Đang tải... (xem toàn văn)
Đến cuối thế kỉ XVI, nhà toán học người Pháp Frăngxoa Viet 1540 – 1602_, người được mệnh danh là “Người cha của môn đại số dùng chữ hiện đại” đã đưa vào tác phẩm của mình những kí hiệu c[r]
(1)TÍCH LUÕY CHUYEÂN MOÂN- M«n To¸n I PHÉP ĐẾM Trong giai đoạn sơ khai loài người, người chưa biết đếm Họ phân biệt tập hợp hai vật và ba vật, tập hợp nhiều vật thì người ta gộp chung lại là “nhiều” Hoạt động người ngày càng phức tạp dần, nhu cầu đếm người, súc vật, hoa quả, đếm các thành phẩm săn bắt, hái lượm ngày càng nảy sinh… Người ta dùng vật gặp xung quanh làm công cụ đếm: khắc vào cây, gậy, buộc nút sợi dây, xếp các viên đá thành đống… Các ngón tay người đặc biệt quan trọng Công cụ này không lưu lại kết phép đếm, luôn có tay và linh hoạt Kết phép đếm là các số một, hai, ba … Tên gọi các số lớn thường xây dựng trên sở số 10 là số lượng ngón hai bàn tay Thời gian đầu, số lượng các số hình thành và phát triển chậm Đầu tiên, người ta đếm vài chục, mãi sau đếm đến hàng trăm Phép đếm đạt tới giới hạn mới: hàng chục chục và tên gọi cho số 100 đã hình thành Về sau các số nghìn, vạn, triệu mang ý nghĩa đó II HỆ NHỊ PHÂN VAØ MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Về nguyên tắc thì có thể chọn số tự nhiên lớn làm số cho hệ ghi số Lấy số 2, thì ta hệ nhị phân Trong hệ này, để biểu diễn các số, người ta dùng hai chữ số là và Hệ nhị phân là hệ ghi số theo vị trí, nghĩa là kí hiệu ghi số hệ nhị phân cùng với giá trị chữ số còn có giá trị vị trí biểu diễn lũy thừa số 2, nghĩa là giá trị cuûa moät vò trí gaáp laàn cuûa vò trí lieàn beân phaûi noù Chaúng haïn soá 11012 ghi theo heä nhò phaân, coù nghóa: 11012 = 1.23 + 22 + 1.21 + 1.20 laø soá 13 heä thaäp phaân Do việc sử dụng hai chữ số, hệ nhị phân thích hợp với các máy tính điện tử Trong các thiết bị máy tính hai chữ số và tương ứng với trạng thái khác là không có dòng điện có dòng điện Như là ta đã có hệ quy tắc lựa chọn thích hợp để biểu thị thông tin nhờ kí hiệu Một hệ quy tắc này gọi là mã và việc biểu thị thông tin nhờ mã gọi là mã hoá thông tin đó Trong mãy tính điện tử, người ta dùng mã nhị phân: máy tính điện tử có thể lưu trữ , xử lý thông tin dạng tổ hợp tín hiệu điện hai loại khác kí hiệu hai chữ số và1 Một thông tin biểu diễn dãy hai chữ số đó Trong phần lớn các máy tính điệïn tử, kí tự (chữ, chữ số, dấu % …) viết thành nhóm chữ số Chẳng hạn chữ A mã hoá thành 01000001, chữ M mã hoá thành 01001101 … Các số , các hình mã hoá thành dãy các chữ số và III KÍ HIỆU CÁC PHÉP TÍNH CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA Các dấu phép tính “+”, “-” đã thấy các sách Đức, Ý vào cuối kỉ XV Lêona Đờ Vinxi, Viđơman Dấu phép tính “X” đã thấy tác phẩm nhà bác học Anh Oitởit năm 1691 Còn dấu phép tính “.” đã thấy năm 1698, dấu phép tính “:” đã thấy năm 1684 tác phẩm nhà toán học Đức Lepnitdơ Các dấu ( ), [ ], đã thấy các tác phẩm các nhà toán học Ý vào kỉ XVI IV CAÙC DAÁU HIEÄU CHIA HEÁT Daáu hieäu chia heát cho Trang Lop6.net (2) Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho thì số đó chia hết cho và ngược lại các số chia hết cho thì hai chữ số tận cùng tạo thành chia hết cho Ví duï: 2500 và 35124 chia hết cho vì hai chữ số tận cùng số tạo thành các số 00 và 24 chia hết cho Số 1945 không chia hết cho vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 45 không