Đang tải... (xem toàn văn)
Giải Tổng của ba số nguyên tố bằng 1012 là một số chẵn Giả sử cả ba số nguyên tố đều là số nguyên tố lẻ.. ⇒ Tổng của ba số nguyên tố lẻ là một số lẻ (trái với đề bài) Do đó, trong ba số[r]
(1)Chuyên đề: Số nguyên tố Hợp số A/ Lý thuyết
1/ Tính chất chia hết liên quan đến số nguyên tố
Tính chất 1: Nếu tích ab chia hết cho số ngun tố p a⋮p b⋮p
Tính chất 2: Nếu an⋮p a⋮p
B/ Bài tập
Dạng 1: Chứng minh biểu thức số nguyên tố hợp số
Bài 1: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Hỏi p + 100 số nguyên tố hay hợp số
Giải
Vì p số nguyên tố, p > nên p không chia hết cho Do p = 3k + p = 3k + ( k∈N )
Nếu p = 3k + p + = (3k + 1) + = 3k + = 3(k + 3) ⋮ mà p + >
Do p + hợp số (trái với đề bài) Vậy p≠3k+1 mà p = 3k +
Khi p + 100 = (3k + 2) + 100 = 3k + 102= 3(k + 34) ⋮ mà p + 100 >
Do p + 100 hợp số
Bài 2: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số
Giải
Vì p số nguyên tố, p > nên p không chia hết cho Do p = 3k + p = 3k + ( k∈N )
(2)mà p + >
Do p + hợp số (trái với đề bài) Vậy p≠3k+2 mà p = 3k +
Khi p + = (3k + 1) + = 3k + = 3(k + 3) ⋮ mà p + >
Do p + hợp số
Bài 3: Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh 8p + hợp số
Giải
Vì p số nguyên tố, p > nên p không chia hết cho Do p = 3k + p = 3k + ( k∈N )
Nếu p = 3k + 8p - = 8(3k + 2) - = 24k + 15 = 3(8k + 5) ⋮ mà 8p - >
Do 8p - hợp số (trái với đề bài) Vậy p≠3k+2 mà p = 3k +
Khi 8p + = 8(3k + 1) + = 24k + = 3(8k + 3) ⋮ mà 8p + >
Do 8p + hợp số
Bài tập tương tự
Bài 4: Cho p số nguyên tố lớn 3, 8p + số nguyên tố Chứng minh 4p + hợp số
Bài 5: Chứng tỏ p số nguyên tố lớn 2p + số nguyên tố 4p + hợp số
Bài 6: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + 10 hợp số Bài 7: Cho p số nguyên tố lớn Hỏi p2 + 2006 số nguyên tố hay hợp số
Bài 8: Cho p số nguyên tố lớn Hỏi p2 + 2015 số nguyên tố hay hợp số
(3)Dạng 2: Tìm số nguyên tố p để biểu thức cho s ố nguyên t ố
Bài 1: Tìm tất số nguyên tố p cho p + v p + số nguyên tố.
Giải
+/ Với p = p + = + = không số nguyên tố Vậy p = loại
+/ Với p = p + = + = số nguyên tố p + = + = 11 số nguyên tố Vậy p = thỏa mãn điều kiện
+/ Với p > 3, p số nguyên tố nên p không chia hết cho Do p = 3k + p = 3k + ( k∈N )
Nếu p = 3k + p + = (3k + 1) + = 3k + = 3(k + 3) ⋮ mà p + >
Do p + hợp số Vậy p = 3k + loại
Nếu p = 3k + p + = (3k + 2) + = 3k + = 3(k + 2) ⋮ mà p + >
Do p + hợp số Vậy p = 3k + loại
Tóm lại: p = số nguyên tố cần tìm.
