tìm a để hai đường thẳng sau tạo với góc 450 d1 : x   at ; y   2t d : 3x  y  20 Cho A 1;1, B 3;6  Viết pt đường thẳng  qua A và cách B khoảng 21 Cho d : x  y   Viwts pt đường thẳng  / /d và cách d khoảng 22 Cho A 1;1, B 2;0 , C 3;4  a) Viết pt đường thẳng  qua A và cách hai điểm B, C b) viết pt các đường thẳng cách ba điểm A, B, C 23 Cho tam giác ABC cân A có pt  AB : x  y   0; pt BC : x  y   Viết pt đường thẳng AC biết nó qua M 1; 3 24 Cho 1 : x  y   0;  : x  y   0; I  1   Viết pt đường thẳng  qua M 2; 1 và cắt 1 A, cắt  B cho IA  IB 4 7 25 Cho tam giác ABC có A  ;  hai đường phân giác góc B và C có pt lần 5 5 lượt là d B : x  y   0; dC : x  y   Viết pt đường thẳng BC 26 Cho P 1;6 , Q 3; 4 ;  : x  y     a) Tìm K   cho PK  2QK b) Tìm E   cho EP  EQ min c) Tìm M   cho MP  MQ min d) Tìm N   cho NP  NQ max 27 Cho  : m   x  m  1 y  2m   0; A 2;3, B 1;0  a) CMR:  luôn qua điểm cố định m b) Tìm m để  có ít điểm chung với đoạn AB c) Tìm m để khoảng cách từ A đến  là lớn 28 Lập pt các cạnh tam giác ABC biết A 1;3 và pt hai trung tuyến d : x  y   0; d ' : y   29 Viết pt các cạnh tam giác ABC biét C 4;3 đường phân giác và trung tuyến kẻ từ đỉnh có pt là x  y   0; x  13 y  10  30 Tam giác ABC có A 1; 3 và pt các đường cao BH : x  y  25  0; CK : x  y  12  Tìm tọa độ B, C 31 Tam giác ABC có A 1; 3 Pt đường trung trực đoạn AB là d : x  y   ; trọng tâm G 4; 2  Tìm tọa độ B, C A 2; 3, B 3; 2  và trọng tâm tam giác thuộc đường 32 Tam giác ABC có S  ; thẳng d : x  y   Tìm tọa độ C 33 Hai cạnh tam giác ABC có pt: x  y   0; x  y  21  Viêt pt cạnh còn lại tam giác , biết trực tam trùng với gốc tọa độ A, B  Ox; r  34 Cho tam giác ABC vuông A; pt BC : x  y   0; Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC Lop10.com 1  35.Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I  ;0  ; 2  pt  AB : x  y   0; AB  AD ; x A  Tìm tọa độ A, B, C, D 36 A 6; 3, B 4;3, C 9;2  a) Viết pt đường thẳng d là phân giác goác A tam giác ABC b) Tìm E trên d cho ABEC là hình thang 37 A 1;7 , B 4; 3, C 4;1 Lập pt đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC 38 Tam giác ABC có A 2; 1 cá phân giác góc B và C có pt: d B : x  y   0; dC : x  y   Tìm phương trình BC 39 A 1; 2 , B 3;3;  : x  y   Tìm C trên  để tam giác ABC vuông C 40 Lập pt đường thẳng  qua P 2;5  và cách Q 5;1 khoảng 3 41 Tam giác ABC có A 1;1, B 3;4 ;cos A  Viết pt các cạnh ;cos B  10 10 42 Cho A 1;1 Tìm B trên đường thẳng y  và C  Ox để tam giác ABC 43 Cho d1 : kx  y  k  0; d : 1  k x  2ky  1  k  a) CMR: k thay đổi d1 luôn qua điểm cố định b) Tìm tọa độ giao điểm I d1 , d theo k; c) Tìm quỹ tích I k thay đổi 44 A 1;0 , B 2;3 Lập pt đường thẳng d // và cách AB khoảng 10 45 Cho C : x  y  x  y  21  0; d : x  y   Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C) biết A  d II Đường tròn Viết pt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A 1;3, B 5;6 , C 7;0  Viết pt đường tròn nội tiếp tam giác ABC biết pt các cạnh AB : x  y   0; AC : x  y   0; BC : y  BL theo m vị trí tương đối đường thẳng  : x  my  2m   và đường tròn C : x  y  x  y   Viết pt đường tròn tiếp xúc với các trục tọa độ và a) qua A 2; 1 b) có tâm thuộc đường thẳng d : x  y   Viết pt đường tròn tiếp xúc với trục hoành A 6;0  và qua B 9;9  Viết pt đường tròn qua A 1;0 , B 1;2  và tiếp xúc với đường thẳng  : x  y   Viết pt tiếp tuyến đường tròn C : x  3   y    169 A 8; 16  2 Cho đường tròn C : x  y  x  y   và điểm A 1;3 a) CMR: A nằm ngoài đường tròn; b) Viết pt các tiếp tuyến (C) kể từ A c) Gọi M, N là các tiếp điểm câu b) , hãy tính diện tích tam giác AMN Cho C : x  y  x  y  17  0; d : x  y   Viết pt các tiếp tuyến (C) mà vuông góc với d 10 Viết pt các tiếp tuyến chung hai đường tròn sau: 2 C1 : x  y  x  y  11  0; CLop10.com : x  y  x  y   11 Cho đường cong C : x  y  m   x  m   y  m   a) CMR: m, C  là đường tròn b) Tìm tập hợp tâm (C) m thay đổi c) Tìm các điểm cố định (C) d) Tìm các điểm mà (C) không qua dù m lấy giá trị nào 12 Cho C : x  y  x  y  0; d : x  y  10  Viết pt các đường thẳng   d và cắt (C) hai điểm A, B và AB  13 Cho đường thẳng d : x  my    và hai đường tròn C1 : x  y  x  y   0; C2 : x  y  x  y  56  a) Gọi I là tâm C1  Tìm m để d cắt C1  hai điểm phân biêt A, B Tìm m để tam giác IAB có diện tích lớn b) CMR : C1  và C2  tiếp xúc ngoài với Viết pt các tiếp tuyến chung chúng 14 Gọi C '  là đường tròn tâm Q 1;2  bán kính R  13 A, B là các giao điểm C  và đường thẳng  : x  y   Tìm tọa độ C cho tam giác ABC vuông và nội tiếp C  ' ' C : x  y  x  y  Tìm M trên d cho qua M kẻ 15 Cho d : x  y   0; hai tiếp tuyến với (C) A và B cho góc AMB 600 16 Cho d : x  y  10  0;  : x  y  Viết pt đường tròn (C) tiếp xúc với d A 4;2  và có tâm thuộc  17 Cho C : x  1   y    9; E 2;0  Viết pt đường thẳng  qua E và cắt (C) hai điểm phan biệt P, Q cho EP  EQ 2  x  y  1  a  18 BL theo a số nghiệm hệ pt   x  y   mx  m  1 y  19 Tìm m để hệ sau có nghiệm  2  x  y 4 x2  y   20 Cho hpt:  2m  1 x  my  m   Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt x1; y1 , x2 ; y2  và biểu thức A  x1  x2    y1  y2  là lớn 2 21 Cho C : x  y  2mx  m  1 y  2m   a) CMR: m, C  luôn qua hai điểm cố định b) CMR: m, C  cắt trục Oy hai điểm pb 22 Viết pt các tiếp tuyến chung hai đường tròn sau: C1 : x  y  x   0; C2 : x  y  12 x  y  44  23 Cho C1 : x  y  x  y   0; C2 : x  y  10 x  y  30  có tâm I1 , I a) CMR : C1  tiếp xúc ngoài với C2  Tìm tọa độ tiếp điểm H Lop10.com b) Gọi d là tiếp tuyến chung (không qua H) hai đường tròn Tìm tọa độ K là giao