Đang tải... (xem toàn văn)
Giúp học sinh hiểu rằng sáng tạo không phải là bắt chước, mà cần làm sáng tỏ tính tự nhiên, cho phép đem lại giải pháp tối đa về một vấn đề nào đó .Một bài toán có thể có nhiều cách giải[r]
(1)S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n tÝnh tæng I - đặt vấn đề Thùc tiÔn gi¶ng d¹y nh÷ng n¨m qua cho ta thÊy r»ng: nÕu chØ víi bài giảng người giáo viên thì thời lượng chương trình không thể và không nên đáp ứng hết tìm tòi học sinh Hãy giành “ khoảng trống ” để phát huy khả sáng tạo và khả tư tình trên ví dụ cụ thể từ đó khơi dâỵ tiềm sẵn có cña c¸c em NiÒm say mª qu¸ tr×nh häc tËp lµ tÝnh s¸ng t¹o TÝnh s¸ng t¹o coi vấn đề khó và khả thực nào? Giúp học sinh hiểu sáng tạo không phải là bắt chước, mà cần làm sáng tỏ tính tự nhiên, cho phép đem lại giải pháp tối đa vấn đề nào đó Một bài toán có thể có nhiều cách giải, với phương pháp giảng dạy đúng đắn người giáo viên định hướng cho học sinh nắm bắt cốt lõi vấn đề để từ đó đưa kết đúng với cách giải riêng các em Để làm người trợ giúp đắc lực cho quá trình đó người giáo viên có thể đưa nh÷ng gîi ý,nh÷ng d¹ng to¸n … v…v… Trong tự mình giải và tìm phương pháp tối ưu cho dạng toán,giáo viên tìm thấy đó nhiều điều thú vị bồi dưỡng thêm kiến thøc vµ kinh nghiÖm s ph¹m cña m×nh Vì vậy, với số bài toán nhỏ mà tôi nêu đây có cùng d¹ng ®îc ph¸t triÓn tõ mét bµi to¸n cô thÓ cã thÓ coi nh nh÷ng vÝ dô tiªu biÓu minh chøng cho luËn ®iÓm cña m×nh Lop7.net (2) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm II - Néi dung Bµi to¸n 1:Cho A =1.2+2.3+3.4+…+97.98+98.99+99.100 TÝnh gi¸ trÞ cña A Lời giải 1:Theo đề bài ta có: A.3=(1.2+2.3+3.4+…+97.98+98.99+99.100).3 =1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+ …+98.99(100-97)+99.100(101-97) =1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-3.4.5+4.5.6-4.5.6-…-97.98.99+98.99.10098.99.100-99.100.101=99.100.101 99.100.101 = 333300 VËy A = Bây ta tạm thời quên đáp số 333300 mà chú ý tới tích cuối cùng 99.100.101 đó 99.100 là số hạng cuối cïng cña A vµ 101lµ sè tù nhiªn kÒ sau cña 100 , t¹o thµnh tÝch ba sè tù nhiªn liªn tiÕp Ta dÔ dµng nghÜ tíi kÕt qu¶ sau: 1.2+2.3+3.4+4.5+5.6 +…+n(n+1)= n.(n 1).(n 2) C¸c b¹n cã thÓ tù kiÓm nghiÖm kÕt qu¶ nµy b»ng c¸ch gi¶i tu¬ng tù nh trªn B©y giê ta t×m lêi gi¶i kh¸c cho bµi to¸n Lêi gi¶i 2: A.3=(1.2+2.3+3.4+…+97.98+98.99+99.100).3 =(0.1+1.2+2.3+3.4+…+97.98+98.99+99.100).3 =[1.(0+2)+3(2+4)+5(4+6)+…+97(96+98)+99(98+100)].3 =(1.1.2+3.3.2+5.5.2+…+97.97.2+99.99.2).3 =(12+32+52+…+972 +992).2.3=(12+32+52+…+972+992).6 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp bắt đàu từ 1,nhưng liên hệ với lời giải 1, ta có: (12+32+52+…+972+992).6=99.100.101, hay (12+32+52+…+972+992)= 99.100.101 =166650 Lop7.net (3) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Hoµn toµn hîp lÝ ta nghÜ tíi bµi to¸n tæng qu¸t: Bµi to¸n 2: TÝnh tæng: P=12+32+52+72+92+…+(2n+1)2 (KÕt qu¶ :P= (2n 1).(2n6 2).