Sơ đồ tư duy số nguyên

Nếu ba trăm năm trước, Newton (1687) đã đưa phép tính vi tích phân, công cụ toán học hiện đại nhất thời đó, vào các nghiên cứu động lực học, thì cũng rất phù hợp là ba trăm năm sau, khi [r]

NHÀ KHOA HỌC NGUYỄN VĂN ĐẠO VỚI LÝ THUYẾT DAO ĐỘNG VÀ CHUYỂN ĐỘNG HỖN ĐỘN

Tác giả: Các cộng VS Nguyễn Văn Đạo nhóm nghiên cứu “Hệ Động lực Phi tuyến” thuộc Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam: GS.TS Nguyễn Văn Đình, PGS.TS Trần Kim Chi, PGS.TS Nguyễn Dũng

Mở đầu. Trong tác giả dám sơ lược điểm qua những mốc đường nghiên cứu khoa học Viện sĩ Nguyễn văn Đạo Nó thể Anh lịng say mê, khát khao nghiên cứu khoa học; nhà khoa học đầy tâm huyết, đầy lực và cần mẫn Anh ln đóng vai trị tiên phong, mở đường cho những hướng nghiên cứu lớn Anh có nhiều cống hiến cho phát triển khoa học, cho nghiệp đào tạo tổ chức nghiên cứu Khoa học. Anh đột ngột vào lúc trí tuệ minh mẫn, lực thật sung mãn; vào lúc Anh có nhiều điều kiện thuận lợi để sáng tạo, để thực ước mơ lớn nghiệp khoa học giáo dục… Anh để dang dở ý tưởng, bao dự định táo bạo, bao hoài bão mong muốn cống hiến cho đời…Anh ra đi để lại cho niềm tiếc thương vơ hạn chẳng bù đắp nổi.

A. Mở đường cho hướng nghiên cứu ngành Cơ học 1 Đến với hướng nghiên cứu “Lý thuyết dao động phi tuyến”

Con đường đến với hướng nghiên cứu “Lý thuyết Dao động Phi tuyến ” - Luận án Phó tiến sĩ

Năm 1960, đoàn cán cao cấp Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xơ Phó chủ tịch - Viện sĩ Cachennhicơp làm trưởng đồn sang thăm Việt Nam Trong đồn có nhà học tiếng - Viện sĩ Kônônhiêncô, chuyên gia hàng đầu Lý thuyết dao động phi tuyến Viện sĩ Kơnơnhiêncơ có buổi báo cáo đặc sắc kết nghiên cứu ơng với có mặt GS Tạ Quang Bửu (lúc GS Phó chủ nhiệm kiêm Tổng thư ký Uỷ ban Khoa học Nhà nước Việt Nam)

Là cán trẻ (giảng dậy môn Cơ học lý thuyết) chập chững, mò đường nghiên cứu khoa học, Anh hoàn toàn bị thu hút thuyết trình Viện sĩ Kơnơnhiêncơ Anh mạnh dạn trình bầy với GS Tạ Quang Bửu ý định phát triển hướng nghiên cứu “Lý thuyết dao động phi tuyến” Việt Nam GS Tạ Quang Bửu khuyên anh theo hướng nghiên cứu Viện sĩ Kônônhiêncô

Anh tiếp nhận vào Khoa Toán-Cơ Trường Đại học Tổng hợp Lômônôxôp Mátxcơva làm việc hướng dẫn trực tiếp Viện sĩ

Mùa hè năm 1965, Anh bảo vệ Luận án Phó tiến sĩ với chủ đề “Dao động ổn định hệ động lực với giảm chấn” Luận án đề cập đến giảm chấn động lực, vấn đề xem xét quan điểm lượng

Luận án Tiến sĩ

Sau nước, Anh bắt tay ln vào Chương trình nghiên cứu quy mơ đầu đề: Kích động thơng số dao động phi tuyến hệ động lực Việc thực chương trình vơ khó khăn phải sơ tán vào rừng núi thời kỳ chiến tranh ác liệt Cuối năm 1976, cử làm thực tập sinh cao cấp nước ngoài, Anh mang theo tập hợp cơng trình nghiên cứu hồn chỉnh dày 500 trang Cơng trình trở thành Luận án Tiến sĩ khoa học mà Anh bảo vệ thành công vào tháng 12/1976 Trường đại học Vacsava Ba Lan sau ba tháng hoàn tất thủ tục Nhà báo Hàm Châu gọi “Luận án Tiến sĩ Khoa học rừng sâu”

