Để kết thúc bài viết này, tôi muốn chúc các em học thật giỏi môn toán ngay từ đầu bậc THCS và cho tôi được nói riêng với các quý thầy cô : nguyên tắc chung để chứng minh một số tự nhiên [r]
(1)đầy đủ các dạng bài toán bồi giỏi đã tổng hợp D·y c¸c sè viÕt theo qui luËt Bµi 1: TÝnh: A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 Bµi 2: TÝnh: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 HD: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) Bµi 3: TÝnh: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 HD: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) Bµi 4: TÝnh: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 HD: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 Bµi 5: TÝnh: A = 12+22+32+ +992+1002 HD: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) Bµi 6: TÝnh: A = 22+42+62+ +982+1002 HD: A = 22(12+22+32+ +492+502) Bµi 7: TÝnh: A = 12+32+52+ +972+992 HD: A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bµi 8: TÝnh: Lop6.net (2) A = 12-22+32-42+ +992-1002 HD: A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bµi 9: TÝnh: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 HD: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) D·y c¸c sè viÕt theo qui luËt Bµi 1: TÝnh: A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 Bµi 2: TÝnh: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Bµi 3: TÝnh: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 HD: Bµi 4: TÝnh: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Bµi 5: TÝnh: A = 12+22+32+ +992+1002 Bµi 6: TÝnh: A = 22+42+62+ +982+1002 Bµi 7: TÝnh: A = 12+32+52+ +972+992 Bµi 8: TÝnh: A = 12-22+32-42+ +992-1002 Bµi 9: TÝnh: A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 CHUY£N §Ò ¦C - BC Bµi to¸n mÉu : Trong số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN và tích hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN a và b Việc chứng minh hệ thức này không khó : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = Lop6.net (3) Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = Bài toán : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) CHUY£N §Ò D·Y Sè VIÕT THEO QUY LUËT D¹ng : TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng bài toán tính tổng quen thuộc sau : Bài toán A : Tính tổng : Lời giải : Vì = ; = ; ; 43 44 = 1892 ; 44 45 = 1980 ta có bài toán khó chút xíu Bài : Tính tổng : Và tất nhiên ta nghĩ đến bài toán ngược Bài : Tìm x thuộc N biết : Hơn ta có : ta có bài toán Bài : Chứng minh : Do vậy, cho ta bài toán “tưởng khó” Bài : Chứng tỏ tổng : không phải là số nguyên Chúng ta nhận a1 ; a2 ; ; a44 là các số tự nhiên lớn và khác thì Lop6.net (4) Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : Bài : Tìm các số tự nhiên khác a1 ; a2 ; a3 ; ; a43 ; a44 cho Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán sau : Bài : Cho 44 số tự nhiên a1 ; a2 ; ; a44 thỏa mãn Chứng minh rằng, 44 số này, tồn hai số Bài : Tìm các số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; ; a44 ; a45 thỏa mãn a1 < a2 a3 < < a44 < a45 và Các bạn còn phát điều gì thú vị ? D¹ng 2: so s¸nh Bài : Chứng minh : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < Lời giải : Có khá nhiều cách chứng minh nhờ “đánh giá” vế trái các kiểu khác Ta gọi vế trái bất đẳng thức là A Cách : Ta có : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5 (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2) Từ (1) và (2) => : A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = Cách : Ta có : 1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4) Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < Cách :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = (5) 1/10 + 1/11 + + 1/17 < 8.1/8 = (6) Từ (5), (6) => : A < + = Cách : 1/6 + 1/7 + + 1/11 < 6.1/6 = (7) 1/12 + 1/13 + + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8) Tơ (7), (8) => : A < 1/5 + + 1/2 = 17/10 < Cách : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = (9) 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10) 1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11) Tơ (9), (10), (11) => : A < + 1/2 + 1/5 = 17/10 < ĐỀ SỐ HỌC NÂNG CAO Viết các tập hợp sau cách liệt kê các phần tử nó: Lop6.net (5) a) Tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số đó chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị là b) Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số * Ghi số nhỏ có:a) chín chữ số b) n chữ số (n N*) c) mười chữ số khác ** Ghi số lớn có: a) chín chữ số b) n chữ số (n N*) c) mười chữ số khác Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy số sau: 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Hỏi: a) Chữ số hàng đơn vị số 52 đứng hàng thứ mấy? b) Chữ số đứng hàng thứ 873 là chữ số gì? Chữ số đó số tự nhiên nào? Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông: a) {1; 2; 6} e) {a} b) {1; 2; 6} f) {0} c) {1} {1; 2; 6} g) {3; 4} N d) {2;1; 6} {1; 2; 6} h) N* Trong đợt thi đua "Bông hoa điểm 10" mừng ngày Nhà giáo Việt Nam - Lớp 6/1 có 45 bạn đạt từ điểm 10 trở lên, 38 bạn đạt từ điểm 10 trở lên, 15 bạn đạt từ điểm 10 trở lên, bạn đạt điểm 10, không có đạt trên điểm 10 Hỏi đợt thi đua đó, lớp 6/1 có tất bao nhiêu điểm 10? Trong đợt dự thi "Hội khoẻ Phù Đổng", kết điều tra lớp cho thấy; có 25 học sinh thích bóng đá, 22 học sinh thích điền kinh, 24 học sinh thích cầu lông, 14 học sinh thích bóng đá và điền kinh, 16 học sinh thích bóng đá và cầu lông, 15 học sinh thích cầu lông và điền kinh, học sinh thích môn, còn lại là học sinh thích cờ vua Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh? Muốn viết tất các số tự nhiên từ đến 1000 phải dùng bao nhiêu chữ số 5? Lop6.net (6) Điền các chữ số thích hợp vào ô trống để tổng ba chữ số liền 23: Tìm số có hai chữ số cho số đó lớn lần tổng các chữ số nó là đơn vị 10 Tìm số bị chia và số chia nhỏ để thương phép chia là 15 và số dư là 36 11 Em hãy đặt các dấu (+) và dấu (-) vào các chữ số số (có thể ghép chúng lại với nhau) để kết phép tính 200 12 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số nó là 11 và đổi chỗ hai chữ số đó cho ta số số cũ 63 đơn vị 13 Một phép chia có tổng số bị chia và số chia là 97 Biết thương là và số dư là Tìm số bị chia và số chia 14 So sánh: 21000 và 5400 15 Tìm n N, biết: a) 2n = 512 b) (2n + 1)3 = 729 16 Tính giá trị biểu thức: a) 39 : 37 + 22 c) b) 23 32 - 516 : 514 47 34 96 d) 613 216 + 28 213 + 25 17 Tìm x, y N, biết rằng: 2x + 242 = 3y 18 Tìm x N, biết: a) 1440 : [41 - (2x - 5)] = 24 b) 5.[225 - (x - 10)] -125 = 19 Tính giá trị các biểu thức sau: a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 215 : 213 b) [504 - (25.8 + 70)] : - 15 + 190 Lop6.net (7) c) {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15} d) [1104 - (25.8 + 40)] : + 316 : 312 20 Tìm x biết: a) (x - 15) : + 22 = 24 b) 42 - (2x + 32) + 12 : = c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]} x = 86 21 Xét xem: a) 20022003 + 20032004 có chia hết cho không? b) 34n - có chia hết cho không? (n N*) c) 20012002 - có chia hết cho 10 không? 22 Tìm x, y để số 30 xy chia hết cho và 3, và chia cho dư 23 Viết số tự nhiên nhỏ có năm chữ số, tận cùng và chia hết cho A D NANG CAO Bài Cho số M = (1/16)2002 Tính tổng 2002 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy số M viết dạng số thập phân Bài 2: Em hãy thay mật chữ cái mật chữ số để phép tính đây đúng (chữ cáI khác thì thay chữ số khác nhau) TIME + TIME = MONEY Đẳng thức trên còn có ý nghĩa gì không? Bài : TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Bài : Chứng minh : 1/5 + 1/6 + 1/7 + + 1/17 < Bài : Tìm tổng các chữ số 999999999982 Bài 2(1) : Cho A = - + 13 - 19 + 25 - 31 + a) Biết A có 40 số hạng Tính giá trị A b) Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n Bài 4(1) : Cho số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả mãn : 2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 1) Nếu tính tổng hai số bất kì thì bao nhiêu tổng? 2) Biết tất các tổng trên là khác Chứng minh a6 ≥ 2012 Bài 5(1) : Bạn hãy khôi phục lại chữ số bị xóa (để lại vết tích chữ số là dấu *) để phép toán đúng Lop6.net (8) Bài 1(2) : Tìm tất các số chính phương dạng Bài 1(4) : Cho số : gồm 2003 chữ số bên trái dấu * và 2003 chữ số bên phải dấu * Hãy thay dấu * chữ số nào để