Đang tải... (xem toàn văn)
a) Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn. Vòng tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA tại E và tiếp xúc với MB tại F. Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn ti[r]
(1)Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1989-1990
Ngày thứ I :
Bài : Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức số nguyên Bài : Tìm
Bài :
a)Chứng minh với m nguyên dương ,biểu thức không phài số phương b)Chứng minh với m nguyên dương khơng thể thành tích số tự nhiên liên tiếp
Bài : Cho tam giác ABC vng cân ,góc A=90 độ CM trung tuyến (M nằm AB).Từ A vẽ đường vng góc với MC cắt BC H.Tính tỉ số
(2)Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 1993-1994
Ngày thứ I : Bài :
a)Giải phương trình b)Giải hệ phương trình
Bài : Tìm max A= x,y thay đổi thỏa mãn ;
Bài : Cho hình thoi ABCD Gọi R,r bán kính đường trịn ngoại tiếp :delta ABD,ABC a độ dài cạnh hình thoi CMR:
Bài : Tìm tất số nguyên dương a,b,c đôi khác cho nhận giá trị nguyên dương
Ngày thứ II:
Bài : Giải hệ phương trình :
Bài : Có tồn hay khơng số nguyên x,y thỏa mãn điều kiện :
Bài : Số 1997 viết đước dạng tổng hợp số, không viết dạng tổng hợp số Hỏi ?
Bài : Xét tam giác ABC ngoại tiếp vịng trịn có bán kính Gọi độ dài đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tới cạnh đối diện Tìm giá trị lớn biểu thức : Bài 5: Trên đường tròn cho 16 điểm màu : xanh, đỏ, vàng để tô điểm (mỗi điểm tô màu) Giữa cặp điểm nối đoạn thẳng tơ màu tím màu nâu Chứng minh với cách tô màu điểm (chỉ dùng màu : xanh, đỏ, vàng) cách tô đoạn thẳng nối hai cặp điểm (chỉ dùng màu : tím, nâu) ta tìm hình vẽ tam giác có đỉnh điểm cho mà đỉnh tô màu cạnh tô màu (khác màu tô đỉnh)
(3)Bài 1: Cho x>0, tìm giá trị nhỏ biêu thức:
Bài 2:Giải hệ PT: 1/ +
và 1/ +
Bài 3: CM với số n nguyên ta có: +5n
Bài 4: Cho a,b,c>0 CM: ab+bc+ca
Bài 5: Cho HV ABCD cạnh a Gọi M,N,P,Q điểm nằm cạnh AB,BC,CD,DA
a CM:
b Giả sử m điểm cố định cho trước AB Hãy x/đ vị trí điểm N,P,Q cạnh BC,CD,DA cho MNPQ HV
(4)Có (xem sách có nhiều ) (dĩ nhiên )
đpcm Bài 4:
Chắc ý bạn muốn chứng minh: trước hết chứng minh:
Xây dựng bất đẳng thức lại tương tự đpcm
(5)Bài 1,(2đ) Tính S=
Bài 2,(2đ)Tìm nghiệm nguyên dương:
Bài 3,(2đ)C/m nghiệm pt nghiệm pt:
Bài 4,(3đ)Cho hv ABCD, M di động BD (M khác B,D).Vẽ đường tròn tâm O1,O2 qua M tiếp xúc với CB,CD B,D (O1) cắt (O2) N ( khác M)
a,C/m C,M,N thẳng hàng b,C/m N đường trịn cố định c,Tìm M để đoạn O1O2
Bài 5,(1đ)Giả sử a,b,c số thực dương thoả mãn ,c/m:
(6)Ngày thứ I: Bài :
a) Giải phương trình : b) Giải hệ phương trình :
Bài : Cho số a, b thỏa mãn điều kiện Tính giá trị biểu thức
Bài : Cho số Chứng minh :
Bài : Cho đường trịn (O) bán kính R A B hai điểm cố định đường tròn, (AB<2R) Giả sử M điểm thay đổi cung lớn AB đường tròn
a) Kẻ từ B đường thẳng vng góc với AM, đường thẳng cắt AM I cắt đường tròn (O) N Gọi J trung điểm MN Chứng minh M thay đổi đường trỏn điểm I, J nằm đường tròn cố định
b) Xác định vị trí điểm M để chu vi tam giác AMB lớn Bài :
a) Tìm tất số nguyên dương cho số lập phương số nguyên dương
b) Cho số thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn biểu thức :
(7)a) Giải hệ phương trình :
b) Với giá trị câu a phương trình sau có nghiệm : Bài 2: Tìm nghiệm ngun phương trình :
Bài :
a) Cho a, b, c số thỏa mãn : i
ii phương trình vơ nghiệm Chứng minh :
b) Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
Bài :
Cho bảng vng kích thước (bảng gồm 1998 hàng 2000 cột ) Kí hiệu (m,n) vng nẳm giao hàng thứ m (tính từ xuống) cột n ( tính từ trái sang phải ) Cho số nguyên với Tô màu ô vuông bảng theo quy tắc :
a) Lần thứ tô màu năm ô :
b) Từ lần thứ hai trở đi, lần tơ năm chưa có màu nằm liên tiếp hàng cột
Hỏi cách ta tơ màu hết tất ô vuông bảng hay khơng ? Giải thích ?
Bài 5:
Cho tam giác ABC Trong tam giác ABC, vẽ ba vịng trịn, có bán kính nhau, tiếp xúc ngồi lẫn vịng trịn tiếp xúc với hai cạnh tam giác Gọi
là vịng trịn tiếp xúc ngồi với bà vịng trịn Biết bán kính vịng trịn , tính độ dài cạnh tam giác ABC
(8)Ngày thứ I:
Bài 1: Cho số thỏa mãn :
Tính giá trị biểu thức
Bài 2:
a) Giải phương trình :
b) Giải hệ phương trình :
Bài : Tìm tất số nguyên dương cho chia hết cho
Bài : Cho đường tròn (O) điểm I đường tròn Dựng qua I hai dây cung MIN EIF Gọi M', N', E', F' trung điểm IM, IN, IE, IF
a) Chứng minh tứ giác M'E'N'F' nội tiếp
b) Giải sử I thay đổi, dây cung MIN EIF thay đổi Chứng minh vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính khơng đổi
c) Giả sử I cố định, dây cung MIN, EIF thay đổi ln vng góc với Tìm vị trí dây cung MIN EIF cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn
Bài :
Các số dương thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức
(9)Bài : Giải phương trình :
Bài 2: Cho số xác định công thức với Tính giá trị tổng
Bài : Chứng minh tồn số chia hết cho 1999 tổng chữ số số 1999
Bài : Cho vòng tròn tâm O bán kính R Giả sử A B hai điểm cố định vòng tròn với
a) Giả sử M điểm thay đổi cung lớn AB đường tròn Vòng tròn nội tiếp tam giác MAB tiếp xúc với MA E tiếp xúc với MB F Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn cố định M thay đổi
b) Tìm tập hợp tất điểm P cho đường thẳng vng góc với OP P cắt đoạn thẳng AB
(10)Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 2000-2001
Ngày thứ I: Bài : a) Tính
b) Giải hệ phương trình : Bài :
a) Giải phương trình
b) Tìm tất giá trị a ( a R ) để phương trình : có ngiệm nguyên
Bài 3: Cho đường trịn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB//CD), tiếp xúc với cạnh AB E với cạnh CD F
a) Chứng minh
b) Cho biết , Tính diện tích hình thang ABCD Bài : Cho x, y hai số thực khác khơng Chứng minh :
(11)Bài :
a) Tìm cặp số nguyên thỏa mãn :
b) Cho cặp số thỏa mãn : , Chứng minh : ,
Bài :
a) Giải phương trình
b) Cho có tính chất , , số hữu tỉ Chứng minh số hữu tỉ
Bài :
a) Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng, góc B D tứ giác vng tù
thì
b) Cho đoạn thẳng AC cố định điểm B di động Hãy tìm tập hợp điểm B để tam giác ABC tam giác khơng tù góc góc bé tam giác ABC
Bài : Trên mặt phẳng cho điểm cho điểm thẳng hàng khoảng cách giữa cặp điểm số khác Ta nối cặp điểm đoạn thẳng Chứng minh rằng, đoạn thẳng vừa thu có đoạn thẳng cạnh bé tam giác có đỉnh số điểm cho đồng thời cạnh lớn tam giác khác có đỉnh số điểm cho
THI TUYểN VÀO LớP 10 CHUN TỐN - THPT CHUN QUảNG BÌNH
Năm học 2002-2003
Câu 1(2 điểm):
Cho đường thẳng có phương tr“nh 1) Xác định trường hợp sau: a/ (d) qua điểm
b/ (d) cắt trục tung B có tung độ 3
2) T“m để đường thẳng xác định đường thẳng đôi song song Câu 2(1,5 điểm):
CMR:
Câu 3(2 điểm): Cho phương tr“nh:
1) Xác định giá trị để phương tr“nh (1) có nghiệm phân biệt