điểm d và I1I Viết pt đường tròn C  qua K và tiếp xúc với C1 và C2  H 24 Cho Cm : x  y  m  1 x  m   y  6m   a) Tìm quỹ tích tâm họ đường tròn Cm  b) Xác định tâm Cm  nó là đường tròn tiếp xúc với trục Oy 25.Cho A 0; a , B b;0 , C b;0 ; a  0, b   a) Viết pt đường tròn C  tiếp xúc với AB B , tiếp xúc với AC C b) M là điểm trên (C) Gọi d1 , d , d3 là khoảng cách từ M đến AB, AC, BC CMR: d1.d  d32 26 Tìm max, M  x  y biết x, y thỏa mãn x  y  16  x  y 27 Cho x  y  1; x  y  x  y Tìm max P  x  y 28 Cho C1 : x  y  10 x  0; C2 : x  y  x  y  20  a) Viết pt đường tròn tâm I thuộc  : x  y   và qua các giao điểm C1  với b) Viết pt các tiếp tuyến chung C1  và C2  C2  A 3;5  29 Cho C : x  y  x  y   0; a) Viết pt các tiếp tuyến (C) xuất phát từ A; gọi M, N là các tiếp điểm b) Tính độ dài đoạn MN và viết pt đường thẳng MN 30 Cho C : x  y  x  y   0; Viết pt đường tròn C '  tam M 5;1, biết C '  và C  cắt hai điểm A, B cho AB  III Elíp x2 y Cho elíp E :  1 25 16 a) Tìm tọa độ các tiêu điểm , các đỉnh (E) b) Viết pt các cạnh hình chữ nhật sở c) Tìm tâm sai, pt các đường chuẩn , pt các bán kính qua tiêu (E) x2 2.Tìm các điểm M trên elíp E :  y  thỏa mãn a) MF1  MF2 ; b) Góc F1MF2  900 ; c) Góc F1MF2  600 x2 y Cho elíp E :  1 a) Tìm m để d : y  x  m cắt (E) hai điểm pb P, Q Tính độ dài PQ theo m b) Viết pt đường thẳng  qua M 1;1 và cắt (E) hai điểm phân biệt A, B cho MA = MB x2 y Cho elíp E :   1; a  b   a) CMR: M  E  ta có b  OM  a a b b) Gọi A là giao điểm đường thẳng  :  x   y  và (E) Tính độ dài OA theo a, b, ,  1 c) B  E  cho OA  OB Tính theo a và b  OA OB CMR: đường thẳng AB luôn tiếp xúc vớiLop10.com đường tròn cố định b  biến đường tròn C : x  y  a a 2 x y a Thành E :   Và phép co phía trục Ox với hệ số  biến E  thành (C) a b b x Cho P : y  x  x và E :  y  CMR: (P) cắt (E) điểm phân biệt A, B, C, D Viết pt đường tròn qua điểm đó x2 y Cho E :   1; d : ax  by  0; d ' : bx  ay  0, a  b   Gọi M, N là các giao điểm d và (E) P, Q là các giao điểm d ' và (E) a) Tính diện tích tứ giác MPNQ b) Tìm a và b để diện tích tứ giác MPNQ max, 2 M x; y  E : 36 x  16 y  Tìm max, A  y  x  5 CMR: phép co phía trục Ox theo hệ số k  Lập pt chính tắc elíp có tâm sai e  và hình chữ nhật sở có chu vi 20    10;0; trục lớn 10 Lập pt chính tắc elíp có các tiêu điểm F1  10;0 , F2 18 x2 y 11 Cho E :   Tìm M trên (E) biét MF1  MF2  x2 12 Cho C 2;0 ; E :  y  Tìm A, B trên (E) đối xứng qua trục Ox và tam giác ABC IV Hypebol (H) x2 y Cho H :  1 16 a) Tìm độ dài trục thực, trục ảo, tọa độ các đỉnh và pt các cạnh hình chữ nhật sở b) Tìm tọa độ các tiêu điểm , pt các tiệm cận c)Tìm tâm sai , pt các đường chuẩn và pt các bán kính qua tiêu điểm M trên (H) Cho (H) có F1  m;  m , F2 m; m ; M  H  có MF1  MF2  2m; m   m2 