số chia hết cho Bài 2(5) : Phân số Ai Cập Biểu diễn phân số 1/2 dạng tổng phân số dương có tử số Có bao nhiêu cách ?7 Bài 3(5) : So sánh A và B biết : A = (20032002 + 20022002)2003 B = (20032003 + 20022003)2002 Bài 1(6) : Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố, p - chia hết cho Giả sử các số nguyên x, y thỏa mãn ax2 - by2 chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p Bài 2(6) : Cho hình lập phương Người ta gắn cho đỉnh nó đỉnh A, theo chiều mũi tên số tự nhiên liên tiếp và thực : lần cộng vào đỉnh mặt cùng với số nguyên nào đó Hỏi sau bao nhiêu lần thì ta số đỉnh ?9 Bài 2(8) : Cho dãy số tự nhiên liêp tiếp : 150 O 149 O 148 O … O 51 O 50 Chứng minh rằng, điền vào các vòng tròn “O” dấu “+” dấu “-” thì kết không thể 2003 Lời giải : Các bạn đã lí luận nhiều cách để : điền vào các hình tròn dấu “+” dấu “-” thì kết là số chẵn nên kết không thể 2003 Bài 3(9) : Trong giải bóng đá Nhi đồng theo thể thức thi đấu vòng tròn lượt Thắng điểm, hòa điểm, thua điểm Đội Măng Non hòa trận, thua trận và tất 16 điểm Chứng minh vào bất kì lúc nào tìm ít hai đội đã đấu cùng số trận Bài 1(11) : Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp 10 Bài 2(11) : Tìm số nguyên a lớn cho số T = 427 + 41016 + 4a là số chính phương 10 Bài 3(11) : Bạn Hải đã làm bài toán nhân đúng cách các chữ số rời Hà, em Hải, đã đổi chỗ số chữ số bên Hãy lại vị trí các chữ số ban đầu mà Hải đã làm đúng 10 Bài toán thách đấu : So sánh 5255 và 2572 11 Bài 3(13) : Cho 25 số nguyên phân biệt, biết tổng số bất kì chúng dương 11 a) Chứng minh : Trong 25 số có ít 22 số dương.11 b) Tổng 25 số này lớn 316 11 Bài 2(14) : Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên x, y : 12 36x2 + 144y2 - 276x - 120y + 25 = (*) 12 Lop6.net (9) Bài 1(18) : Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho ; viết các chữ số 0, 1, và không lớn 2004 ? 13 Bài 2(20) : Tìm tất các số nguyên dương a, b cho : ab = 3(b - a) (1) 14 Bài 1(21) : Cho ba số chính phương A, B, C Chứng tỏ : 14 (A - B)(B - C)(C - A) chia hết cho 12 14 Bài 1(22) : Giả sử (a1 ; a2 ; ; a37) ; (b1 ; b2 ; ; b37) ; (c1 ; c2 ; ; c37) là số nguyên bất kì Chứng minh tồn các số k, l, n thuộc tập hợp số {1 ; ; ; 37} để các số a = 1/3(ak + al + an) ; b = 1/3(bk + bl + bn) ; c = 1/3(ck +cl + cn) ; đồng thời là các số nguyên 14 Bài 2(24) : Tồn hay không số nguyên n thỏa mãn n3 + 2003n = 20052005 + ? 15 MỘT DẠNG TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN Trong chương trình số học lớp 6, sau học các khái niệm ước chung lớn (ƯCLN) và bội chung nhỏ (BCNN), các bạn gặp dạng toán tìm hai số nguyên dương biết số yếu tố đó có các kiện ƯCLN và BCNN Phương pháp chung để giải : 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tìm, liên hệ với các yếu tố đã cho để tìm hai số 2/ Trong số trường hợp, có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN và tích hai số nguyên dương a, b, đó là : ab = (a, b).[a, b], đó (a, b) là ƯCLN và [a, b] là BCNN a và b Việc chứng minh hệ thức này không khó : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) Chúng ta hãy xét số ví dụ minh họa Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16 Lời giải : Do vai trò a, b là nhau, không tính tổng quát, giả sử a ≤ b Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80 Chú ý : Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suyy mn = 15 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = Lời giải : Lập luận bài 1, giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Vì : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc là a = 12, b = 18 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = Tìm (a, b) = 3, bài toán đưa dạng bài toán Lop6.net (10) Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15 Chú ý : Ta có thể tính (a, b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a/b = 2,6 và (a, b) = Lời giải : Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Vì : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 và n = hay a = 65 và b = 25 Chú ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn là phân số tối giản (m, n) = Bài toán : Tìm a, b biết a/b = 4/5 và [a, b] = 