(12)vng góc với ( thuộc )
1) CM tứ giác nội tiếp đường trịn 2) CM góc góc
3) CM thay đổi cung nhỏ th“ góc khơng đổi 4) CM song sonh với
Câu 5(1 điểm):
1) CMR: Với , ta có: 2) CMR:
“Ln chúc người hạn phúc vui vẻ”
Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội_ tốn vịng
I (3đ)
1,Giải hệ: 2,Giải pt: II(3đ)
(13)2)Tìm để pt có nghiệm ngun III(3đ)
vuông A AH BC
1) C/m tâm đường tròn ngoại tiếp AMN trùng tâm đ/tròn nt ABC
2) d1,d2 đt vuông với BC M,N C/m d1,d2 tiếp xúc đường tròn nt ABC IV(1đ)
Giả sử a,b nguyên dương t/m Tìm max:
P=
Câu :
Câu :
2) Đk cần là số cp > Đặt Tách xong ta đc :
NX : tính chẵn lẻ , từ làm nốt kết Cách 2:
(14)Do chúng nguyên vậy, suy
Do , mặt khác 16072 không chia hết cho 16 p thỏa mãn cho phương trình có nghiệm nguyên
Cách 3:
Gọi nghiệm phương trình ( , số nguyên ) Theo hệ thức Viét :
+ = =
Vì số nguyên nên nguyên p lẻ
là ngun p chẵn VƠ LÝ
Vậy khơng tồn p thỏa mãn Câu :
1) Gọi O tâm nội tiếp CM đc O trung trực AM , AN > O tâm ngoại tiếp AMN
2) Kẻ > EF đg kính > đpcm
Câu :
Ta có Do
Giả sử , ta có
Do số có số nhỏ
Giả sử , xét ta có , lúc Xét ta có
Mặt khác ta có Vậy
Tóm lại đẳng thức xảy
Đề thi tuyển sinh lớp 10 trường ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội_ tốn vịng
Câu
1.Giải hệ phương trình :
2 Tìm giá trị lớn biều thức: với
(15)1.Tìm số nguyên x,y thỏa mãn đẳng thức:
2.Tìm số nguyên dương a,b,c cho số nguyên
Câu 3: Cho nột tiếp (O) Giả sử tiếp tuyến với đường tròn (O) B C cắt nhâu P nằm khác phía với A BC Trên cung BC không chứa A ta lấy điểm K(K khác B C) Đường thẳng PK cắt đường tròn (O) lần thứ hai điểm Q khác A
1) Chứng minh đường phân giác góc qua điểm đường thẳng PQ
2)Giả sử đường thẳng AK qua trung điểm M cạnh BC Chứng minh AQ // BC
Câu 4:Cho phương trình (1)
Trong hệ số nhận ba giá trị Chứng minh nghiệm (1)
Câu 1: <=>
trừ vế theo vế dc <=>
vì ko thể thay vào tốn thấy vơ lý =>
<=>
(16)Bài 4:
-> (vì a nhận giá trị 0-1) -> ( ): ( )
giả sử |x|
->|x|-1 1-> VP < ( vơ lí) ->đpcm
§Ị tuyển sinh vào 10 - Chuyên Lam Sơn (6)
Bµi 1: Cho K = (
√a
√a −1 ¿❑
❑
-
a −√a) : (
√a+1+
2 a −1) TÝnh K a = +2√2
Bµi 2: Cho f(x) = x4 – 4x2 + 12x –9
a, Ph©n tich f(x) thành tích b, Giải phơng trình f(x) =
Bài 3: Giải phơng trình |x |x 1||=2
Bi : Tìm m để hệ phơng trình sau vơ nghiệm {
mx− y=1
x 2−
y 3=334
Bài 5: Cho (P ) y = x2- 2x –1 ; (Δ) y = x-1 a, Tìm toạ độ giao điểm A, B (P) (Δ) b, Tìm M ε(OX) cho MA + MB nh nht
Bài 6: Giải hệ phơng trình {x
3
=3x+8y
y3=2y+8x
Bài 7: Cho a,b hai số dơng Chứng minh rằng:1 a+
1 b
4 a+b
Bµi 8. Cho tam giác ABC có trọng tâm G
a, Chøng minh r»ng dt(ΔGAB)®t(ΔGCA),dt(ΔGBC)
b, Gọi M,N,P lần lợt trung điểm AB,BC,CA O tâm đờng tròn ngoại tiếp ΔABC CMR O trực tõm ca MNP.
Bài 9: Cho hình chữ nhật ABCD cã AB =a, BC = a√2, gäi M lµ trung ®iĨm cđa BC CMR : AM BD
(17)Đáp án toán chung- Tuyển sinh vào 10 lam sơn
Bài Nội dung Đỉểm
1 (2®)
K = a −1
√a(√a −1):
√a+1
a −1 =√
a+1
√a (√a −1)
= a −1
√a Khi a= + 2√2= (√2+ 1)
2 => K = 2+2√2
√2+1 =2
1.0 1.0
2
(2®) a, Ta cã f(x) = x
4 - 4x2 + 12x - 9 = x4- (2x - 3)2
= (x2 + 2x - 3)(x2 - 2x + 3) =((x +1)2 - 2x2)(x2 - 2x + 3) =(x - 1)(x + 3)(x2 - 2x + 3) b, f(x) = tơng đơng với
Vậy phơng trình có nghiệm x = 1, x = -3
1.0
1.0
3
(2đ) Phơng trình |x |x 1||=2
Vậy phơng trình có nghiệm x= - −1
2 1.0
1.0
1 0
4
(2®) HƯ y = mx-1
(18)Hệ phơng trình v« nghiƯm (*) v« nghiƯm m - 32 = 0
m = 32 hệ vô nghiƯm. 1.0
5
(2®) a Giao ®iĨm cđa (P) vµ (Δ) lµ nghiƯm cđa hƯ { y=x −1
y=x2−2x −1⇔¿
=> Giao ®iĨm A(0;-1) B(3;2)
b Vì A(0;-1) B( 3;2) nằm vỊ hai phÝa cđa ox
M cần tìm giao điểm ox AB Trong AB : x −0
3−0 = y+1
2−(−1) x-y =1 M {x − yy=0
=0⇔M(1 :0)
Vậy M(1;0) MA+ MB đạt giá trị nhỏ
1.0
1.0
6 2.0
HÖ ⇔{x
3
− y3=−5(x − y)
x3
=3x+8y ⇔{
(x − y)(x2+xy+y2+5)=0
x3
=3x+8y ⇔{
x=y
x3−11x
=0( v×
x2+xy+y2+5=(x+ y
2 ¿
2
+3y
2
4 +5>0) ⇔¿
VËy hÖ cã nghiÖm (0; 0) (√11;√11),(-√11;-√11)
1.0
1.0
7 2.0
Bất đẳng thức tơng đơng với 1
a+ b−
4 a+b≥0 ⇔b(a+b)+a(a+b)−4 ab≥0
⇔a2+b2−2 ab≥0 ⇔¿
¿
Bất đẳng thức cho đúng
DÊu b»ng x¶y a=b
1.0
1.0
8
(19)Ta cã : dtdt(ΔGBC)
(ΔABC)=
GH1 AH =
GN AN =
1 3 => dt(ΔGBC) =1
3dt(ΔABC) T¬ng tù :dt(ΔGCA) = 1
3dt(ΔABC) dt(ΔGAB) =1
3 dt(ΔABC) ⇒dt(ΔGAB)=dt(ΔGBC)=dt(ΔGCA)
Ta có ON BC => ON MP => ON đờng cao ΔMNP MP // BC
OM AB => OM NP OM đờng cao MNP NP // AB
O trực tâm MNP
1.0
9
(2đ) Gọi H giao điểm AM BD Trong vuông ABD ta cã BD =√AB2
+AD2=a√3 Δ vu«ng cã AM = √AB2+BM2= a√26
V× M = 12AD => HAHM=HDHB=BMAD
HA = 2HM =32BD=2a√3
HA2 + HD2= AD2 HAD vuông H -> AM BD
1.0
1.0
10
(2®) 1.0
(20)Ta cã :
DM⊥SA DM⊥SK
¿{
¿ ¿
=> DM (SAK)
DM⊥AK Gãc AKD❑
=900
-> K thuộc đờng trịn đờng kính AD
“Ln chúc người hạn phúc vui vẻ”
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH Năm học 2004-2005
Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức:
a) Với giá trị th“ biểu thức có nghĩa? b) Rút gọn P r?#8220;i so sánh với
Câu 2(2,0 điểm): Cho ba số thực đôi khác thõa mãn:
CMR:
(21)trùng với trung điểm đoạn thẳng )
a) T“m vị trí điểm đường trịn cho độ dài lớn nhất?
b) Gọi điểm đường trịn cho vng góc với Gọi trung điểm CMR, điểm di động đường trịn th“ số khơng đổi
c) CMR, điểm di động đường tròn th“ điểm di động đường trịn cố định có tâm trung điểm đoạn thẳng
Đề THI VÀO 10 Hệ THPT CHUYÊN NĂM 2004 ĐạI HọC KHOA HọC Tự NHIÊN(VỊNG 2)
1 giảI phơng trình x 3 x 2
2 GiảI hệ phơng trình
2
2 153
( )( )
(x y xx y x)( yy )
3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
3 2
1
( ) ( )
( )( )
x y x y P
x y
với x, y số thực lớn 1.
4 Cho hình vng ABCD điểm M nằm hình vng
a) Tìm tất vị trí M cho MAB = MBC = MCD = MDA
b) Xét điểm M nằm đờng chéo AC Gọi N chân đờng vng góc hạ từ M xuống AB O trung điểm đoạn AM Chứng minh tỉ số
OB
CN có giá trị khơng đổi M di chuyển đờng chéo AC
c) Với giả thiết M nằm đờng chéo AC, xét đờng trịn (S) (S’) có đờng kính tơng ứng AM CN Hai tiếp tuyến chung (S) (S’) tiếp xúc với (S’) P Q Chứng minh đờng thẳng PQ tiếp xúc với (S)
Bài : Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên số a số nguyên lớn khơng vợt q a kí hiệu [a] Dãy số x0, x1, x2 …, xn, … đợc xác định công thức
1
2
n
n n
x .
Hỏi 200 số {x1, x2, …, x199} có số khác ?
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH Năm học 2005-2006 Ngày 1: Dành cho tất thí sinh
Câu 1(2,5 điểm): Cho biểu thức: a) Rút gọn biểu thức M
b) T“m x để biểu thức M đạt GTNN?
(22)a) Phương tr“nh (1) có nghiệm
b) Phương tr“nh (1) có hai nghiệm phân biệt thõa mãn Câu 3(1,0 điểm): T“m GTLN biểu thức: (x>0)
Câu 4(3,5 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Các đường phân giác ngồi góc A cắt BC D E Tiếp tuyến (O) A cắt BC F a) CM tam giác FAD cân F
b) CM:
c) Đặt AB=m, AC=n Tính tỷ số theo m n
Câu 5(1,0 điểm): Trong dãy số tự nhiên t“m 2005 số liên tiếp mà khơng có số ngun tố khơng?