Trang bìa tóm tắt Luận án Phó tiến sĩ với nhan đề:

“КОЛЕБНИЯИ УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧСКИХ СИСТЕМ С ГАСИТЕЯМИ”

Một phần luận án tiến sỹ Anh phát triển hướng nghiên cứu Viện sỹ Kônônhiêncô dao động quan liên: Dao động không cộng hưởng theo một phương gây nên dao động cộng hưởng theo phương khác

VS Kơnơnhiêncơ xét mơ hình đĩa trịn dao động cưỡng khơng cộng hưởng quanh trục nó, qua yếu tố qn tính phi tuyến, gây dao động lật quanh đường kính Anh Đạo xét mơ hình vật đỡ hệ đàn hồi phi tuyến chịu dao động cưỡng không cộng hưởng theo phương thẳng đứng, gây dao động cộng hưởng theo phương nằm ngang

Trên sở nhận xét chế tượng kích động tham số mà phương kích động phương nên Luận án chọn tên là: Kích động thơng số dao động phi tuyến hệ động lực.

Một số kết Anh Giáo sư Ali H Nayfeh (Mỹ) dùng làm tài liêu tham khảo cơng trình ơng

Cơng trình Khoa học đầu tiên, thành tựu khoa học

Cơng trình khoa học Anh cơng bố (trên Tập san Toán-Lý-Hoá, UBKHNN, Hà Nội, N0 1, 1961) với nhan đề “Áp dụng nguyên lý cực đại của

Pơntriaghin vào vài tốn Cơ học”

Tiếp theo 100 báo kết nghiên cứu xoay quanh vấn đề “Dao động phi tuyến hệ động lưc” 13 sách chuyên khảo, có nhiều Anh đồng tác giả với Viện sỹ Mitropolski Một phần nội dung các kết thể sách chuyên khảo:

1.Nguyen Van Dao Nonlinear oscillations of high order systems, NCSR

Vietnam, Hanoi, 1979, 64p

2.Mitropolskii Yu A., Nguyen Van Dao Applied asymptotic methods in

nonlinear oscillations, Hanoi, 1994, 412p

3.Mitropolskii Yu A., Nguyen Van Dao Applied asymptotic methods in

nonlinear oscillations, Kluwer Academic Publishers, 1997, 342p Luận án Tiến sĩ, 12/1976 Нгуен ван Дао

4.Nguyen Van Dao, Nguyen Van Dinh Interaction between nonlinear oscillating

systems Vietnam National University Publishing House, Hanoi, 1999, 356p Sau bốn chục năm nghiên cứu xây dựng đội ngũ, hướng nghiên cứu “Lý thuyết Dao động phi tuyến” Việt nam phát triển, đạt nhiều thành tựu nhà khoa học Quốc tế nhìn nhận Viện sỹ Mitrơpơlski đánh giá rằng: hình thành “Trường phái Hà Nội” hướng nghiên cứu

2 Đến với hướng Nghiên cứu “ Chuyển động Hỗn độn” (Chaotic Motions) Khai phá hướng nghiên cứu Chaos Hệ động lực phi tuyến

Cho tới trước năm 2000, cơng trình Anh chủ yếu tập trung vào nghiên cứu vấn đề dao động hệ động lực phi tuyến theo hướng truyền thống

Bắt đầu từ năm 1999, Anh mở đường vào hướng nghiên cứu hệ phi tuyến: Chuyển động hỗn độn - Chuyển động Chaos (Chaotic Motions)

“ Hỗn độn - Chaos” không hướng nghiên cứu mà hướng nghiên cứu giới Nó phát bắt đầu nghiên cứu khoảng bốn chục năm gần (vào đầu năm 60 kỷ XX) có ảnh hưởng đóng góp lớn đến việc nghiên

cứu lĩnh vực: khoa học, kỹ thuật, kinh tế, kể khoa học xã hội Nó thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học đặc biệt nghiên cứu nhiều Mỹ, Nhật Bản, hai nôi sản sinh ngành khoa học

