Đề thi học sinh giỏi môn: Toán 7, 8, 9 năm học 2009-2010 Trường THCS Năng Yên

Điểm M x0;y0 cố định không phụ thuộc vào tham số m thì phương trình * có nghiệm x0.y0 không phụ thuộc vào m  Lop8.net... Vậy AH không đổi khi A thay đổi trên O..[r]

Trường THCS Năng Yên §Ò thi HSG- HS NK M«n : To¸n N¨m häc 2009-2010 ( Thêi gian lµm bµi 150 phót ) GV đề: Dương Thế Anh Bµi 1( 2®iÓm ):Cho biÓu thøc: N = x2-3x y +2y a) Ph©n tÝch N thµnh nh©n tö b) TÝnh gi¸ trÞ cña N :x = 1 vµ y = 52 94 Bµi 2(2®iÓm) 1 1     1 2 3 2008  2009 1 1 b) Chøng minh r»ng : B = + + +… + > 86 2008 a) TÝnh tæng: A = Bµi 3(2®iÓm): a) T×m c¸c sè :x,y,z tho¶ m·n: x  y 1  z   ( x  y  z) b) Giải hệ phương trình:  x  y  z  xy  yz  xz  2009 2009 2009  91005  x  y  z Bµi 4( 2®iÓm): a)Cho ®­êng th¼ng : y = (1-m)x+ 2m + (x: biÕn, m: lµ tham sè).Chøng minh r»ng đường thẳng đã cho luôn qua điểm cố định với giá trị m, tìm toạ độ điểm đó b) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, BC = 12cm ,®­êng cao AH = 4cm TÝnh b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Bµi 5(2®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC néi tiÕp ®­êng trßn (O)víi träng t©m G ,BC cè định Gọi H là trực tâm tam giác ABC Chứng minh :O,G, H thẳng hàng và AH không đổi A chuyển động trên (O) HÕT (Hä tªn: ………………………………… SBD) Lop8.net C©u C©u Hướng dẫn chấm a) §iÒu kiÖn : y  N = x2-x y -2x y +2y = (x- y )(x-2 y ) b) x = 1 = 52 ; y = = 9- =(  )2 52 94 Thay vµo ta cã : N =(  - (  2)2 ).(  -2 (  2)2 ) = 4.(6- ) a) A= 1 1     1 2 3 2008  2009 2 3 4 2009  2008     1 3 43 2009  2008 = 2009  = C©u2 1 1 + + +… + 2008 2 2 + + +… + > B = 1 2 3 2008  2008 2 2 + + +… + 1 2 3 2008  2009 = 2( 2009  ) > 2(44-1) =86 a) T×m c¸c sè :x,y,z tho¶ m·n: x  y   z   ( x  y  z ) Ta cã: §K: x  ,y  ,z  Tõ gi¶ thiÕt  x- x  y  y   z  z   §iÓm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b) Ta cã: B =  C©u    x 1    y 1 1   z  1  x     y  tho¶ m·n ®iÒu kiÖn z   b) Tõ : x2+y2+z2=xy+yz+xz  2(x2+y2+z2) -2(xy+yz+xz) =  (x-y)2+(y-z)2+(x-z)2=  x= y = z Thay vào phương trình còn lại hệ ta được: 3x2009= 32010  x2009=32009  x C©u  x=3 =3 VËy hÖ cã nghiÖm:  y=3 z=3  a)Gọi M(x0;y0) là điểm thuộc đồ thị hàm số  x0, y0 phải thoả mãn phương trình : y = (1-m)x +2m+1 Hay ta có: y0 = (1-m)x0+2m+1  m(2-x0) +x0- y0+1 = (*) Điểm M (x0;y0) cố định không phụ thuộc vào tham số m thì phương trình (*) có