Phân số phần bù đến đơn vị: Hai phân số đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phân số phần bù đến đơn vị của phân số nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số bằng nha[r]
(1)TÍNH chia hÕt tËp sè tù nhiªn I C¸c tÝnh chÊt Víi a a a NÕu a b vµ b c a c Víi a a NÕu a, b > vµ a b ; b a a = b NÕu a b vµ c bÊt kú ac b NÕu a b (a) (b) Víi a a (1) NÕu a b vµ c b a c b NÕu a b vµ cb a c b 10 NÕu a + b c vµ a c b c 11 NÕu a b vµ n > an bn 12 NÕu ac b vµ (a, b) =1 c b 13 NÕu a b, c b vµ m, n bÊt kú am + cn b 14 NÕu a b vµ c d ac bd TÝch n sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho II.CÁC BÀI TẬP ÁP DỤNG Bµi 1: T×m c¸c ch÷ sè x, y cho a 34x5y vµ b 2x78 17 Bµi 2: Cho sè N = dcba CMR a N (a + 2b) b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 víi b ch½n c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29 Bài 3: Tìm tất các số có chữ số cho số gấp lần tích các chữ số số đó Bài 4: Viết liên tiếp tất các số có chữ số từ 19 đến 80 ta số A = 192021…7980 Hái sè A cã chia hÕt cho 1980 kh«ng ? V× sao? Bµi 5: Tæng cña 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã chia hÕt cho 46 kh«ng? V× sao? 11 22 Bµi 6: Chøng tá r»ng sè 11 22 lµ tÝch cña sè tù nhiªn liªn tiÕp 100 sè 100 sè Giải từ bài I đến Bµi 1: a x = vµ y = x= vµ y = b 2x78 = 17 (122 + 6x) + 2(2-x)17 x = Bµi 2: a N4 ab 4 10b + a4 8b + (2b + a) 4 a + 2b4 b N16 1000d + 100c + 10b + a16 (992d + 96c + 8b) + (8d + 4c + 2b + a) 16 a + 2b + 4c + 8d16 víi b ch½n c Cã 100(d + 3c + 9b + 27a) - dbca 29 Lop6.net (2) mµ (1000, 29) =1 dbca 29 (d + 3c + 9b + 27a) 29 Bµi 3: Gäi ab lµ sè cã ch÷ sè Theo bµi ta cã: ab = 10a + b = 2ab (1) ab 2 b {0; 2; 4; 6; 8} thay vµo (1) a = 3; b = Bµi 4: Cã 1980 = 22.32.5.11 V× ch÷ sè tËn cïng cña a lµ 80 vµ A vµ Tæng c¸c sè hµng lÎ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279 Tæng c¸c sè hµng ch½n 9+(0+1+…+9).6+0 = 279 Cã 279 + 279 = 558 A 279 - 279 = 11 A 11 Bµi 5: Tæng sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ sè lÎ nªn kh«ng chia hÕt cho Cã 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã 23 cÆp sè mçi cÆp cã tæng lµ sè lÎ tæng 23 cÆp kh«ng chia hÕt cho VËy tæng cña 46 sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng chia hÕt cho 46 11 22 11 02 Bµi 6: Cã 11 22 = 11 100 100 sè 100 sè 100 sè 99 sè 02 34 Mµ 100 = 33 99 sè 99 sè 11 22 33 33 34 (§pcm) 11 22 = 33 100 sè 100 sè 100 sè 99 sè Bµi 7: CMR: a n(n + 1) (2n + 1) b n5 - 5n3 + 4n 120 Víi n N Bµi 8: CMR: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n 24 Víi n Z Bµi 9: CMR: Víi n lÎ th× a n2 + 4n + b n3 + 3n2 - n - 48 c n12 - n8 - n4 + 512 Bµi 10: Víi p lµ sè nguyªn tè p > CMR : p2 - 24 Bµi 11: CMR: Trong 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp cã sè cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 27 Giải từ bài