Sự khai phá thật khó khăn, người cộng tác (vì lĩnh vực Động lực học, Việt nam đến thời điểm đó, chưa có nhà khoa học sâu tìm hiểu tượng Chaos), nữa, thân “Chaos” vấn đề khó Hai năm đầu, Anh nhóm nghiên cứu tập trung vào đọc sách tìm hiểu vấn đề Có lần Anh mời Giáo sư Nhật Bản sang thuyết trình Một việc khó khăn việc tính lại ví dụ sách, động chạm đến nghiệm Chaos chương trình tính tốn phức tạp, nhiều thời gian (có nhiều chương trình xây dựng sơ đồ phân nhánh, phải chạy máy tính đến hàng chục ngày)

Sau thời gian tìm hiểu, Anh nhóm nghiên cứu mạnh dạn đăng ký hướng nghiên cứu “Chương trình nghiên cứu Nhà nươc” với đề tài “Hệ Động lực phi tuyến Chaos” Đề tài thực từ năm 2001 đến 2005 đạt kết ban đầu

Anh có cơng trình nghiên cứu chuyển động Chaos số hệ động lực Đã xuất sách chuyên khảo với nhan đề “Nhập môn Động lực học phi tuyến chuyển động hỗn độn” (Nhà xuất ĐHQG,2005)

Giới thiệu sơ lược khái niệm chuyển động hỗn độn - Chuyển động Chaos Lâu nay, định luật II Newton F=mA xem mở đầu

kết thúc cho việc nghiên cứu động lực học! Dựa vào đó, người ta có sở để tin biết trước vị trí, vận tốc ban đầu lực tương tác, với máy tính đủ mạnh, người ta dự đốn chuyển động hệ tương lai lâu dài Nhưng tiếc rằng, xuất máy tính nhanh mạnh lúc đáp ứng niềm kỳ vọng vào khả dự đoán trước cách vô tận động lực học Rất gần đây, người ta phát rằng, chuyển động hệ động lực đơn giản ln dự báo dài tương lai Những chuyển động không dự báo dài hạn gán cho tên chuyển động Chaos (chuyển động hỗn độn) việc nghiên cứu chúng gây tranh cãi số ý tưởng toán học sôi động động lực học Nếu ba trăm năm trước, Newton (1687) đưa phép tính vi tích phân, cơng cụ tốn học đại thời đó, vào nghiên cứu động lực học, phù hợp ba trăm năm sau, tượng phát hệ động lực, nhà khoa học phải xử dụng lý thuyết tốn học đại topo, hình học để nghiên cứu vấn đề

1- Trạng thái dừng, hay cân hình thành hao tán lượng ma sát, trạng thái Newton mô tả hình ảnh “quả táo nằm mặt đất”

2- Trạng thái dao động, tuần hồn tuần hồn, Newton mơ tả chuyển động đặn Trái đất, Mặt trăng hành tinh khác xung quanh Mặt trời

Vài chục năm gần đây, nhà khoa học phát cịn có trạng thái thứ ba chuyển động, đó chuyển động Chaos Những chuyển động cũng bị giới nội, bị giam hãm chuyển động tuần hoàn tuần hồn, khơng lặp lại khơng thể có dự đốn dài hạn.

Hiện chưa có định nghĩa xác cho nghiệm Chaos, khơng thể biểu diễn qua hàm toán học chuẩn Mặc dù vậy, người ta thường có nhận định chung rằng: nghiệm Chaos nghiệm khơng tuần hồn với số đặc điểm nhận dạng đặc biệt

Nghiệm Chaos xác định trạng thái yên định giới nội, miền hút nghiệm Chaos không gian trạng thái khơng phải đối tượng hình học đơn giản số hữu hạn điểm, đường cong kín hay xuyến, mà có cấu trúc hình học phức tạp, gọi tập hút lạ (strange attractor) hay tập hút Chaos (chaotic attractor), có thứ ngun phân hình (fractal dimension) Phổ tín hiệu Chaos có đặc tính dải rộng liên tục, nghĩa có tính chất phổ tượng ngẫu nhiên, không rời rạc phổ tập hút tuần hoàn hay tuần hoàn