Bài 2: Tìm tất số nguyên tố p q cho số 7p + q pq + 11 số nguyên tố
Giải
Vì p, q số nguyên tố nên p ≥ 2, q ≥ Do pq + 11 >
(4)Do đó: p số nguyên tố chẵn, q số nguyên tố lẻ p số nguyên tố lẻ, q số nguyên tố chẵn p q số nguyên tố chẵn
Do đó: p = 2, q số nguyên tố lẻ p số nguyên tố lẻ, q = p = 2, q =
Trư
ờng h ợp 1: p = 2, q = Khi 7p + q = 7.2 + = 16 không số nguyên tố Vậy p = 2, q = loại
Trường hợp 2: q = 2, p số nguyên tố lẻ
Khi q = 7p + q = 7p + pq + 11 = 2p + 11 +/ Với p = 7p + = 7.3 + = 23 số nguyên tố
2p + 11 = 2.3 + 11 = 17 số nguyên tố Vậy q = 2, p = thỏa mãn điều kiện
+/ Với p > 3, p số nguyên tố nên p khơng chia hết cho Do p = 3k + p = 3k + ( k∈N )
Nếu p = 3k + 7p + = 7(3k + 1) + = 21k + = 3(7k + 3) ⋮ mà 7p + >
Do 7p + hợp số Vậy p = 3k + loại
Nếu p = 3k + 2p + 11 = 2(3k + 2) + 11 = 6k + 15 = 3(2k + 5) ⋮ mà 2p + 11 >
Do 2p + 11 hợp số Vậy p = 3k + loại
Trường hợp 3: p = 2, q số nguyên tố lẻ
(5)+/ Với q = q + 14 = + 14 = 17 số nguyên tố 2q + 11 = 2.3 + 11 = 17 số nguyên tố Vậy q = 3, p = thỏa mãn điều kiện
+/ Với q > 3, q số nguyên tố nên q không chia hết cho Do q = 3k + q = 3k + ( k∈N )
Nếu q = 3k + q + 14 = (3k + 1) + = 3k + = 3(k + 1) ⋮ mà q + 14 >
Do q + 14 hợp số Vậy q = 3k + loại
Nếu q = 3k + 2q + 11 = 2(3k + 2) + 11 = 6k + 15 = 3(2k + 5) ⋮ mà 2q + 11 >
Do 2q + 11 hợp số Vậy q = 3k + loại
Tóm lại: số nguyên tố cần tìm (p = 2, q = 3) (p = 3; q = 2)
Bài tập tương tự
Bài 3: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố 1/ p + p + 10
4/ p + p + 10 7/ p + 14 p + 16 10/ 2p + 4p +
2/ p + p + 5/ p + 10 p + 14 8/ p + p + 14
3/ p + p + 20 6/ p + 10 p + 20 9/ p + 94 p + 1994
11/ p + , p + 6, p + p + 14 13/ p + , p + 8, p + 14 p + 26
12/ p + , p + 6, p + 8, p + 12 p + 14 14/ p + , p + 8, p + 14 p + 32
15/ p2 + 2
18/ p2 + 5
16/ p2 + 8
19/ 2p2 + 1
17/ p2 + 14
20/ 8p2 + 1
(6)Bài 1: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh (p - 1).(p + 4) ⋮ 6
Giải
Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ lớn Do đó: p – số tự nhiên chẵn
⇒p−1⋮2
⇒(p−1).(p+4)⋮2 (1)
Vì p số nguyên tố lớn nên p khơng chia hết cho Do đó: p = 3k + p = 3k + ( k∈N )
+/ Nếu p = 3k + p – = (3k + 1) – = 3k ⋮ ⇒(p−1).(p+4)⋮3
+/ Nếu p = 3k + p + = (3k + 2) + = 3k + = 3(k + 2) ⋮ ⇒(p−1).(p+4)⋮3
Tóm lại: p số nguyên tố lớn (p - 1).(p + 4) ⋮ (2) mà ƯCLN(2, 3) = (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒(p−1).(p+4)⋮ (2.3)
⇒(p−1).(p+4)⋮ (đpcm)
Bài 2: Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh (p + 5).(p + 7) ⋮ 24
Giải
Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ lớn
Vì p số lẻ lớn nên p + p + hai số chẵn liên tiếp
Mà hai số chẵn liên tiếp có số chia hết cho 2, số cịn lại chia hết cho Do đó: (p + 5).(p + 7) ⋮ (1)
Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho Do đó: p = 3k + p = 3k + ( k∈N )
(7)⇒(p+5).(p+7)⋮3
+/ Nếu p = 3k + p + = (3k + 2) + = 3k + = 3(k + 3) ⋮ ⇒(p+5).(p+7)⋮3
Tóm lại: p số nguyên tố lớn (p + 5).(p + 7) ⋮ (2) mà ƯCLN(3, 8) = (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒(p+5).(p+7)⋮ (3.8)
⇒(p+5).(p+7)⋮ 24 (đpcm)
Bài 3: Chứng minh p số nguyên tố lớn (p - 1).p.(p + 1) ⋮ 24
Giải
Vì p – 1, p, p + ba số tự nhiên liên tiếp nên (p - 1).p.(p + 1) ⋮ (1) Vì p số nguyên tố lớn nên ƯCLN(p, 3) = (2)
Từ (1) (2) ⟹ (p - 1).(p + 1) ⋮ (3)
Vì p số nguyên tố lớn nên p số lẻ lớn Do p - p + hai số chẵn liên tiếp
Mà hai số chẵn liên tiếp có số chia hết cho 2, số lại chia hết cho Do đó: (p - 1).(p + 1) ⋮ (4)
mà ƯCLN(3, 8) = (5)
Từ (3), (4), (5) ⇒(p−1).(p+1)⋮ (3.8)
⇒(p−1).(p+1)⋮ 24
⇒(p−1) p (p+1)⋮ 24 (đpcm)
Bài 4: Cho p, q số nguyên tố lớn thỏa mãn p = q + Tìm số dư chia p+ q cho 12.
