CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Chuyên đề 1: ĐIỀN CHỮ SỐ Chuyên đề 2: ĐẾM SỐ, DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT Chuyên đề 3: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA Chuyên đề 4: CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ T[r]
(1)TRƯỜNG THCS SỐ PHƯỚC SƠN ĐỀ CƯƠNG BỒI DƯỜNG HỌC SINH GIỎI TOÁN HOÏC KYØ I – NAÊM HOÏC: 2010 – 2011 A Phaàn I: Soá hoïc Các phép tính số tự nhiên a Kiến thức bản: - Caùc pheùp tính vaø tính chaát cô baûn cuûa caùc pheùp tính b Kiến thức nâng cao: - Phép nhân có tính chất phân phối phép trừ - Giai thừa - Các tính chất phép trừ và phép chia - Luỹ thừa: + Luỹ thừa tích + Luỹ thừa luỹ thừa + Luỹ thừa tầng + Soá chính phöông Tính chất chia hết trên tập hợp số tự nhiên a Ñònh nghóa pheùp chia heát b Caùc tính chaát chung c Tính chaát chia heát cuûa moät toång vaø hieäu d Tính chaát chia heát cuûa moät tích Caùc daáu hieäu chia heát a Kiến thức bản: Daáu hieäu chia heát cho 2, cho 3, cho 5, cho b Kiến thức nâng cao: Daáu hieäu chia heát cho 4, cho 25, cho 8, cho 11, Số nguyên tố – hợp số a Ñònh nghóa; b Caùc ñònh lyù cô baûn; c Moät soá ñònh lyù veà soá nguyeân toá Ước chung lớn – bội chung nhỏ a Ước & bội; b Ước chung và ước chung lớn nhất; c Boäi chung vaø boäi dung nhoû nhaát Các bài toán giải phương pháp số học - Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng; - Phương pháp lựa chọn; Lop6.net (2) - Phöông phaùp giaû thieát taïm; - Phöông phaùp suy luaän logic - Nguyeân lí ÑI – RICH - LEÂ Soá nguyeân Các chuyên đề nâng cao Chuyên đề 1: Điền chữ số Chuyên đề 2: Đếm số, dãy các số viết theo qui luật Chuyên đề 3: Tìm chữ số tận cùng luỹ thừa Chuyên đề 4: Các vấn đề nâng cao tính chất chia hết Chuyên đề 5: Số chính phương B Phaàn II: Hình hoïc Chuyên đề: Tìm số điểm, số đường thẳng, số đoạn thẳng Phước Sơn, 15 tháng 10 năm 2010 Người lập Haø Minh Huøng Lop6.net (3) PHAÀN I: SOÁ HOÏC Chủ đề 1: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ TỰ NHIÊN I TOÙM TAÉT LYÙ THUYEÁT: Thứ tự và cách ghi số trên N: *) Ta xác định trên N thứ tự sau: a) là số tự nhiên nhỏ nhất; b) a < b và điểm a điểm a bên trái điểm b trên tia số ( nằm ngang ) *) Trong heä thaäp phaân, ta coù: ab 10a b abc 100a 10b c abcd 1000a 100b 10c d ………………………………………………………… Các phép tính số tự nhiên: - Giữa thứ tự và phép toán có quan hệ: a < b a +c < b + c và ac < bc ( với c > 0) - Với cặp số tự nhiên a và b (b 0), tồn hai số tự nhiên q và r cho a = b.q + r với r < b + Nếu r = ta phép chia hết, đó q là thương + Nếu r 0, ta phép chia có dư, đó q là thương và r là số dư phép chia a cho b Luỹ thừa với số mũ tự nhiên: a) Ñònh nghóa: an = a a a a ( n 0) a goïi laø cô soá ; n laø soá muõ n thừa số b) Caùc pheùp tính vaø tính chaát: + Pheùp tính: * Nhân và chia hai luỹ thừa cùng số: Nhaân: an am = an + m Chia: a m : a n = am – n ( m > n ) * Luỹ thừa luỹ thừa: ( an)m = an.m * Luyõ thöaø cuûa moät tích: ( a.b)n = an.bn * Luỹ thừa thương: ( a : b ) n = an: bn ( b ) + Tính chaát: - Quy ước: a0 = a1 = a - Ta coù: an = am ( a 1) n=m an > am ( a > 1) n>m n n a >a a>b II BAØI TAÄP: Phép trừ: Baøi 1: So saùnh A vaø B maø khoâng tính giaù trò cuï theå cuûa chuùng a) A = 2002.2002 B = 2000.2004 b) A = 1998.1998 B = 1996.2000 Baøi: So saùnh: a) 3111 với 1714 b) 10750 với 7375 c) 291 với 535 d) 544 với 2112 Lop6.net (4) Bài 2: Tìm chữ số tận cùng các số sau: a) 61991 b) 91991 c) 31991 d) 21991 Bài 3: a) Tính tổng 100 số tự nhiên đầu