Ngày 2: Dành cho thí sinh dự thi vào lớp chuyên
Câu 1(1,5 điểm): Không dùng bảng số máy tính, so sánh hai số sau:
Câu 2(2,0 điểm): Giải phương tr“nh: Câu 3(2,0 điểm): Rút gọn biểu thức:
Câu 4(3,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Từ C kẻ tia Cx vng góc với AB Trên tia Cx lấy hai điểm E, F cho CE=CA CF=CB Vẽ đường tròn tâm qua ba điểm A, C, E đường tròn tâm qua ba điểm B, C, F, chúng cắt điểm thứ hai D
a) CM ba điểm E, B, D thẳng hàng ba điểm A, D, F thẳng hàng
b) Khi C di động đoạn thẳng AB (C không trùng với A C không trùng với B), chứng minh đường thẳng CD luôn qua điểm cố định
Câu 5(1,5 điểm):
An hỏi B“nh: Bố bạn năm tuổi?
B“nh đáp: Năm 1986, tuổi bố m“nh số có hai chữ số bẳng tổng chữ số năm sinh bố m“nh Hỏi bố B“nh sinh năm năm 2005 bố B“nh tuổi?
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN Năm học 2005-2006
Vòng 2: Bài :
(23)a)CMR
b)Tìm
Bài : Cho hình vng ABCD điểm P nằm :delta ABC a)Giả sử độ CMR:
b)Các đường thẳng AP CP cắt cạnh BC BA M,N.Gọi Q điểm đối xứng với B qua trung điểm đoạn MN.Chứng minh P thay đổi :delta ,đường thẳng PQ qua D
Bài :
a)Cho đa giác (H) có 14 đỉnh CMR đỉnh (H) ln có đỉnh đỉnh hình thang
b)Có phân số tối giản (m,n số nguyên dương ) thỏa mãn
SỞ GIÁO DỤC VAØ ĐAØO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10 THPT LÂM ĐỒNG Khoá ngày 21 tháng năm 2006
ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI : TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề)
Bài I: (3 điểm)
Câu1: Rút gọn: A = 12 24 -8 54 + 216 -2 150 Caâu2: Tính B =
1 -
3 -5 3 +
Câu3: Tính C = - - + Baøi II: (3 điểm)
Câu1: Giải hệ phương trình:
3 31
2 25
x y x y
Câu2: Giải phương trình : 25x4 + 24x2– 1= 0 Bài III (3 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P):y =
1
2x2 đường thẳng (d): y =
1 2x +
3
Câu1: Vẽ (P) (d)
Câu2: Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) phép tính
Câu3: Chứng minh đường thẳng (Δ ): mx + y = 2– 2m qua điểm cố định nằm (P) với m
Baøi IV: (5 điểm)
(24)Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả mãn điều kiện:
2 2
x + x = 45
Câu2: Đường cao thuộc cạnh huyền tam giác vuông chia cạnh huyền
thành hai đoạn có độ dài đơn vị Biết đường cao có độ dài
12 đơn vị Tính độ dài cạnh huyền Câu3: Cho sina= 0,6 Tính cosa vaØ tga Bài V: (6 điểm)
Cho hình vng ABCD Trên cạnh CD lấy điểm N (N C , N D) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC cắt AC E (E C)
1) Chứng minh tam giác BEN vuông cân
2) Tia BE cắt AD M , BN cắt AC F Chứng minh tứ giác ABFM nội tiếp
3) MF cắt NE H Chứng minh BH MN
4) Gọi J giao điểm BH AC Chứng minh BC.EJ = EA BJ
.Hết Họ tên thí sinh Chữ ký giám thị Số báo danh:
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (2006 – 2007)
Bài 1: (3 điểm)
1) A = 24 -24 + 30 -10 0,75ñ A = 20 0,25ñ 2) B =
3 + 5-3 +
27 -25 0,5ñ
B = 0,5ñ
3) C =
8-2 - 8+
2 0,25ñ
C =
( ) (2 )2
7 -1 +1
-2 0,25ñ
C =
7 -1- +1
2 0,25ñ
C = - 0,25đ
Bài : (3điểm)
1) Giải hệ tìm x = – 1đ
(25)Giải phương trình tìm t1 = –1 , t2 =
1
25 0,5đ
Chọn t2 =
1
25 => x = ±
5 0,5đ
Kết luận nghiệm 0,25đ
Bài 3: (3điểm)
1) Vẽ (P) 0,5đ
Vẽø (d) 0,5đ
2) Lập phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) 0,25đ Giải phương trình tìm x = –2 , x= 0,5đ => toạ độ 2giao điểm ( –2 ; 1) (3 ; 4,5) 0,25đ 3) Gọi A (x0,y0) điểm thuộc đường thẳng(Δ ): mx + y = 2– 2m
A (x0,y0) thuoäc (Δ ) <=> m( x0+ 2) + (y0 – 2) = (#)
(#) với m x0+2 = y0 – =
<=> x0 = –2 y0 = => A(–2;2) cố định m thay đổi 0,5đ Chứng minh A(–2 ; 2) thuộc (P) kết luận 0,5đ Bài 4:(5điểm)
1) Δ = 101 – 12m 0,25đ
Điều kiện : Δ >0 <=> m <
12 0,5ñ
S = (x1 + x2) = ; P = x1x2 = 3m – 0,25ñ 2
1
x + x = 45<=> (x
1 + x2)2 – 2.x1x2 = 45 0,25đ Tìm m =
2
3 0,5ñ
Đối chiếu với điều kiện kết luận 0,25đ
2)Gọi x độ dài hình chiếu cạnh góc vng bé cạnh huyền (x > ) 0,25đ Độ dài hình chiếu cạnh góc vuông lớn cạnh huyền x +
Aùp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta có x(x + 7) = 122 0,5đ Biến đổi đưa phương trình x2 + x – 144 = 0 0,25đ Giải phương trình tìm nghiệm x = 9, x = –16 0,5đ
Chọn x = tìm độ dài cạnh huyền 25 đơn vị 0,5đ 3) Nêu công thức : sin2α + cos2α = 1
=> cos2α = 1– sin2α 0,25ñ
Tính cosα = 0,8 0,5đ
Tính tgα = 0,75 0,25đ
Bài 5: (6 điểm)
Vẽ hình đến câu a 0,5đ
(26)1)Chứng minh tam giác BEN vuông 0,75đ Chứng minh EBN = 45 0, 5đ
Suy tam giác BEN vuông cân 0,25đ
2)Chỉ MAF = 45 0,5đ
=> MBF = MAF 0,5ñ
=> tứ giác ABFM nội tiếp 0,25đ
3) Chứng minh MF BN 0,5đ
=> H trực tâm tam giác BMN 0,5đ
=> BH MN 0,25ñ
4) Chứng minh ABM = AFM 0,25đ
Chứng minh HBM = AFM 0,25đ
=> HBM = ABM 0,25đ => BE phân giác ABJ =>
EA BA=
EJ BJ 0,25ñ
=> EA.BJ = BA.EJ 0,25ñ => EA.BJ = BC.EJ (đpcm) 0,25đ
Ghi chú : Nếu thí sinh làm cách khác dựa vào hướng dẫn mà cho điểm theo ý.
SỞ GD VÀ ĐT ĐẮC LẮC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2006-2007 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN : TỐN (CHUN)
Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1.5 điểm) Cho f(x)= -(m2+1)x+2(1+ 2)m+4+2 2, m tham số Định m để f(x)
với x[1;2]
Bài 2: (1.5 điểm) Cho x,y,z số nguyên khác đôi một.Chứng minh:
5 5
(27)Bài 3: (1.5 điểm) Chứng minh phương trình : 2
1 1
xy
x y =1 khơng có nghiệm ngun dương
Bài 4: (1.5 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số thỏaa mãn tính chất sau: Chữ số hàng nghìn hàng trăm giống
Chữ số hàng chục hàng đơn vị giống
Số viết thành tích ba số, thừa số làsố có hai chữ số
và chia hết cho 11
Bài 5: (2 điểm) ChoABCnhọn, nội tiếp đường trịn (O) H trực tâm ABC TínhACB
khi CH=CO
Bài 6: ((2 điểm) Cho hình bình hành ABCD (ABC tù),O giao điểm hai đừơng chéo AC
BD Dựng DM AC (MAC), DNAB (N AB),DP BC (PBC)
Chứng minh O nằm đường tròn ngoại tiếp MNP
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 QUẢNG BÌNH Năm học 2006-2007
Ngày thứ nhất
Câu 1(1,5 điểm): T“m tất giá trị x thõa mãn:
[b]Câu 2(2,0 điểm):[/b] Cho phương tr“nh: (1)
a) Giải phương tr“nh (1) m=-1
b) T“m tất giá trị m để phương tr“nh (1) có nghiệm x=3 Câu 3(1,5 điểm): Giải hệ phương tr“nh:
Câu 4(1,5 điểm): T“m GTNN biểu thức:
Câu 5(3,5 điểm): Cho đường tròn (O;R) dây cung BC cố định không qua tâm O Gọi A điểm cung nhỏ BC Lấy điểm M cung nhỏ AC (điểm M không trùng với A M không trùng với C), kẻ tia Bx vng góc với tia MA I cắt tia CM D
a) CM: MA tia phân giác
b) CMR điểm A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD góc BDC có độ lớn khơng phụ thuộc vị trí điểm M
c) CM tích p=AE.AF khơng đổi điểm M di động Tính p theo bán kính R góc ABC = Ngày thứ hai
Câu 1(2,0 điểm): Rút gọn biểu thức:
(28)Câu 3(1,5 điểm): Tính giá trị biểu thức: Trong x, y, z số thực dương thõa mãn:
Câu 4(1,5 điểm): Cả ba vòi nước chảy vào bể Nếu vòi thứ vòi thứ hai chảy th“ đầy bể Nếu vòi thứ hai vòi thứ ba chảy th“ đầy bể Nếu vòi thứ ba vòi thứ cung chảy th“ đầy bể Hỏi ba vòi chảy th“ bể đầy nước
Câu 5(3,5 điểm): Cho hai đường tròn , cắt A B cho hai điểm , nằm hai phía khác đ?#8220;i với đường thẳng AB Đường thẳng d quay quanh điểm B, cắt đường tròn , C D (C không trùng với A, B D không trùng với A, B)
a) CMR số đo góc ACD, ADC CAD không đổi
b) Xác định vị trí đường thẳng d để đoạn thẳng CD có độ dài lớn
c) Các điểm M, N chạy ngược chiều cho góc
và CMR đường trung trực đoạn thẳng MN luôn qua điểm cố định
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MƠN THI : TỐN
Thời gian làm : 120 phút -Bài 01 :)( 1, điểm)
a) Thực phép tính : A =
5 3
b) Giải phương trình :x 4x2 4x 5
Bài 02 : ( 1, điểm)
Cho phương trình : x2 – 2mx + m - = (1)
a Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m b Tìm m để phương trình có trái dấu giá trị tuyệt đối c Đặt A = (x1-x2)2 – x1x2
- Tính A theo m
- Tìm m để A đạt GTNN tính Min A Bài 03 :( 2,5 điểm)
Hai bến sông A, B cách 96km, lúc với canô xuôi từ bến A có bè trơi từ bến A với vận tốc 2km/h sau đến B, canô trở A gặp bè trôi 24km Tính vận tốc riêng canơ, biết vận tốc riêng canô không đổi
Bài 04 : ( 3, điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O;R) có đường cao AH Gọi I K hình chiếu A tiếp tuyến (O) B C
a) Chứng minh tứ giác AHBI AHCK nội tiếp đường tròn b) Chứng minh AHI AKH đồng dạng
(29)Có hay khơng cặp số (x,y,z) thỏa mãn phương trình : x y z x y z 3
HẾT
MA TRẬN ĐỀ DỰ THI
Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Tổng
Thực phép tính 0.5 0.5 0.5 1.5
Phương trình bậc hai 0.5 0.5 0.5 1.5
Giải tốn bằng
cách lập p.trình 0.5 0.5 1.5 2.5
Góc với đường trịn 0.5 0.5 0.5 1.5
Tam giác đồng dạng 0.5 0.5
Mở rộng phần
căn thức 0.5 0.5
Tổng 2.5 4.5 10
ĐÁP ÁN : Bài 01 : ( 1, điểm)
a) A =
2 2
5 3 3 3 3 5 3
= | | | 3 | 2.2 3 2
b) x 4x2 4x 5
x (2x 1) 5 x | 2x 1| 5 | 2x 1| x
ĐK: x x −x+995
| 2x 1| x
2x x 2x (5 x)
2x x
2x x
x 2(nhaän) x 4(nhaän)
(30)Bài 02 : ( 1, điểm)
Cho phương trình : x2 – 2mx + m - = (1) a
2
' m m (m ) m
2
Vậy phương trình ln có nghiệm phân biệt với m
b Ap dụng đ/l Viet :
1 2
x x 2m
x x m
Để phương trình có trái dấu giá trị tuyệt đối
=>
' ' 0( m) ' 0( m)
S 2m m 0(thoûa)
P m m
Vậy m = phương trình có trái dấu giá trị tuyệt đối c A = (x1-x2)2 – x1x2= x12 -2x1x2+x22 – x1x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 - 2x1x2 – x1x2 = (x1 + x2)2 –5x1x2 = 4m2 – 5m +
= (2m)2 – 2.2m.