đến 11 Bµi 7: a n(n + 1)(2n + 1) = n(n + 1) [(n + 1) + (n + 2)] = n(n + 1) (n - 1) + n(n + 1) (n + 2) b n5 - 5n3 + 4n = (n4 - 5n2 + 4)n = n(n2 - 1) (n2 - 4) = n(n + 1) (n - 1) (n + 2) (n - 2) 120 Bµi 8: n4 + 6n3 + 6n + 11n2 Lop6.net (3) = n(n3 + 6n2 + + 11n) = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) 24 Bµi 9: a n2 + 4n + = (n + 1) (n + 3) b n3 + 3n2 - n - = n2(n + 3) - (n + 3) = (n2 - 1) (n + 3) = (n + 1) (n - 1) (n + 3) = (2k + 4) (2k + 2) (2k víi n = 2k + 1, k N) = 8k(k + 1) (k +2) 48 12 c n - n8 - n4 + = n8 (n4 - 1) - (n4 - 1) = (n4 - 1) (n8 - 1) = (n4 - 1)2 (n4 + 1) = (n2 - 1)2 (n2 - 1)2 (n4 + 1) = 16[k(k + 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) Víi n = 2k + n2 + vµ n4 + lµ nh÷ng sè ch½n (n2 + 1)2 n4 + n12 - n8 - n4 + (24.22 22 21) VËy n12 - n8 - n4 + 512 Bµi 10: Cã p2 - = (p - 1) (p + 1) v× p lµ sè nguyªn tè p > p ta cã: (p - 1) (p + 1) vµ p = 3k + hoÆc p = 3k + (k N) (p - 1) (p + 1) VËy p - 24 Bµi 11: Gi¶ sö 1900 sè tù nhiªn liªn tiÕp lµ n, n +1; n + 2; … ; n + 1989 (1) 1000 tù nhiªn liªn tiÕp n, n + 1; n + 2; …; n + 999 có số chia hết cho 1000 giả sử n0, đó n0 có tận cùng là chữ số giả sử tổng các chữ số n0 là s đó 27 số n0, n0 + 9; n0 + 19; n0 + 29; n0 + 39; …; n0 + 99; n0 + 199; … n0 + 899 (2) Có tổng các chữ số là: s; s + … ; s + 26 Cã sè chia hÕt cho 27 (§PCM) * Chó ý: n + 899 n + 999 + 899 < n + 1989 C¸c sè ë (2) n»m d·y (1) Bµi 12: CMR: a 32n +1 + 22n +2 b mn(m4 - n4) 30 Bµi 13: CMR: A(n) = 3n + 63 72 víi n ch½n n N, n Bài 14: Cho a và b là số chính phương lẻ liên tiếp CMR: a (a - 1) (b - 1) 192 Bµi 15: CMR: Víi p lµ sè nguyªn tè p > th× p4 - 240 Giải từ bài 12đến 14 Bµi 12: a 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n = 3.9n + 4.2n Lop6.net (4) = 3(7 + 2)n + 4.2n = 7M + 7.2n b mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1) 30 Bµi 13: Cã 72 = 9.8 mµ (8, 9) = vµ n = 2k (k N) cã 3n + 63 = 32k + 63 = (32k - 1) + 64 A(n) Bµi14: §Æt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k N) Ta cã (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1) 64 vµ hay chia hết cho 192 Bµi 15: CMR: 13 + 33 + 53 + 73 23 Bµi 16: CMR: 36n2 + 60n + 24 24 Bµi 17: CMR: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 59 b 2n + 14 Bµi 18: T×m n N cho n3 - 8n2 + 2n n2 + Giải từ bài 15 đến 18 Bµi 15: 13 + 33 + 53 + 73 = (13 + 73) + (33 + 53) = 8m + 8N 23 Bµi16: 362 + 60n + 24 = 12n(3n + 5) + 24 Ta thấy n và 3n + không đồng thời cùng chẵn cùng lẻ n(3n + 5) §PCM Bµi 17: a 5n+2 + 26.5n + 2n+1 = 5n(25 + 26) + 2n+1 = 5n(59 - 8) + 8.64 n = 5n.59 + 8.59m 59 b 2n + 14 = 2n - + 15 = (81n - 1) + 15 = 80m + 15 Bµi 18: Cã n - 8n + 2n = (n2 + 1)(n - 8) + n + (n2 + 1) n + n2 + NÕu n + = n = -8 (tho¶ m·n) NÕu n + n + 8 n2 + n -n Víi n 8 n n Víi n 8 n n Víi n 8 n n Víi n 8 n {-2; 0; 2} thö l¹i VËy n {-8; 0; 2} Lop6.net (5) TÍNH CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ NGUYÊN SỐ NGUYÊN TỐ - BSCNN - USCLN Bài 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA CÁC SỐ NGUYÊN Chứng minh (a3 – a) chia hết cho Giải: Ta thấy a – a = a(a2 -1) = a.