Muèn ®êng phô gióp Ých cho viÖc chøng minh th× vÏ ®êng phô ph¶i cã môc ®Ých, kh«ng nªn vÏ tuú tiÖn.. Thùc ra trong trêng hîp nµo, MN vÉn chØ lµ mét[r]
(1)Phơng pháp vẽ đờng phụ hình học
(tham khảo: định lý hình học phng phỏp chng minh)
http://diendan3t.net/forum
Mở đầu:
Khi chứng minh định lý hình học, phần nhiều phải vẽ thêm đ-ờng phụ Đđ-ờng phụ tạo nên mối quan hệ giả thiết với kết luận, làm cho toán trở nên đơn giản dễ dàng Tuy nhiên, đờng phụ có nhiều loại, nên khơng có phơng pháp vẽ cố định, việc khó chứng minh Vẽ đờng phụ cho có lợi vấn đề cần đào sâu suy nghĩ Trong viết này, xin nêu số nét lớn vấn đề vẽ đờng phụ, hi vọng giúp bạn vợt qua khó khăn mơn hình học
I Mục đích vẽ đ ờng phụ:
1 Đem điều kiện cho tốn hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp vào nơi (một hình mới), làm cho chúng có liên hệ với
Ví dụ: Chứng minh hai đoạn thẳng song song hình chiếu chúng đờng thẳng thứ ba
Suy nghĩ: Sự AB CD EF GH không thấy đợc có liên quan đến
Hớng 1: Quan sát hình vẽ ta thấy AE//BF//CG//DL, từ giúp nghĩ cách dựng thêm EK//AB//CD//GL để tạo hai hình bình hành ABKE CDLG Suy AB=CD=EK=GL Tiếp dựa vào hai tam giác EKF,GLH theo trờng hợp cạnh huyền góc nhọn cuối có EF=GH
Híng 2:
(2)2 Tạo nên đoạn thẳng thứ ba góc thứ ba, làm cho hai đoạn thẳng hai góc cần chứng minh trở nên có liên hệ
Ví dụ: Tứ giác ABCD có cạnh AD=BC Gọi M,N lần lợt trung điểm AB,CD CB,DA cắt NM t¹i E,F Chøng minh r»ng DFN CEN
Suy nghĩ: Hai góc E F hình vẽ dờng nh khơng có quan hệ với Do ta tìm cách tạo góc thứ hai gúc trờn
Giải: Gọi I trung điểm AC Nèi MI,NI
MI,NI lần lợt đờng trung bình tam giác ABC,ADC nên MI//BC, NI//AD ,
IMN CEN INM DFN
(1)
Mặt khác MI= 2BC=
1
2AD=IN Do tam giác MIN cân I
IMN INM
(2)
Tõ (1)(2) DFN CEN (®pcm)
3 Tạo nên đoạn thẳng hay góc bẳng tổng, hiệu, gấp đơi hay
2 đoạn thẳng hay góc cho trớc, để đạt mục đích chứng minh định lý
Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến CM Trên tia đối BA lấy điểm D cho BD=BA CMR: CM=
(3)Suy nghÜ:
Bài toán yêu cầu DC=2MC hớng ta tạo đoạn thẳng MC
1
2DC.Mặt khác nhìn hình vẽ có B trung điểm AD lại làm ta nghĩ đến định lý đờng trung bình tam giác Đờng phụ cần vẽ trung tuyến BE tam giác ABC BE đờng trung bình tam giác ADC nên DC=2BE Do tam giác ABC cân A nên BE=CM Từ có đpcm
Chú ý: Thay vẽ thêm đoạn thẳng 1/2 DC ta tạo đoạn thẳng DC gấp lần BE Điều đơn giản, tia đối CA lấy điểm E cho CA=CE nối BE, tia đối CB lấy điểm E cho CE=CB nối AE
(4)
4 Tạo nên đại lợng (đoạn thẳng góc) nhau; thêm vào đại lợng mà cho để giúp cho việc chứng minh
VÝ dô:
Chøng minh tam giác vuông, trung tuyến ứng víi c¹nh hun b»ng 1/2 c¹nh hun (*)
Suy nghÜ:
Đầu cho CM=BM, nh cha có AM=MB Ta lấy N trung điểm AB tạo đợc cặp đại lợng BN=AN
Mặt khác MN//AC nên MNAB
Suy MN trung trực đoạn AB
AM=BM=CM, t có đpcm.