5 4+
2
25 25 5 (2m 5) 55 16 16 16
55 16
Vậy AMin=
55
16 2m -
4= 0=> m =
Bài 03 :( 2, điểm)
Gọi vận tốc thực thuyền x (lm/h) ( x > 2) Vận tốc dịng nước vận tốc bè trơi 2km/h Vận tốc xi dịng : x + (km/h)
Vận tốc ngược dòng : x - (km/h)
Thời gian ca nô tới B quay lại gặp bè nứa :
96 96 24 96 72
x x x x
(h)
Thời gian bè nứa trôi 24 km :
24
2 = 12 (h)
Theo đề ta có phương trình :
96 72
x x 2 = 12
96(x-2)+72(x+2) = 12(x2 – 4) 96x-192+72x+144 = 12x2 – 48 12x2 – 168x = 0
(31)2
1
2
1 N M
K I
H O A
B C
x 0(loại) x 14(thỏa)
Vận tốc ca nô 14km/h Bài 04 : ( 3, điểm)
a) Do I hình chiếu A lên tiếp tuyến (O) B => AIB 90
Mặt khác : AH BC => AHB 90
Nên : AIB AHB 90 0900 1800
Vậy : tứ giác AIBH nội tiếp đường tròn
Do K hình chiếu A lên tiếp tuyến (O) C => AKC 90
Nên : AKC AHC 90 0900 1800
Vậy : tứ giác AKCH nội tiếp đường tròn
b) Do IAHB nội tiếp => B H (hai góc nội tiêp chắn AI )
Mà B C (góc tạo tiếp tuyến - dây cung góc nội tiếp chắn AB )
=> H 1C
Mà C K (hai góc nội tiêp chắn AH )
=> H 1K (1)
Chứng minh tương tự ta có :AIBH nội tiếp :IAH IBH 180
AHCK nội tiếp : AIBH nội tiếp :HAK KCH 180
=> IAH IBH =HAK KCH 180 0 (2)
IB cắt CK M mà IB CK hai tiếp tuyến => MB = MK => B C (3)
(32)c) Có AHI~AKH (cmt)
=>
AI AC
AH AB
Và AKC~AHB=>
AK AB
AH AC
AI AK AC AB
AH AH AB AC =>
AI AK AC AB
AH AB AC
=>
2(AM AN) AC AB
AH AB
Mà AM +AN =AH =>
AC AB AB AC Ta có
AC AB AC AB
2
AB AC AB AC =2 Mà
AB AC AC AB
Bất đẳng thức xẩy AB =AC Vậy ABC cân AH = AM + AN. Bài 05 : ( 1, điểm)
xyz82 x14 y 26 z => x y z x y z 3 =0
=> (x x 1) (y 2 4 y 4) (z z 9) 0 => ( x 1) 2( y 2) 2( z 3) 0
Vì
2 2
( x 1) x ( y 2) y ( z 3) z
Để ( x 1) 2( y 2) 2( z 3) 0
=>
x 1 y 2 z 3
=>
x 1 y 2 z 3
=>
x 1 y z
=>
x y z 12
Đề THI TUYểN SINH TRƯờNG CHUYÊN LÊ HồNG PHONG TPHCM Câu 1:
a)cho x,y,z,t số thưc Cmr: dấu "="xảy nào?
(33)Câu 2:Tìm NN pt Câu 3: Cho hpt
a) giải hpt m=24 b) tìm m để pt có nghiệm Câu 4:Cho
Tính S=x+y
Câu 5:Cho a,b số nguyên dương cho số nguyên Gọi d ước số chung a b cmr
Câu 6:Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp(O)(AB<AC) Các tiếp tuyến với(O) B C cắt N Kẻ AM song song với BC MN cắt(O) M P
a) Cho Tính BC
b) Cm
c) Cm BC,ON,AP đồng quy
1) a) Áp dụng :
Bđt nên Dấu "=" xảy .
b) ( đề thiếu a b dấu)
2) Có :
(34)3) Đặt và
Dễ thấy là nghiệm pt : a) m=24
b) kq: 4)
Tương tự : 5)
6) a)
b) Dễ thấy tứ giác là hình thang cân.
c) I~ đpcm
câu a) ko bàn
câu b) gọi K giao điểm AP BC ta Cm
câu c) gọi K' giao diểm ON BC ta Cm NPK~ NKM (1)
kẻ Mx tiếp tuyến M của(O)
ta có (2)
từ(1) và(2)
A,K',P thẳng hàng
LớP 10 CHUYÊN TOÁN-THPT CHUYÊN THĂNG LONG, LÂM ĐồNG Câu 1: rút gọn M=
Câu 2:cho phương trình 2 -(m-1) +m-3=0
Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu 3:giải pt (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=120
Câu 4:giải hệ + =169;xy=60
(35)Câu 6: cho x;y hai số thực thỏa mãn 9x+12y=1 cm 9 +16
Câu 7: cho hình bình hành ABCD, gọi O giao điểm AC BD, = Cm S(ABCD)=
Câu 8:cho số thực a,b,c thỏa a+2b+3c=0 Cm +8 +27 =18abc
Câu 9: Cm số tự nhiên biểu diễn dạng tổng số phương hai lần số biểu diễn dạng tổng hai số phương
Câu 10:cho số dương x,y thỏa x+y=1 tìm GTNN N=
Câu 11:hệ phương trình x-3y-3=0; + -2x-2y-9=0 có hai nghiệm (x1;y1);(x2;y2) tính giá trị P=
Câu 12:cho nửa đường trịn đường kính AB, nửa mp chứa nửa đường trịn bờ AB, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By từ điểm J khác A B nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By D,C gọi I giao điểm AC, BD.Cm IJ song song với AD
Câu 13: a, b hai nghiệm pt +px+1=0 b,c hai nghiệm pt +qx+2=0.Cm (b-a)(b-c)=pq-6
Câu 14:Cm pt = +y+2+ nghiệm nguyên
Câu 15:cho tam giác nhọn ABC, gọi AD, BE, CF đường cao tam giác.Cm tia DA tia phân giác góc
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 CHUYÊN TOÁN - ĐHKHTN - ĐHQGHN NĂM HỌC 2006-2007
VÒNG I
Câu I: Giải PT:
Câu II: Với giá trị x thỏa mãn điều kiện
Câu III: Tìm số tự nhiên gồm chữ số thỏa mãn đồng thời tính chất: (i) Khi chia số cho 100 ta số dư
(ii) Khi chia số cho 51 ta só dư 17
Câu IV: Cho hình vuong ABCD có cạnh AB=a Trên cạnh AB, BC,CD,DA láy điểm M, N, P, Q cho: ln tổng bình phương đa thức bậc hai
(36)Câu I:
Chứng minh rằng: Câu III:
1) Tìm nghiệm nguyên phương trình:
2)Ký hiệu [x] phần nguyên số x(số nguyên lớn không vượt x).Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có:
Câu IV:
Cho :delta ABC nội tiếp đường tròn (O) I điểm nằm :delta ABC.Các đường thẳng AI,BI,CI cắt (O) A',B',C'(khác A,B,C).Dây cung B'C' cắt cạnh AB,AC tương ứng điểm M,N.Dây cung C'A' cắt cạnh AB,BC tương ứng điểm Q,P.Dây cung A'B' cắt cạnh BC,CA tương ứng điểm F,E
1.Giả sử AM=AN,BP=BQ,CE=CF xảy đìng thời.Chứng minh I tâm đường trịn nội tiếp :delta ABC
2.Giả sử AM=AN=BP=BQ=CE=CF.Chứng minh điểm M,N,P,Q,E,F nằm đường tròn
Câu V:
Chứng minh đa giác lồi có 2n cạnh(n N,n 2) ln có n đường chéo không song song với cạnh đa giác
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2004 Đại học khoa học tự nhiên(vòng1)
Bài 1:a) GiảI phơng trình x 1 x1 1 x2 b) Tìm nghiệm nguyên cảu hệ
3
2
2 2
x y x y
y x xy y x
Bài 2: Cho số thực dơng a b thỏa mãn a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 Hãy tính giá trị biểu thức P = a2004 + b2004
Bài 3: Cho ABC có AB=3cm, BC=4cm, CA=5cm Đờng cao, đờng phân giác, đờng trung tuyến tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành phần Hãy tính diện tích phần Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn, có hai đờng chéo AC, BD vng góc với H (H không trùng với tâm cảu đờng tròn ) Gọi M N lần lợt chân đờng vng góc hạ từ H xuống đờng thẳng AB BC; P Q lần lợt giao điểm đờng thẳng MH NH với đờng thẳng CD DA Chứng minh đờng thẳng PQ song song với đờng thẳng AC bốn điểm M, N, P, Q nằm đờng trịn
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức
10 10
16 16 2
2
1