(a + 1)(a – 1) = (a – 1)a(a + 1) Đây là tích ba số tự nhiên liên tiếp đó có ít là thừa số là bội Nghĩa là: (a3 – a) chia hết cho Chứng minh (2n + 1)2 – chia hết cho Giải: Ta có (2n + 1)2 – = 4n2 + 4n + – = 4n2 + 4n = 4n(n + 1) Đây là tích thừa số đó có thừa số và thừa số còn lại là hai số nguyên liên tiếp, cho nên tích trên vừa chia hết cho vừa chia hết cho Do đó (2n + 1)2 – chia hết cho Tìm số 80x2 , biÕt r»ng chia cho 11 cßn d Giải: 80x2 = Bs11 + => 80x2 + = Bs11 = 80x6 Vậy theo điều kiện chia hết cho 11 ta có: (8 + x) – (0+ 6) = 11k (k nguyên) hay + x – = x + = 11k hay x = 11k – Số phải tìm là: 8092 Cho số N gồm chữ số khác không Biết chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục a Chứng minh N chia hết cho 11 b Tính N N chia hết cho và Giải: a Theo đề bài ta biểu diễn số phải tìm sau: abba Khi đó muốn cho abba chia hết cho 11 thì[(a+b)- (a-b)] Thật vậy: (a + b) – (b + a) = a + b – b – a = Mà M 11 nên abba M 11 b - N chia hết cho nên chữ số cuối cùng bên phải a = 5, theo điều kiện bài là a khác nên a = số phải tìm có dạng: 5bb5 - N và N nên ( 5+ b +b +5 ) 2.(5 + b) mà b < nên có b = b số cần tìm là 5445 Tìm số tự nhiên n cho: a) n + chia hết cho n – b) 2n + chia hết cho n + c) 2n + chia hết cho – n d) 3n chia hết cho – 2n e) 4n + chia hết cho 2n + Giải: Lop6.net (6) a) (n + 2) (n – 1) suy [(n + 2) – (n – 1)] (n – 1) hay (n – 1) Do đó (n -1) phải là ước Với n – = ta suy n = Với n – = ta suy n = Vậy với n = n = thì n + chia hết cho n – b) (2n + 7) (n + 1) => [(2n + 7) – 2(n + 1)] (n + 1) => (n + 1) Với n + = thì n = Với n + = thì n = Số n phải tìm là c) (2n + 1) (6 – n) => [(2n + 1) + 2(6 - n)] (6 – n) => 13 (6 – n) Với – n = thì n = Với – n = 13 thì không có sô tự nhiên nào thỏa mãn Vậy với n = thì 2n + chia hết cho – n d) 3n (5 – 2n) => [2.3n + 3(5 – 2n)] ((5 – 2n) => 15 (5 – 2n) Với – 2n = thì n = Với – 2n = thì n = Với – 2n = thì n = Với – n = 15 thì không có số tự nhiên n nào thỏa mãn Vậy với n lấy các giá trị 0, 1, thì 3n chia hết cho – 2n e) Ta thấy với số tự nhiên n thì 4n + = 2(2n + 1) + là số lẻ và 2n + = 2(n + 3) là số chẵn Một số chẵn không thể là ước số lẻ Vậy không thể có số tự nhiên n nào để 4n + chia hết cho 2n + 6 Tìm tất các số có chữ số có dạng : 34x5y mà chia hết cho 36 Giải: Vì 36 = 9.4 nên số 34x5y vừa chia hết cho vừa chia hết cho Để 34x5y ta phải có (3+4+x+5+y) Vì x và y là các chữ số nên có thể x + y = x + y = 15 Mặt khác 34x5y nên 5y y=2 y = Kết hợp với các điều kiện trên, ta có : Nếu y = thì x = – = Nếu y = thì x = – = x = 15 – = Vậy các số phải tìm là : 34452 ; 34056 ; 