nghiệm x0.y0 không phụ thuộc vào m  Lop8.net 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 2  x0     x0  y0    x0    y0  0,5 Vậy với giá trị m đồ thị hàm số đã cho luôn qua điểm M(2;3) b)Gäi R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn (O) ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Ta cã: AH c¾t ®­êng trßn ngo¹i tiÕp  ABC t¹i D   ACD vu«ng t¹i C  CH2= HA.HD CH 62 =  (cm) HA  AD =13cm  R= 6,5(cm) 0,5 A  HD = B H C 0,5 O D C©u5 -XÐt ΔABC cã träng t©m G thuéc trung tuyÕn AI (h×nh vÏ) KÎ ®­êng kÝnh AM ta cã : MC  AC, BH  AC  MC//BH -Tương tự : BM//CH Tứ giác BMCH là hình bình hành  I là trung ®iÓm cña HM Trong  AHM cã AI lµ ®­êng trung tuyÕn vµ G lµ träng t©m  AHM mµ HO còng lµ trung tuyÕn  AHM nªn G  HO Do đó : G,H ,O thẳng hàng -Ta cã: OI lµ ®­êng trung b×nh cña  AHM  OI = 0,5 0,5 A AH 0,5  AH=2.OI -Vì: B,C cố định  I cố định Mà O cố định nên OI không đổi  AH không đổi Vậy AH không đổi A thay đổi trên (O) Lop8.net G H B l 0,5 O C I M Trường THCS Năng Yên §Ò thi HSG- HS NK M«n : To¸n N¨m häc 2009-2010 ( Thêi gian lµm bµi 150 phót ) GV đề: Dương Thế Anh Bµi 1:(2diÓm) a) Cho A= 413 +325-88 Chøng minh r»ng A chia hÕt cho b) Cho : B = 20+21+22+23+………22009 C= 22010 Chứng minh B và C là hai số nguyên dương liên tiếp? Bµi 2:(2®iÓm) y   x y  z 1 x  z  x  y     b)T×m c¸c sè x,y,z biÕt: ( víi : x,y,z  0,x+y+z  ) x y z x yz a) T×m c¸c sè nguyªn x,y biÕt: Bµi 3(2®iÓm) Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 24km /h.Sau đó ca nô ngược dòng từ bến B bến A với vận tốc 20km/h Tính thời gian ca nô xuôi dòng , ca nô ngược dòng biết tổng thời gian xuôi dòng và ngược dòng là 5giờ 30 phút? Bài 4(2điểm) : Cho tam giác ABC.Trên hai cạnh AB,AC lấy hai điểm M,N choAM = CN.Gäi O lµ giao ®iÓm cña CM vµ BN Chøng minh r»ng : a) CM = BN b) Số đo góc BOC không đổi M và N di động trên hai cạnh AB,AC thoả m·n ®iÒu kiÖn AM = CN Bµi 5:(2®iÓm): A Cho tam gi¸c ABC cã AB <AC Tia ph©n gi¸c cña BAC c¾t BC t¹i D Chøng minh r»ng: CD>BD HÕT (Hä tªn: ………………………………… SBD Lop8.net C©u C©u Hướng dẫn chấm a) A= 413 +325-88 = 226+225-224 = 224(22+2- 1) = 224.5   A  b)HiÓn nhiªn: B > 0,C >0 vµ B,C  Z Ta cã: 2B = 2+ 22+ 23+……+22010  B = 2B – B = (2 + 22+23 + …….22009+22010) – (1+2+22+….