1
2( ) 4( ) ( )
x y
Q x y x y
y x
SỞ GD VÀ ĐT ĐẮC LẮC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
CHUYÊN NGUYỄN DU NĂM HỌC 2006-2007 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
(37)
Bài 1: (1.5 điểm) Cho f(x)= -(m2+1)x+2(1+ 2)m+4+2 2, m tham số Định m để f(x)
với x[1;2]
Bài 2: (1.5 điểm) Cho x,y,z số nguyên khác đôi một.Chứng minh:
5 5
(x y ) (y z ) (z x ) chia hết cho 5(x-y)(y-z)(z-x)
Bài 3: (1.5 điểm) Chứng minh phương trình : 2
1 1
xy
x y =1 nghiệm nguyên dương
Bài 4: (1.5 điểm) Tìm số tự nhiên có chữ số thỏaa mãn tính chất sau: Chữ số hàng nghìn hàng trăm giống
Chữ số hàng chục hàng đơn vị giống
Số viết thành tích ba số, thừa số làsố có hai chữ số
và chia hết cho 11
Bài 5: (2 điểm) ChoABCnhọn, nội tiếp đường tròn (O) H trực tâm ABC TínhACB
khi CH=CO
Bài 6: ((2 điểm) Cho hình bình hành ABCD (ABC tù),O giao điểm hai đừơng chéo AC
BD Dựng DM AC (MAC), DNAB (N AB),DP BC (PBC)
Chứng minh O nằm đường tròn ngoại tiếp MNP
Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
Đề thức Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình: {x2+2y=8
y2−2x=8 Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh phương trình:
4 2 2 3 0
x m x m
ln có nghiệm phân biệt 1, 2, 3,
x x x x với giá trị m
(38)Cho hình vng cố định PQRS Xét điểm M thay đổi cạnh PQ (M P, MQ) Đường thẳng RM cắt đường chéo QS hình vng PQRS E Đường trịn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS F (F Q) Đường thẳng RF cắt cạnh SP hình vng PQRS N
1 Chứng tỏ rằng: ERF QRE + SRF
2 Chứng minh M thay đổi cạnh PQ hình vng PQRS đường trịn ngoại tiếp tam giác MEF ln qua điểm cố định
3 Chứng minh rằng: MN = MQ + NS Bài 4: (2 điểm)
Tìm tất cặp số nguyên p q, cho đẳng thức sau đúng: √p −2+√q −3=√pq−2p −q+1
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh với số thực x y z, , ln có:
x y z y z x z x y x y z 2 x y z Hết
SBD thí sinh: Chữ ký
GT1: Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
BÀI NỘI DUNG Điể m B.1
{x2
+2y=8
y2−2x=8
(2đ)
Ta có : x22y y2 2x0 0,25
Hay x y x y 2 0 0,25
+ Nếu x y 0, thay yx vào phương trình đầu thì:
2 2 8 2 8 0
x x x x
0,25
Giải : x4; x2 0,25
Trường hợp hệ có hai nghiệm : x y; 4; 4 ; x y; 2; 2 0,25
(39)
2 2 2 8 2 4 0
x x x x
0,25
Giải ra: x 1 ; x 1 0,25
Trường hợp hệ có hai nghiệm: x y; 5;1 5
; x y; 5;1 5 0,25
B.2 x4 2m2 2x2 m4 3 0
(1) (2đ)
Đặt :tx2, ta có :
2 2 2 3 0
t m t m
(2) (t0) 0,25
Ta chứng tỏ (2) ln có hai nghiệm : 0t1t2 0,25
2
' m m 4m
với m Vậy (2) ln có hai nghiệm phân biệt t t1,
0,25
4
1
t t m với m. 0,25
1 2
t t m
với m 0,25
Do phương trình (1) có nghiệm : t1, t1 , t2, t2
2 2 2 2 2
1 4 1 2 1 2
x x x x x x x x t t t t t t t t
2t1t2 t t1 0,25
2 2 2 4
1 4 4 11
x x x x x x x x m m m m
0,25
2 2 4
1 4 11 11 11 0
(40)B.3 3 đ
Câu3.1 (1đ)
D H N
F
E
M
S R
Q P
Hình vẽ 0,25
Đường trịn ngoại tiếp tam giác RMQ có đường kính RM
450
ERF MRF MQF (3) 0,25
F nằm đọan ES
0
90 QRE ERF FRS
Do : QRE SRF 450 (4)
0,25
Từ (3) (4) : ERF QRE SRF .
0,25
Câu3.2 (1đ)
Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF ln qua điểm cố định P 0,25 Ta có :NSE450 NRE Do N, S, R, E đường trịn đường kính NR. 0,25
Ta có:FME 450 FNE Do N, F, E, M đường trịn đường kính
MN
0,25
Do MPN 900 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF qua điểm P. 0,25
Câu3.3 (1đ)
Tam giác RMN có hai đường cao MF NE Gọi H giao điểm MF NE, ta có RH đường cao thứ ba RH vng góc với MN D Do :
DRM ENM
0,25
Ta có: ENM EFM (do M, N, F, E đường tròn);
EFM QFM QRM (do M, F, R, Q đường tròn) Suy ra:
DRM QRM D nằm đọan MN.
0,25
Hai tam giác vuông DRM QRM nhau, suy : MQ = MD 0,25 Tương tự : Hai tam giác vuông DRN SRN nhau, suy : NS = ND
(41)Điều kiện: p 0, q 0, pq 2p q 1 (p, q số nguyên) 0,25 Bình phưong hai vế (α) : p 2 q 3pq 3p 2q6 0,25 Hay : (p 2)(q 3)p 2 q 3 0,25 Tiếp tục bình phương :
2
4 p q p q
0,25
+ Nếu p2 (α) trở thành:√0+√q −3=√q −3, với số nguyên q3
tùy ý
0,25 + Nếu q3 (α) trở thành:√p −2+√0=√p −2,đúng với số nguyên p2
tùy ý
0,25 + Xét p2 q3 Ta có : 4 p 2 q 3( p, q số nguyên)
Chỉ xảy trường hơp :
1/ p 1, q 4 ; 2/ p 2, q 2 ; 3/ p 4, q 1 0,25 Ta có thêm cặp (p; q): (3; 7) , (4; 5) , (6, 4)
Kiểm tra lại đẳng thức (α):√1+√4=√9 ; √2+√2=√8 ;√4+√1=√9
0,25
B.5 |x+y − z|+|y+z − x|+|z+x − y|+|x+y+z|≥2(|x|+|y|+|z|) (*) (1đ) Đặt:a x y z , b y z x,c z x y Trong ba số a, b, c có
ít hai số dấu, chẳng hạn: a b 0
Lúc :|x+y − z| +|y+x − z|=|a|+|b|=|a+b|= 2|y| 0,25
Ta có : x y z a b c ; 2x a c ; 2z b c Do để chứng minh (*)
đúng, cần chứng tỏ : |c|+|a+b+c||a+c|+|b+c| (**) với a b 0.
0,25 Ta có:
(**)
2
c a b c ab a c b c ca cb c ab ca cb c ab
(***)
0,25
Đặt: ca cb c A; ab B , ta có BB (do a.b0) ta có: (***)⇔|A|+|B| |A+B|⇔|A|.|B| AB⇔|AB| AB
Dấu đẳng thức xảy trường hợp số: a, b, c, a + b + c chia làm cặp dấu Ví dụ: ab0 c a b c 0.
0,25
(42)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút NGÀY THỨ NHẤT
Câu (3 điểm)
Giải hệ phương trình phương trình sau a) 4x21 x 2x2 x 2x1.
b) 3
( )
4 xy x y
x y x y
.
Câu (3 điểm)
a) Giả sử x1, x2 nghiệm dương phương trình x2 – 4x + = Chứng minh
5
1
x x số nguyên.
b) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn a + b + 2007 chia hết cho Chứng minh 4a+ a + b chia hết cho 6.
Câu (3 điểm)
Cho M trung điểm cung nhỏ AB đường tròn tâm O (AB khơng phải đường kính) C D điểm phân biệt, thay đổi nằm A B Các đường thẳng MC, MD cắt (O) tương ứng E, F khác M
a) Chứng minh điểm C, D, E, F nằm đường tròn
b) Gọi O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE BDF Chứng minh C D thay đổi đoạn AB giao điểm hai đường thẳng AO1 BO2 điểm cố định
Câu (1 điểm)
Cho a, b, c số thực dương thỏa mản abc = Chứng minh rằng:
2 2 2
1
1 1
a b c
(43)ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2007 – 2008 MƠN TỐN AB ( Chung cho lớp Toán , Tin , Lý , Hoá , Sinh )
Thời gian làm : 150 phút.