140 Lời giải : Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) = 16 Lời giải : Lập luận bài 1, giả sử a ≤ b Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Vì : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 Bài toán : Tìm a, b biết a + b = 42 và [a, b] = 72 Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Không tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2) => d là ước chung 42 và 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt thay các giá trị d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy có trường hợp d = => m + n = và mn = 12 => m = và n = (thỏa mãn các điều kiện m, n) Vậy d = và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài toán : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140 Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Do đó : a - b = d(m - n) = (1’) [a, b] = mnd = 140 (2’) => d là ước chung và 140 => d thuộc {1 ; 7} Thay các giá trị d vào (1’) và (2’) để tính m, n ta kết : d = => m - n = và mn = 20 => m = 5, n = Vậy d = và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 Bài tập tự giải : 1/ Tìm hai số a, b biết 7a = 11b và (a, b) = 45 2/ Tìm hai số biết tổng chúng 448, ƯCLN chúng 16 và chúng có các chữ số hàng đơn vị giống 3/ Cho hai số tự nhiên a và b Tìm tất các số tự nhiên c cho ba số, tích hai số luôn chia hết cho số còn lại CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Lop6.net (11) Trong chương trình Toán lớp 6, các em đã học các bài toán liên quan tới phép chia hết số tự nhiên cho số tự nhiên khác và đặc biệt là giới thiệu số chính phương, đó là số tự nhiên bình phương số tự nhiên (chẳng hạn : ; ; ; ;16 ; 25 ; 121 ; 144 ; …) Kết hợp các kiến thức trên, các em có thể giải bài toán : Chứng minh số không phải là số chính phương Đây là cách củng cố các kiến thức mà các em đã học Những bài toán này làm tăng thêm lòng say mê môn toán cho các em Nhìn chữ số tận cùng Vì số chính phương bình phương số tự nhiên nên có thể thấy số chính phương phải có chữ số tận cùng là các chữ số ; ; ; ; ; Từ đó các em có thể giải bài toán kiểu sau đây : Bài toán : Chứng minh số : n = 20042 + 20032 + 20022 - 20012 không phải là số chính phương Lời giải : Dễ dàng thấy chữ số tận cùng các số 20042 ; 20032 ; 20022 ; 20012 là ; ; ; Do đó số n có chữ số tận cùng là nên n không phải là số chính phương Chú ý : Nhiều số đã cho có chữ số tận cùng là các số ; ; ; ; ; không phải là số chính phương Khi đó các bạn phải lưu ý thêm chút : Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2 Bài toán : Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương Lời giải : Thấy số 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận cùng là 0) không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90) Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương Chú ý : Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho (vì chữ số tận cùng là 0), không chia hết cho (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương Bài toán : Chứng minh số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương Lời giải : Ta thấy tổng các chữ số số 2004 là nên 2004 chia hết cho mà không chia hết nên số có tổng các chữ số là 2004 chia hết cho mà không chia hết cho 9, đó số này không phải là số chính phương Dùng tính chất số dư Chẳng hạn các em gặp bài toán sau đây : Bài toán : Chứng minh số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương Chắc chắn các em dễ bị “choáng” Vậy bài toán này ta phải nghĩ tới điều gì ? Vì cho giả thiết tổng các chữ số nên chắn các em phải nghĩ tới phép chia cho cho Nhưng lại không gặp điều “kì diệu” bài toán Thế thì ta nói điều gì số này ? Chắc chắn số này chia cho phải dư Từ đó ta có lời giải Lời giải : Vì số chính phương chia cho có số dư là mà thôi (coi bài tập để các em tự chứng minh !) Do tổng các chữ số số đó là 2006 nên số đó chia cho dư Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương Tương tự các em có thể tự giải bài toán : Bài toán : Chứng minh tổng các số tự nhiên liên tiếp từ đến 2005 không phải là số chính phương Bài toán : Chứng minh số : n = 20044 + 20043 + 20042 + 23 không là số chính phương Lop6.net (12) Bây