34956 Bài 2: các bài toán liên quan đến ƯCLN BCNN Chứng minh hai số nguyên liên tiếp thì nguyên tố cùng Giải: Ta có n và n + là hai số nguyên liên tiếp => UCLN (n, n + 1) = d Ta thấy n d và (n + 1) d nên [(n + 1) – n] d hay d hay d = Vậy (n, n + 1) = nên n và n + nguyên tố cùng Lop6.net (7) Chứng minh 2752 và 221 là hai số nguyên tố cùng Giải: 2752 và 221 nguyên tố cùng UCLN chúng là d = Vậy ta tìm UCLN 2752 và 221 Theo thuật toán Ơ Cơ lit ta có: 12 2752 221 100 21 16 100 21 16 USCLN (2752, 221) = nên 2752 và 221 nguyên tố cùng Chia 7600 và 629 cho số nguyên N thì các số dư là và Tính N Giải: Ta có N > (vì số dư là và 5) 7600 – = 7596 N 629 – = 624 N Vậy N là UC 7596 và 624 nên nó là UC UCLN ( 7596 ; 624) Ta tìm UCLN (7596 624) = 12 Các Ư 7596 và 624 là : 1, 2, 3, 4, 6, 12 Mà N > nên N = hay N = 12 Tìm hai số nguyên, biết tổng số chúng là 192 và UCLN là 24 ? Giải : Gọi A và B là là hai số phải tìm, a và b là các thương số chúng với 24 Ta có A = 24a ; b = 24b Hay A + B = 24(a + b) = 192 => (a + b) = 192 : 24 = Mặt khác theo định lý thì : ( A B = a, = b) = nªn (a, b) = 24 24 Vậy: a = => = a = => b = (không hợp lý) a = => b = a = => b = (không hợp lý) Do đó số phải tìm là: a = 1, b = => A = 24 ; B = 168 a = 3, b = => A = 72 ; B = 120 Cho ba số chẵn liên tiếp, chứng minh tích ba số chia hết cho 48 Giải: Gọi 2n, 2n + 2, 2n + là ba số chẵn liên tiếp Ta có 2.(2n + 2)(2n + 4) = 8n(n + 1)(n + 2) n(n + 1)(n + 2) là tích ba số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho và số chia hết cho Suy n(n + 1)(n + 2) Vậy ta có 8n(n + 1)(n + 2) 48 Lop6.net (8) Tìm hai số biết tổng chúng là 288 và UCLN chúng là 24 Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a>b) Ta có a + b = 288 và (a,b) =24 Vì 24 là ƯCLN a và b nên ta có thể viết a = 24a,, b = 24 b, đó a, và b, là hai số tự nhiên nguyên tố cùng và a’>b’ Do đó : 24a, + 24b = 288 24(a, + b, ) = 288 a, + b ¢= 288 : 24 = 12 có thể là tổng hai cặp số nguyên tố cùng nhau: và 11, và Víi a, = 1, b, = 11 ta cã a = 1.24 = 24, b = 11.24 = 264 Víi a, = 5, b, = ta cã a = 5.24 = 120, b = 7.24 = 168 Hai số phải tìm là : 24 và 264, 120 và 168 Tìm hai số biết tích chúng là 4320 và BSCNN chúng là 360 Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b (giả sử a < b ), gọi d = (a, b) nên a = a’.d, b = b’.d đó (a’,b’) = Ta đã biết: a.b Từ đó ta có a.b = a’.b’.d2 và [a,b] = a’b’d (a,b) 4320 360 = 12 vµ a, b, = = 30 Theo đầu bài, ta suy ra: d = 360 12 [a,b] = Đảo lại, (a’,b’) = và a’.b’ = 30 thì các số a = a’.12 và b = b’.12 có tích 4320 và có BCNN là 360 Vậy cần tìm hai số a’ b’ nguyên tố cùng Và a’ < b’ và a’.b’ = 30 ta có bảng sau a’ b’ 30 15 10 a 12 24 36 60 b 360 180 120 72 Vậy các cặp số phải tìm là : 12 và 360, 24 và 180, 36 và 120, 60 và 72 Một số chia cho dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13 Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu? Giải: Gọi số đã cho là A Theo bài ta có: A = 4q1 + = 17q2 + Lop6.net (9) = 19q3 + 13 (q1, q2, q3 N) Nếu ta thêm vào số đã cho 25 thì ta có: A + 25 = 4q1 + + 25 = 4.