CMR: phương trình (H) là xy  2 x y Cho H :   Hãy tính tích các khoảng cách từ điểm tùy ý trên (H) đến hai a b tiệm cận (H) Tìm các điểm M trên H : x  y  cho a) góc F1MF2  900 b) góc F1MF2  1200 c) có tọa độ nguyên x y   ; đường thẳng  : x  y  m  a) CMR:  cắt (H) hai điểm pb M, N thuộc hai nhánh khác (H) xM  xN  b) Tìm m để F2 N  F1M Cho H  : Lop10.com V Parabol (P) Cho Parabol có tiêu điểm F 2;1 và đường chuẩn  : x  y   Hãy viết pt (P) Cho P : y  x a) Tìm tọa độ tiêu điểm và pt đường chuẩn (P) b) Viết pt bán kính qua tiêu điểm M x; y  P  c) Xét đường thẳng d qua F và cắt (P) hai điểm phân biệt A, B CMR: +) AB  x A  xB  +) Đường tròn đường kính AB tiếp xúc với đường chuẩn (P) Cho P : y  x Lạp pt các cạnh tam giác có ba đỉnh trên (P) , biết đỉnh trùng với đỉnh (P) và trực tâm tam giác trùng với tiêu điểm (P) A 1; 1, B 9;3 Xét điểm M thuộc cung AB (P) Xác định vị Cho P : y  x; trí M để diện tích tam giác MAB lớn A, B  P sao cho tổng khoảng cách từ A và B đến đường chuẩn Cho P : y  px; (P) độ dài đoạn AB CMR: A, B và F thẳng hàng PHỤ LỤC 2 x y Cho elip E :   a b a) Tìm đk a và b để elíp tiếp xúc với các đường thẳng x  y  20  0; x  y  20  b) Tìm quan hệ a, b, k , m để elíp tiếp xúc với đường thẳng y  kx  m x2 y x2 y 2 Cho E1 :   1; E2 :  1 2 a) Viết pt đường tròn qua các giao điểm hai elíp b) Viết pt các tiếp tuyến chung hai elíp x2 y Cho E :  1 25 16 5  a) Viết pt tiếp tuyến (E) điểm M  ;2    b) Viết pt tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến đó qua điểm M 5;7  c) Tìm điểm M trên (E) cho MF1  MF2 x2 y  1 25 16 a) Tìm quan hệ k , m để elíp tiếp xúc với đường thẳng d: y  kx  m b) Khi d là tiếp tuyến (E).Gọi M, N là các giao điểm d với các đường thẳng x  5 Tình diện tích tam giác FMN với F là tiêu điểm (E) có hoành độ dương c) Tìm k để diện tích trên bé x2 y Viết pt các cạnh hình vuông ngoạih tiếp elip E :  1 x2 y Cho elip E :   Một hình chữ nhật (Q) ngoại tiếp (E) có diện tích S Tìm a b max, S Lop10.com Cho E  : x2 y Cho E :   M trên Ox, N trên Oy cho đường thẳng MN tiếp xúc với (E) 16 Tìm tọa độ M, N để đoạn MN x2 y Tìm tập hợp các điểm M mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến với E :   và hai a b tiếp tuyến đó vuông góc với x2 y2 Cho Cm :   1; m  0, m  5  m m  25 a) Tìm m để Cm  là elíp b) Tìm m để Cm  là hypebol c) A là điểm trên đường thẳng x = và A không thuộc trục hoành CMR với điểm A luôn có dường cong họ Cm  qua đó có bao nhiêu elíp, bao nhiêu hypebol x2 y 10 Cho H :   d là đường thẳng qua O 0;0 và có hệ số góc k, d ' là đường thẳng qua O và vuông góc với d a) Tìm k để d và d ' cắt (H) b) Gọi M, N là các giao điểm d và (H) P, Q là các giao điểm d ' và (H) Tính diện tích S tứ giác MPNQ c) tìm k để S x2 y 11 Cho H :   và d : Ax  