các em theo dõi bài toán sau để nghĩ tới “tình huống” Bài toán : Chứng minh số : n = 44 + 4444 + 444444 + 44444444 + 15 không là số chính phương Nhận xét : Nếu xét n chia cho 3, các em thấy số dư phép chia là 1, là không “bắt chước” cách giải các bài toán ; ; ; Nếu xét chữ số tận cùng các em thấy chữ số tận cùng n là nên không làm “tương tự” các bài toán ; Số dư phép chia n cho là dễ thấy nhất, đó chính là Một số chính phương chia cho cho số dư nào ? Các em có thể tự chứng minh và kết : số dư đó có thể là Như là các em đã giải xong bài toán “Kẹp” số hai số chính phương “liên tiếp” Các em có thể thấy : Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn n2 < k < (n + 1)2 thì k không là số chính phương Từ đó các em có thể xét các bài toán sau : Bài toán : Chứng minh số 4014025 không là số chính phương Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho dư 1, chia cho dư Thế là tất các cách làm trước không vận dụng Các em có thể thấy lời giải theo hướng khác Lời giải : Ta có 20032 = 4012009 ; 20042 = 4016016 nên 20032 < 4014025 < 20042 Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương Bài toán : Chứng minh A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không là số chính phương với số tự nhiên n khác Nhận xét : Đối với các em đã làm quen với dạng biểu thức này thì có thể nhận A + là số chính phương (đây là bài toán quen thuộc với lớp 8) Các em lớp 6, lớp có thể chịu khó đọc lời giải Lời giải : Ta có : A + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) +1 = (n2 + 3n +1)2 Mặt khác : (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + = (n2 + 3n +1)2 => A không là số chính phương Các em có thể rèn luyện cách thử giải bài toán sau : Bài toán 10 : Hãy tìm số tự nhiên n cho A = n4 - 2n3 + 3n2 - 2n là số chính phương Gợi ý : Nghĩ đến (n2 - n + 1)2 Bài toán 11 : Chứng minh số 235 + 2312 + 232003 không là số chính phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho phép chia cho Bài toán 12 : Có 1000 mảnh bìa hình chữ nhật, trên mảnh bìa ghi số các số từ đến 1001 cho không có hai mảnh nào ghi số giống Chứng minh : Không thể ghép tất các mảnh bìa này liền để số chính phương Bài toán 13 : Chứng minh : Tổng các bình phương bốn số tự nhiên liên tiếp không thể là số chính phương Gợi ý : Nghĩ tới phép chia cho Bài toán 14 : Chứng minh số 333333 + 555555 + 777777 không là số chính phương Gợi ý : Nghĩ đến phép chia cho … chục (?) Bài toán 15 : Lúc đầu có hai mảnh bìa, cậu bé tinh nghịch cầm mảnh bìa lên lại xé làm bốn mảnh Cậu ta mong làm đến lúc nào đó số mảnh bìa là số chính phương Cậu ta có thực mong muốn đó không ? Lop6.net (13) Để kết thúc bài viết này, tôi muốn chúc các em học thật giỏi môn toán từ đầu bậc THCS và cho tôi nói riêng với các quý thầy cô : nguyên tắc chung để chứng minh số tự nhiên không là số chính phương, đó là dựa vào các điều kiện cần để số là số chính phương (mà các quý thầy cô đã biết : điều kiện cần trên đời là dùng để … phủ định !) Từ đó các quý thầy cô có thể sáng tạo thêm nhiều bài toán thú vị khác Mong các em và quý thầy cô phát thêm nhiều điều kiện cần để chúng ta có thể tìm hiểu kĩ số chính phương CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Các bạn đã giới thiệu các phương pháp chứng minh số không phải là số chính phương TTT2 số Bài viết này, tôi muốn giới thiệu với các bạn bài toán chứng minh số là số chính phương Phương pháp : Dựa vào định nghĩa Ta biết rằng, số chính phương là bình phương số tự nhiên Dựa vào định nghĩa này, ta có thể định hướng giải các bài toán Bài toán : Chứng minh : Với số tự nhiên n thì an = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + là số chính phương Lời giải : Ta có : an = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + = (n2 + 3n) (n2 + 3n + 2) + = (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + = (n2 + 3n + 1)2 Với n là số tự nhiên thì n2 + 3n + là số tự nhiên, theo định nghĩa, an là số chính phương Bài toán : Chứng minh số : là số chính phương Lời giải : Ta có : Lop6.net (14) Vậy : là số chính phương Phương pháp : Dựa vào tính chất đặc biệt Ta có thể chứng minh tính chất đặc biệt : “Nếu a, b là hai số tự