+22009) = 22010-1 Mà : C = 22010  C và B là hai số nguyên dương liên tiếp y y 1 y        x(1-2y) = 40 (*) x x 8 -V× x,y  Z  1-2y  Z mµ 1-2y lµ sè nguyªn lÎ nªn tõ (*) cã 1-2y lµ a)-Tõ gi¶ thiÕt : C©u2 ­íc sè lÎ cña 40 1-2y =1  y=  x=40 1-2y = -1  y=1  x=-40 1-2y =  y=-2  x=8 1-2y=-5  y=3  x=-8 b)-Tõ GT ¸p dông tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã: ( y  z  1)  ( x  z  2)  ( x  y  3) 2( x  y  z )   (v× :x+y+z  ;vµ x yz ( x  y  z) x,y,z  )   x  y  z  0,5  x yz 0,5  x  0,5  y  0,5  z    2 -Thay vào đề bài ta có: x y z 5  x= ; y  ; z  6 -Gọi: thời gian từ bến A đến B là : t1(h) Thêi gian ®i tõ bÕn B vÒ bÕn A lµ : t2(h) C©u 11 -V× tæng thêi gian c¶ ®i lÉn vÒ lµ : 5h 30’ = (h) nªn ta cã : 11 t1 + t = -Do chiều dài quãng sông không đổi nên vận tốc ca nô và thời gian ca nô là đại lương tỉ lệ nghịch Ta cã :t1.24 =t2.20  t1 t  20 24 -Theo tÝnh chÊt cña d·y tØ sè b»ng ta cã : -Suy : t1 t t t 11     20 24 24  20 2.44 t1 = 20  2,5 (h) t2 = 24  (h) Lop8.net §iÓm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 H×nh 0,25 a)Ta cã :XÐt ΔACM vµ ΔCBN C©u A AM=CN(gt) A A )  ΔACM=ΔCBN (c.g.c) -Cã: A=C(=60 AC=CB(gt)   CM = BN A =B A b) V× : ΔACM=ΔCBN ( theo phÇn a)  C 0,5 M N O B 0,25 C 0,5 A +C A =C A +C A =600 -Ta cã : B 2 A A C A )  1800  600  1200 (không đổi)  Trong ΔBOC cã BOC  1800  ( B 0,5 H×nh C©u5 -Ta cã :lÊy ®iÓm E trªn c¹nh AC cho AE =AB  XÐt  ABD =  AED( c.g.c) A A  BD = DE vµ ADB=ADE A A -Ta cã : DEC>ADE (t/c gãc ngoµi tam gi¸c) A A  DEC>ADB A A Mµ : ADB>ECD (t/c gãc ngoµi tam gi¸c) A A  DEC>ECD 0,25 0,25 A 0,5 E B C  CD >DE (Quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác)  CD > BD Lop8.net 0,5 D 0,5 Trường THCS Năng Yên §Ò thi HSG- HS NK M«n : To¸n N¨m häc 2009-2010 ( Thêi gian lµm bµi 150 phót ) GV đề: Dương Thế Anh C©u (1,5®iÓm): Cho biÓu thøc: B  x3 x   x 4 2 x x2 a)Tìm điều kiện x để B xác định và rút gọn B b)Tìm x để B =1 và B =2009 c) Tìm các giá trị nguyên x để: 2B nhËn gi¸ trÞ nguyªn? x -1 Câu 2(2điểm): Giải phương trình : a) x2  x x2 x  3x   x 3 x 3  x2 ; b) (x2-1)2 = 4x+1 C©u (2®iÓm): Cho a+b+c = 2009 vµ 1 1 + + = Chøng minh r»ng tån t¹i mét sè a,b,c a b c 2009 b»ng 2009 C©u 4(2,5®iÓm): Cho tam giác ABC có góc B gấp hai lần góc C Trên tia đối tia BA lấy điểm K cho BK = BC KÎ AH vu«ng gãc víi BC, AP vu«ng gãc CK( H  ®­êng th¼ng BC, P  ®­êng th¼ng CK) Gäi I lµ giao cña AP vµ BC.chøng minh r»ng: a) Tam gi¸c AIB c©n b) AC2= AB.