(5)Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D điểm cung nhỏ BC Kẻ AH DB AK, DC Chứng minh đờng thẳng HK qua điểm cố định
Suy nghĩ: Hai đờng vng góc AH,AK làm ta nghĩ đến đờng thẳng Sim-sơn, gọi I chân đờng vng góc kẻ từ A xuống BC, theo đ-ờng thẳng Sim-sơn ta có H,I,K thẳng hàng Do A cố định nên I cố định Vậy HK qua điểm cố định I
6 Biến đổi hình vẽ, làm cho tốn trở nên dễ chứng minh trớc.
VÝ dơ: Tam gi¸c ABC cân A nội tiếp (O) ( A 600) M điểm cung nhỏ BC AM giao BC t¹i N CMR:
1 1
(6)Suy nghÜ:
§Ĩ chøng minh
1 1
MN MB MC ta thử biến đổi tơng đơng:
1 1
MN MB MC MB MC MN MB MC ( ) (1)
Mặt khác tam giác ABC cân A nên
AB AC ABAC AMBAMC Mặt khác BAM NCM
~ ( ) BAM NCM g g
MB AM MN MC
MB MC AM MN
Thay vào (1) ta đợc AM MN MN MB MC.( ) AM MB MC
Vậy để chứng minh
1 1
MN MB MC cần chứng minh AM>MB+MC xong
Đến ta nhớ lại toán quen thuéc:
"Tam giác ABC nội tiếp (O) M điểm cung nhỏ BC CMR:
MA=MB+MC."
Tất nhiên áp dụng kết vào toán ban đầu cách dựng tam giác AB'C' nội tiếp (O)
(7)Do B ME' B C A' ' 60o Suy tam giác B'ME
' ' '( 60 )o
EB M AB C
' ' '
AB E C B M
' ' ( ) AB E BC M g c g
'
' ' AE MC
AM AE EM B M C M
Mặt khác B'M>BM, C'M>CM nờn AM=B'M+C'M>BM+CM T ú cú pcm
II Các loại ® êng phô:
Sau số loại đờng phụ thờng gặp:
1 Kéo dài đoạn thẳng cho trớc với độ dài tuỳ ý, độ dài cho trớc, cắt đờng thẳng khác
VÝ dô:
Cho tam giác ABC Trên trung tuyến AM lấy điểm K khác A,M Qua M lần lợt kẻ đờng thẳng song song với KB, KC giao AC, AB F, E CMR: EF//BC (**)
Giải:
Kéo dài CK, BK cắt AB, AC t¹i P, Q
EM, FM đờng trung bình tam giác BPC, BQC
BE=PE, QF=CF
Ta cã
AP AK AQ PE KM QF AP PE AQ QF
PE QF
hay
AE AF EB FC
/ / EF BC
(Ta-lét đảo) (đpcm)
(8)VÝ dơ:
Ta xÐt l¹i toán (**)
Cách 2:
Gọi EMBK { },P FMCK { }Q Gọi I trung điểm AK Nèi PI, QI, PQ
Dễ dàng có MQ, MP đờng trung bình tam giác BKC nên KQ=QC=
1
2KC, KP=BP= 2BK.