nhiên nguyên tố cùng và a.b là số chính phương thì a và b là các số chính phương” Bài toán : Chứng minh : Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m2 + m = 4n2 + n thì m - n và 4m + 4n + là số chính phương Lời giải : Ta có : 3m2 + m = 4n2 + n tương đương với 4(m2 - n2) + (m - n) = m2 hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m2 (*) Gọi d là ước chung lớn m - n và 4m + 4n + thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + chí hết cho d Mặt khác, từ (*) ta có : m2 chia hết cho d2 => m chia hết cho d Từ 8m + chia hết cho d và m chia hết cho d ta có chia hết cho d => d = Vậy m - n và 4m + 4n + là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng là các số chính phương Cuối cùng xin gửi tới các bạn số bài toán thú vị số chính phương : 1) Chứng minh các số sau đây là số chính phương : 2) Cho các số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn : 1/a + 1/b = 1/c Hãy cho biết a + b có là số chính phương hay không ? 3) Chứng minh rằng, với số tự nhiên n thì 3n + không là số chính phương Lop6.net (15) 4) Tìm số tự nhiên n để n2 + 2n + 2004 là số chính phương 5) Chứng minh : Nếu : và n là hai số tự nhiên thì a là số chính phương NGUYÊN LÍ ĐI - RÍCH - LÊ Nguyên lí Đi-rích-lê phát biểu sau : “Nếu có m vật đặt vào n cái ngăn kéo và m > n thì có ít ngăn kéo chứa ít hai vật” Nguyên lí Đi-rích-lê giúp ta chứng minh tồn “ngăn kéo” chứa ít hai vật mà không đó là “ngăn kéo” nào Các bạn hãy làm quen việc vận dụng nguyên lí qua các bài toán sau đây Bài toán : Chứng minh 11 số tự nhiên bất kì tồn ít số có hiệu chia hết cho 10 Lời giải : Với 11 số tự nhiên chia cho 10 ta 11 số dư, mà số tự nhiên bất kì chia cho 10 có 10 khả dư là ; ; ; ; ; Vì có 11 số dư mà có 10 khả dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn ít số chia cho 10 có cùng số dư đó hiệu chúng chia hết cho 10 (đpcm) Bài toán : Chứng minh tồn số có dạng 19941994 199400 chia hết cho 1995 Lời giải : Xét 1995 số có dạng : 1994 ; 19941994 ; ; Nếu các số trên chia hết cho 1995 thì dễ dàng có đpcm Nếu các số trên không chia hết cho 1995 thì chia số cho 1995 có 1994 khả dư là ; ; ; ; 1994 Vì có 1995 số dư mà có 1994 khả dư, theo nguyên lí Đi-rích-lê tồn ít số chia cho 1995 có cùng số dư, hiệu chúng chia hết cho 1995 Giả sử hai số đó là : Khi đó : = 1994 199400 chia hết cho 1995 (đpcm) Bài toán : Chứng minh tồn số tự nhiên k cho (1999^k - 1) chia hết cho104 Lời giải : Xét 104 + số có dạng : 19991 ; 19992 ; ; 1999104 + Lập luận tương tự bài toán ta : (1999m - 1999n) chia hết cho 104 (m > n) hay 1999n (1999m-n - 1) chia hết cho 104 Vì 1999n và 104 nguyên tố cùng nhau, đó (1999m-n - 1) chia hết cho 104 Đặt m - n = k => 1999^k - chia hết cho 104 (đpcm) Bài toán : Chứng minh tồn số viết hai chữ số chia hết cho 2003 Lời giải : Xét 2004 số có dạng ; 11 ; 111 ; ; Lop6.net (16) Lập luận tương tự bài toán ta : hay 11 100 chia hết cho 2003 (đpcm) Một số bài toán tự giải : Bài toán : Chứng minh số nguyên tố p ta có thể tìm số viết hai chữ số chia hết cho p Bài toán : Chứng minh số tự nhiên không chia hết cho và thì tồn bội nó có dạng : 111 Bài toán : Chứng minh tồn số có dạng 1997k (k thuộc N) có tận cùng là 0001 Bài toán : Chứng minh các số nguyên m và n nguyên tố cùng thì tìm số tự nhiên k cho mk - chia hết cho n Các bạn hãy đón đọc số sau : Nguyên lí Đi-rích-lê với bài toán hình học thú vị SUY NGHĨ TRÊN MỖI BÀI TOÁN Giải hàng trăm bài toán mà cốt tìm đáp số và dừng lại đó thì kiến thức thu lượm chẳng là bao Còn giải ít bài tập mà lại luôn suy nghĩ trên bài đó, tìm thêm cách giải, khai thác thêm ý bài toán, đó là đường tốt để lên học toán Dưới đây là thí dụ Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và B = A.3 Tính giá trị B Lời giải : Theo đề bài ta có : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + 5.6.(7 - 4) + 6.7.(8 - 5) + 7.8.(9 - 6) + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 990 Trước hết, ta nghĩ rằng, bài toán yêu cầu tính tổng A, ta có : A = B/3 = 330 Bây giờ, ta tạm thời quên đáp số 990 mà chú ý tới tích cuối cùng 9.10.11, đó 9.10 là số hạng cuối cùng A và 11 là số tự nhiên kề sau 10, tạo thành tích ba số tự nhiên liên tiếp Ta dễ dàng nghĩ tới kết sau : Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + (n - 1).n thì giá trị B = A.3 = (n - 1).n.