(q1 + 7) = 17q2 + + 25) = 17.(q2 + 2) = 19q3 + 13 + 25 = 19.(q3 + 2) Như A + 25 đồng thời chia hết cho 4, 17, 19 Nhưng 4, 17, 19 là ba số đôi nguyên tố cùng nhau, suy A + 25 chia hết cho 4.17.19 = 1292 Vậy A + 25 = 1292.k (k = 1, 2, 3, 4,….) Suy A = 1292k – 25 = 1292 (k – 1) + 1267 = 1292 k’ + 1267 Do 1267 < 1292 nên 1267 là số dư phép chia số đã cho A cho 1292 10 Tìm hai số biết hiệu BSCNN và ƯSCLN chúng 18 Giải: Gọi hai số phải tìm là a và b, ƯCLN a và b là d Ta có a = a’.d; b = b’.d (a’ và b’ là hai số nguyên tố cùng nhau) BCNN a và b là a’b’d Theo đầu bài ta có: a’b’d – d = 18 (a’b’ – 1)d = 18 => a’b’ = + 18 d Vì a’b’ là số tự nhiên nên d phải là ước 18 Không tính tổng quát, ta giả sử a b, a , b, Ta cã b¶ng sau: d a’b’ 19 10 18 a’ 19 10 b’ 1 1 1 a 19 20 10 21 24 27 36 b 18 11 Tìm tất các số lớn 10000 nhỏ 15000 mà chia chúng cho 393 chia chúng cho 655 số dư là 210 Giải: Gọi số phải tìm là A Theo đầu bài ta có: 10000 < A < 15000 (1) A = 393q1 + 210 (2) A = 655q2 + 210 (3) (q1, q2 N) Từ (2) và (3) ta suy A – 210 chia hết cho 393 và 655 tức là A – 210 chia hết cho [393,655] = 1965 Do đó A – 210 = 1965 q (q N), nên A = 1965q + 210 Từ (1) suy q có thể 5, 6, Với q = thì A = 1965.5 + 210 = 10035 Với q = thì A = 1965.6 + 210 = 12000 Với q = thì A = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy các số phải tìm là: 10035, 12000, 13965 Lop6.net (10) C: PHÂN SỐ I Các khái niệm bản: * a lµ ph©n sè víi a lµ tö sè, b lµ mÉu sè (a, b N, b 0) b Các số tự nhiên có thể coi là phân số có mẫu số a * lµ ph©n sè tèi gi¶n nÕu a, b nguyªn tè cïng tøc lµ (a,b) = b Các phân số chưa tối giản có phân số tối giản nó II Tính chất bản: a a.m a.n = = (m, n 0) Ta áp dụng t/c này để rút gọn phân số b b.m b.n a:n a = với n có thể là UCLN a và b (rút gọn lần để phân số tối b:n b giản) n có thể là các ước a và b (rút gọn nhiều lần) III Các cách so sánh hai phân số: 1) Qui đồng tử hay mẫu số: a Nếu hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số ớn thì phân số đó nhỏ b Nếu hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn thì phân số đó lớn 2) Phân số phần bù đến đơn vị: Hai phân số nhỏ đơn vị, phân số phần bù đến đơn vị phân số nào lớn thì phân số đó nhỏ (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số nhau) 3) Phân số trung gian thứ 3: Thông thường có hai cách sau: a Chọn phân số trung gian thứ ba có cùng tử số với hai phân số đã cho, cùng mẫu số với phân số còn lại b Chọn phân số trung gian thứ ba thể mối quan hệ tử số và mẫu số hai phân số IV Bài tập áp dụng: So sánh hai phân số sau: Giải: 12 13 vµ 49 47 12 12 12 lµm ph©n sè