[r]
(1)Giải Phơng Trình chứa nh nµo?
Khi bạn giải phơng trình (PT) dạng √ax+b=cx+d , biết bình ph-ơng vế để khử bậc hai, với PT √ax+b=cx2+dx+e có giải đợc phơng pháp đợc khơng? Xin trả lời trừ số trờng hợp đặc biệt Vậy có phơng pháp giải chung không ? Đây câu hỏi mà nhiều bạn đọc cha trả lời đợc, Ví dụ giải PT sau:
√9x −5=3x2+2x+3 ,ta đặt √9x −5=3y+1, y ≥−13 , giải PT:
x2− x −2004√1+16032x=2004 , ta đặt √1+16032x=2t −1, t ≥12
Vậy bạn tự hỏi xem lại có đợc phép đặt nh vậy( Đã có chuyên đề đợc đăng Tốn học tuổi trẻ nói phơng pháp giải) Đặc biệt với bạn học đạo hàm phơng pháp sau giải bớc chọn đặt nhanh nhiều Sau nội dung phơng pháp cụ thể:
D¹ng 1: √ax+b=1
a x
2
+cx+d ,(a ≠0) vµ tháa m·n b+ad=a 2c
2 (1+ c
2) (*) XÐt hµm sè y=1
ax
2
+cx+d => f '(x)=2
ax+c=0 <=>x=− ac
2 , phép đặt
√ax+b=y+ac
2 , ta đa PT dạng hệ đối xứng quen thuộc
Chú ý: Khi toán cho điều kiện thỏa mãn Do ta khơng phải kiểm tra điều kiện đó.
VÝ dơ: Gi¶i PT sau: 3x2+x −29
6 =√
12x+61
36
Làm nháp: f(x)=3x2+x 29
6 => f '(x)=6x+1=0<=>x= Giải: Đặt 12x+61
36 =y+
6 , y ≥ −
6 <=>
12x+61
36 =y
2 +1
3 y+ 36
<=> 12x+61 = 36y2 +12y +1 <=> 3y2 + y = x +5 (1)
Mà theo cách đặt ta có: 3x2+x −29
6 =y+
6 <=> 3x2 + x = y +5 (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:
¿ 3y2
+y=x+5
3x2+x=y+5
¿{
¿
=> 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y
<=> (x-y)(3y + 3x +2) = <=> y = x hc y=−3x+2
3
* Víi y = x => 3y2 = =>y = x =
√5
3 ,( y ≥ −
1 )
* Víi y=−3x+2
3 => 3x2 + x =
3x+2
3 +5 <=> 9x2 +6x - 13 =
=> x1,2=−3±√126
9 Từ ta tìm đợc y kết luận đợc nghiệm PT cho Dạng 2: √ax+b=cx2+dx+e ,(a ≠0, c ≠0, a ≠1
c)
XÐt f(x) = cx2 + dx + e => f’(x) = 2cx + d = => x=− d
2c , phép đặt
√ax+b=2 cy+d
VÝ dơ1: Gi¶i PT sau: √9x 5=3x2+2x+3
Làm nháp: f(x) = 3x2 + 2x + =>f’(x) = 6x + = =>x = - 1/3. Giải: Đặt 9x 5=3y+1, y 1
3
(2)Mặt khác ta có: 3x2 + 2x + = 3y +1 <=> 3x2 + 2x = 3y – (2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ
¿ 3y2
+2y=3x −2
3x2+2x=3y −2
¿{
¿
đến xin dành cho bạn đọc tự giải nh ví dụ
VÝ dơ 2: Gi¶i PT sau: x2
− x −2004√1+16032x=2004
(Thi chän HSG Bắc Giang năm học 2003 2004)
Làm nháp: XÐt hµm sè f(x) = x2 – x – 2004 => f’(x) = 2x – = <=> x =
Do a ≠1
c , nên ta sử dụng phơng pháp đặt: Giải: Đặt √1+16032x=2t −1, t ≥1
2 => t2 – t = 4008x, (1)
Mặt khác từ PT ta cã: x2 – x – 2004 = 2004( 2t – 1) => x2 – x = 4008t,(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ PT sau:
¿ t2− t
=4008x
x2− x=4008t
¿{
¿
=> (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t)
<=> (t – x)[ t + x – + 4008] = <=> t = x hc t = - x – 4007
* Víi t = x ta cã: x2 – 4009x = <=> x = vµ x = 4009 Ta cã x = kh«ng tháa
m·n
* Víi t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x – 4007.4008 =
=> PT v« nghiƯm
KL: PT cho có nghiệm x = 4009
D¹ng 3: √3 ax+b=cx3+dx2+ex+m,(a ≠0, c ≠0, a=1
c)
XÐt hµm sè f(x) = cx3
+dx2+ex+m => f’(x) = 3cx2 + 2dx + e => f’’(x) = 6cx + 2d = => x=− d
3c , Khi phép đặt:
3
√ax+b=y+ d
3c
VÝ dô: Gi¶i PT sau: √3 3x −63 =
x3
3 − 2x
2 +9
4 x Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x3
3 − 2x
2 +9
4x => f’(x) = x
2 - 3x +9/4 =>
f’’(x) = 2x – = <=> x=3
2 Giải: Đặt 33x 63
8 =y
2 => 3x −
63 =y
3−9
2y
2 +27
4 y − 27
8
<=> 3x −9 2=y
3
−9 y
2 +27
4 y <=> 12x – 18 = 4y3 – 18y2 + 27y, (1)
Từ PT cho theo cách đặt ta có: y −3 2=
x3
3 − 2x
2 +9
4 x
<=>12y – 18 = 4x3 – 18x2 + 27x, (2).
Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ:
¿
12x −18=4y3−18y2+27y
12y −18=4x3−18x2+27x
¿{
¿
( việc giải hệ xin dành cho độc giả)
D¹ng 4: √3 ax+b=cx3+dx2+ex+m,(a ≠0, c ≠0, a≠1
c)
(3)=> f’’(x) = 6cx + 2d = => x=− d
3c , Khi phép đặt:
3
√ax+b=3 cy+d
VÝ dơ: ( To¸n học Tuổi trẻ Tháng năm 2001) Giải PT sau: 381x 8=x32x2+4
3x 2 Làm nháp: Xét hµm sè f(x) = x3−2x2+4
3x −2 => f’(x) = 3x2 – 4x + 4/3
=> f’’(x) = 6x – = <=> x=2
3 a c Giải: Đặt
81x −8=3y −2 => 3x = y3 – 2y2 + 43 y ,( Biến đổi tơng tự ta có hệ)
¿ 3y=x3−2x2+4
3x 3x=y3−2y2+4
3 y ¿{
¿
=> (x – y)( x2 + xy +y2 - 2x – 2y + 13
3 ) = 0(*),
Do x2 + xy +y2 - 2x – 2y + 13 =
y −2¿2+1
3>0 x −2¿2+1
2¿ x+y¿2+1
2¿ 2¿
, nªn tõ (*) ta cã x = y => 3x = x3
– 2x2 +
3 x => x1= ; x2,3 =
3±2√6
Trên số ví dụ điển hình.Để thành thạo bạn luyện tập qua một số ví dụ dới Hy vọng phơng pháp đem lại cho bạn thành công giải phơng trình chứa Chúc bạn đạt kết cao học tập !
Bµi tËp tự luyện:
Giải phơng trình sau: 1) x2
=√2− x+2 2) x2−4x −3
=√x+5 3) x3+2=3√33x −2
4) √3x+1=−4x2+13x −5 5) √x+1=x2+4x+5 6) √4x+9
28 =7x
2 +7x