Tính chất điển hình quan trọng chuyển động Chaos đặc biệt nhậy cảm với thay đổi điều kiện ban đầu, có nghĩa là: những khác nhau rất nhỏ đầu vào, bị khuếch đại tạo nên khác lớn đầu ra Sự nhậy cảm với điều kiện ban đầu nghiệm Chaos người ta gán cho tên đẹp, sinh động “Hiệu ứng cánh bướm” (Butterfly effect) diễn đạt câu nói đầy ấn tượng văn hoa: Một vẫy cánh một con bươm bướm Bắc Kinh, Trung Quốc hơm nay, gây bão tố cho bang California (Mỹ) vào tháng sau”

Như vậy, việc tìm nghiệm Chaos dẫn đến loạt vấn đề: tập hút lạ, phổ phản ứng, phụ thuộc nhậy cảm vào điều kiện ban đầu mà tiêu chuẩn điển hình có số mũ Liapunov dương , xây dựng hàm mật độ Một vấn đề có ý nghĩa nhất, đặc biệt thực tiễn, xác định miền tham số tương ứng với nghiệm Chaos

Sau thời gian dài nghiên cứu, Giáo sư Yoshisuke Ueda (người phát tượng Chaos dao động dòng điện vào năm 1961) nhận xét: Người ta gọi Chaos tượng mới, luôn tồn tại xung quanh ta Thật chẳng có nó, có điều người ta khơng ý tới (People call Chaos a new phenomenon, but it has always been around There’s nothing new about it , only people did not notice it)

họ nghiên cứu toán thực tế khí tượng thuỷ văn, dao động dịng điện …và sau người ta dùng cơng cụ tốn học để nghiên cứu chất tượng cách sâu sắc

3 Bước đầu đến với Cơ học Nano

Việc chế tạo vật liệu Nano phát minh công nghệ Nano xem thành tựu khoa học kỹ thuật đặc sắc kích thước cuối kỷ XX Trong kỷ XXI này, nghiên cứu vật liệu công nghệ Nano tạo cách mạng sản xuất

Anh Đạo tìm hiểu, nắm bắt vấn đề khoa học cơng nghệ có vai trị cách mạng nhìn nhận quan điểm Cơ học

Trong hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ niệm 25 năm thành lập Viện Cơ học (10/4/2004) Hà Nội, Anh có báo cáo khoa học với nhan đề “Cơ học Nano” Trong báo cáo Anh trình bày thơng tin tổng qt hướng nghiên cứu Cơ học Nano, thành tựu đạt giới đề xuất phương hướng nghiên cứu Cơ học Nano nước ta

Trong Cơ học Nano, vật liệu xem xét kích thước cỡ phần tỷ mét (109m), gần với kích thước phân tử Ở kích thước vật liệu, xuất hiệu ứng lượng tử , định luật Newton, quy luật kết cấu, ma

Báo cáo hội thảo KH Mừng Sinh nhật lần thứ 80 VS Frolov K V.: “The Study of Chaotic Phenomena in a strong nonlinear Mathieu Oscillator”

sát, tương tác … học kinh điển khơng cịn xác mà phải kể thêm hiệu ứng điện từ, lực phân tử,…

Nhìn trước vai trò quan trọng Cơ học Nano tương lai khoa học công nghệ, Anh có số kiến nghị :

1. Tổ chức nhóm nghiên cứu thăm dị, tìm kiếm thêm thơng tin lĩnh vực này: nội dung khoa học, tổ chức nghiên cứu nước … Ngành học thuộc Hội Đồng Khoa Học Tự Nhiên tài trợ cho nhóm nghiên cứu Các đề tài lựa chọn cần định hướng việc nghiên cứu học phục vụ cho phát triển công nghệ Nano Việt Nam, cho việc phát triển công nghệ sản xuất sản phẩm cấu trúc Nano Đặc biệt lưu tâm đến lĩnh vực Cơ học vật liệu

2.Tìm hiểu chương trình đào tạo cán Cơ học Nano nước Chuyển số cán Cơ học trẻ giỏi trường đại học Viện nghiên cứu sang nghiên cứu Cơ học Nano

3. Tổ chức số seminar Cơ học Nano

4. Tham gia họat động hợp tác quốc tế lĩnh vực Cơ học Nano, cử cán trao đổi khoa học nước vấn đề

Trong Hội nghị, Anh động viên khuyến khích cán khoa học trẻ mạnh dạn vào hướng nghiên cứu Mong thực ý nguyện tâm huyết Anh