trung gian, ta cã: (1) 47 49 47 12 13 12 13 (2) nªn tõ (1) vµ (2) ta suy Ta lại có: 47 47 49 47 Ta chọn phân số 10 Lop6.net (11) So sánh hai phân số: 15 24 vµ 59 97 Giải: Ta thấy 59 gấp gần lần 15; 97 gấp lần 24 15 15 24 24 (1); 59 60 97 96 15 24 Từ (1) và (2) 59 97 Ta có: (2) a (a < b) Cùng thêm m đơn vị vào tử số và mẫu số thì phân số b a lớn hay bé ? b Cho phân số Giải: Cách 1: Nếu a < b thì: a b-a (phần bù đến đơn vị) b b a+m b-a b-1 b-a b-1 b-a So sánh víi ta ®îc b+m b+m b b+m b b+m a a+m Vậy: b b+m Cách 2: Qui đồng mẫu số: MSC là b(b + m) a a(b + m) ab + am b b(b + m) b(b + m) a + m b(a + m) ab + bm b + m b(a + m) b(b + m) ab + am ab + bm So s¸nh víi cã cïng mÉu sè b(b + m) b(b + m) NÕu a < b th× ab + am < ab + bm ab + am ab + bm a a+m VËy: hay < b(b + m) b(b + m) b b+m Cách 3: Nếu a < b thì am < bm => ab + am < ab + bm => a(b + m) < b(a + m) a a+m => b b+m n + 19 lµ ph©n sè tèi gi¶n Tìm tất các số tự nhiên n > để n-2 Giải: Khi đó : 11 Lop6.net (12) Vì n là số cần tìm có tử số và mẫu số nên cần biến đổi phân số cho n còn tử mẫu số n + 19 n - + 21 n - 21 21 1 n -2 n-2 n-2 n-2 n-2 Muốn n +19 thành tổng các n-2 n + 19 21 lµ ph©n sè tèi gi¶n th× ph¶i lµ ph©n sè tèi gi¶n hay 21 và n – là n-2 n-2 nguyên tố cùng nhau, mà 21 chia hết cho và nên (n – 2) không chia hết cho và n + 19 tèi gi¶n Vậy n 3k + vµ n 7k + (k N) th× N -2 ………………………………………… Với giá trị nào số tự nhiên a thì: 5a - 11 có giá trị lớn nhất, giá trị đó là bao nhiêu? 4a - 13 Giải: a Biết có giá trị lớn tử số a không đổi, mẫu số b là nhỏ b 5a - 11 cho a chØ cã ë mÉu sè Vậy cần biến đổi 4a - 13 5a - 11 4(5a - 11) 20a - 44 5(4a - 13) + 21 21 4a - 13 4(4a - 13) 4(4a - 13) 4(4a - 13) 4(4a - 13) 21 5a - 11 Muốn có giá trị lớn thì ta cần tìm với giá trị nào a để 4(4a - 13) 4a - 13 có giá trị lớn 21 Muèn cã gi¸ trÞ lín nhÊt th× a ph¶i cã gi¸ trÞ nhá nhÊt 4(4a - 13) Giá trị nhỏ a để phép trừ 4a – 13 thực là a = Khi đó 5a - 11 5a - 11 3, đó là giá trị lớn 4a - 13 4a - 13 ……………………………………… Tính giá trị phân số: 2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32 3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32 Giải: Ta thấy tử và mẫu phân số là tổng bốn số hạng, số hạng là tích ba thừa số Ta có: 2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32 1.2.4 1.2.4.2.2.2 1.2.4.4.4.4 1.2.4.8.8.8 = 3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32 1.3.4 1.3.4.2.2.2 1.3.4.4.4.4 1.3.4.8.8.8 1.2.4(1 23 43 83 ) = 1.3.4(1 23 43 88 ) 12 Lop6.net (13) …………………………………… Tìm phân số tối giản biết giá trị nó không thay đổi cộng tử số với và mẫu số với Giải: a a a+6 Suy ra: Theo đầu bài ta có: b b b+8 a A(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b => b Gọi phân số cần tìm là Vậy phân số đã cho là ……………………………………… Cho phân số Giải: Giả sử a a+b tèi gi¶n, h·y gi¶i thÝch còng tèi gi¶n b b a+b