Câu Cho phương trình :
2 2 2 ( 1) 3
0
x x m m m
x
(1)
a) Tìm m để x = -1 nghiệm phương trình (1) b) Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm
Câu a) Giải bất phương trình : (x3)(x1) 2 x1x2 b) Giải hệ phương trình :
2
2
x y y x x x y x x y y y
Câu a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện :
2 3 2 2 5 7 0
a ab b a b a ab b a b
Chứng tỏ : ab12a15b0
b) Cho :
2
( 2)( 1)( 2)
( 1)
x x x x x x
A
x x x
Hãy tìm tất giá trị x đểA0
Câu Cho tam giác ABC nhọn có H trực tâm góc BAC 60o Gọi M , N , P chân đường cao kẻ từ A , B , C tam giác ABC I trung điểm BC
a) Chứng minh tam giác INP
b) Gọi E K trung điểm PB NC Chứng minh điểm I , M , E K thuộc đường tròn
c) Giả sử IA phân giác góc NIP Hãy tính số đo góc BCP
Câu Một công ty may giao cho tổ A may 16800 sản phẩm , tổ B may 16500 sản phẩm và bắt đầu thực công việc lúc Nếu sau ngày , tổ A hỗ trợ thêm 10 cơng nhân may họ hồn thành công việc lúc với tổ B Nếu tổ A hỗ trợ thêm 10 công nhân may từ đầu họ hồn thành cơng việc sớm tổ B ngày Hãy xác định số công nhân ban đầu tổ Biết , công nhân may ngày 20 sản phẩm
(44)Sở Giáo dục-đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt thành phố huế
Thừa Thiên Huế Khóa ngày 12.7.2007
Đề thức Mơn: TN
Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,75 điểm)
a) Không sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức:
3
3 3
A
b) Rút gọn biểu thức
1 1
: vµ
1
x
B x x
x x x x x
Bài 2: (2,25 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B4 ; 0 C1 ; 4
a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm C song song với đường thẳng
2
y x Xác định tọa độ giao điểm A đường thẳng (d) với trục hoành Ox.
b) Xác định hệ số a b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm B C Tính góc tạo đường thẳng BC trục hoành Ox (làm trịn đến phút)
c) Tính chu vi tam giác ABC (đơn vị đo trục tọa độ xentimét) (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 3: (2 điểm)
a) Tìm hai số u v biết: u v 1,uv 42 u v
b) Khoảng cách hai bến sông A B 60 km Một xuồng máy xi dịng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút bến B quay trở lại ngược dòng 25 km để đến bến C Thời gian kể từ lúc đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất Tính vận tốc xuồng máy nước yên lặng, biết vận tốc nước chảy km/h
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt Ax D cắt By E
a) Chứng minh rằng: DOE tam giác vuông.
b) Chứng minh rằng: AD BE = R 2.
c) Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn (O) cho diện tích tứ giác ADEB nhỏ
Bài 5: (1,5 điểm)
Một xơ dạng hình nón cụt có bán kính hai đáy 19 cm cm, độ dài đường sinh 26cm
l Trong xơ chứa sẵn lượng nước có chiều cao 18 cm so với đáy (xem hình
vẽ)
(45)bài
a đặt ẩn phụ b đặt x+y=a
xy=b
ta có hệ ab=2 +a-3ab=4
thay ab=2 vào phương trình ta tính đc a= 2=> b=1 thay a b ta tính đc x=y=1
1 a)đk Đặt
phương trình trở thành:
Đặt Câu
a)PT có nghiệm
Do số nguyên đpcm
b) a,b lẻ (1)
(2) Từ(1)(2)=>đ.p.c.m
Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt Tp Huế Thừa Thiên Huế Mơn: TN - Khóa ngày: 12/7/2007
ý Nội dung Điểm
1,75
1.a +
3 3
3
3 3 3 3
A
(46)+
6 3
9 A
+ A 3 1
0,25 1.b Ta có:
+
1 1
1 1
x x x x x x
+ = 1 x x x +
1
2 1
x x
x x x
+
2
1 1
:
1 1
x x x
B
x
x x x
(vì x0 x1).
0,25 0,25 0,25 0,25
2,25
2.a + Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y2x 3, nên phương trình đường thẳng (d) có dạng y2x b b ( 3)
+ Đường thẳng (d) qua điểm C1; 4 nên: 4 2 b b 6 Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là: y2x6.
+ Đường thẳng (d) cắt trục Ox điểm A x( ; 0) nên 2 x 6 x3 Suy
ra: A3 ; 0
0,25
0,25 0,25 2.b
+ Đồ thị hàm số y ax b đường thẳng qua B4; 0 C1; 4 nên ta có hệ phương trình:
0 4 a b a b
+ Giải hệ phương trình ta được:
4 16
; ;
5
a b
.
0,25
0,25
+ Đường thẳng BC có hệ số góc
4
0,8
a
, nên tang góc ' kề bù
với góc tạo BC trục Ox là: tg'a 0,8 ' 38 40'
+ Suy ra: Góc tạo đường thẳng BC trục Ox 1800 ' 141 20'
0,25 0,25 2.c
(47)+Tương tự: BC 5242 41.
Suy chu vi tam giác ABC là: AB BC CA 7 5 41 17,9( cm) 0,25
2,0
3.a + u, v hai nghiệm phương trình: x2 x 42 0
+ Giải phương trình ta có: x16; x2 7
+ Theo giả thiết: u v , nên u7;v6
0,25 0,25 0,25 3.b + Gọi x (km/h) vận tốc xuồng nước yên lặng Điều kiện: x >
+ Thời gian xuồng máy từ A đến B: 60
(h)
x , thời gian xuồng ngược dòng
từ B C : 25
(h) x
+ Theo giả thiết ta có phương trình :
60 25
8
1
x x
+ Hay 3x2 34x11 0
Giải phương trình trên, ta nghiệm: x1 11;
1 x
+ Vì x > nên x = 11 Vậy vận tốc xuồng nước đứng yên 11km/h
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
2,5
4.a + Hình vẽ (câu a):
+ Theo giả thiết: DA DM hai tiếp tuyến cắt D, nên OD tia phân giác góc AOM Tương tự: OE tia phân giác góc MOB
+ Mà AOM MOB hai góc kề bù, nên DOE900 Vậy tam giác DOE
vuông O
0,25 0,50 0,50
4.b + Tam giác DOE vuông O OMDE nên theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có: DM EM OM2 R2 (1)
+ Mà DM = DA EM = EB (định lí tiếp tuyến cắt nhau) (2) + Từ (1) (2) ta có: DA EB R
0,25 0,25 0,25 4.c + Tứ giác ADEB hình thang vng, nên diện tích là:
1
2
2
S AB DA EB R DM EM R DE
(48)+ S nhỏ DE nhỏ Mà DE đường xiên hay đường vng góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ DE = DH (DH vng góc với By H)
Khi DE song song với AB nên M điểm nửa đường tròn (O) (hoặc OM AB) Giá trị nhỏ diện tích là: S0 2R2
Ghi chú: Nếu học sinh khơng tìm giá trị nhỏ diện tích cho điểm tối đa
0,25
1,5
5.a
5.b
+ Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục OO', ta hình thang cân AA’B’B Từ A hạ AH vng góc với A’B’ H, ta có:
A'H O'A' OA 10 (cm)
Suy ra:
2 2
OO' AH AA' A'H 26 10 24 (cm).
+ Mặt nước với mặt phẳng cắt có đường thẳng chung IJ, IJ cắt AH K Theo giả thiết ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = (cm)
+ Bán kính đáy khối nước xô r1O I O K KI KI1
KI//A’H
KI AK
= KI 7,5 16,5 (cm)
HA' AH r
Thể tích khối nước cần đổ thêm để đầy xô là:
+
2 2
1
1
19 19 16,5 16,5
3
V h r rr r
+ V 5948,6 cm3 5,9486dm3 5,9 lít
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Ghi chú:
1 Học sinh làm cách khác đáp án cho điểm tối đa. 2 Điểm toàn khơng làm trịn.
(49)Vịng I (150 phút) Câu I.
1 Tính giá trị biểu thức:
P x3 y3 x( y) 2004
Biết rằng: x
3
3 2
3
3 2 y
3
17 12
3
17 12
2 Rút gọn biểu thức sau:
P
1
1
5
1
9 13
2001 2005
Câu II Giải phương trình sau:
1 x2 x 2004 2004
2 x3 x x
Câu III Giả sử tam giác ABC có diện tích 1, gọi a,b,c h❑a,h❑b,h❑ctương ứng độ
dài cạnh đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: (a2+b2+c2).(ha2 + hb2 +hc2) > 36
Câu IV Cho tam giác ABC, có A❑ =600, AC = b, AB = c (với b > c) Đường kính EF đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC M Gọi I, J chân đường vng góc hạ từ E xuống đường AB, AC, gọi H, K chân đường vng góc hạ từ F xuống đường thẳng AB, AC
a) Chứng minh tứ giác AIEJ Và CMJE nội tiếp
b) Chứng minh I, J, M thẳng hàng IJ vng góc với HK
c) Tính độ dài cạnh BC bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b, c d) Tính IH + JK theo b,c
(50)Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 THPT CHUYÊN TỐN - TIN TRƯờNG ĐạI HọC VINH
Vịng II (150 phút) Câu V.
a) Tìm giá trị tham số m để tập nghiệm phương trìng sau có phần tử:
x2 m2 x m4 m2 x2 x 12
0 b) Giải hệ phương trình:
x y z
x y
1 z
51 x2 y2 z2
x2 y2
1 z2
771 16
Câu VI Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: P = x - y + 2004, số thực x y thỏa mãn hệ thức:
x2
9 y2 16 36
Câu VII Chứng minh tồn số tự nhiên a,b,c nghiệm phương trình: x2 + y2 + z2 = 3xyz thỏa mãn điều kiện: Min {a,b,c } > 2004.