tiên b) Tính tổng n số tự nhiên đầu tiên Bài 4: Tìm số ( chữ ) tự nhiên x, biết: a) ( x – ) (x – ) = b) x + ( x + ) + ( x+ 2) + + ( x + 2010 ) = 2029099 c) + + + + + 2x = 210 d) (x + 1) + ( x + ) + ( x + 3) + + (x + 100) = 5750 e) x x 1 x x 480 f) 2009 + 3x chia hết cho 13 Bài 5: Chứng tỏ rằng: a) Tổng ba số tự nhiên liên tiếp là số chia hết cho b) Tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là số không chia hết cho Bài 6: a) Cho ababab là số có sáu chữ số Chứng minh ababab là bội b) Chứng tỏ số có dạng aaaaaa luôn chia hết cho c) Chứng tỏ số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11 Baøi 7: a) Tính toång sau: S = + + 22 + 23 + + 262 + 263 b) Viết tổng S = 22 + 22 + 23 + 24 + + 2100 dạng luỹ thừa c) Chứng tỏ tổng P = + 22 + 23 24 + + 259 + 260 chia hết cho d) Cho A = + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + 52004 Chứng tỏ A chia hết cho 126 va chia heát cho 65 e) Cho S = + + 52 + 53 +54 + … + 52010 Tìm soá dö chia S cho 2, cho10, cho 13 f) Tìm soá dö pheùp chia 7129 cho 50 vaø soá dö pheùp chia 171994 cho 16 Baøi 6: Cho M = 32 33 399 3100 a M có chia hết cho 5, cho 12 không ? vì sao? b.Tìm số tự nhiên n biết 2M+3 = 3n Baøi 9: a) Tìm số có chữ số, biết số đó chia cho tổng các chữ số nó thương là 11 không dư b)Hiệu hai số là 862 chia số lớn cho số nhỏ ta thương là 11 và dư 12 Tìm hai số đó c) Tổng hai số tự nhiên gấp ba lần hiệu chúng Tìm thương hai số tự nhieân aáy Chủ đề : TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN I Toùm taét lyù thuyeát: Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b, đó b Ta nói a chia hết cho b tồn số tự nhiên q cho a = b.q Khi đó ta còn nói a là bội b, b là ước a Caùc tính chaát: a) Với a thì a a b) Neáu a b vaø b c thì a c c) Soá chia heát cho moïi soá b d) Baát kì soá naøo cuõng chia heát cho e) Neáu a m vaø b m thì a + b m, a – b m Lop6.net (5) * Heä quaû: Neáu a + b m vaø a m thì b m g) Neáu a m thì a.b m h) Neáu a m vaø b n thì a.b m.n * Heä quaû: Neáu a b thì an bn II Caùc ví duï vaø baøi taäp: Ví dụ 1: Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp là số chia hết cho Giải: Gọi a, a + 1, a + là ba số tự nhiên liên tiếp Ta coù: a + a + + a + = 3a + chia heát cho Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a) ab ba chia heát cho 11; b) ab ba chia hết cho với a > b Giaûi: a) ab ba = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b chia heát cho 11 b) ab ba = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b chia heát cho Ví dụ 3: Cho số abc chia hết cho 27 Chứng minh số bca chia hết cho 27 Giaûi: abc 27 abc0 27 1000a + bc0 27 999a + a + bc0 27 27.37a + bca 27 Do: 27.37a 27 neân bca 27 Baøi taäp: Tìm thöông: a) aaa a ; b) abab ab ; c) abcabc abc Moät pheùp chia coù toång cuûa soá bò chia vaø soá chia baèng 72 Bieát raèng thöông laø vaø dö baèng Tìm soá chia vaø soá bò chia Tìm các số tự nhiên a, biết chia a cho thì thương là 15 Chứng tỏ rằng: a Trong hai số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho 2; b Trong ba số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho Chứng minh rằng: a abcabc chia hết cho 7, 11 và 13; b abc deg chia heát cho 23 vaø 29, bieát raèng abc 2.deg Chứng minh nếu: ab cd eg chia hết cho 37 thì abc deg chia hết cho 37 a Cho abc deg chia hết cho 37 Chứng minh abc deg chia hết cho 37; b Cho abc deg chia hết cho Chứng minh abc deg chia hết cho a Tìm chữ số a biết 20a 20a 20a chia hết cho 7; b Tìm số tự nhiên có hai chữ số , cho