(n + 1) Các bạn có thể tự kiểm nghiệm kết này cách giải tương tự trên Bây ta tìm lời giải khác cho bài toán Lời giải : B = (1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = (0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10).3 = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = (1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2).3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 Ta chưa biết cách tính tổng bình phương các số lẻ liên tiếp 1, liên hệ với lời giải 1, ta có : Lop6.net (17) (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 9.10.11, hay (12 + 32 + 52 + 72 + 92) = 9.10.11/6 Hoàn toàn hợp lí ta nghĩ đến bài toán tổng quát : Bài toán : Tính tổng : P = 12 + 32 + 52 + 72 + … + (2n + 1)2 Kết : P = (2n + 1)(2n + 2)(2n + 3)/6 Kết này có thể chứng minh theo cách khác, ta xem xét sau Loạt bài toán sau là kết liên quan đến bài toán và bài toán Bài toán : Tính tổng : Q = 112 + 132 + 152 + … + (2n + 1)2 Bài toán : Cho A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 và C = A + 10.11 Tính giá trị C Theo cách tính A bài toán 1, ta kết là : C = 10.11.12/3 Theo lời giải bài toán 1, ta đến kết : C = 2.(22 + 42 + 62 + 82 + 102) Tình cờ, ta lại có kết bài toán tổng quát : tính tổng bình phương các số tự nhiên chẵn liên tiếp, Bài toán : Chứng minh : 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2)/6 Từ đây, ta tiếp tục đề xuất và giải các bài toán khác Bài toán : Tính tổng : 202 + 222 + … + 482 + 502 Bài toán : Cho n thuộc N* Tính tổng : n2 + (n + 2)2 + (n + 4)2 + … + (n + 100)2 Hướng dẫn giải : Xét hai trường hợp n chẵn và n lẻ ; áp dụng kết bài toán 2, bài toán và cách giải bài toán Bài toán có kết nhất, không phụ thuộc vào tính chẵn lẻ n Bài toán : Chứng minh : 12 + 22 + 32 + … + n2 = n.(n + 1)(n + 2)/6 Lời giải : Xét trường hợp n chẵn : 12 + 22 + 32 + … + n2 = (12 + 32 + 52 + … + (n - 1)2) + (22 + 42 + 62 + … + n2) = [(n - 1).n.(n + 1) + n.(n + 1).(n + 2)]/6 = n.(n + 1).(n -1 + n + 2)/6 = n.(n + 1).(2n + 1)/6 Tương tự với trường hợp n lẻ, ta có đpcm Lời giải : Ta có : 13 = 13 23 = (1 + 1)3 = 13 + 3.12.1 + 3.1.12 + 13 33 = (2 + )3 = 23 + 3.22.1 + 3.2.12 + 13 ……… (n + 1)3 = n3 + 3.n2.1 + 3.n.12 + 13 Cộng vế các đẳng thức trên : 13 + 23 + 33 + … + n3 + (n + 1)3 = = (13 + 23 + 33 + … + n3) + 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => (n + 1)3 = 3(12 + 22 + 32 + … + n2) + 3(1 + + + … + n) + (n + 1) => 3(12 + 22 + 32 + … + n2) = (n + 1)3 - 3(1 + + + … + n) - (n + 1) = (n + 1)2.(n + 1) - 3.n.(n + 1)/2 - (n + 1) = (n + 1)[2(n + 1)2 - 3n + 2]/2 Lop6.net (18) = (n + 1).n.(2n + 1)/2 => 12 + 22 + 32 + … + n2 = (n + 1).n.(2n + 1)/6 Bài toán : Tính giá trị biểu thức : A = - 12 + 22 - 32 + 42 - … - 192 + 202 Lời giải : Đương nhiên, ta có thể tách A = (22 + 42 + … + 202) - (12 + 32 + …+ 192) ; tính tổng các số ngoặc đơn tìm kết bài toán Song ta còn có cách giải khác sau : A = (22 -12) + (42 - 32) + … + (202 -192) = (2 + 1)(2 - 1) + (4 + 3)(4 - 3) + … + (20 + 19)(20 - 19) = + + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = (3 + 39).10/2 = 210 Trở lại bài toán Phải bài toán cho B = A.3 vì là số tự nhiên liền sau nhóm đầu tiên : 1.2 Nếu đúng thì ta có thể giải bài toán sau : Bài toán 10 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4/4 = [1.2.3.(4 - 0) + 2.3.4.(5 - 1) + … + 8.9.10.(11 - 7)] : = (1.2.3.4 - 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 - 7.8.9.10 + 8.9.10.11) : = 8.9.10.11/4 = 1980 Tiếp tục hướng suy nghĩ trên, ta có kết tổng quát bài toán 10 : Bài toán 11 : Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + (n - 1).n.(n + 1) Đáp số : A = (n -1).n.