CHUYÊN ĐỀ 5 ELIP Các bài toán về elip chủ yếu qui về việc viết phương trình chính tắc của elip, xác định các phần tử của elip tâm, đỉnh, tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm…, n[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ELIP Các bài toán elip chủ yếu qui việc viết phương trình chính tắc elip, xác định các phần tử elip (tâm, đỉnh, tiêu cự, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm…), là xác định phương trình tiếp tuyến cùng với tọa độ tiếp điểm Trong trường hợp ta cần nắm vững kiến thức sau đây : Elip (E) coù tieâu ñieåm treân x′ x Phöông trình chính taéc (E) : x2 y2 + =1 a2 b2 a2 > b2 vaø a2 – b2 = c2 Elip (E) coù tieâu treân y′ y (E) : ñieåm x2 y2 + =1 a2 b2 a2 < b2 vaø b2 – a2 = c2 2c 2c Tieâu ñieåm F1(–c, 0), F2(c, 0) F1(0, –c), F2(0, c) Trục lớn Treân Ox, daøi 2a Treân Oy, daøi 2b Truïc nhoû Treân Oy, daøi 2b Treân Ox, daøi 2a Đỉnh trên trục lớn A1(–a, 0), A2(a, 0) A1(0, –b), A2(0, b) Ñænh treân truïc nhoû B1(0, –b), B2(0, b) B1(–a, 0), B2(a, 0) Tiêu cự Taâm sai Baùn kính qua tieâu Ñieåm cuûa M ∈ (E) e= c a e= ⎧r1 = F1M = a + ex M ⎨ ⎩r2 = F2 M = a − ex M Đường chuẩn Δ1,2 : x = ± * Ghi chuù : Lop6.net a e c b ⎧r1 = F1M = b + ey M ⎨ ⎩r2 = F2 M = b − ey M Δ1,2 : y = ± b e (2) Trường hợp elip có tâm I( α , β ) hai trục cùng phương với trục tọa độ thì phương trình coù daïng (x − α) a2 + ( y − β) b2 =1 JJG Ta dời hệ trục tọa độ xOy đến XIY phép tịnh tiến theo OI để phương trình daïng chính taéc cuûa elip laø X2 Y2 + = với a2 b ⎧X = x − α ⎨ ⎩Y = y − β để suy dễ dàng tọa độ các đỉnh và tiêu điểm Tiếp tuyến với elip (E) : + y0y =1 b2 x2 y2 x x + = taïi tieáp ñieåm M0(x0, y0) coù phöông trình 02 2 a b a Trường hợp không biết tiếp điểm ta áp dụng tính chất : (Δ) (E) : : Ax + By + C = tiếp xúc với elip x2 y2 + =1 a2 b2 ⇔ a2A2 + b2B2 = C2 Thường ta viết phương trình ( Δ ) theo hệ số góc dạng kx – y + c = và lưu ý trường hợp ( Δ ) ⊥ x′ x tức (Δ) :x = ±a Elip (E) : x2 y2 + = có tiếp tuyến cùng phương với Oy là a2 b2 x = ± a Ngoài tiếp tuyến x = ± a, tiếp tuyến khác với ( E) có dạng y = kx + m dạng y = k ( x –x0 ) + y0 tiếp tuyến qua ( x0 , y0 ) là điểm nằm ngoài elip Ví duï1 : Cho elip (E) : x2 + 4y2 – 40 = a) Xác định tiêu điểm, hai đỉnh trên trục lớn, đỉnh trên trục nhỏ và tâm sai (E) b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) điểm M0(–2, 3) c) Viết phương trình tiếp tuyến với elip (E) biết nó xuất phát từ điểm M(8, 0) Lop6.net (3) d) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết nó vuông góc với đường thẳng (D) : 2x – 3y + = 0, tính tọa độ tiếp điểm Giaûi a) Tieâu ñieåm, caùc ñænh vaø taâm sai cuûa (E) (E) : x2 + 4y2 – 40 = ⇔ x2 y2 x2 y2 + = coù daïng + = 40 10 a b với a2 = 40 > b2 = 10 ⇒ c2 = a2 – b2 = 30 ⇒ a = 10 , c= b = 10 , 30 Vậy elip (E) có trục lớn trên Ox, hai tiêu điểm nằm trên trục lớn là F1(– 30 , 0) , F2( 30 , 0) Hai đỉnh trên trục lớn là A1(–2 10 , 0), A2(2 10 , 0) Trục nhỏ (E) nằm trên Oy với đỉnh là B1(0, – 10 ), B2(0, 10 ) Taâm sai cuûa elip (E) laø e = 30 c = = a 2 10 b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) M0(–2, 3) 2 Ta coù x 02 + y 02 – 40 = ( −2 ) + ( 3) – 40 = ⇒ M0(–2, 3) ∈ (E) : x2 + 4y2 – 40 = ⇒ Phương trình tiếp tuyến với (E) tiếp điểm M0(–2, 3) là: x0x + 4y0y – 40 = ⇔ –2x + 12y – 40 = ⇔ x - 6y + 20 = c) Phương trình tiếp tuyến với elip phát xuất từ M(8, 0) (E) có hai tiếp tuyến cùng phương với 0y là: x = ±2 10 Hai tiếp tuyến này không qua M(8,0) Vaäy pt tieáp tuyeán ( Δ ) qua M(8, 0) coù daïng: y= k(x – 8) ⇔ kx – y – 8k = x2 y2 + =1 ( Δ ) tiếp xúc với elip (E) : 40 10 ⇔ 40k2 + 10 = 64k2 Lop6.net (4) ⇔ k2 = 10 = 24 12 ⇔ k= ± = ± 15 Vậy có tiếp tuyến với (E) qua M(8, 0) là : 15 x–y–8 =0 6 hay – 15 x–y+8 =0 6 ⇔ 15 x – 6y – = ⇔ 15 x + 6y – = d) Phương trình tiếp tuyến với (E) và vuông góc với (D) ( Δ′ ) ⇒ ⊥ (D) với ( Δ′) : 3x + 2y + C = ( Δ′) tieáp xuùc (E) : ⇔ (D) : 2x – 3y + = x2 y2 + =1 40 10 40.9 + 10.4 = C2 ⇔ C2 = 400 ⇔ C = ± 20 Gọi M0(x0, y0) là tiếp điểm tiếp tuyến ( Δ′ ) với (E) thì ( Δ′ ) : x0 x y y + =1 40 10 Với C = 20 ⇔ x0x + 4y0y – 40 = ⇒ ( Δ′ ) : 3x + 2y + 20 = ⇒ x0 4y −40 = = 20 ⎧ x = −6 ⇔⎨ hay M0 (–6, –1) ⎩ y = −1 Với C = –20 ⇒ ( Δ′ ) : 3x + 2y – 20 = ⇒ ⇔ ⎧ x0 = ⎨ ⎩y0 = hay x0 4y −40 = = −20 M0(6, 1) Lop6.net (5) Ví dụ2 :(ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C (2; 0) và elíp (E) : x2 y2 + = Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết hai điểm A, B đối xứng với qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác Giaûi Giả sử A (a, − a2 − a2 ) ∈ (E) ⇒ B (a, − ) ∈ (E) 2 Và điều kiện: –2 < a < Do A,B đối xứng qua Ox nên ta có: ΔCAB ⇔ CA2 = AB2 − a2 = – a2 ⇔ 7a2 – 16a + = ⇔ a = (loại) hay a = Nên tọa độ A và B là: ⎛2 3⎞ ⎛2 3⎞ ⎛2 3⎞ ⎛2 3⎞ A ⎜⎜ , ⎟⎟ vaø B ⎜⎜ , ⎟⎟ A ⎜⎜ , − ⎟⎟ vaø B ⎜⎜ , − ⎟⎟ ⎠ ⎠ ⎝7 ⎝7 ⎝7 ⎠ ⎝7 ⎠ ⇔ (a – 2)2 + Ví duï3 :(ÑH KHOÁI D-2002) : Cho (E) : x2 y2 + = Cho M di chuyển trên tia 0x, N di chuyển trên tia 0y cho đường 16 thẳng MN luôn tiếp xúc (E) Tìm tọa độ điểm M, N cho độ dài đoạn MN ngắn Tìm độ dài đoạn ngắn đó Giaûi M (m, 0) ∈ tia Ox; N (0, n) ∈ tia Oy ⇒ n, m > x2 y2 + = MN : nx + my – n.m = 16 16 (MN) tieáp xuùc (E) ⇔ + = m n (E) : Ta coù : MN2 = m2 + n2 Theo BÑT BCS ta coù Ta coù : = 16 m + n ≤ + 2 m n m n MN nhoû nhaát ⇒ m + n = MN m2 n2 m n = = ⇔ 4 m n ⇔ 3m2 = 4n2 vaø m2 + n2 = 49 ⇔ m2 = 28 vaø n2 = 21 Do đó : MN nhỏ ⇔ m = và n = 21 (vì m, n>0) ⇒ M ( , 0); N (0, 21 ) Khi đó MN = Ví dụ4 :(ĐH KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = và đường thẳng dm : mx – y – = Lop6.net (6) bieät a) Chứng minh với giá trị m, đường thẳng dm luôn cắt elip (E) hai điểm phân b) Viết phương trình tiếp tuyến (E), biết tiếp tuyến đó qua điểm N (1; −3) Giaûi a) (E) : x2 y + =1⇔ 4x2 + 9y2 – 36 = (dm) : mx – y – = ⇔ y = mx – Phương trình hoành độ giao điểm (dm) với (E) : 4x2 + 9(mx – 1)2 – 36 = ⇔ (4 + 9m2)x2 – 18mx – 25 = có Δ' = 81m2 + 25(4 + 9m2) > đúng với m Vaäy (dm) luoân luoân caét (E) taïi ñieåm phaân bieät b) Viết phương trình tiếp tuyến với (E) qua N(1; −3) tiếp tuyến thẳng đứng (E) là x = ± ( không qua N ) Goïi Δ laø tieáp tuyeán qua N(1; −3) thì phöông trình Δ coù daïng: y + = k(x – 1) ⇔ kx – y – – k = (Δ) tiếp xúc với (E) ⇔ 9k2 + = (−3 – k)2 = + 6k + k2 ⎡ ⎢ k1 = − ⇔ 8k2 – 6k – = ⇔ ⎢ ⎢k = ⎢⎣ Δ1 : x + 2y + = 0; Δ2 : 5x – 4y – 17 = *** Lop6.net (7)