Đang tải... (xem toàn văn)
Khi gặp bài toán này, nhiều em rất lúng túng, bối rối và không định hướng được cho mình phải giải bài toán trên bắt đầu từ hướng suy nghĩ như thế nào, dẫn đến các em không giải được bài [r]
(1)Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số PhÇn I: Lêi nãi ®Çu Trong tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tôi đã bài toán sau: Cho phương trình : x2 – (m – 1)x + 2m – = Tìm m để nghiệm phương trình trên là các kích thước hình chữ nhật (trích câu c bài đề thi KSCL lớp năm học 2004 – 2005 huyện Yên Thµnh) Khi gặp bài toán này, nhiều em lúng túng, bối rối và không định hướng cho mình phải giải bài toán trên hướng suy nghĩ nào, dẫn đến các em không giải bài toán trên, có phải học sinh gặp bài toán đại số này đã nghĩ đến kiến thức, công cụ môn đại số hay không? Nhưng ta hãy thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thước hình chữ nhật là số dương nên câu hỏi bài toán có thể hiểu là: Tìm m để phương trình trên có nghiệm dương Với câu hỏi này thì chắn bài toán trên trở thành quen thuộc học sinh Như cần lưu tâm đến kiến thức nhỏ hình học bài toán này thì mäi viÖc sÏ nhÑ nhµng h¬n Kh«ng nh÷ng bµi to¸n trªn mµ thùc tÕ nhiÒu bµi to¸n kh¸c, học sinh gặp bỡ ngỡ Nhưng các em nhớ đến vận dụng kiến thức nhỏ hình học thì bài toán trở nên dễ dàng Vì lý đó cho nên qua thời gian công tác giảng dạy ,tôi đã đúc rút kinh nghiệm “Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số” Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net (2) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số PhÇn II: Néi dung I.Nhận thức cũ và thực trạng dạy học môn đại số nhà trường: - NhËn thøc cò: Đa số học sinh giải bài tập đại số thông thường hay dùng các kiến thức đại số làm công cụ.Trong đó số bài tập đại số cần lưu ý đến các kiến thức hình häc míi gi¶i ®îc - ViÖc lµm cò: Khi gặp bài toán đại số học sinh thường sử dụng các kiến thức đại số làm c«ng cô, nªn dÉn tíi nhiÒu bµi to¸n häc sinh sÏ gÆp rÊt nhiÒu khã kh¨n, thËm chÝ kh«ng gi¶i ®îc - Gi¶i ph¸p míi: §Ó gi¶i quyÕt dÔ dµng h¬n gÆp nh÷ng d¹ng bµi to¸n nµy th× häc sinh cÇn biÕt khai th¸c, vËn dông c¸c kiÕn cña h×nh häc , vµ sau ®©y xin giíi thiÖu mét sè vÝ dô II C¸c gi¶i ph¸p: Sö dông ®iÒu kiÖn mét ®iÓm n»m gi÷a ®iÓm cßn l¹i - Ta biÕt r»ng ®iÓm M n»m gi÷a hai ®iÓm A vµ B vµ chØ MA + MB = AB (tøc lµ A, B, M th¼ng hµng) - §iÓm M kh«ng n»m gi÷a A vµ B vµ chØ MA+ MB AB (tøc lµ A, B, M kh«ng th¼ng hµng) VÝ dô1: Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5) Chứng minh ba điểm A, B, C th¼ng hµng Lêi gi¶i: Ta cã AB = (1 2) (3 3) = 45 = AC = (3 2) (5 3) = BC = (3 1) (5 3) = 80 = Ta cã : AB + AC = + =4 =BC VËy A, B, C th¼ng hµng Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net (3) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số NhËn xÐt: NhiÒu em häc sinh gÆp vÝ dô nµy sÏ rÊt bì ngì, lóng tóng kh«ng biÕt chøng minh theo c¸ch nµo Nhng ë h×nh häc häc ta biÕt ®iÓm A, B, C th¼ng hàng xảy ba trường hợp: AC = AB + BC AB = AC + BC BC = AB+ AC Từ kiến thức hình học này dẫn ta suy nghĩ theo hướng là tính độ lớn c¸c ®o¹n th¼ng trªn vµ so s¸nh tæng ®o¹n th¼ng víi ®o¹n cßn l¹i Nh vËy ta cã lêi gi¶i bµi trªn thËt lµ ng¾n gän Tõ vÝ dô trªn ta cã thÓ chøng minh ®iÓm kh«ng