Suy PQ đg trung bình tam giác BKC / /
PQ BC
(1)
Mặt khác PI, QI lần lợt đờng trung bình tam giác AKB, AKC nên PI//AB, QI//AC
EP AI FQ PM IM QM
(định lý Ta-lét) / /
PQ EF
(Ta-lét đảo) (2)
Tõ (1)(2) suy EF//BC (®pcm)
3 Từ điểm cho trớc dựng đờng song song với đờng thẳng cho tr-ớc, dựng đờng song song với đờng, mà ta cần chứng minh đờng song song với đờng
(9)Nhận xét: Nhiệm vụ tìm tam giác có độ dài cạnh MA, MB, MC
Để tạo tam giác qua M ta kẻ PQ, KH, EF lần lợt // AB, AC BC Do tam giác ABC nên tứ giác APME, PMHC, HMEB hình thang cân
Suy AM=EP, BM=EH, CM=PH
Vậy MA, MB, MC độ dài cạnh tam giác EPH
4 Từ điểm cho trớc hạ đờng vng góc xuống đờng thẳng cho tr-ớc
Ví dụ: Cho tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF, trực tâm H Chứng minh H tâm đờng trịn nội tiếp tam giác DEF
Gi¶i:
Kẻ FN, EMBC cắt BE, CF Q, P.
Do FN// AD// EM suy ra: FQ AH EP FQ FN FN AD EM EP EM
(10)vµ
DN HF FQ DM HP EP Do
DN FN DM EM
Suy DNF DME c g c( )
NDF MDE
, mặt khác ADBC
FDAEDA, hay DA phân giác góc FDE Tơng tự FC, EB lần lợt phân giác góc DFE, FED Vậy H tâm đờng trịn nội tiếp tam giác DEF (đpcm) 5 Dựng đờng phân giác góc cho trớc.
VÝ dơ:
Cho tam giác ABC có B C, cạnh BC, AC, AB có độ dài lần lợt l a,b,c CMR: b2=c2+ac
Giải:
Dựng phân giác BD cña gãc B
2
( )
ABD ACB BAD CAB g g AD AB
AB AC AB AC AD
(11)2 2 2
AD AB AD AD AB DC BC AD DC AC AB BC
AB AC AD
AB BC AB AC
AD AC AB
AB BC AC
AB AB BC
AC AB AB BC
hay b2 c2ac (®pcm)
6 Dựng đờng thẳng qua điểm cho trớc hợp thành với đờng thẳng khác góc góc cho trớc
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) CMR: AB.CD+AD.BC=AC.BD (định lý Ptô-lê-mê)
Suy nghĩ: Đối với toán chứng minh hệ thức dạng ab+cd=ef, thông thờng ta chia f thành tổng m+n, chứng minh ab=em,cd=en nhờ tam giác đồng dạng Trong toán này, ta chia AC thành đoạn nhỏ tạo đợc tam giác đồng dạng Muốn phải có góc đờng phụ cần vẽ đoạn DE cho ADBEDC E AC( )
Giải: Lấy điểm E trªn AC cho ADBEDC Ta cã : BDA
~CDE (g.g)
BD BA CD CE
(2 cặp cạnh tỉ lệ)
BD CE CD BA
(1)
(12)ADE
~BDC(g.g)
AD AE BD BC
AD BC BD AE
(2)
Tõ (1)(2) AB CD AD BC BD EC BD AE BD AC (®pcm) VÝ dơ 2:
Cho tam giác ABC, phân giác AD CMR: AD2<AB.AC
Gi¶i:
Do ADC Bnên AC lấy đợc điểm E cho ADEB. ~ ( )
BAD DAE g g
AB AD AD AE
2
AD AB AE AB AC
(®pcm)