chia hết cho Daáu hieäu chia heát cho Các số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho thì số đó chia hết cho và ngược lại các số chia hết cho thì ba chữ số tận cùng tạo thành chia hết cho Ví duï: + Số 345 120 chia hết cho vì ba chữ số tận cùng tạo thành số 120 chia hết cho + Số 456 004 không chia hết cho vì ba chữ số tận cùng tạo thành số 004 không chia hết cho Tổng quát: Các số có n chữ số tận cùng tạo thành chia hết cho 2n thì số đó chia hết cho 2n Daáu hieäu chia heát cho Caùc soá chia heát cho vaø chia heát cho thì chia heát cho 6, neáu khoâng thì khoâng chia heát cho Ví duï: 534 vừa chia hết cho (chữ số tận cùng là 4) vừa chia hết cho (5 + + = 12, 12 3) neân 534 Soá 544 khoâng chia heát cho vì 544 (5 + + = 13; 13 3) Soá a chia heát cho caùc soá b1, b2, b3 … (ñoâi moät nguyeân toá cuøng nhau) thì a b1 b2 b3 … Daáu hieäu chia heát cho 11 Các số có hiệu tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ (hiệu tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn) kể từ phải qua trái là số chia hết cho 11 thì số đó chia hết cho 11 trường hợp khác thì không chia hết cho 11 Ví duï: + Số 172 639 chia hết cho 11 vì tổng các chữ số hàng lẻ là + + + = 28 và tổng chữ số hàng chẵn là + + = 6, hiệu hai tổng 28 – = 22 là số chia hết cho 11 + Số 45 729 không chia hết cho 11 vì tổng các chữ số hàng lẻ là + + = 20 và tổng các chữ số hàng chẵn là + = 7, hiệu hai tổng 20 – = 13 không chia hết cho 11 Daáu hieäu chia heát cho 10; 100; 1000 … 10n (n A ) Các số tận cùng là thì chia hết cho 10, các số có hai chữ số tận cùng là thì chia hết cho 100, các số có ba chữ số tận cùng là thì chia hết cho 1000, các số có n chữ số tận cùng là thì chia heát cho 10n Daáu hieäu chia heát cho 25 Các số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 (tức là có hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50 hay 75) thì số đó chia hết cho 25 Các trường hợp còn lại không chia hết cho 25 Ví duï: Trang Lop6.net (3) + Số 8150 chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 50 chia hết cho 25 + Số 7132 không chia hết cho 25 vì hai chữ số tận cùng tạo thành số 32 không chia hết cho 25 V LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ ÂM Từ kỉ II trước công nguyên, các nhà toán học Trung Quốc đã đặt số quy tắc phép tính số âm Bây giờ, khái niệm và quy tắc tính số âm chưa hoàn chỉnh Họ coi số âm là số biểu thị số tiền nợ, còn số dương là số tiền có Quy tắc phép tính cùng lập luận món tiền nợ Ví dụ: món nợ thêm món nợ khác , thì kết là món nợ không phải món tiền có Khi đó còn chưa biết dấu âm, người Trung Quốc dùng màu mực khác để viết các số các món tiền nợ để phân biệt với các món tiền có Các số âm phải chen chân cách khó khăn vào toán học các nhà bác học có tránh không muốn gặp số âm, thực tế đời sống đặt trước khoa học hết bài toán này đến bài toán khác mà các bài toán lại càng hay đưa đến kết là số âm, Trung Quốc , Ấn Độ các nước châu AÂu Các số âm phải khẳng định địa vị mình cách khó khăn và lâu dài, vì coi số âm là món nợ thì khái niệm này không đủ để giải thích các phép tính số âm, chẳng hạn nhân hai số âm với Đến kỉ XIII, nhà toán học người Ý Lêôna Phibônasi đã đến khái niệm số âm là số đối của số dương Sau đó vài kỉ nữa, các số âm công nhận Năm 1544, nhà toán học người Đức Mikhai Stiphen, “Số học toàn tập”, lần đầu tiên đưa khái niệm số âm là