(n + 1)(n + 2)/4 <DD.BàI Các bạn thấy ! Chỉ với bài toán 1, chịu khó tìm tòi, suy nghĩ, ta có thể tìm nhiều cách giải, đề xuất bài toán thú vị, thiết lập mối liên hệ các bài toán Kết tất yếu quá trình tìm tòi suy nghĩ trên bài toán, đó là làm tăng lực giải toán các bạn Chắc chắn còn nhiều điều thú vị xung quanh bài toán Các bạn hãy cùng tiếp tục suy nghĩ nhé NGUYÊN LÍ ĐI-RÍCH-LÊ & NHỮNG BÀI TOÁN HÌNH HỌC THÚ VỊ Tạp chí Toán Tuổi thơ số 12 đã đề cập đến các bài toán số học vận dụng nguyên lí Đi-rích-lê để giải Nguyên lí có thể mở rộng sau : Nếu có m vật đặt vào n cái ngăn kéo và m > k.n thì có ít ngăn kéo chứa ít k + vật Với mở rộng này, ta còn có thể giải thêm nhiều bài toán khác Sau đây xin giới thiệu để bạn đọc làm quen việc vận dụng nguyên lí Đi-rích-lê với số bài toán hình học Bài toán : Trong tam giác có cạnh (đơn vị độ dài, hiểu đến cuối bài viết) lấy 17 điểm Chứng minh 17 điểm đó có ít hai điểm mà khoảng cách chúng không vượt quá Lop6.net (19) Lời giải : Chia tam giác có cạnh thành 16 tam giác có cạnh (hình 1) Vì 17 > 16, theo nguyên lí Đi-rích-lê, tồn ít tam giác cạnh có chứa ít điểm số 17 điểm đã cho Khoảng cách hai điểm đó luôn không vượt quá (đpcm) Bài toán : Trong hình vuông cạnh 7, lấy 51 điểm Chứng minh có điểm 51 điểm đã cho nằm hình tròn có bán kính Lời giải : Chia hình vuông cạnh thành 25 hình vuông nhau, cạnh hình vuông nhỏ 5/7 (hình 2) Vì 51 điểm đã cho thuộc 25 hình vuông nhỏ, mà 51 > 2.25 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê, có ít hình vuông nhỏ chứa ít điểm (3 = + 1) số 51 điểm đã cho Hình vuông cạnh có bán kính đường tròn ngoại tiếp là : Vậy bài toán chứng minh Hình tròn này chính là hình tròn bán kính 1, chứa hình vuông ta đã trên Bài toán : Trong mặt phẳng cho 2003 điểm cho điểm bất kì có ít điểm cách khoảng không vượt quá Chứng minh : tồn hình tròn bán kính chứa ít 1002 điểm Lời giải : Lấy điểm A bất kì 2003 điểm đã cho, vẽ đường tròn C1 tâm A bán kính + Nếu tất các điểm nằm hình tròn C1 thì hiển nhiên có đpcm + Nếu tồn điểm B mà khoảng cách A và B lớn thì ta vẽ đường tròn C2 tâm B bán kính Khi đó, xét điểm C bất kì số 2001 điểm còn lại Xét điểm A, B, C, vì AB > nên theo giả thiết ta có AC ≤ BC ≤ Nói cách khác, điểm C phải thuộc C1 C2 => 2001 điểm khác B và A phải nằm C1 C2 Theo nguyên lí Đi-rích-lê ta có hình tròn chứa ít 1001 điểm Tính thêm tâm hình tròn này thì hình tròn này chính là hình tròn bán kính chứa ít 1002 điểm 2003 điểm đã cho Lop6.net (20) Bài toán : Cho hình bình hành ABCD, kẻ 17 đường thẳng cho đường thẳng chia ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích 1/3 Chứng minh rằng, 17 đường thẳng đó có đường thẳng đồng quy Lời giải : Gọi M, Q, N, P là các trung điểm AB, BC, CD, DA (hình 3) Vì ABCD là hình bình hành => MN // AD // BC ; PQ // AB // CD Gọi d là 17 đường thẳng đã cho Nếu d cắt AB E ; CD F ; PQ L thì LP, LQ là đường trung bình các hình thang AEFD, EBCF Ta có : S(AEFD) / S(EBCF) = 1/3 S(EBCF) / S(EBFC) = 1/3 => LP / LQ = 1/3 là LQ / LP = 1/3 Trên PQ lấy hai điểm L1, L2 thỏa mãn điều kiện L1P / L1Q = L2Q / L2P = 1/3 đó L trùng với L1 L trùng với L2 Nghĩa là d cắt AB và CD thì d phải qua L1 L2 Tương tự, trên MN lấy hai điểm K1, K2 thỏa mãn điều kiện K1M / K1N = K2N / K2M = 1/3 đó d cắt AD và BC thì d phải qua K1 K2 Tóm lại, đường thẳng số 17 đường thẳng đã cho phải qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 Vì 17 > 4.4 nên theo nguyên lí Đi-rích-lê, 17 đường thẳng đó có ít đường thẳng (5 = + 1) cùng qua điểm L1 ; L2 ; K1 ; K2 (5 đường thẳng đồng quy, đpcm) Sau đây là số bài tập tương tự Bài : Trong hình chữ nhật có kích thước x 5, lấy điểm bất kì Chứng minh có hai điểm cách khoảng không vượt quá Bài : Trong mặt phẳng tọa độ, cho ngũ giác lồi có tất các đỉnh là các điểm nguyên (có hoành độ và tung độ là số nguyên) Chứng minh trên cạnh bên ngũ giác còn ít điểm nguyên khác Bài : Tờ giấy hình vuông có cạnh bé là bao nhiêu để có thể cắt hình tròn có bán kính Bài : Trên tờ giấy kẻ ô vuông, chọn 101 ô bất kì Chứng minh 101 ô đó có ít 26 ô không có điểm chung TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG Tìm chữ số tận cùng số tự nhiên là dạng toán hay Đa số các tài liệu dạng toán này sử dụng khái niệm đồng dư, khái niệm trừu tượng và không có chương trình Vì có không ít học sinh, đặc biệt là các bạn lớp và lớp khó có thể hiểu và tiếp thu Qua bài viết này, tôi xin trình bày với các bạn số tính chất và phương pháp giải bài toán “tìm chữ số tận cùng”, sử dụng kiến thức THCS Lop6.net (21)