Câu VIII Cho ngũ giác ABCDE, Gọi M,P,N,Q trung điểm AB, BC, DE, EA Chứng minh MN qua trung điểm PQ MN//CD
Câu IX Cho đ[ngf thẳng xy điểm A cố định nằm đường thẳng Điểm M chuyển động xy, đoạn thẳng AM lấy điểm I cho:
(51)Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 TRƯờNG THPT CHUYÊN TĨNH Năm học: 2007 - 2008
Thời gian: 150' Bài 1: a) Giải phương trình: x4- 2x3 + 4x2-3x - = 0
b)Tìm điểm M(x;y) đường thẳng y = x +1 có tọa độ thỏa mãn đẳng thức:
P xy
x2 y2
y2 y x x
Bài 2: Các số x, y, z khác thỏa mãn: xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức
P yz x2
zx y2
xy z2
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 -xy + y2 = 2x - 3y - 2 Bài 4: Tìm tất ba số dương (x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình
2 x2008 y2007 z2006 y2008 z2007 x2006 z2008 x2007 y2006
Bài 5: Từ điểm P ngồi đường trịn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến PE PF tới đường tròn( E, F tiếp điểm) Tia PO cắt đường tròn A B cho A nằm P O Kẻ EH vng góc với FB ( HFB) Gọi I trung điểm EH Tia BI cắt đường tròn M ( M # B), EF cắt AB N
a) Chứng minh EMN❑ = 900.
b) Đường thẳng AB tiếp tuyến đường tròn qua ba điểm P, E, M
Bài 6: Ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 x2008 y2007 z2006 y2008 z2007 x2006 z2008 x2007 y2006
P x
2 y z
y2 z x
(52)ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ( khối chun) MƠN THI : TỐN
Thời gian làm : 150 phút -Bài1: ( 1,5 điểm)Tìm x, y biết
a) x2 -25 = y(y+6) b) 1+x + x2 +x3 = y3
Bài 2: ( 1, điểm) Cho P =
1 1
4( 1)
x x x
x x
a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa b) Rút gọn P
Bài3: ( 2,5 điểm)Cho Parabol (P) :y=
2
1
4 x đường thẳng (D) qua điểm A B (P) có hồnh độ -2
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Viết phương trình đường (D)
c) Tìm vị trí điểm M cung AB (P) tương ứng hoành độ x [-2 , 4] cho
AMB có diện tích lớn Bài 4: ( 3, điểm)
Cho hình vng ABCD có tâm O , vẽ đường d quay quanh O cắt cạnh AD BC E F ( E,F không trùng đỉnh hình vng).Từ E F vẽ đường thẳng song song với BD AC cắt I
a) Tìm quỹ tích điểm I
b) Từ I vẽ đường vng góc với EF H.Chứng tỏ H thuộc đường tròn cố định đường IH qua điểm cố định
Bài 5: ( điểm) Chứng minh rằng:
( 1999 1997 3 1) ( 1998 1996 2) 500
(53)MA TRẬN ĐỀ DỰ THI
Chủ đề Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Tổng
Phương trình nghiệm nguyên
0.5 0.5 0.5 1.5
Rút gọn biểu thức căn bậc hai
0.5 0.5 0.5 1.5
Hàm số y=ax2 0.5 0.5 1.5 2.5
Bài tốn quỹ tích 0.5 0.5
Bài toán cố định 0.5 0.5 0.5 1.5
Mở rộng phần
căn thức 0.5 0.5
Tổng 2.5 4.5 10
ĐÁP ÁN Bài 1: ( 1, điểm)
a) x2 -25 = y(y+6) x2 – ( y +3) 2 = 16 (1) ( x y3 ).( x y3 ) 16
Và từ (1) x y3 0 Mặt khác x y3 x y3 có tính chất chẵn lẽ nghiệm số (4;-3) ; ( -4; -3) ; (5 ; 0) ; ( -5; ) ; ( 5; -6) ; ( -5; -6)
b)Xét x = -1 ; x = y tương ứng
Xét x 0 x -1 =>x (x+1) >0
=> x3 < y3 < (x+1)3 : Vô lý => Bộ số (x ,y) (0 ; 1) ; ( -1; 0) Bài 2: ( 1, điểm)
2
1 ( 1)
2 x x P x
TXĐ x
2 2 x x P x
Bài 3: ( 2, điểm) a) Khảo sát ( tự làm)
b) A(-2;yA ) (P) ; B(a; yB) (P) => A( -2 ;1) B( ; 4) Phương trình (D) : y =
1 2x
c) AMB có AB không đổi => SAMB max MH max ( MH AB) lúc M (d) //AB tiếp xúc (P)
(d) : y=
1
1
2x k k x x
y
(54)(d)
H
I
F O
A
D C
B E
K
Bài : ( 3, điểm) a) Tìm quỹ tích
1 Thuận: AEI vuông cân => AE = AI ; AOE = OCF =>AI = CF => FI //AB=> I AB ( cố định)
* Giới hạn I AB trừ điểm A B
* Đảo : Gọi I’ AB ( A , B ) Gọi E’, F’ điểm đối xứng I’ qua AC
BD
=>OA phân giác I OE' ' ; OB tia phân giác I OF' ' =>E'OF' 180 0 => E’ ; O; F’ thẳng hàng
* Kết luận : I AB ngoại trừ điểm A B
b)AEHI nội tiếp =>AHI AEI 450 BIHF nội tiếp => 450 900
BHI IFB AHB Hđường tròn đường kính AB =>KHA450=> K chính
giữa cung AB ( cố định ) Bài 5: ( điểm)
Đặt vế trái A
2 2000 2000
( 1999 1997 1) ( 1998 1996 ) 2000 ( 1999 1997 1)
A A A
Vận dụng n n 1 n 1 n
1999 1998 2000 1999
……
1 > 1 ( luôn )
=> BĐT chứng minh
(55)Bài 1,5 điểm
Cho biểu thức P =
1-a Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩ1-a.Với điều kiện đó, rút gọn biểu thức A b Tìm x để A+x-8=0
Bài 1,5 điểm Cho hệ phương trình
(a+1)x-y=3 ax+y=a a tham số
a giải hệ a=-2
b xác định tất giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0 Bài : điểm
Giải bất phương trình: >x-1 Bài : 2,5 điểm
Cho phương trình mx^2-5x-(m+5) =0, m tham số, x ẩn số a.giải phương trình với m=5
b chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với m
c trường hợp phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2, tính theo m giá trị biểu
thức B= Tìm m để B=0
Bài : 3,5 điểm
Cho hình vng ABCD có AB=1 cm Gọi M N di động cạnh BC CD hình vng, P điểm nằm tia đối củatia BC cho BP=DN
a c/m tứ giác ANCP nội tiếp đường tròn
b giá sử DN=x cm( x 1), tính theo x độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ANCP c c/m =45 độ MP=MN
d M N di động BC CD cho =45 độ, tìm max diện tích MAN
1 a) 3.đk:
bất pt thức với x Ta xét
(56)4
câu4 a) thay vào mà tính pt bậc b)
=> ln có nghiệm với m
câu c)B=
theo vi ét thay vào mà tính bài
Tìm min, max: (xin làm toán tổng quát lun) Đặt AB = BC = CD = DA = a
Kẻ AH MN => AH = a
S(DMN)max => (1/2.a.MN)max => MN max (*)
Đặt BM = y; DN = x=> MC = a - y, CN = a - x MN = x + y mà MC^2 + NC^2 = NM^2
=> (a-y)^2 + (a-x)^2 = (x+y)^2 => 2a^2 - 2a(x+y) = 2xy
=> a^2 = xy + a(x+y) (1) mà (*) =>a(x+y) max => xy mà xy
=> xy = <=> x = y = hay x=a y=a ta có max, max là: a^2 = a(x+y) => a = (x+y) => S(DMN)max = a^2/2
Ta có: x + y (BĐT Cauchy) Dấu "=" <=> x = y => a(x+y) 2a mà (*)
=> a^2 = a(x+y) + xy 2a + xy => 2a^2 = (a+ )^2
=> a = a + => a^2(3- ) xy
=> a^2 - xy a^2( ) mà (*) => a(x+y) 2a^2( - 1)
=> S(DMN) a^2( - 1}
(57)Câu 1: 1) cho pt
a) cmr(1) ko thể có nghiệm âm
b) nghiệm phân biệt của(1) cmr biểu thức ko phụ
thuộc vào m 2) giải hpt:
Câu 2:Cho tam gáic ABC ko cân Đường trịn nội típ tâm I t/xúc với BC,AB,AC theo thứ tự D,F,E Đường thẵng EF cắt AI J BC K
1) cm tam giác IDA IJD đồng dạng 2) cm KI vng góc với AD
Câu 3: cho góc xAy vng điểm B,C tia Ax,Ay.Hình vng MNPQ có đỉnh M thuộc AB, N thuộc AC P,Q thuộc BC
1) tính cạnh hình vng MNPQ theo BC=a đường cao AH=h tam gáic ABC 2)cho B C thay đổi tia Ax Ay cho tích (k^2 ko đổi) tìm GTLN diện tích MNPQ
Câu 4: số nguyên dương n gọi số bạch kim n= tổng bình phươg chữ số
1) cmr ko tồn số bạch kim có chữ số
2) tìm tất số nguyên dương n số bạch kim Câu 5:
Trong giãi vơ địch bóng đá có đội tham gia theo điều lệ giải, đội đấu với trận, đội thắng đc đ~, đội hòa điểm thua điểm Kết thúc, số điểm đội lần
lượt biết đội bống với
số điểm thua trận Hãy tìm
(58)a/ Xét không đồng thời thoả b/ Dễ dàng suy với Víet
=> => Từ Còn Mẫu
=> biều thức rẹt rẹt
=> dpcm Bài 2:
1.Dễ thấy
nên dễ thấy =>
mà => =>
2 Theo c/m câu a =>
Lại có nội tiếp( )
=>
Từ suy nội tiếp
=> =>
Câu 3/ 1/ MN =
2/Ta có: S = = Mà BC.AH = AB.AC=
=>S = =
xảy BC=AH=k
Câu4a/ Giả sử tồn có PT
1 (vì tách thành tổng số phương vầy thơi)
2a-100= 100 hay 2a-100= 10 2b-10= 10 hay 2b-10= 100 2c-1=1 hay 2c-1=1
(59)Câu 1: rút gọn M=
Câu 2:cho phương trình 2 -(m-1) +m-3=0
tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu 3:giải pt (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=120
Câu 4:giải hệ + =169;xy=60
Câu 5:cho vuông A với BC=y, chiều cao AH=x tính chu vi
Câu 6: cho x;y hai số thực thỏa mãn 9x+12y=1 cm 9 +16
Câu 7: cho hình bình hành ABCD, gọi O giao điểm AC BD, = Cm S(ABCD)=
Câu 8:cho số thực a,b,c thỏa a+2b+3c=0 Cm +8 +27 =18abc
Câu 9: Cm số tự nhiên biểu diễn dạng tổng số phương hai lần số biểu diễn dạng tổng hai số phương
Câu 10:cho số dương x,y thỏa x+y=1 tìm GTNN N=
Câu 11:hệ phương trình x-3y-3=0; + -2x-2y-9=0 có hai nghiệm (x1;y1);(x2;y2) tính giá trị P=
Câu 12:cho nửa đường trịn đường kính AB, nửa mp chứa nửa đường tròn bờ AB, kẻ hai tiếp tuyến Ax, By từ điểm J khác A B nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By D,C gọi I giao điểm AC, BD.Cm IJ song song với AD
Câu 13: a, b hai nghiệm pt +px+1=0 b,c hai nghiệm pt +qx+2=0.Cm (b-a)(b-c)=pq-6
Câu 14:Cm pt = +y+2+ khơng có nghiệm nguyên
Câu 15:cho tam giác nhọn ABC, gọi AD, BE, CF đường cao tam giác.Cm tia DA tia phân giác góc
(60)Bài 1: Cho biểu thức
1 3
9
6 4
x x
P
x x
.