4 Kết luận

Cách hôm, ngày 21/7/2007, Nguyên Thủ tướng Võ Văn Kiệt đên thăm gia đình VS Nguyễn Văn Đạo Trong lời cảm tưởng Ơng viết: “ Tơi thật xúc động bồi hồi thương tiếc Anh vô - Một nhà trí thức lớn đầy tâm huyết, nhiều ý tưởng, sáng tạo vươn tới …”

Trong khoa học, Anh thể rõ người Từ ngày đầu lứa tuổi 20, chập chững vào nghiên cứu khoa học năm tháng cuối Anh miệt mài làm việc, khai phá mở đường đẫn dắt tập thể nghiên cứu theo hướng Anh Anh giúp đỡ, bồi dưỡng, tạo điều kiện cho cán khoa học trẻ vươn lên Một hoạt động khác lĩnh Anh chịu khó viết sách chuyên khảo Anh Bắt đầu viết sách từ năm 1969, tới Anh viết 13 sách chuyên khảo

Ở anh nét bật khả tổ chức, đoàn kết, hội tụ nhà khoa học để phát huy sức mạnh họ phục vụ đất nước

“Một tiếp cận số Chuyển động Hỗn độn Chấn tử Duffing – Van Der Pol”

AN NUMERICAL APPROACH OF CHAOTIC MOTIONS IN A DUFFING-VAN DER POL OSCILLATOR

Nguyen Van Dao, Nguyen Van Dinh, Vietnam National University, Hanoi

Tran Kim Chi, Nguyen Dung

Vietnamese Academy of Science and Technology

Abstract In the present paper the influence of the excitation frequency ( ν ) and the forcing amplitude (e) on the chaotic behaviour of the system governed by equation

x2x k (1 x x2)x3esint (1) will be examined This equation is a Van der Pol one with a forcing term esinvt, where   , , , ,e  and  are constants,

overdot denotes the derivative with respect to time t When e=0 , 0,

   we have the classical Van der Pol equation which

represents a self – excited oscillator with the amplitude a* 2 /  and frequency ω Our discussion was focused upon variation of the excitation frequency ν and the forcing amplitude e The bifurcation diagrams for acquiring the overview of equation (1) and the Liapunov exponent method will be used [3,4,5,6,9] For a concrete case, the parameter regions in which either periodic or chaotic motions exist were shown In two preceding cases, the first case, when ν is control parameter, it changes suddenly from periodic motion to chaotic motion, corresponding to Hopf bifurcation In the second case, it is the double – period process and leads to chaotic motion.Chaotic attractors illustrate the complexity of the motion of the system under consideration. 1 Summary of the case of small parameters

First, we recall briefly some known results of deterministic motions in (1) for the case of smallness of the coefficients It is supposed that  is close to the

natural frequency , namely :

here  is a detuning parameter and  is a small positive one Applying to (1) the

asymptotic method [2] and using the amplitude and phase variables (a,) given by

cos( ), sin( ),

cos( ) sin( ) 0,

x a t

x a t

a t a t

                      (3) we have

νa˙=− ε[Δx+k(1− γx

2

) ˙x+βx3+esinνt]sin(νt+θ),

νaθ˙=− ε[Δx+k(1− γx2) ˙x+βx3+esinνt]sin(νt+θ) (4)

Since a and  are slowly varying functions of time, the change in their values

during a time period T =2 /  is very small Hence, in the first approximation one

may replace equations (4) by their time – averages over (t, t+T )assuming a and

 to be constant :

νa˙=ε

2[akν(1− 4γa

2

)−ecosθ],

νaθ˙=ε

2(− Δa − βa

3

+esinθ)

(5) The steady-state equations are

a0kν(1−γ

4 a0

)=ecosθ0,

Δa0+

3 4βa0

3

=esinθ0

(6)

By eliminating the phase θ0 from these equations we obtain

¿=E2,

A¿ (7) where

A=γ

4a0

=a0

a❑

2 , E

= γ

4k2ω2e

2, σ =ω

k [ α2−1

ε +

3β 4ω2a0

2

],α=ν

ω, (8) a❑=2/√γ is the amplitude of the purely self-excited van Der Pol oscillator Below only the behaviour of forced oscillations with the frequency  which is

close to  will be considered.

