Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm sao cho tam giác ABC vuông tại A.. Tìm toạ độ của các đỉnh còn lại của hình vuông đó.[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ( năm học 2013-2014)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(4; 1), ( 3; 2) B đường thẳng : 3x 4y 42
Viết phương trình đường tròn ( )C qua hai điểm A B, tiếp xúc với đường thẳng
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(1; 0), B(3; 2)
∠ABC=1200 Xác định tọa độ hai đỉnh C D
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm A(2; 1) Lấy điểm B nằm trục hoành có hồnh độ khơng âm cho tam giác ABC vng A Tìm toạ độ B, C để tam giác
ABC có diện tích lớn
4) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vng ABCD có đỉnh A(4; 5), đường chéo BD có phương trình: y - = Tìm toạ độ đỉnh cịn lại hình vng 5) Trong mặt phẳng Oxy cho A(2;1) đường thẳng (d): 2x+3y+4=0 Lập phương trình đường thẳng Δ qua A tạo với đường thẳng (d) góc 450.
6 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB đường chéo BD x 2y 1 x 7y14 0 , đường thẳng AC qua điểm M2;1 Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật
7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A2;0 hai đường thẳng d x y1: 0,
2:
d x y Tìm điểm B d C d 1, 2 để tam giác ABC vuông cân A.
8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba đường thẳng d x1: 3y0,d2:2x y 0,
3:
d x y Tìm tọa độ điểm A d B d C D d 1, 2, , 3để tứ giác ABCD hình vng
9 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn : (C1): x2 + y2 = 13 (C2): (x - 6)2 + y2 = 25 cắt A(2; 3)
Viết phương trình đường thẳng Δ qua A cắt (C1), (C2) theo hai dây cung
phân biệt có độ dài
(2)11.) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng (d): 3x – 4y + = đường tròn (C) :
2 2 6 9 0
x y x y Tìm điểm M thuộc (C) N thuộc (d) cho MN có độ dài nhỏ
LỜI GIẢI BÀI TẬP PP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
1,
Gọi I(a;b) tâm R bán kính (C) AI2 = BI2
7a + b = (1)
BI2 = d2(I,
) (a + 3)2 + (b + 2)2 =
2 (3 42)
25 a b
(2)
Giải hệ phương trình gồm (1) (2) ta I(1;-5) I(-3;23) + I(1; -5) R =
(C): (x – 1)2 + (y + 5)2 = 25
+ I(-3; 23) R = 25
(C): (x + 3)2 + (y – 23)2 = 625
2,
Từ giả thiết suy ABD
Ta có : AB(2; 2)
, trung điểm AB M(2;1)
pt trung trực đoạn AB: x y 0 D thuộc trung trực ABD(t; t)
+ ABCD hình thoi nên:
2 2
( 1) (3 )
AD AB t t t t t + t 2 3 D(2 3;1 3), ( 3; 1C 3)
+ t 2 3 D(2 3;1 3), (C 3; 1 3) 3,
Gọi A(2; 1); B(b; 0); C(0; c); b, c >
Theo giả thiết ta có tam giác ABC vng A nên
2 AB AC c b O b
2 2
1
( 2) ( 1)
2
ABC
S AB AC b c (b 2)2 1 b2 4b 5
Do max
5
2
b S
b =0 Suy B(0; 0); C(0; 5) 4,
Đường thẳng AC vng góc với BD: y - = nên có phương trình dạng: x + c = mặt khác AC lại qua A( 4; 5) nên c = -
Vậy AC: x- = I(4;3)
Đường trịn ngoại tiếp ABCD có tâm I(4;3), bán kính R= AI = nên có phương trình:
2
4
(3)Toạ độ điểm B D thoả mãn hệ phương trình:
2 2
3
3
6
4 4
2 y
y y
x
x y x
x
Vậy: A(4;5), B(6;3), C(4;1), D(2;3) Hoặc: A(4;5), B(2;3), C(4;1), D(6;3)
5). Đường thẳng (d): 2x + 3y + = có vectơ pháp tuyến nd (2;3)
Đường thẳng qua A(2; 1) có PT dạng: a(x - 2) + b(y - 1) = (a2 + b2 0)
ax + by - (2a +b) =
() có vec tơ pháp tuyến n ( ; )a b
Theo giả thiết góc d 450
0
cos 45 cos( , )
d d
d
n n n n
n n
2
2
2 13. a b
a b
26 a2b2 2 2a3b
26(a2 + b2) = 4(4a2 + 12ab + 9b2) 5a2 - 24ab - 5b2 =
5 a 24 a
b b
5 a b a b
TH1:
a
b chọn a = 5, b = có phương trình: 5x + y - 11 = 0 TH2:
1 a
b chọn a = -1, b= có phương trình: -x + 5y - = 0. 6,
Do B giao AB BD nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình: 21
2 21 13;
7 14 13 5
5 x x y
B x y
y
Lại có ABCD hình chữ nhật nên AC AB, AB BD, Kí hiệu nAB 1; , nBD 1; , nAC a b,
vtpt đường thẳng AB, BD, AC
Khi ta có:
2
3
cos , cos ,
2
AB BD AC AB
n n n n a b a b
2
7
7
a b
a ab b b
a
Với a = -b chọn a= 1, b = -1 Khi phương trình AC: x – y – =
A AB AC nên tọa độ điểm A nghiệm hệ
1
3;
2
x y x
A
x y y
(4)7
1 5;
7 14 2
2 x x y
I x y
y
Do I trung điểm AC BD nên
14 12 4;3 , ;
5 C D
Với b = -7a loại AC khơng cắt BD
7,
1, ; , ;
B d C d B b b C c c
4
3 c AB AC AB AC bc b c b
c
(1)
2
2 12
ABAC b c c (2)
Thế (1) vào (2)
2
2
4
2 12 42 106 114 45
3 c
c c c c c c
c
1 5 5 12 9 0 c
c c c c
c
Kết luận: c 1 B1;1 , C1; ; c5 B7;7 , C9; 5
8,
Gọi B b ;5 2 bd2 Đường thẳng 1 qua B vng góc d3cắt d3 C Phương trình 1:x y b
Tọa độ C nghiệm hệ
0 ;5
5 2
x y C b b
x y b
Đường thẳng AB //d3 nên có phương trình x y 5 3b0 Tọa độ A nghiệm hệ
5 15
;
3 2
x y b b b
A x y
Đường thẳng 2qua A vuông góc d3cắt d3 D Phương trình 1:x y 6b10 0
Tọa độ D nghiệm hệ
0
3 5;3 10
x y
D b b x y b
ABCD hình vng
2
10 2
AD CD b b b b
3 3 15 5 5 5
2 ; , 2;1 , ; , 1;1 ; , ;0 , ; , ;
2 2 2 4 4 2
b A B C D b A B C D
9,
Gọi giao điểm thứ hai đường thẳng cần tìm với (C1) (C2) M N
Gọi M(x; y)( )C1 x2y2 13 (1)
Vì A trung điểm MN nên N(4 – x; – y) Do N ( )C2 (2x)2(6 y)2 25 (2)
Từ (1) (2) ta có hệ
2
2
13
(2 ) (6 ) 25 x y
x y
Giải hệ ta (x = ; y = 3) ( loại trùng A) (x = 17
; y =
5 ) Vậy M( 17
(5)Đường thẳng cần tìm qua A M có phương trình : x – 3y + =
10, Gọi I(x; y) trung điểm AB, G x y G; G trọng tâm tam giác ABC
2
2
2
3
G
G
x x
CG CI
y y
,
Do G thuộc đường thẳng x + y – =
2
2
3
x y
Toạ độ điểm I nghiệm hệ phương trình
2
5; 2
2
3
x y
I
x y
Gọi A x y A; A
2
2
2 5 1
2
A A
AB
IA x y
mặt khác điểm A thuộc đường thẳng x + 2y – = nên toạ độ điểm A nghiệm hệ
2 2
4
2
5
4
3
A A
A A
A A A
A
x y
x y
x y x
y
Vậy A
1 4,
2
, B
3 6;
2
B 4,
2
, C
3 6;
2
11, Đường tròn (C) có tâm I(- 1; 3), bán kính R = 1, d(I, d) = > R d C Gọi đường thẳng qua I vuông góc với d : 4x + 3y – = 0
điểm N0 d
; 5 N
Gọi M1, M2 giao điểm (C)
1
2 11 19
; , ;
5 5
M M