7 Từ điểm cho trớc, dựng tiếp tuyến với đờng trịn cho trớc.
VÝ dơ 1:
(13)Suy nghÜ:
Để chứng minh AO KH , ta tạo đờng thẳng song song với KH vng góc với AO, khơng khó khăn nhận thấy tiếp tuyến Ax (O)
Gi¶i: Dùng tiÕp tun Ax cđa (O) AxAO (1)
Tø gi¸c BKHC nội tiếp nênAKH HCB
Mặt khác xAB góc tạo tiếp tuyến dây cung xABHCB xAB AKH
ADB EDC
Ax KH/ / (2)
Từ (1)(2) ta đợc đpcm
Ví dụ 2: Điểm A cố định nằm (O, BC
) ( ) { }, ( ) { }
(14)Giải:
Phần thuận:
Nối DM Ta có DMADEAABC Suy tø gi¸c BDMO néi tiÕp
AD AB AM AO
KỴ tiÕp tun AT Ta cã AT2=AD.AB=AM.AO
2 AT AM AO khơng đổi Do M cố định
VËy O' thuéc trung trùc [AM]
Giíi h¹n:
Khi đờng kính BC chuyển động (O) O' chuyển động trung trực [AM]
Phần o:
Giả sử M điểm thoả mÃn
2
AT AM
AO
AB( ) { },O D AC( ) { }O E Dựng đờng tròn (O') ngoại tiếp tam giác ADM Ta chứng minh E( ')O
ThËt vËy
2 AT AM AO 2
AM AO AT AD AB
Suy tø gi¸c BDMO néi tiÕp
ABO DMA AED
(15) E thuéc (O') (®pcm) KÕt luËn:
Quỹ tích tâm O' trung trực [AM]
8.Bài cho hai đờng tròn tiếp xúc nhau, ta dựng đợc tiếp tuyến chung đờng nối tâm
VÝ dơ 1: (I) tiÕp xóc với (O) A Dây AC,AE (O) cắt (I) B,D CMR: BD//CE
Giải:
K tip tuyến chung Ax đờng trịn
Dùa vµo hệ góc tạo tiếp tuyến dây cung ta cã: CAx BDA CEA
Suy BD//CE (hai góc đồng vị (đpcm)
VÝ dơ 2:
(16)Gi¶i:
Kẻ tiếp tuyến chung IM (MAB) Dựa vào tÝnh chÊt tiÕp tuyÕn
cắt ta đợc AM=IM=BM, AIB90o (đpcm)
9 Bài cho hai đờng trịn giao nhau, kẻ đợc dây cung chung.
VÝ dơ:
Cho tam gi¸c ABC nội tiếp (O) I điểm thuộc cung BC không chứa A Vẽ (O1) (O2) qua O lần lợt tiếp xúc với AB, AC B, C
1
( ) ( ) { }O O K CMR B, K, C thẳng hàng.
(17)K dõy cung IK chung hai đờng tròn
Theo tÝnh chÊt góc tạo tia tiếp tuyến dây cung ta cã ,
xBI BKI yCI CKI
Mặt khác tứ giác ABIC nội tiếp nên: xBI ACI
Mà ACI yCI 180o 180o
BKI CKI
Vậy B, K, C thẳng hàng (đpcm)
10 Nếu tứ giác nội tiếp đờng trịn, ta dựng đờng trịn ngoại tiếp tứ giác
VÝ dơ:
Tam giác ABC nội tiếp (O) M trung điểm AC KỴ MHAB Chøng
minh MH ln qua điểm cố định
Suy nghĩ: Để tìm điểm cố định ta vẽ vài vị trí M nhận thấy điểm K nằm đờng vng góc kẻ từ C với BC v OKC90o
Giải:
Gọi Q trung điểm BC Tứ giác OMCQ nội tiếp nên dựng (I, OC
) ngoại tiếp tứ giác OMCQ
QI giao (I) t¹i K Ta chøng minh H, M, K thẳng hàng Thật
/ /
180o
MH AB A QMC QKC AMH KQC KMC
AMH AMK AMK KMC
Suy H, M, K thẳng hàng
(18)11 Bi cho mt điểm nằm đờng trịn, vẽ thêm đờng kính qua điểm
Ví dụ 1: Tứ giác ABCD nội tiếp (O;R) có hai đờng chéo vng góc với CMR AB2+BC2+CD2+DA2 khơng đổi.