The amplitude curves with various values of external excitation (E) are given in the Figure for the case β=0 [1] For E=0, i.e for the zero external excitation,

we find the results for the classical Van der Pol oscillator: 1) A=0 with  arbitrary ,

2) =0 , A=1

Therefore ,the resonance curves degenerate into the line A=0 ( -axis) and the

point  =0,A=1

If E is small but different from zero ,we expect A to be nearly or nearly zero so that one of the response curves would be oval which is approximately the circle

2 2

(A1)  E

with centre at  =0 , A=1 In addition, the other branch runs near the -axis

.The oval expands with increasing E When E increases, the resonance curves first consist of two branches, up to the critical value E= / 27 for which the two branches join at  =0, A=1/3, then with further increase of E the resonance

curves have only a single branch

From the Figure one can see that under certain conditions the frequency of the free oscillation is canceled out and is replaced by a synchronized oscillation, i.e by an oscillation whose frequency is that of the external force ,namely:

1) For a given amplitude of the exciting force (E), the synchronization effect is observed when the exciting frequency  is close enough to the natural

frequency  of the oscillator The larger the amplitude of the exciting

force ,the greater the frequency interval over which the synchronization occurs

2) For a given exciting frequency ,the oscillator is synchronized when the

exciting amplitude is large enough The closer the exciting frequency is to

, the lower its threshold amplitude is.

2 The case of arbitrary parameters

2.1 Some concepts connected to bifurcation

Bifurcation is a concept used to indicate a qualitative change in the features of a dynamical system, such as the number and type of solutions, under the variation of one or more parameters on which the considered system depends These parameters are called the control parameters, and parameter values at which bifurcations occur are called bifurcation values A bifurcation diagram is a graph of the state variables versus the parameters [3,6,9]

The bifurcation diagram provides a summary of the essential dynamics and is therefore an important tool for examining the prechaotic or postchaotic changes in a dynamical system under parameter variations The Poincare’ map can be used to construct the bifurcation diagrams for continuous differential equations When the data are sampled using a Poincare’ map, it is very easy to observe period doubling and Hopf bifurcations It is useful because one characteristic precursor to chaotic motion is the appearance of subharmonic periodic vibrations

We’ll examine two following concrete cases: a) The frequency ν is the control parameter b) The forcing amplitude e is the control parameter

2.2 The frequency ν is the control parameter.

We go back to the system (1) with ω2=0 , k=1 , =0.6,  = -1, e = 5

and use the frequency ν as a control parameter Poincare’ sections for orbits of this system are constructed by using the excitation frequency ν For each orbit of the system the discrete points ( x(nT),x˙(nT) ) are collected at time intervals

of T=2π/ν (the period of the external excitation force) The bifurcation diagram

shown in Figure was generated by incrementing the control parameter ν in



steps of Δν=¿ 0.0001 The graph consists of the points (x(nT), ν) , where the

values x(nT) correspond to the attractor realized at each value of ν

From Figure it is clear that as ν increased through νh≈0 780895 , there is an abrupt transition from the point attractor to an aperiodic one, so a Hopf bifurcation of a periodic solution (the Poincare’ section consists of only one point) occurs For ν<νh , the state of the system is periodic, when the control

parameter exceeds the threshold value νh , the system evolution is attracted to chaotic attractor, then the system undergoes a subcritical Hopf bifurcation The attractors, both before and after the bifurcation, are shown in Figure 3(a, b) Figure 3(a) describes the periodic attractor with its Poincaré section consisting of one point (*) connected to ν =0.78 With ν=¿ 0.782 a chaotic motion occurs, Figure3(b) describes its attractor We’ll consider this case more detail below With the values of the frequencies ν<νh , the Poincaré sections consist of one

point, the motions are periodic with the period equating the one of the external force Beyond the periodic region occupying much of the interval 76≤ ν<νh ,

there exists a wide interval in which for certain ranges of the parameter ν , the displacement x takes an infinite number of values; these states are aperiodic

It is also interesting to see that within the aperiodic regions there are narrow intervals in which the motion abruptly becomes periodic again, for example, the region around the value ν=0 8, ν=0 8054, ν=0 8138 In this interval, for

every parameter ν , x takes a finite number of values (more than one), so that the corresponding motions are subharmonic oscillations