Giải
(8)Do q chia cho dư q = 2k + ( k∈N , k > 1)
Khi đó: p = q + = (2k + 1) + = 2k +
Do đó: p + q = (2k + 1) + (2k + 3) = 4k + = 4(k + 1) ⋮ Vậy p + q ⋮ (1)
Vì q số nguyên tố lơn nên q = 3n + q = 3n + ( n∈N ) +/ Với q = 3n + p = q + = (3n + 1) + = 3n + = 3(n + 1) ⋮
mà p >
⇒ p hợp số (trái với đề bài) Vậy q ≠ 3n + mà q = 3n +
Khi đó: p = q + = (3n + 2) + = 3n +
Do đó: p + q = (3n + 2) + (3n + 4) = 6n + = 3(2n + 2) ⋮ Vậy p + q ⋮ (2)
Mà ƯCLN(3, 4) = (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ p + q ⋮ 12 Vậy số dư chia p+ q cho 12
Một số dạng toán khác số nguyên tố hợp số
Bài 1: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r.
Giải
Vì p chia cho 42 có số dư r nên p = 42k + r ( k , r∈N¿ ; < r < 42, r hợp số)
⇒ p = 2.3.7.k + r ( k , r∈N¿ ; < r < 42, r hợp số)
Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3;
Tập hợp số r mà < r < 42; r không chia hết cho 2; r hợp số : 9; 15; 21; 25; 27; 33; 35; 39
(9)Vậy r = 25
Bài 2: Tìm số nguyên tố nhỏ 200 chia cho 42 ta được số dư r hợp số
Giải Gọi p số nguyên tố cần tìm (p ∈ N, p < 200)
Vì p chia cho 42 có số dư r nên p = 42k + r ( k , r∈N¿ ; < r < 42, r hợp số)
⇒ p = 2.3.7.k + r ( k , r∈N¿ ; < r < 42, r hợp số)
Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3;
Tập hợp số r mà < r < 42; r không chia hết cho 2; r hợp số : 9; 15; 21; 25; 27; 33; 35; 39
Ta tiếp tục loại số chia hết cho 7, ta r = 25 Với r = 25, ta có p = 42k + r = 42k + 25 (k∈N¿)
+/ Với k = p = 42.1 + 25 = 67 số nguyên tố +/ Với k = p = 42.2 + 25 = 109 số nguyên tố +/ Với k = p = 42.3 + 25 = 151 số nguyên tố +/ Với k = p = 42.4 + 25 = 193 số nguyên tố
+/ Với k = p = 42.5 + 25 = 235 không số nguyên tố
Vậy số nguyên tố nhỏ 200 thỏa mãn là: 67; 109; 151; 193
Bài 3: Một số nguyên tố chia cho 30 có số dư r Tìm r, biết r khơng số nguyên tố.
Giải Gọi p số nguyên tố chia cho 30 có số dư r
⇒ p = 30k + r ( k , r∈N¿ ; < r < 30, r không số nguyên tố)
⇒ p = 2.3.5.k + r ( k , r∈N¿ ; < r < 30, r không số nguyên tố)
(10)Tập hợp số r mà r∈N¿ , < r < 30; r không chia hết cho 2; r không số nguyên tố:
1; 9; 15; 21; 25; 27
Ta tiếp tục loại số chia hết cho 5, ta r = Vậy r =
Bài 4: Tìm hai số tự nhiên, cho tổng tích chúng số ngun tố
Giải
Vì tích hai số tự nhiên số nguyên tố nên số 1, số lại số nguyên tố (ta gọi số nguyên tố p)
Theo đề bài, ta có: + p số nguyên tố Trường hợp 1: + p số nguyên tố lẻ
⇒ p số chẵn, mà p số nguyên tố
⇒ p =
Trường hợp 2: + p số nguyên tố chẵn
⇒ + p =
⇒ p = không số nguyên tố (loại) Vậy hai số tự nhiên cần tìm
Bài 5: Tổng ba số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số nguyên tố đó.
Giải Tổng ba số nguyên tố 1012 số chẵn Giả sử ba số nguyên tố số nguyên tố lẻ
⇒ Tổng ba số nguyên tố lẻ số lẻ (trái với đề bài) Do đó, ba số nguyên tố phải có số nguyên tố chẵn
⇒ Số nguyên tố chẵn số
(11)Bài 6: Tổng hai số ngun tố 2003 hay khơng?
Giải
Nếu tổng hai số nguyên tố 2003 (2003 số lẻ) hai số nguyên tố có số số nguyên tố chẵn
Số nguyên tố chẵn
Do đó, số cịn lại là: 2003 – = 2001 ⋮ 3, mà 2001 > Vậy 2001 hợp số
Do khơng tồn hai số nguyên tố có tổng 2003
Bài tập tương tự
Bài 7: Tổng ba số nguyên tố 170 Tìm số nhỏ ba số nguyên tố Bài 8: Tổng ba số nguyên tố 356 Tìm số nhỏ ba số nguyên tố Bài 9: Tổng hai số nguyên tố 1988 hay khơng?