kh«ng tèi gi¶n th× a + b vµ b cã UCLN = d > Suy (a + b) b chia hết cho d và b chia hết cho d nên (a + b) – b chia hết cho d đó a chia hết cho d Điều đó có nghĩa là a và b cùng có UC là d khác 1, tức là phân số a kh«ng tèi gi¶n (®iÒu nµy tr¸i víi ®Çu bµi) b a+b lµ ph©n sè tèi gi¶n Vậy b ………………………………………… Chứng minh phân số sau tối giản với n là số tự nhiên lớn 0: Giải: 8n + 6n + 8n + không tối giản thì 6n + ƯCLN (8n + 5, 6n +4) = d > Suy (8n + 5) d và (6n + 4) d Do đó [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] d, mà [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] = d vô lý 8n + lµ ph©n sè tèi gi¶n Vậy 6n + Giả sử a là số tự nhiên lớn 0, phân số ……………………………………… 10 Tìm tất các số tự nhiên n lớn 0, để 4n + có thể rút gọn được? 5n + 13 Lop6.net (14) Giải: 4n + cã thÓ rót gän ®îc th× 4n + vµ 5n + có ƯCLN là d > 1, ta 5n + (4n +5) d và (5n + 4) d, đó (20n + 25) d (1) và (20n + 16) d (2) Từ (1) và(2) ta d, phân số rút gọn thì tử số và mẫu số chia hết cho Vì (5n + 4) và (4n + 5) chia hết cho nên (n – 1) hay n = 3k + (k 0) NÕu ………………………………… n 2n lµ sè tù nhiªn 11 Tìm tất các số tự nhiên n để: n-2 Giải: n 2n n (n - 2) + n n - 3 = n2 n-2 n-2 n-2 n-2 n-2 Muốn là số tự nhiên thì n – phải là ước 3, đó n – = n-2 n – = Vậy n = n = ……………………………………… 12 Hãy chứng tỏ rằng: Giải: Ta thấy từ 1 1 41 42 43 79 80 12 1 đến cã 40 ph©n sè Tất các phân số trên có tử số là 41 80 Ta có thể nhóm các phân số thành nhóm dựa vào kiến thức so sánh các phân số có tử số giống 1 1 41 42 43 79 80 1 1 1 = (1) 59 60 61 62 79 80 41 42 1 1 vµ (2) Vì 41 60 61 80 1 1 1 Ta lại có: 60 60 80 80 80 80 60 60 20 20 1 (3) = 60 80 12 12 1 1 Từ (1), (2), (3) ta được: 41 42 43 79 80 12 Vậy: …………………………………… 14 Lop6.net (15) 13 Tính giá trị biểu thức: S= 1 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Giải: Biến đổi phân số dạng tổng quát ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3+n-n 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 n +3 n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 1 n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) Áp dụng kết này vào bài tập đã cho ta có: 1 1 1.2.3.4 1.2.3 2.3.4 1 1 2.3.4.5 2.3.4 3.4.5 1 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) Cộng vế ta được: S= 1 1 1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3) a c 14 Cho hai phân số vµ H·y chøng tá r»ng: b d 4 a-b a b 4 c d c d Giải: Tõ a c a b a-b a b a-b ta cã Vì nên phân số nhân với b d c d c-d c d c-d chính thân nó lần ta được: a b4 a - b = = c4 d4 c - d a b4 a b4 Mà = = c d c + d4 (1) (2) 15 Lop6.net (16) 4 a-b a b Từ (1) và (2) ta có 4 c-d c d a b a + b2 a 15 Hãy chứng tỏ th× b c b c2 c Giải: a b a a b b a b2 a b2 Từ suy = b c b b c c b c b c2 a b Từ suy b ac b c a + b2 b2 a + b a.c a , thay b a.c vµo ta cã: Từ b c2 c2 b c2 c2 c 16 Lop6.net (17)