th¼ng hµng nh vÝ dô sau: VÝ dô 2: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm M(2;5) , N(1;2) , P(0;1) Chứng minh ba điểm trên kh«ng th¼ng hµng Lêi gi¶i: MN = (2 1) (5 2) = 10 NP = (1 0) (2 1) = MP = (2 0) (5 1) = 20 Từ đó ta có MN + NP MP , NP + MP MN , MN + MP NP không có điểm nµo n»m gi÷a hai ®iÓm cßn l¹i nªn M, N, P kh«ng th¼ng hµng Và ta cần thay đổi chút là có bài toán ví dụ sau: VÝ dô 3: Trªn mÆt ph¼ng cho ®iÓm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2) Chøng minh M lµ trung ®iÓm cña AB Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net (4) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số Lêi gi¶i Ta cã: MA = (1 4) (4 2) = 45 = MB = (7 4) (8 2) = 45 = AB = (1 7) (4 8) = 180 = Ta cã: + = hay MA + MB = AB VËy ®iÓm M n»m gi÷a A vµ B Ta l¹i cã: MA = MB = nªn M lµ trung ®iÓm cña AB Như cần tính độ dài các đoạn thẳng và sử dụng điều kiện điểm nằm hai điểm còn lại ta đã giải nhiều bài toán Sử dụng bất đẳng thức cạnh tam giác - Cho tam gi¸c ABC ta cã: AB < AC + BC - Nếu cho điểm A, B, C trên mặt phẳng toạ độ thì ta luôn có AB AC + BC Bây ta áp dụng kiến thức hình học này để giải số bài toán Ví dụ 4: Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (§Ò thi chän hsg to¸n thµnh phè HCM n¨m häc 1999-2000) Lêi gi¶i: §Æt x=a+b-c y=b+c-a z=c+a-b V× a, b, c lµ c¹nh cña mét tam gi¸c nªn x, y, z > Ta cã: b= x y yz zx ,c= ,a= 2 Bất đẳng thức trên tương đương với: xyz ( Mµ ( x y yz zx )( )( ) 2 2 xy yz zx x y yz zx )( )( )( )( )( ) = xyz (áp dụng bất đẳng thức Côsi) 2 2 2 VËy: xyz ( x y yz zx )( )( ) hay (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (®pcm) 2 Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net (5) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số bài này để áp dụng bất đẳng thức Côsi thì phải lý luận để x, y , z > mà điều nµy cã ®îc a, b, c lµ c¹nh cña mét tam gi¸c Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + ac + bc = Với a, b, c là độ dài cạnh tam giác Chứng minh phương trình trên vô nghiÖm (§Ò thi tuyÓn sinh líp 10 chuyªn §HKHTN-§HQG Hµ Néi n¨m häc 2002-2003) Lêi gi¶i: = (a + b + c)2 – 4(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 - 2ab – 2bc – 2ca = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] Vì a, b, c là độ dài cạnh tam giác, nên: a – (b + c) < b – (a + c) < c – (a + b) < V× vËy: = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] < nên phương trình trªn v« nghiÖm Nhận xét: Bài này sử dụng bất đẳng thức cạnh tam giác chứng minh ®îc < Ví dụ 6: Với a, b, c, d là số dương , chứng minh: a b + c d (a c) (b d ) Lêi gi¶i: y chọn hệ trục tọa độ xOy Trên trục Ox chiều dương, Q lấy ON = a, MN = c trên trục Oy chiều dương lấy d OP = b, PQ = d Ta cã: P OA = a b B A b AB = c d o OB = (a c) (b d ) Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net a N c M x (6) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số Ta cã: OA + AB OB Nªn a b + c d (a c) (b d ) (§iÒu ph¶i chøng minh) NhËn xÐt: ë vÝ dô nµy th× ta biÕt víi ®iÓm A, B, C bÊt kú th× AB AC + BC nªn vận dụng kiến thức hình học này ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên Ta có thể mở rộng bất đẳng thức trên thành bất đẳng thức tổng quát nhờ cách chứng minh tương tự trên Với x1, x2…xn và