-8

-3.5 3.5

x

x

-8

-3.5 3.5

x

x

(a) (b)

0.7717 0.7813 0.7910 0.8007 0.8103 0.8200

x

0 0.76

-1.89 1.25

A concrete case of Chaotic motion We consider a concrete case for the parameters  2 0.7, k 1,  0.6,  1, e=¿ 5 and ν=0 782>νh The

aperiodic appearance of x (see Fig.4) suggests that the system under consideration is chaotic

To verify that motion realized at ν=0 782 is chaotic, we need to show the

sensitivity to initial conditions on its attractor We choose two points separated by

d0=10−7 close to the attractor and examine initiated evalutions from them

Figure illustrates the variation of the separation d with time t The exponential growth of separation d for 20<t<120 is clearly noticeable The separation

saturates the size of the attractor for t > 120 Therefore, there is a positive Liapunov exponent associated with the chaotic orbit at ν=0 782 and its

approximate value is λ ≈¿

¿ 0.0495 Much more insight can be gained from a Poincaré section (Figure6) consisting of stroboscopic points at instants

2π/❑

¿ ¿

t=n¿ 0.782), n=¿ 0,1,2 of the orbit of the system (9) in the space (x ,x˙) Figure

6 shows the next 10000 points after the transition decays about the first 1000 periods The corresponding attractor of the chaotic solution is presented in Figure 3(b)

-8

-3.5 3.5

-8

-3.5 3.5

Figure (a) Periodic attractor (), (b) Chaotic attracror ()

-3

40170 40270 40370 40470

x

x

2.3 The forcing amplitude e is the control parameter

We examine a graph of x versus the forcing amplitude e at ω2

=0 ,

k =1 ,  =0.6 ,  = -1,  = 0.837 in order to detect bifurcations The bifurcation

diagram is shown in Figure In this numerically constructed bifurcation diagram, the discrete points on the Poincare’ section of the attractor realized at each value e are displayed

Obviously, from Figure 7, we can observe the sequence of period-doubling bifurcations First, with one of values e in the interval (4.7 , 4.7645125), the Poincare’ section consists of five points (five dark points in Fig.8), so there exist the subharmonic motions with the period equaling five times of the period of the external force (Figure 8) At the value e  4.7645125, the first period-doubling bifurcation occurs After the bifurcation, with the values e which is in the right vicinity of the value e  4.7645125, the subharmonic motions with the period

-2.5 2.5

-2 -0.5

x

x

Figure Poincare’ section for .

1.00E-07 1.00E-05 1.00E-03 1.00E-01

0 50 100 150 200

10-7 10-5 10-3 10-1

t d

Figure Sensitivity to initial conditions

for

4.7208 4.7417 4.7625 4.7833

e

4.8042 4.825

x

-1.82 1.54

equaling twice the period of the previous motions appear, the Poincare’ sections consist of ten points (Fig 9), and so on The chaotic attractor realized at e = 4.8042 appearing after a sequence of period-doubling bifurcations is shown in Figure 10, and Figure 11 is corresponding attractor The largest Liapunov exponent evaluated is positive ( λ ≈0 0553¿ defines sensitivity to initial conditions on the chaotic attractor

-2

-1.9 -0.95 0.95

x

x

Figure Ten points in the Poincare’ section for e = 4.7682.

-3

-2

x

x

Figure 11 Poincare’ section for e=4.8042

-7.5 7.5

-3

x

x

Figure 10 Chaotic attractor for e=4.8042

-7

-3

x

The sequence of period-doubling bifurcations is one route to chaos and it is common

in many dynamical systems It is particularly interesting because it may be characterized by a certain universal constant (called the Feigenbaum’s constant) that not depend on nature of the concrete systems This constant is considered as a specify criterion to determine if a system becomes chaotic by observing the prechaotic periodic behavior

If the first bifurcation occurs at parameter value e1, the second at e2, and so on,

then this constant is defined as lim k →∞

ek− ek−1 ek+1− ek

=δ=4 6692016

Table 12 shows a list of the parameters at which period-doublings occur in the Poincare’ map corresponding to the system (1) for ω2=0 , k =1 ,  =0.6 ,

 = -1, = 0.837 and e is used as the control parameter.