Suy nghÜ:
Các tổng bình phơng gợi cho nghĩ đến định lý Py-ta-go áp dụng tam giác vuông Tuy nhiên để n hình vẽ khơng thể áp dụng đ-ợc Vì ta vẽ thêm đờng kính để tạo tam giác vng có hai cạnh góc vuông hai cạnh đối tứ giác ABCD, cạnh huyền có độ dài khơng đổi (tính theo R)
Gi¶i:
Kẻ đờng kính AE Nối CE,DE Ta có ACE90o CE//BD (cùng vng góc với AC)
Tứ giác BCED hình thang nội tiếp đờng trịn nên BC=DE Suy BC2+AD2=DE2+AD2=AE2=4R2
T¬ng tù AB2+CD2=4R2
Vậy AB2+BC2+CD2+DA2=8R2 khơng đổi (đpcm)
(19)Gi¶i:
Kéo dài AI giao (O) D Kẻ đờng kính DE (O) Nối CD Kéo dài OI cắt (O) M,N Hạ IH AB
Chứng minh đợc AHIECD (g.g)
IH ED AI DC
Mặt khác DICIAC ICDICB BCDICD suy tam giác IDC cân D
2
( )( )
ID DC
AI DC AI ID IM IN R OI R OI R OI
Do
2
2
2
IH ED Rr R OI OI R Rr
12 Vận dụng phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, tịnh tiến
VÝ dơ:
(20)Gi¶i:
Gọi N điểm tuỳ ý d
Lấy A' đối xứng với A qua d Nối A'B giao d M Nối AM Ta có AN+NB=A'N+NB A'B=A'M+MB=AM+MB
DÊu b»ng x¶y NM
Vậy điểm N cần tìm giao điểm A'B với d (A' điểm đối xứng với A qua d)
NhËn xÐt:
Điểm A' giúp làm cho đờng gấp khúc ANB đỡ "gãy" hơn, giúp việc tìm điểm N trở nên thuận lợi
13 Vẽ thêm hình đặc biệt (tam giác đều, hình vng sử dụng tính chất hình
VÝ dơ:
Dựng liên tiếp hình vuông ABCD, BEFC, EGHF Chứng minh 45o
AED AGD
(21)Suy nghÜ:
Hai góc AED AGD dờng nh khơng liên quan đến Vì ta phải tạo góc 45o tổng hai góc Để có góc 45o, ta phải có tam giác vng cân
Gi¶i:
Dựng hình vng ABNM Dễ dàng có DMN GBN c g c( ) ta có DN=GN MNDBNG
DNG
vuông cân N.
Mặt khác GBN EAD c g c( ) nên BGN AED VËy AED AGDNGB AGD45o (®pcm) Chó ý:
Thay dựng hình vng ABNM, bạn tạo hình vng khác dựng cạnh CD, CF, FH Từ có cách giải thú vị
III Chó ý vÏ ® êng phơ:
1 Muốn đờng phụ giúp ích cho việc chứng minh vẽ đờng phụ phải có mục đích, khơng nên vẽ tuỳ tiện Nếu khơng chẳng giúp đợc cho việc chứng minh, lại làm cho hình vẽ trở nên rối ren, hoa mắt, khó tìm cách giải
(22)Trở lại toán (*)
Nếu thay cách nói "lấy trung điểm N AB" cách nói sau: +Vẽ trung trực MN đoạn AB
+Qua M kỴ MN song song víi AB cho BN=AN +KỴ MNAB cho NA=NB.
thì khơng hợp lý Trong cách nói thứ nhất, M cha thuộc trung trực đoạn AB, cịn cách nói thứ thứ cha xác định đợc đờng có qua trung điểm AB hay khơng, trái với phép dựng hình
3 Có đờng phụ vẽ thêm đờng đó, nhng cách dựng khác nên cách chứng minh khác
Nh toán (**), thay cách vẽ "từ M dựng MN//BC" phải sử dụng định lý đờng trung bình tam giác để suy NA=NB, thay "từ M dựng MNAB" phải sử dụng quan hệ vng
góc song song để suy MN//AC chứng minh NA=NB Thực trờng hợp nào, MN
http://diendan3t.net/forum