(2n 3) ) KÕt qu¶ nµy cã thÓ chøng minh theo mét ch¸ch kh¸c , ta sÏ xem xÐt sau Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n cã liªn quan tíi bµi to¸n vµ bµi to¸n chóng ta có thể ứng dụng kết đó để giải và suy nghĩ tìm hướng giải nhanh nhÊt Bµi to¸n TÝnh tæng: Q= 92+112+132+152+…+(2n+1)2 Bµi to¸n 4: Cho A = 1.2+2.3+3.4+…+97.98+98.99+99.100vµ C = A + 100.101 TÝnh gi¸ trÞ C Theo c¸ch tÝnh A cña bµi to¸n 1, ta ®îc kÕt qu¶ :C = 100.101.102 Theo lời giải bài toán 1, ta đến kết : C=2(22+42+62+…+982+1002) Tình cờ Ta lại có kết bài toán tổng quát : Tính tổng bình phương cña c¸c sè ch½n liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ Bµi to¸n : Chøng minh r»ng ; 22+42+62+…+(2n)2 = 2n(2n 1).(2n 2) Từ đây ta tiếp tục đề xuất và giải các bài toán khác Bµi to¸n TÝnh tæng : 202+ 222+…+482+502 Bµi to¸n : Cho n N* TÝnh tæng : n2+(n+2)2+(n+4)+…(n+100)2 bài toán này ta xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ; áp dụng kết bài to¸n , bµi to¸n vµ c¸ch gi¶i bµi to¸n Bµi to¸n chØ cã mét kÕt qu¶ nhÊt, kh«ng phô thuéc vµo tÝnh ch½n lÎ cña n Lop7.net (4) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Bµi to¸n : Chøng minh r»ng : 12+22+32+…+n2= n.(n 1).(2n 1) Lêi gi¶i Xét trường hợp bài toán n chẵn ; 2 +2 +3 +…+n2=(12+32+52+(n-1)2+(22+42+62+…+n2) = (n 1).n(n 1) n(n 1).(n 2) n.(n 1).(n n 2) n.(n 1).(2n 1) = = 6 Tương tự với trường hợp n lẻ ta có điều phải chứng minh Lêi gi¶i : Ta cã : 13=13 23=(1+1)3=13+3.12.1+3.1.12+13 23=(2+1)3=23+3.22.1+3.2.12+13 …… (n+1)3=n3+3n2.1+3.n.12+13 Cộng vế các đẳng thức trên : 13+23+33+…+n3+(n+1)3=(13+23+33+…+n3)+3(13+23+33+…+n3)+3(1+2+ 3+….+n)+(1+n) ( n+1)3= (12+22+32+…+n2)+3(1+2+3+…+n) =(n+1)3-3(1+2+3+…+n)-(n+1)= (n+1)2.(n+1)-3 n.(n 1) -(n+1) = (n 1).(2.(n 1).(n 1) 3n 2) (n 1).n.(2n 1) = 2 12+22+32+…+n2= n.(n 1).(2n 1) Lêi gi¶i 3: 12+22+32+…+n2 = 1.(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)+…+n.(n+11)=((1.2+2.3+3.4+4.5+…+n.(n+1))-(1+2+3+4+…+n) n.(n 1).(n 2) n.(n 1) n.(n 1).(2n 1) = Bµi to¸n : TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : A = -12+22-32+42-…-192+202 Lêi gi¶i : Lop7.net = (5) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm §¬ng nhiªn , ta cã thÓ t¸ch A = ( 22+ 42+…+202)-(12+32+…+192); TÝnh tổng các số ngoặc đơn tìm kết bải toán Song ta còn c¸ch gi¶i nh sau : 2 A=(2 -1 )+(4 -32)+…+(202-192 )= (2+1).(2-1)+(43).(4+3)+…+(20+19).(20-19)=3+7+11+15+19+23+27+31+35+39= (3 39).10 =210 Trë l¹i bµi to¸n A v× lµ sè tù nhiªn liÒn sau cña nhãm ®Çu tiên : 1.2.Nếu đúng thì ta có thể giải bài toán sau Bµi to¸n 10: TÝnh A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10+9.10.11) Lê gi¶i: A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10+9.10.11 =(1.2.3+2.3.4+3.4.5+4.5.6+5.6.7+6.7.8+7.8.9+8.9.10+9.10.11) 4 =[1.2.3.(4-0)+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+4.5.6.(7-3)+5.6.7.(8-4)+6.7.8.(95)+7.8.9.(10-6)+8.9.10(11-7)+9.10.11.(12-8)]:4 =(1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+…+7.8.9.10-7.8.9.10+8.9.10.118.9.10.11+9.10.11.12):4 = 9.10.11.12 =3170 Tiếp tục hướng suy nghĩ trên, ta có kết tổng quát bài toán 10 Bµi to¸n 11: TÝnh A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+(n-1).n.(n+1) §¸p sè: A= (n 1).n(n 1).(n 2) Các bạn tháy đấy, với bài toán ta đã tìm nhiều cách giải, đề xuất bài toán thú vị, thiết lập môí liên hệ các bài to¸n III - KÕt luËn Trªn ®©y lµ mét vÝ dô t«i nhá ®a tham kh¶o ch¾c cßn nhiÒu c¸ch ph¸t triển hay mong các đồng nghiệp tham khảo đóng góp ý kiến hoàn thiÖn h¬n ngµy 18 th¸ng n¨m 2005 Lop7.net (6) S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Lop7.net (7)