các số nhỏ Đó là bước tiến lớn để đặt sở cho số âm Thế kỉ XVII, nhà bác học Pháp Rơnê Đềcac đề nghị biểu diễn số âm trên trục số bên trái số việc này chúng ta không có gì phức tạp, phải trải qua 18 kỉ các số âm giành vị trí đúng đắn và hợp lý đó VI VAØI NÉT LỊCH SỬ VÊ PHÂN SỐ Phải trải qua hàng ngàn năm, nhân loại đến các số tự nhiên 1, 2, … lại phải trải qua hàng ngàn năm nữa, người ta chia đơn vị thành phần nhau, nghĩa là đề cập đến khái niệm phân số Năm 1872, hầm kim tự tháp Kêôp (được áp dụng cách đây 5000 năm) thành phố Mem – Phit nước Ai Cập, người ta tìm cuộn giấy dai chế tạo cách đặc biệt Cuộn giấy đó gọi là di cảo cố đại, di cảo rộng 33cm, dài 544cm viết cách 4000 nămvà đặt bảo tàng thủ đô Luân Đôn nước Anh Ngoài còn có nhiều di cảo khác Bản di cảo cổ đại toán học Ai Cập để bẩo tàng đồ gốm Maxcơva dài 544cm, rộng 8cm Người đầu tiên tìm di cảo là viện sĩ Sturaep vào năm 1917, mãi đến năm 1927 viện sĩ Sturơve nghiên cứu tỉ mĩ Chẳng hạn, có bài toán sau đây: “Xác định độ dài các cạnh hình chữ nhật biết tỉ số chúng và diện tích hình” Trong các di cảo ngưới Ai Cập cổ thì cách biểu thị phân số không chúng ta biết ngày Họ không dùng dấu gạch ngang để phân biệt tử và mẫu Bây người Ai Cập dùng phân số có tử là đơn vị và phân số Đối với phân số có tử lớn đơn vị thì người Ai Cập biểu thị tổng các phân số có tử là đơn vị Chaúng haïn: Trang Lop6.net (4) 1 1 1 ; ; 15 28 99 66 198 Người Ai Cập còn lập các bảng đặc biệt dùng để thực các phép tính với phân số đó Cách viết phân số có dấu gạch ngang ngày đã trải qua quãng thời gian dài để có thừa nhận Trong di cảo người Ấn Độ vào kỉ IV phân số viết (không có dấu gạch ngang) Sau đó, vào kỉ XIII, nhà bác học An Khatxa là người đầu tiên dùng dấu gạch ngang để viết phân số, nhà bác học Ý Lêôna Pindanki đã thường xuyên sử dụng dấu gạch ngang phân số và sau đó dùng nơi VI PHAÂN SOÁ THAÄP PHAÂN – SOÁ THAÄP PHAÂN Thế kỉ XVI, việc tính toán phức tạp phân số ứng dụng rộng rãi lĩnh vực đời sống thì người ta bắt đầu dùng đến phân số có mẫu là lũy thừa 10 Đó là phân số thập phân Người đầu tiên đưa phân số thập phân là nhà bác học người Xamaccan Ghiaxetddin Djemsit al – Kasi Sau đó, châu Âu nhà bác học Hà Lan Ximông Xtêvin đã đưa vào thực hành Ưu điểm phân số thập phân so với phân số có mẫu hệ thống khác là chỗ chúng xây dựng trên cùng sở với phép đếm thập phân và cách viết số nguyên Nhờ đó, cách viết và các quy tắc tính toán phân số thập phân trường hợp số nguyên Để tiện lợi kí hiệu các phân số thập phân, người ta không cần biểu thị mẫu: vào vị trí các chữ số tương ứng thì biết mẫu đó Trước hết, ta viết phần nguyên số, đánh dấu phẩy vào bên phải phần nguyên, chữ số thứ sau dđ©u phẩy số phần mười (tức là phần mười đơn vị) chữ số thứ hai số phần trăm, chữ số thứ ba số phần nghìn … Chaúng haïn: 5 5,209 10 100 1000 VII VAØI NÉT VỀ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA ĐẠI SỐ Đại số nghiên cứu các phương trình và các vấn đề phát triển từ lí thuyết phương trình Đại số đã xuất từ thời cổ xưa Cách đây khoảng 4000 năm, các nhà bác học Babilon đã giải thành thạo phương trình bậc hai, nhờ đó đã giải bài óan thực tếtrong xây dựng và quân Người Babilon chưa biết dùng kí hiệu chữ ngày mazf phải ghi các phương trình lời Nhà toán học cổ Hi Lạp Điôphăng (thế kỉ thứ III) đã biết dùng các kí hiệu đơn giản đầu tiên cho các đại lượng