Period Parameter e Ratio

5 10 20 40 80 160

.

4.7645125 4.7717130 4.77327499

4.773611 4.77368297

. .

4.600144 4.656677 4.668751

. .

Table 12 Feigenbaum’s constant in the Poincare’ map

Liapunov exponent To determine the chaotic motion in the system described by (1) it is necessary to calculate the largest Lyapunov exponent If d0is a measure of

the initial distance between the two starting points, at a small but later time the distance is

  02

t

d t d 



-7

-3

The divergence of chaotic orbits can only be locally exponential, since if the system is bounded, as most physical experiments are, d(t) cannot go to infinity Thus, to define a measure of this divergence of orbits, we must average the exponential growth at many points along a trajectory One begins with a reference trajectory and a point on a nearby trajectory and measures d t d / 0 When d(t) becomes too large (i.e, the growth departs from exponential behavior), one looks for a new “nearby” trajectory and defines a new d t0  One can define the first Lyapunov exponent by the expression

 

 

2

0

1 log N k k N k d t

t t d t



 



 

the motion is chaotic if the corresponding largest Lyapunov exponent is positive For this calculation ([7]), in the case of concrete case of Chaotic motion in (2.2), we represent the equation (1) in the form :

 

1

2

2 0.7 (1 0.6 )1 5sin 0.782

1

x x

x x x x x z

z         

 (9)

Let u=(x1, x2, z) is a three dimension vector and u❑=u❑(t , u0) is a reference

trajectory of the system (3), where u0 is the initial condition The variational

equation corresponding to this reference trajectory is

˙

η=Aη ,

where η=u − u❑ and the matrix A depends on u❑

 *

* * *2 *2

1 1

0

3.91cos 0.782 0.7 1.2 0.6

0 0

A x x x x z

                

  (10)

If this initial condition is chosen at random, then it is likely to have a component that lies in the direction of the largest positive eigenvalue of A It is the change in length in this direction that the largest Lyapunov exponent measures

After a given time interval tk1 tk  , take

        ; 0; k k k k t d t

d t t

  





The time evolution of the Lyapunov exponent is presented in Fig.14 The largest Lyapunov exponent value is a positive number λ ≈¿

starting closely one to another in the phase space will move exponentially away from each other for small times on the average

d(t)=d02λt ,

where d0 is the initial distance between two adjacent starting points at

t=t0 and d is the distance between two these points at the moment t In Fig 15, we show how the distance d between evolutions initiated from two points separated by d0=¿ 10-7 varies with time Both of the initial points are located close to the attractor The separation clearly grows exponentially in the range 10 t<¿ 125 The separation saturates at the size of the attractor for t>¿ 125

3 Conclusion

The bifurcation diagrams and Liapunov exponent have been used for detecting chaotic regimes in the system described by equation (1) Our discussion was focused upon variation of the excitation frequency ν and the forcing amplitude e For a concrete case, the parameter regions in which either periodic or chaotic motions exist were shown Chaotic attractors (Fig 5, 10) illustrate the complexity of the motion of the system under consideration The bifurcation diagram shows

0 0.05 0.1 0.15 0.2

0 500 1000 1500 2000 2500

cycle 

Fig 14 Time evolution of the largest Liapunov exponent (one cycle = 0.837)

1.00E-07 1.00E-05 1.00E-03 1.00E-01 1.00E+01

0 100 200 300

t d

so clearly the motions of system (1) with respect to the observed parameters In two preceding cases, the first case, when ν is control parameter, it changes suddenly from periodic motion to chaotic motion, corresponding to Hopf bifurcation In the second case, it is the double – period process and leads to chaotic motion Lyapunov exponent value and some other criterions have used to determine chaotic motion of a solution

* * *

Cơng trình khoa học Anh báo cáo mời, báo cáo vào ngày thứ hai, 11/12/2006 Hội nghị Quốc tế “Giải tích phi tuyến Cơ học ngày nay” từ ngày 11 đến 14/12/2006 thành phố Hồ Chí Minh Nhưng Anh mãi vào buổi sáng hơm Sự nghiệp khoa học thực theo Anh đến thở cuối Khi chuẩn bị báo cáo chẳng ngờ báo cáo cuối Anh