y1, y2, …yn là số dương thì ta luôn có bất đẳng thức sau: ( x1 y1 ) + ( x2 y2 ) +…+ ( xn yn ) ( x1 x2 xn ) ( y1 y2 yn ) Sử dụng định lý Pitago - Cho tam giác ABC vuông A, ta có BC2 = AB2 + AC2 (định lý Pitago) - Nếu BC2 = AB2 + AC2 thì tam giác ABC vuông A( định lý đảo định lý Pitago) VËn dông kiÕn thøc nµy vµo ta cã mét sè bµi tËp sau VÝ dô 7: Cho ®êng th¼ng: y = 3x- y= 1 x+8 ( d1) (d2 ) Chøng minh ®êng th¼ng trªn vu«ng gãc víi (d2) Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: C NÕu ®êng th¼ng vu«ng gãc víi th× tam gi¸c ABC Là tam giác vuông Từ đó ta xác định tọa độ A, B, C A B (d1) sau đó tính độ dài AB, AC, BC và áp dụng định lý đảo định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC vuông Lêi gi¶i: Gäi A(x0;y0) lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng ta cã: y0 = 3x0 - y0 = 1 x0 + Gi¶i ta ®îc: x0 = vµ y0 = VËy A (3;7) Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net (7) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số Trªn (d2) lÊy C (6;6), trªn (d1) lÊy ®iÓm B (0;-2): AC = (6 3) (6 7) = 10 AB = (0 3) (2 7) = 90 BC = (0 6) (2 6) = 100 Ta có: AC2 + AB2 = BC2 = 100 hay tam giác ABC vuông A (Định lý đảo định lý Pitago), nên đường thẳng trên vuông góc với Nhê kiÕn thøc nµy mµ ta cã thÓ chøng minh ®îc r»ng nÕu ®êng th¼ng y=ax+b vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y = cx + d th× ac =-1 vµ nguîc l¹i nh vÝ dô sau: VÝ dô 8: Cho hai ®êng th¼ng: y = ax + b (a 0) y = cx +d (c 0) (d ) (d ) chøng minh r»ng: NÕu (d ) vu«ng gãc víi (d ) th× ac = -1 Lêi gi¶i: Ta cã y = ax + b song song hoÆc trïng víi y = ax (d ) y = cx + d song song hoÆc trïng víi y = cx (d ) Ta cã nÕu (d ) vu«ng gãc víi (d ) th× ta còng cã (d ) vu«ng gãc víi (d ) (d ) A o B (d ) Gäi O lµ giao ®iÓm cña (d ) vµ (d ) dÔ dµng ta t×m ®îc O (0; 0) Trªn (d ) lÊy mét ®iÓm bÊt kú kh¸c O, vÝ dô A(1; a) Trªn (d ) lÊy mét ®iÓm bÊt kú kh¸c O,vÝ dô B(1; c) Vì (d ) vuông góc với (d ) nên tam giác OAB vuông O, theo định lý Pitago ta có OA2 + OB2 = AB2 hay a2 + + c2 + = (a – c)2 Từ đó ta có ac = -1 Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net (8) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số VËy: nÕu (d ) vu«ng gãc víi (d ) th× ac = -1 (§PCM) Vận dụng các định nghĩa, dấu hiệu nhận biết hình học để giải Đó là vận dụng trực tiếp các định nghĩa các dấu hiệu để giải các bài tập đại số nh mét sè vÝ dô sau: ví dụ 9: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm A(2;1), B(5;7), C(-4;4) Chøng minh ®iÓm A, B, C t¹o thµnh mét tam gi¸c vu«ng c©n Lêi gi¶i: AB = (5 2) (7 1) = AC = (4 2) (4 1) = BC = (4 5) (4 7) = 90 Ta cã: AB = AC = nªn tam gi¸c ABC c©n t¹i A Ta lại có: AB2 + AC2 = BC2 = 90 nên tam giác ABC vuông A( định lý đảo định lý Pitago) VËy tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A Nhận xét: Để chứng minh tam giác vuông cân ta phải nhớ lại kiến thức hình học, đó là tam giác vuông có cạnh nên ta tính độ dài các cạnh để chứng minh tam giác cân và sử dụng định lý đảo, định lý Pitago để chứng minh tam giác vu«ng Ví dụ 10: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm: A (4;2) ; B (2;-1) ; C (-4;-1) ; D (-2;2) Chøng minh ABCD lµ h×nh b×nh hµnh Lêi gi¶i: Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định các