By  C  0; A2  B  là tiếp tuyến a b (H) với tiếp điểm T Gọi M, N là các giao điểm d với các tiệm cận (H) CMR: a) T là trung điểm MN b) Diện tích tam giác OMN không phụ thuộc A, B, C x2 y 12 Cho H :   a b a) Tính độ dài phần tiệm cận (H) bị chắn hai đường chuẩn b) Tính khoảng các từ các tiêu điểm (H) đến hai tiệm cận nó c) CMR chân đường vuông góc hạ từ các tiêu điểm xuống các tiệm cận thuộc đường chuẩn ứng với tiêu điểm đó x2 y 13 Cho H :   và M là điểm trên (H) Tính tích các khoảng các từ M đến a b hai tiệm cận (H) x2 y x2 y 14 Cho E :   1; H :   Tìm đk a, b, c, d để (E) cắt (H) và các a b c d tiếp tuyến chúng giao điểm vuông góc với x2 y 15 Lập pt tiếp tuyến chung E :   và ( P ) : y  12 x 16 Cho P : y  64 x; d : x  y  46  a) Tìm M trên (P) cho d M , d min b) Viết pt đường tròn tâm I trên d, tiếp xúc với (P) và có bán kính bé 17 Cho P : y  x ; d : y  mx  CMR: m, d  P  hai điểm phân biệt A, B Lop10.com Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB 18 Cho P : y  x; I 2;4  P  Xét góc vuông thay đổi quay quang I và cắt (P) hai điểm phân biệt M, N CMR: đường thẳng MN luôn qua điểm cố định 19 Cho P : y  px;  : 2mx  y  mp  Gọi A, B là các giao điểm (P) và  CMR: đường tròn đường kính AB luôn tiếp xúc với đường chuẩn (P) 20 Cho P : y  x ; d : 2mx  y   a) CMR: m, d qua tiêu điểm (P) và cắt (P) hai điểm pb M, N b) Tìm quỹ tích ttrung điểm I MN c) Tính góc tạo các tiếp tuyến (P) các điểm M và N A 3;0  21 Cho P : y  x ; a) M trên (P) có xM  a Tìm đoạn AM b) Khi AM hãy CMR: AM vuông góc với tiếp tuyến (P) M 22 Cho P : y  16 x Viết pt tiếp tuyến (P) a) Đi qua A 1;2  b) qua B 1; 4  ; c) vuông góc với đt x  y   23 Cho F 3;0 ; d : x  y  16  a) Tính d F , d  Viêt pt đường tròn tâm F và tiếp xúc với d b) Viết pt Parabol (P) có tiêu điểm F đỉnh O CMR: (P) tiếp xúc với d và tìm tọa độ tiếp điểm A, B, C  P có tung độ là a, b, c 24 Cho P : y  x; a) Viết pt các tiếp tuyến ta , tb , tc (P) các điểm A, B, C b) CMR: Khi A, B, C di chuyển trên (P) các tiếp tuyến ta , tb , tc tạo thành tam giác có trực tâm thuộc đường thẳng cố định 25 Cho P : y  x; a) Tìm tọa độ tiêu điểm F và pt đường chuẩn (P) b) Qua F kẻ đường thẳng cắt (P) hai điểm phân biệt A, B CMR: các tiếp tuyến (P) A và B vuông góc với c) Tìm quỹ tích các điểm M mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến với (P) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với 26 Cho P : y  x; a) CMR: Từ điểm trên đường chuẩn (P) luôn kẻ hai tiếp tuyến với (P) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với b) Gọi T1 , T2 là hai tiếp điểm nói trên CMR: đường thẳng T1T2 luôn qua điểm cố đinh N chạy trên đường chuẩn c) Cho M  P ; M  O Tiếp tuyến M (P) cắt Ox, Oy A và B Tìm quỹ tích trung điểm I AB M thay đổi Lop10.com