chưa biết Ông là người đầu tiên nghiên cứu có hệ thống phương trình voâ ñònh Tuy nhiên người Babilon và người Hi Lạp thời đó không xét đến số âm Ở Trung quốc cách đây 2000 năm, các nhà bác học đã giải các phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc hai ẩn và phương trình bậc hai Họ đã làm quen với số âm và số vô tỉ Cũng thời kì này, các nhà bác học Ấn Độ đã sử dụng rộng rãi kí hiệu các đại lượng chưa biết và các lũy thừa chúng Họ đã sử dụng số âm, số vô tỉ và số Trong Aán Độ, kiễn thức đại số trình bày các tác phẩm thiên văn thì Trung Á đại số đã trở thành môn độc lập Nhà bác học Udơbếch Muhamet Ben Muxa Trang Lop6.net (5) Al – Khôredơmi (thế kỉIV) đã coi là người sáng lập môn đại số môn khoa học riêng Danh từ Algebra là tên gọi quốc tế môn đại số chính là xuất phát từ chữ “al – đơgiép” tên bài luận văn Al – Khôredơmi: “khixabơ al – đơgiép Val – mukabala” đó có nêu các quy tắc tính toán và giải phương trình Còn từ “algôrit” (thuật toán) chính là tên Al – Khôredơmi Vào thếmkỉ XII, “Đại số” Al – Khôredơmi đã bắt đầu châu Aâu biết đến và dịch sang tiếng Latinh Từ đó, đại số bắt đầu phát triển các nước châu Aâu Đến cuối kỉ XVI, nhà toán học người Pháp Frăngxoa Viet (1540 – 1602_, người mệnh danh là “Người cha môn đại số dùng chữ đại” đã đưa vào tác phẩm mình kí hiệu chữ cho các đại lượng đã biết và đại lượng chưa biết Ông đưa các kí hiệu phép tính và là người dẫn đầu việc nghiên cứu các phương trình đại số và thiết lập mối quan hệ các hệ số và nghiệm phương trình bậc hai Với công trình Viet, đại số đã trở thành khoa học tổng quát các phương trình dựa trên các phép tính các biểu thức chứa chữ Đến kỉ XVII, nhà toán học Pháp Rơnê Đêcac (1596 – 1650), các kí hiệu đại số có dạng gần giống ngày CHUYÊN ĐỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH, MỘT LŨY THỪA Trong thực tế nhiều ta không cần biết giá trị số mà cần biết hay nhiều chữ số tận cùng nó Chẳng hạn, so xổ số muốn biết có trúng giải cuối hay không ta cần so chữ số cuối cùng Trong toán học, xét số có chia hết cho 2, 4, chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta cần xét 1, 2, chữ số tận cùng số đó (xem § 10) Tìm chữ số tận cùng tích - Tích caùc soá leû laø moät soá leû - Đặc biệt, tích số lẻ có tận cùng là với bất kì số lẻ nào có chữ số tận cùng là - Tích số chẵn với bất kì số tự nhiên nào là số chẵn Đặc biệt, tích số chẳn có tận cùng là với bất kì số tự nhiên nào có chữ số tận cuøng laø Tìm chữ số tận cùng luỹ thừa - Các số tự nhiên có tận cùng 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa bất kì ( khác ) giữ nguyên chữ số tận cùng nó - Các số tự nhiên tận cùng chữ số 3, 7, nâng lên luỹ thừa 4n có tận cùng là .34n = 1; 74n = 1; 94n = - Các số tự nhiên tận cùng chữ số 2, 4, nâng lên lũy thừa 4n (n ≠ 0) có tận cuøng laø .24n = ; 44n = ; 84n = ( Riêng các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 9, nâng lên lũy thừa lẻ có chữ số tận cùng chính nó; nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận cùng là và 1) Moät soá chính phöông thì khoâng coù taän cuøng baèng 2, 3, 7, Thí duï 1: Cho A = 51n + 47102 (n є N) Chứng tỏ A chia hết cho 10 Giaûi: Trang Lop6.net (6) 51 n = … 47102 = 47100 472 = 474.25 472 = … × … = … Vaäy A = … + … = … ; Vaäy A chia heát cho 10 Thí dụ 2: Ta đã biết ngoài dương lịch, Âm lịch người ta còn ghi lịch theo hệ đến CAN