điểm A, B, C, D trên Ta cã: AB = (4 2) (2 1) = 13 CD = (4 2) (1 2) = 13 Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net (9) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số AD = (2 4) (2 2) = CB = (4 2) (1 1) = Ta cã: AB = CD = 13 ; AD = CB = nªn ABCD lµ h×nh b×nh hµnh Như bài này để giải nó ta phải nhớ lại dấu hiệu nhận biết hình bình hµnh Trong c¸c dÊu hiÖu nhËn biÕt cña h×nh b×nh hµnh, th× ë bµi nµy ta sö dông tø giác có cặp cạnh đối là hiệu Vì đây ta dễ dàng tính độ dài cña c¸c ®o¹n th¼ng Ví dụ 11: Hai vật chuyển động trên đường tròn, đường kính 20cm Xuất phát cùng lúc, cùng điểm Nếu chuyển động cùng chiều thì sau 20s thì chúng gặp nhau, chuyển động ngược chiều thì sau 4s chúng gặp Tính vận tốc vËt (Bµi tËp 37 trang 24 to¸n tËp II) Lêi gi¶i: §é dµi ®êng trßn lµ C = d 3,14 x 20 62,8(cm.) Gäi x(cm/s), y(cm/s) lµ vËn tèc cña vËt (x, y > 0) Sau 20s chúng chuyển động cùng chiều gặp thì quãng đường vật nhanh lớn quãng đường vật còn lại chính là độ dài đường tròn Nên ta cã: 20x – 20y = 62,8 Sau 4s chúng chuyển động ngược chiều thì gặp cho nên tổng quảng đường vật là độ dài đường tròn, nên: 4x + 4y = 62,8 Ta cã hÖ: 20x – 20y = 62,8 x= 9,42 (tháa m·n ®iÒu kiÖn) 4x + 4y = 62,8 y = 6,28 VËy vËn tèc cña vËt thø nhÊt lµ 9,42 cm/s Vận tốc vật thứ là 6,28 cm/s (Tính gần đúng) Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net (10) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số Như để giải bài này ta phải sử dụng kiến thức hình học đó độ dài ®êng trßn Ví dụ 12: Cho phương trình: x2- 2(m-1)x+2m-7 = Tìm m để nghiệm phương trình là kích thước hình chữ nhật (Trích ý c bài đề thi KSCL lớp huyện Yên Thành năm học 2004 – 2005) Lêi gi¶i = (m-1)2- (2m-7) = (m-2)2 + > m Nên phương trình luôn có nghiệm phân biệt Để nghiệm phương trình trên là các kích thước hình chữ nhật thì phương trình trên phải có nghiệm dương hay x1+x2= 2(m-1) >0 m >1 x1x2 = 2m – >0 m >3,5 với m > 3,5 thì nghiệm phương trình trên là các kích thước hình ch÷ nhËt Nhận xét: Tôi đã ôn tập cho học sinh câu này học sinh ngỡ ngàng, lúng túng không hiểu hai kích thước hình chữ nhật là nào nên không biết bài lµm tõ ®©u Nhng ta chØ cÇn lu ý chiÒu dµi vµ chiÒu réng cña h×nh ch÷ nhËt lµ nh÷ng số dương thì bài toán đơn giản Như ta cần tìm điều kiện để phương trình trên có hai nghiệm dương là Từ ví dụ trên thay đổi chút ta có bài toán hóc búa hơn, ví dụ 13 đây: Bµi tËp tæng hîp Đó là vận dụng nhiều kiến thức hình học lúc các định nghĩa, các dấu hiệu, diện tích, định lý Pitago số bài tập sau: Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net 10 (11) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số Ví dụ 13: Cho phương trình : x2- 2(m-1)x +2m-7 =0 Tìm m để hai nghiệm phương trình là các kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 34 Lêi gi¶i: Tương tự lời giải trên, để hai nghiệm là các kích thước hình chữ nhËt th× m > 3,5 Để hai nghiệm này là các kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 34 th× x12 + x22 = 34 ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 34 [2(m-1)]2 - 2(2m-7) = 34 m2 – 3m – = giải phương trình ta có: m1 = -1 m2 = đối chiếu với điều kiện m >3,5 ta có m = thỏa mãn điều kiện Vậy với m = thì hai nghiệm phương trình là các kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 34 ví dụ này ngoài sử dụng kiến thức ví dụ trên còn sử dụng đến kiến thức đó là định lý Pitago VÝ dô 14: Cho a > c, b > c, c > Chøng minh r»ng: c(a c) + c(b c) C ab (§Ò thi HSG líp TP HCM n¨m häc 2002 – 2003) Lêi gi¶i: a b c A H ac B bc Ta cã: a – c > 0; b – c > §Æt AC = a ; BC = b ; CH = c th× AH = a c vµ BH = b c Ta cã: 2(S ACH + S BCH ) = 2S ABC mµ 2S ABC ab Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net 11 (12) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số Do đó: c a c + c b c Nªn: c(a c) + c(b c) ab ab (®iÒu ph¶i chøng minh) Như bài toán này ta đã sử dụng định lý Pitago để khẳng định tồn cách dựng hình trên Ngoài bài này ta còn sử dụng đến công thức tính diện tích tam gi¸c Ví dụ 15: Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (m-2)x +(m-1)y = (d) (trong đó m là tham số) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lµ lín nhÊt Lêi gi¶i y A H B Gäi A lµ giao ®iÓm cña (d) víi trôc tung Ta cho x = th× y= Gäi B lµ giao ®iÓm cña (d) víi trôc hoµnh Ta cho y = th× x = O x 1 nªn OA = m 1 m 1 1 nªn OB = m2 m2 Khoảng cách từ gốc đến (d) là OH Ta có tam giác OAB là tam giác vuông với ®êng cao OH nªn ta cã: 1 1 = + hay = (m-1) + (m-2) = 2(m- ) + 2 2 OH OA OB OH 2 Nªn ta cã OH VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cu¶ OH lµ: OH = x¶y m= Nh vËy ë bµi nµy ta ph¶i sö dông kiÕn thøc h×nh häc lµ sö dông hÖ thøc tam gi¸c vu«ng III.Kết đạt được: Qua qu¸ tr×nh c«ng t¸c gi¶ng d¹y cã ¸p dông “ Khai th¸c nh÷ng kiÕn thøc h×nh học để giải số bài tập đại số” tôi đã thực trên đối tượng lớp 9C , còn lớp 9D th× kh«ng ¸p dông Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net 12 (13) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số Qua cùng số bài tập dạng áp dụng kiến thức hình học vào giải các bài tập đại số kết đạt trên lớp sau: Líp Tæng sè HS Sè HS gi¶i ®îc Tû lÖ Sè HS kh«ng gi¶i ®îc Tû lÖ 9C 40 30 75% 10 25% 9D 40 15 37,5% 25 62,5% PhÇn III.: KÕt luËn vµ kiÕn nghÞ Như giải số bài toán đại số ta biết khai thác và vận dụng hợp lý số kiến thức hình học thì công việc giải toán đơn giản hơn, mang lại hiệu cao h¬n V× vËy gi¶i to¸n cÇn nghiªn cøu kü bµi to¸n vµ cÇn ph¶i kÕt hîp nhuần nhuyễn hình học và đại số để giải Trong dạy học cần lưu ý cho học sinh biết khai thác và vận dụng các kiến thức hình học để giải các bài tập đại số và ngược lại đây tôi giới thiệu giải số bài tập đại số có kết hợp các kiến thức h×nh häc, tÊt nhiªn cßn nhiÒu d¹ng to¸n n÷a gi¶i còng cÇn kÕt hîp c¸c kiÕn thøc hình học để giải Đề tài này là kinh nghiệm tôi đúc rút quá trình giảng dạy, mong góp ý Hội đồng khoa học cấp trên để có thể phát triển hoàn thiện thªm Yªn Thµnh, th¸ng n¨m 2009 Người viết: Lª V¨n TuÊn Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net 13 (14) Khai thác kiến thức hình học vào giải số bài tập đại số Tµi liÖu tham kh¶o Sgk to¸n tËp 2 Nâng cao và các chuyên đề đại số ( Nguyễn Ngọc Đạm, Nguyễn Việt Hải, Vũ Dương Thụy) Tuyển tập đề thi môn toán THCS (Vũ Dương Thụy, Lê Thống Nhất, Nguyễn Anh Qu©n) Tổng hợp các bài toán bất đẳng thức (Nguyễn Đức Tấn) Sưu tầm các đề thi trên mạng N©ng cao vµ ph¸t triÓn to¸n (Vò H÷u B×nh) Lê Văn Tuấn – trường THCS Bạch Liêu-Yên Thành Lop7.net 14 (15)