Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách đều A và C nên chúng phải nằm 0,5đ trên đường trung trực của AC, nghĩa là chúng thẳng hàng.. Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điể[r]
(1)PHÒNG GD& ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU ĐỀ KSCL HỌC SINH GIỎI LỚP LẦN NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1:(1.5 điểm)Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x b) x4 + 2020x2 + 2019x + 2020 Câu : (1.5 điểm) Cho a – b = và a.b = Tính : a ) A = a3 – b3 b) B = 3(a4 + b4) + 2(a5 – b5) Câu 3: (2 điểm)Tìm số tự nhiên n để: a) A=n3-n2+n-1 là số nguyên tố b) B= n5-n+2 là số chính phương ( n N ; n 2 ) Câu 4: (1 điểm) a) Cho a , b , c là cạnh tam giác Chứng minh : a b c 3 b c a a c b a b c b)Cho a > b > so sánh số x , y với : 1 a 1 b 2 x = 1 a a ; y = 1 b b Câu 5: (1,5 điểm) a)Tính tổng: S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 Câu : (2,5 điểm) Cho hình vuông ABCD Qua A vẽ hai đường thẳng vuông góc với cắt BC P và R, cắt CD Q và S a) Chứng minh Δ AQR và Δ APS là các tam giác cân b) QR cắt PS H; M, N là trung điểm QR và PS Chứng minh tứ giác AMHN là hình chữ nhật c) Chứng minh P là trực tâm Δ SQR d) Chứng minh MN là đường trung trực AC e) Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng (2) PHÒNG GD- ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU Câu Nội dung a )x + = (x + 4x + 4) - 4x = ( x2+2)2- (2x)2 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) Câu (1,5đ) HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2020 - 2021 Điểm 0,5 x x 2020x 2020x 2020 b) x + 2020x + 2019x + 2020 = x x 1 x x 1 2020 x x 1 x x 1 x x 2020 = = 0.5 a) A = (a – b)(a2 + ab + b2) = 5[(a – b)2 + 3ab] = 5(25 + 3.2) = 155 0,5 4 2 2 2 0,5 b) Câu (1.5đ) Câu (2đ) Câu (1đ) a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = [(a – b)2 + 2ab]2 – 2a2b2 = (25 + 2.2)2 – 2.22 = 833 5 2 3 a – b = (a + b )(a – b ) + a2b3 – a3b2 = [(a – b)2 + 2ab] (a – b)(a2 + ab + b2) + a2b2(b – a) = [(a – b)2 + 2ab] (a – b) [(a – b)2 + 3ab] + a2b2(b – a) = (25 + 4) (25 + 6) – 4.5 =4475 Vậy B = 833 + 4475 = 11449 a) p = n3 - n2 + n - 1= (n2 + 1)(n - 1) +)Nếu n = 0; không thỏa mãn đề bài +)Nếu n = thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = +)Nếu n > không thỏa mãn đề bài vì đó p có từ ước trở lên là 1; n – 1> và n2 + > n – 1> - Vậy n = thìp = n3 - n2 + n - là số nguyên tố b) B=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n 4 5 +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2 mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2) 5 (tích 5số tự nhiên liên tiếp) và n(n-1)(n+1) 5 Vậy B chia dư Do đó số B có tận cùng là 7nên B không phải số chính phương Vậy không có giá trị nào n để B là số chính phương a) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 yz xz x y ;b ;c 2 ; Từ đó suy a= 2 0.25 0,5 0,25 0.25 0.5 0.25 0.5 0.25 0.25 0,25 (3) yz xz x y 1 y x x z y z ( ) ( ) ( ) 2y 2z 2 x y z x z y =>A= x (2 2) Từ đó suy A hay A 3 0.25 b)Ta có x,y > và 1 a a2 a2 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 y x 1 a 1 a 2 a a a b2 b 1 1 Vì a> b > nên a b và a b Vậy x < y Câu (1,5 đ) 0,5 a)S = 31 – 21 + 32 – 22 + 33 – 23 + … + 32019 – 22019 = (31 + 32 + 33 + … + 32019) – (21 + 22 + 23 + …+ 22019) Đặt A = 31 + 32 + 33 + … + 32019, B = 21 + 22 + 23 + …+ 22019 A=3 +3 +3 +…+3 2018 +3 0.25 2019 3A = 32 + 33 + 34 + … + 32019 + 32020 3A – A = 32020 - 31 ⇒ 0,25 −3 A= ⇒ 2020 B = 21 + 22 + 23 + …+ 22018 + 22019 2B = 22 + 23 + 24 + … + 22019 + 22020 ⇒ 2B – B = 22020 - 21 ⇒ B = 22020 – Vậy S = 2020 −3 −( 0,25 2020 −2 )= 2020 −2 2021 +1 b )A = 13x2 + y2 + 4xy - 2y - 16x + 2015 = y2 + 4xy - 2y + 13x2 - 16x + 2015 = y2 + 2y(2x - 1) + (2x -1)2 + 9x2 - 12 x + 2015 = (y + 2x - 1)2 + (3x - 2)2 + 2010 Chứng tỏ A 2010, dấu " =" xảy và (x = ; y = ) Vậy A = 2010 (x = ; y = ) 0,25 0,25 0,25 (4) Hình vẽ Vẽ đúng hình, cân đối đẹp a) Δ ADQ = Δ ABR vì chúng là hai tam giác vuông (2 góc có cạnh t.ư vuông góc) và DA = BD (cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên Δ AQR là tam giác vuông cân Chứng minh tương tự ta có: Δ ABP = Δ ADS đó AP =AS và Δ APS là tam giác cân A 0,5 b) AM và AN là đường trung tuyến tam giác vuông cân AQR và APS nên AN ¿ SP và AM ¿ RQ PAM Mặt khác : PAN = 450 nên góc MAN vuông Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên nó là hình chữ nhật 0,5 ¿ ¿ c) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA và RC là hai đường cao Δ SQR Vậy P là trực tâm Δ SQR 0,5 d) Xét tam giác vuông cân AQR có MA là trung tuyến nên AM = QR 0,25đ MA = MC, nghĩa là M cách A và C Chứng minh tương tự cho tam giác vuông cân ASP và tam giác vuông SCP, ta có NA = NC, nghĩa là N cách A và C Hay MN là trung 0,25đ trực AC e) Vì ABCD là hình vuông nên B và D cách A và C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cùng cách A và C nên chúng phải nằm 0,5đ trên đường trung trực AC, nghĩa là chúng thẳng hàng Chú ý: - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tối đa - Học sinh không vẽ hình vẽ sai thì không chấm bài hình ⇒ (5)