CHI, chẳng hạn Nhâm Ngọ, Quý Mùi, Giáp Thân, … Chữ thứ hàng CAN năm Có 10 can laø: Haøng Giaùp Aát Bính Ñinh Maäu Kæ Canh Taân Nhaâm Quyù can Maõ soá 10 (0) Muốn tìm hàng CAN năm ta dùng công thức đơn giản sau đây đối chiếu kết với baûng treân: Hàng CAN = Chữ số tận cùng năm dương lịch _ (Nếu chữ số tận cùng năm dương lịch nhỏ thì ta mượn thêm 10) Bây bạn hảy tìm hàng CAN các năm Ngọ quan trọng lịch sử giành độc lập dân tộc ta kỉ XX đó là năm 1930 năm Đảng CSVN đời và năm 1954 chiến thắng Điện Bieân Phuû Giaûi : 10 _ = CANH ; 1930 laø naêm CANH NGOÏ _ = GIAÙP ; 1954 laø naêm GIAÙP NGOÏ BAØI TAÄP Nước Việt Nam dân chủ cộng hòa đời sau cách mạng tháng Tám năm 1945, đó là năm Dậu Hãy tìm hàng CAN năm Dậu đó Em tuổi gì ? Tìm hàng CAN tuổi đó Tìm chữ số tận cùng các số sau : 7430 ; 4931 ; 9732 ; 5833 ; 2335 Tìm hai chữ số tận cùng các số sau 5n ( n > ) Chứng tỏ các tổng, hiệu sau không chia hết cho 10 a) A = 98 96 94 92 _ 91 93 95 97 b) B = 405n + 2405 + m2 (m,n є N ; n ≠ 0) Tìm chữ số tận cùng các số sau : a) 234567 ; b) 579675 Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng là Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số ? Tích A = 22 23 210 x 52 54 56 …514 tận cùng bao nhiêu chữ số ? 8* Cho S = + 31 + 32 +33 + … + 330 Tìm chữ số tận cùng S, từ đó suy S không phải là số chính phương BÀN VỚI CÁC BẠN LỚP VỀ PHƯƠNG PHÁP Chứng minh số hệ thức : Trang Lop6.net (7) Bài toán : Cho tam giác ABC Từ điểm M trên cạnh BC vẽ các đường thẳng song song với AB và AC, cắt AC và AB Q và P Chứng minh : AP/AB + AQ/AC = Lời giải : Nối AM, AB // MQ nên ta có S(AMQ) = S(BMQ) suy S(AMQ) + S(CMQ) = S(BMQ) + S(CMQ) ị S(AMC) = S(BQC), mà S(AMC) = S(APC) (do AC // MP) nên S(BQC) = S(APC) Vậy Bài toán : Lấy tam giác ABC điểm M tùy ý AM, BM, CM cắt các cạnh BC, CA, AB A1, B1, C1 Chứng minh : Lời giải : Trang Lop6.net (8) a) Ta có Tương tự ta có : Suy b) Ta lại có Tương tự ta có : Suy Bài toán : Cho tam giác ABC Gọi ha, hb, hc là độ dài các đường cao thuộc các cạch BC, CA, AB ; d là khoảng cách từ giao điểm các đường phân giác đến ba cạnh Chứng minh : Hướng dẫn : Gọi I là giao điểm ba đường phân giác tam giác ABC, dựng IE, IF, ID vuông góc với AB, AC, BC Ta có ID = IE = IF = d, đó Suy Chứng minh đường thẳng song song : Bài toán : Cho tam giác ABC D và E thuộc các cạnh AB và AC Chứng minh DE // BC <=> AD/AB = AE/AC Lời giải : Trang Lop6.net (9) Ta có DE // BC <=> S(BDE) = S(CDE) <=> S(BDE) + S(ADE) = S(CDE) + S(ADE) <=> S(ABE) = S(ACD) <=>S(ABE)/S(ABC) = S(ACD)/S(ABC) <=> AE/AC = AD/AB (đpcm) Lời bình : Đây chính là định lí Ta-lét tam giác học lớp 8, ta đã chứng minh dễ dàng nhờ diện tích tam giác Bài toán : Cho tam giác ABC, đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB, AC D và E Qua D, E vẽ các đường thẳng song song với AC , AB cắt BE, DC M, N Chứng minh : MN // BC Lời giải : Giả sử BE cắt CD O, EN // AB nên : S(BEN) = S(DEN) suy S(BON) = S(DOE) Tương tự, S(COM) = S(DOE) suy S(BON) = S(DOE) => S(BMN) = S(CMN) => MN // BC Các ví dụ trên đây phần nào đã minh chứng cho sức mạnh “công cụ” diện tích tam giác việc giải số dạng toán Một loạt các kiến thức học, chứng minh các lớp trên đã dễ dàng chứng minh cách vận dụng khéo léo các kiến thức đơn giản diện tích tam giác Mong các bạn tiếp tục khám phá ứng dụng khác phương pháp này Trang Lop6.net (10) Trang Lop6.net (11)