(AB +BC) C©u (2®iÓm): a) Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy- 2x-3y +1 = b) Cho hình vuông và lục giác có chu vi nhau.Tính diện tích lục giác biết diện tích hình vuông là 12cm2 HÕT (Hä tªn: ………………………………… SBD Lop8.net C©u Hướng dẫn chấm §iÓm a)§K; x  2 C©u C©u2 0,5 x3 x x  x  x  ( x  4)( x  1)    x 1 Ta cã : B   = x 4 2 x x2 x2  x2  x  b) B =1  x  =1    x  (Lo¹i x=2 v× §K) x  2( x  1) 2B  c)Ta cã: = x -1 ( x  1).( x  1) x  B cã gi¸ trÞ nguyªn (khi x nguyªn)  x+1 lµ ­íc cña  x   (1, 2)  x= hoÆc x=-3 (tho¶ m·n) a)§K: x  3 x2  x x2 x  3x    (x2-x)(x-3) –x2(x+3) = 3x-7x2 x 3 x 3  x2  x3-3x2-x2+3x-x3-3x2-3x+7x2=  0x = Suy ra: Nghiệm phương trình là : x  R ,x  3 c) (x2-1)2= 4x+1  (x2-1)2- 4x- 1=  x2(x2-2)-4x =  x( x3-2x-4) =0  x(x-2)(x2+2x+2) = x  x   ( v× x2+2x+2 = (x+1)2+1 > víi mäi x)  x   x    x  x   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy phương trình có hai nghiệm : x= ,x=2 1 1 a b c abc bc  ac  ab    ( ab  bc  ac)(a  b  c)  abc  abc abc (a+b)(b+c)(c+a) =  a=-b hoÆc b=-c hoÆc c=-a - NÕu : a=-b ta cã : Tõ a+b+c =2009  c= 2009 - Tương tự : b=- c  a=2009 c=- a  b = 2009 -Tõ gi¶ thiÕt ta cã :    C©u 0,5 1,0 0,5 -VÏ h×nh ,ghi GT-KL C©u 0,25 a)Tacã : BK = BC (gt)   BKC c©n A A t¹i B  BKC=BCK A A  900 (1) -Trong ΔAPK cã : BKC  BAI A A -Trong  PIC cã : PCI+PIC=90  A B C P K Lop8.net I H A A  900 (2) BKC  BIA A A Tõ (1) vµ (2) suy ra: BAI=BIA   AIB c©n t¹i B 0,25 0,5 b)Ta cã : A A A A ABC=BKC+BCK=2BKC A A Theo GT : ABC=2ACB 0,5 A A A A hay AKC=ACB  BKC=ACB XÐt  ABC vµ  ACK cã: A (gãc chung) BAC A A ACB=AKC (chøng minh trªn) 0,5   ABC ~  ACK  0,5 AB AC =  AC2 =AB.AK=AB.(AB+BK)=AB.(AB+BC) AC AK a) xy-2x-3y+1 =  x(y-2) -3(y-2) =  (x-3)(y-2) =5(*) Vì x,y  Z  x-3,y-2  Z ,do đó từ (*) ta có: 0,25 x   x   hoÆc  ;  y  1 y   0,25  x   5 ;   y   1  x   1   y   5 Suy nghiệm nguyên phương trình là: C©u5 x  ;  y  x  ;  y  0,5  x  2  x  ;   y 1  y  3 b) DiÖn tÝch h×nh vu«ng ABCD lµ 12cm2  c¹nh h×nh vu«ng : a= AB = Chu vi h×nh vu«ng lµ: (cm) A  Chu vi EFGHIK lµ : (cm)  Cạnh lục giác đều:  a’ = IH = (cm) a' 3 2 = h = 2 B 0,5 C D E F O Suy diện tích lục giác là: =8 (cm2) S = 6.SOIH = Lop8.net G K 0,5 h I H Bµi 4(1,5®iÓm) Cho tam giác AMB cân M Trên tia đối tia MB lấy điểm C cho: MB=MC A Chøng minh r»ng : CAB = 900 A  AMC A A (gãc ngoµi  AMB)  AMB c©n  ¢1= B  2A  ¢1= 1A AMC B 1A Tương tự có: Â2= AMB A A = 1800  900  ¢1+¢2= (AMC+AMB) 2 A Hay: CAB =90 M A Lop8.net C