viết nó tiếp sau số 1999 thì ta moät soá chia heát cho 37 Tìm số tự nhiên n cho: a n + chia heát cho n – 1; b 2n + chia heát cho n + 1; c 2n + chia heát cho – n; d 3n chia heát cho – 2n; e 4n + chia heát cho 2n + Hướng dẫn giải: Căn vào tính chất chia hết tổng, hiệu và tích, ta có thể rút phương pháp chung để giải loại toán này dựa vào nhận xét sau đây: Nếu A B thì ( m.A + n.B) B ( Với m, n N* ) Cho n là số tự nhiên Chứng tỏ rằng: a ( n + 10 ) ( n + 15 ) chia heát cho 2; b n ( n + )(n + 2) chia heát cho vaø cho 3; c n.( n + ) (2n + 1) chia heát cho vaø cho Lop6.net (6) 10 Tìm số tự nhiên a và b cho a chia hết cho b và b chia hết cho a 11 Khi chia số tự nhiên cho 255 ta số dư là 170 Hỏi số đó chia hết cho 85 khoâng ? Taïi ? 12 Chứng tỏ rằng: a S = + 52 + 53 + + 599 + 5100 chia heát cho 6; b S = + 22 + 23 + + 299 + 2100 chia heát cho 31; c S = 165 + 215 chia heát cho 33 13 Tổng các chữ số số tự nhiên có ba chữ số là Chứng tỏ số đó chia hết cho và chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị 14 a Cho ababab là số có chữ số Chứng tỏ rằng: ababab là bội 3; b Cho S = + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + + 52004 Chứng tỏ S chia hết cho 126 vaø chia heát cho 65 Chủ đề 3: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT Chủ đề 4: SỐ NGUYÊN TỐ – HỢP SỐ Chủ đề 5: ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG NHỎ NHẤT ƯỚC & BỘI ƯỚC CHUNG VAØ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BOÄI CHUNG VAØ BOÄI DUNG NHOÛ NHAÁT Chủ đề 6: CÁC BAØI TOÁN ĐỐ VỀ CHIA HẾT Chủ đề 7: SỐ NGUYÊN Lop6.net (7) CÁC CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO Chuyên đề 1: ĐIỀN CHỮ SỐ Chuyên đề 2: ĐẾM SỐ, DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUI LUẬT Chuyên đề 3: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA Chuyên đề 4: CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHẤT CHIA HẾT Chuyên đề 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHAÀN II: HÌNH HOÏC Chuyên đề: TÌM SỐ ĐIỂM, SỐ ĐƯỜNG THẲNG, SỐ ĐOẠN THẲNG Chủ đề PHÉP CHIA HẾT VAØ PHÉP CHIA CÓ DƯ A TOÙM TAÉT LÍ THUYEÁT: I Pheùp chia heát: Ñònh nghóa: -Cho a, b laø hai soá nguyeân vaø b khaùc Ta noùi a chia heát cho b vaø kí hieäu a b, neáu toàn taïi soá nguyeân q cho a = b q - Khi a chia hết cho b thì ta nói b là ước a hay b chia hết a và kí hiệu là b\ a Ngoài ta coøn noùi a laø boäi cuûa b Lưu ý: Khi a chia hết cho b thì a chia hết cho –b nên ta xét các ước nguyên döông cuûa a Lop6.net (8) Ví dụ: Số 28 có các ước là: 1; 2; 4; 7; 14; 28 và xét các ước dương 28 laø 1, 2, 4, 7, 14 vaø 28 Moät soá tính chaát: a) Mọi số a chia hết cho chính nó b) Neáu a b vaø b c thì a c c) Soá chia heát cho moïi soá b d) Neáu a b thì ka b (k nguyeân) e) Neáu a b thì a b ; a (b) ; ( a ) (b) g) Neáu a m; b m thì a b m Ñaëc bieät ax by m a m h) Neáu thì ab m r b b m f) Nếu thừa số tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m i) Neáu a m thì a x m ( n N ) II Pheùp chia coù dö: Trên đây, ta đã nói đến phép chia hết, nhiên cho trước hai số nguyên a và b thì không phải tìm số nguyên q cho a = bq ( GV nêu ví dụ ) Người ta đã chứng minh tính chất sau đây phép chia Tính chaát: Cho a, b là hai số nguyên và b khác Khi đó tồn cặp số ( q, r ) cho a = bq + r vaø r b B Các bài toán chia hết và phương hướng tìm lời giải: Cho biểu thức A(n), phụ thuộc vào số n ( n Z n Z ' tập Z ) a) Để chứng minh A(n) chia hết cho số nguyên tố p, có thể xét trường hợp số dư p 1 chia n cho p (0, 1, , ) b) Để chứng minh A(n) chia hết cho hợp số m, nói chung ta phải phân tích m thừa số Giả sử m= pq * Nếu p và q là số nguyên tố, hay p và q nguyên tố cùng thì ta tìm cách chứng minh A(n) p và A(n) q ( từ đó suy A(n) pq m ) ** Nếu p và không nguyên tố cùng thì ta phân tích A(n) thừa số, chẳng hạn A(n)= B(n).C(n) và tìm cách chứng minh B(n) p và C(n) q ( suy A(n) = B(n).C(n) pq m ) c) Để chứng minh A(n) chia hết cho m, có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều số hạng và chứng minh số hạng chia hết cho m d) Để chứng minh tổng không chia hết cho m, có thể chứng minh số hạng nào đó không chia hết cho m còn tất các số hạng khác chia hết cho m e) Thường sử dụng kết sau đây: Neáu soá dö chia a cho b, b> laø r (0 < r < b ) thì soá dö chia an (n > 1) cho b laø soá dö chia rn cho b ( soá dö naøy baèng rn neáu rn< b) g) Có thể dùng các công thức sau ( GV chứng minh cho HS hiểu các đẳng thức) +) a2 – b2 = ( a + b) ( a – b) +) a3 – b3 = (a – b) ( a2 + ab + b2) +) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) Moät caùch toång quaùt: (1) an + bn = (a – b).M với n bất kì đó: M = an-1 + an-2b +…+ abn – + bn – Lop6.net (9) (2) an – bn = (a + b).N với n chẵn n – n – đó: N = a – a b + ….+ abn-2 – bn – ( 3) an + bn = ( a + b ) P với n lẻ Trong đó: P = an-1 – an – 2b + …-abn-2+ bn-1 Do đó, theo (1) và (2): an – bn chia hết cho a – b ( a b) với n bất kì an – bn chia hết cho a + b (nếu a -b) với n chẵn Theo (3): an + bn chia hết cho a + b (nếu a -b) với n lẻ h) Chứng minh phương pháp qui nạp ( trình bày sau) C Baøi taäp vaän duïng: * Baøi 1: a) Chứng tỏ với số tự nhiên n thì tích (n + 3) (n + ) ( SBT- T.18 ) b) Chứng tỏ hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho (SBT – T 17 ) c) Chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp, có số chia hết cho d) Chứng tỏ tổng ba số tự nhiên liên tiếp là số chia hết cho e) Chứng tỏ tổng bốn số tự nhiên liên tiếp là số chia hết cho * Bài 2: Cho n là số tự nhiên, chứng tỏ rằng: ( N.CAO – T 17 ) a) ( n + 10 ) ( n + 15 ) chia heát cho vaø cho b) n(n + ) ( n + ) chia heát cho vaø cho c) n ( n + )( 2n + 1) chia heát cho vaø cho * Bài 3: Chứng minh với số nguyên m, n thì: a) n3 + 11n b) mn( m2 – n2 ) c) n( n + ) ( 2n + ) * Bài 4: Chứng minh tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho * Bài 5: Chứng 1900 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng các chữ số chia hết cho 27 * Bài 6: Chứng tỏ a5b - ab5 chia hết cho 30 với a, b là hai số nguyên bất kì (Trích toán nâng cao – trang 96) * Bài 7: Hãy tìm các chữ số thích hợp x, y, z để cho số: A = x54y199z chia hết cho 330 ( Trích toán nâng cao – trang 96) * Bài 8: Tìm tất giá trị n để n + chia hết cho n + ( Trích toán nâng cao – trang 96) * Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a ,b cho số A = a19b chia hết 82 ( Trích toán nâng cao – trang 31) * Bài 10: Cho số tự nhiên A = dcba chứng tỏ : a) Nếu ( a + 2b) thì A và ngược lại b) Nếu ( a + 2b + 4c ) thì A và ngược lại ( Trích toán nâng cao – trang 31) * Bài 11: Cho số A = n ( n2 + ) ( n2 + ) ( Trích toán nâng cao – trang 47) a) Chứng tỏ A chia hết cho với n N b) Tìm điều kiện a để A chia hết 120 * Bài 12: Tìm điều kiện cho n N để n+ chia hết cho n + ( Trích toán nâng cao – trang 47) * Bài 13:Cho số A = 34a5b Tìm hai số tự nhiên a, b để A 36 ( Trích toán nâng cao – trang 95) * Baøi 14: * Baøi 15: Lop6.net (10) * Baøi 16: * Baøi 17: * Baøi 18: * Baøi 19: * Baøi 20: 10 Lop6.net (11)