1 Tìm điều kiện x để biểu thức P có nghĩa Rút gọn P Tìm tất giá trị x để
1 2 P
Bài 2: Giải phương trình: x 1 x2 2x 1 3x
2 Trên mp toạ độ Oxy, cho đường thẳng có phương trình y2x1 Tìm toạ độ
điểm M đường thẳng sao cho khoảng cách từ M đến Ox gấp lần khoảng cách từ M
đến Oy
Bài 3: Cho đường trịn (O) đường kính AB=2R, AB lấy điểm H cho đường thẳng vng góc với AB H cắt đường tròn (O) E F Một đường thẳng quay quanh
H cắt (O) M N AM AN cắt EF M’ N’ Chứng minh: AM AM. 'AE2.
2 Chứng minh điểm M, M’, N, N’ thuộc đường tròn (C) Đường tròn (C) cắt AB P, Q Tính theo R độ dài PQ
Bài 4: Tìm Min
2 2 2
1 x x Q
x
.
2 Với số dương a, b, c tuỳ ý, chứng minh:
2 2
9 b c a
a b c a b c
(61)LÊ HỒNG PHONG HẢI DƯƠNG Câu : (4 điểm)
a) Thu gọn biểu thức A= b) Tìm giá trị nhỏ
Câu : (4 điểm) Giải phương trình hệ phương trình : a)
hệ (hic ko biết gõ latex mod chịu khó sử dùm) b)
Câu : (2 điểm) Phân tích thành nhân tử : áp dụng : Giải phương trình :
=
Câu : (2 điểm) Cho hai phương trình :
(1), a ≠ (2), m ≠
Chứng minh hai phương trình vơ nghiệm phương trình sau ln có nghiệm :
Câu : (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đường cao AH trung tuyến AM Vẽ đường trịn tâm H bán kính AH, cắt AB điểm D, cắt AC điểm E (D E khác điểm A)
a) Chứng minh D, H, E thẳng hàng
b) Chứng minh MA vng góc với DE
c) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E thuộc đường tròn tâm O Tứ giác AMOH hình ?
d) Cho góc ACB = 30độ AH = a Tính diện tích tam giác HEC theo a
Câu : (2 điểm) Cho hình thang ABCD có hai đường chéo AC BD cạnh đáy lớn AB Gọi M trung điểm CD
Cho biết Tính góc hình thang ABCD
Đề thức
Đề thi tuyển sinh vào 10 Năm học: 2007-2008
Môn thi : Toán
(62)A= x
2−
√x x+√x+1−
2x+√x
√x +
2(x −1)
√x −1 (Víi x>0; x ≠1) a, Rót gän biĨu thøc trªn.
b, Tìm giá trị x để A = 13.
Bài 2:(2,0 điểm) Cho phơng trình: x2 - 2(m - 1)x + m2 - = 0. a, Giải phơng trình m = 2.
b, Tỡm m để phơng trình có nghiệm phân biệt.
Bài 3:(3,5 điểm) Cho (O;R) dây cung AB Gọi C điểm nằm cung lớn AB Từ C kẻ đờng kính CD tia đối CD lấy điểm S Nối SA cắt đờng tròn M (M khác A) Nối MB cắt CD K, MC cắt AD H.
a, Chứng minh tứ giác DKHM nội tiếp đờng tròn. b, Chứng minh HK song song với AB.
c, Chøng minh CK.CD = CH.CM
Bài 4:(1,5 điểm) Cho đờng thẳng d: y = ax + b (P): y = kx2 a, Tìm a b để đờng thẳng d qua điểm A(2;3) ; B(3;9). b, Tìm k (k khác không) cho (P) tiếp xúc với đờng thng d.
Bài 5:(1,0 điểm) Cho x y lµ sè tháa m·n:
x3+2y2−4y+3=0
x2
+x2y2−2y=0
¿{
¿ ¿ TÝnh B = x2 + y2.
-Đáp án đề chớnh thc
Hớng dẫn chấm thang điểm Đề thi tuyển sinh vào 10
Năm học: 2007-2008 Môn : Toán
Bài Nội dung Thang
điểm
B1 (2®)
1a (1®) 1a. A=√x(x√x −1) (√x −1)
(√x −1)(x+√x+1) −
√x(2√x+1)
√x +
2(√x −1)(√x+1)
√x −1 A √x(√x −1)−(2√x 1) 2(√x 1)
(63)1b (1®)
A=x −√x+1
1b. A=13x x+1=13x x 12=0
Đặt t=x ;t ≥0suy t2 - t - 12 = 0 TÝnh Δ=49⇒√Δ=7
t1 = -3 (lo¹i); t2 = ⇔√x=4⇔x=16 KÕt ln nghiƯm x = 16
0.25® 0.25® 0.25® 0.25® 0.25® B2 (2®) 2a (1®) 2b (1®)
2a Với m = thay vào đợc x2 - 2x - = 0 có dạng a - b + c = ( Hoặc tính Δ=16) x1 = -1 ; x2 = kết luận nghiệm
2b. TÝnh Δ'
=−2m+8
Δ'
>0⇔−2m+8>0
Suy m < kết luận m < phơng trình có nghiệm
0.25đ 0.25đ 0.5 đ 0.5 đ 0.25® 0.25® B3 (3,5®) 3a (1,5®) 3b (1®) 3c (1®)
3a. Vẽ hình (Chú ý khơng vẽ hình khơng chấm điểm) Ta có ∠CMKchắn cung CB
∠HDCchẵn cung CA mà cung CA = cung CB Từ ∠CMK =∠HDC
Suy tứ giác DKHM nội tiếp đờng tròn
3b. Ta cã ∠HKM =∠HDM( tø gi¸c DMHK néi tiÕp)
∠HDM =∠ABM ( tø gi¸c ABDM néi tiÕp)
Từ suy ∠HKM =∠ABM
VËy ta cã HK song song víi AB
3c. Chứng minh ΔCKMđồng dạng ΔCHD Thật ta có Xét ΔCKMvà ΔCHDcó góc C chung
∠CMK=∠CDH( tø gi¸c DMHK néi tiÕp)
Từ ta có CK CH=
CM
CD ⇔CH⋅CM=CK⋅CD §pcm.
0.5 ® 0.5 ® 0.25® 0.25® 0.25® 0.25® 0.25® 0.25® 0.25® 0.25® 0.5 ® B4 (1,5®) 4a (1®) 4b (0.5®)
4a. Đi qua điểm A(2;3) thay x = vµ y = 3⇒ = 2a + b (1) Đi qua điểm B(3;9) thay x = vµ y = 9⇒ = 3a + b (2)
Kết hợp (1) (2) ta đợc hệ
2a+b=3
3a+b=9 ⇔ ¿a=6
b=−9
¿{
¿ ¿ Kết luận đờng thẳngd: y = 6x - 9
4b. Suy kx2 = 6x - cã nghiÖm kÐp
⇔Δ=0
Suy k = kết luận
0.25đ 0.25® 0.25® 0.25® 0.25® 0.25®
B5 (1 ®) Tõ x3 + 2y2 - 4y + =
⇒ x3 = -1 - 2(y - 1)2 -1⇒x ≤−1(1) Tõ x2 + x2y2 - 2y = ⇒x2= 2y
y2
+1≤1 (2)
Kết hợp (1) (2) suy x = -1 y = 1
(64)VËy B = x2 + y2 = 2
Chú ý: Học sinh làm theo cách khác cho điểm tối đa
-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HÀ NỘI
ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008
MƠN TỐN
Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức P= Rút gọn biểu thức P Tìm x để P < Bài 2: (2,5 điểm)
Giải toán sau cách lập phương trình
Một người xe đạp từ A đến B cách 24km Khi từ B trở A người tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B
Bài 3: (1 điểm) Cho phương trình
1 Giải phương trình b= -3 c=2
2 Tìm b,c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng Bài 4: (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH <R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d, đường thẳng cắt đường tròn hai điểm E B ( E nằm B H)
1 Chứng minh góc ABE góc EAH tam giác ABH đồng dạng với tam giác EAH
2 Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp
3 Xác định vị trí điểm H để AB= R Bài 5: (0,5 điểm)
Cho đường thẳng y = (m-1)x+2
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng lớn
Gợi ý phương án giải đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT- Hà Nội Năm học 2007-2008
(65)1 Kết rút gọn với điều kiện xác định biểu thức P
2 Yêu cầu Đối chiếu với điều kiện xác
định P có kết cần tìm Bài 2:
Gọi vận tốc x (đơn vị tính km/h, điều kiện x>0) ta có phương trình Giải ta có nghiệm x=12(km/h)
Bài 3:
1 Khi b=-3, c= phương trình x2-3x+2=0 có nghiệm x=1, x=2
2 Điều kiện cần tìm Bài 4:
1 chắn cung AE Do tam giác ABH EHA đồng dạng
2 nên hay
Vậy tứ giác AHEK nội tiếp đường trịn đường kính AE M trung điểm EB OM vng góc BE, OM=AH Ta có
đều cạnh R Vậy AH= OM=
Bài 5:
(66)KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2007-2008 KHĨA NGÀY 20-6-2007
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1, điểm)
Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x2 – 2 x + = 0
b) x4 – 29x2 + 100 = 0
c)
Câu 2: (1, điểm)
Thu gọn biểu thức sau: a)
b)
Câu 3: (1 điểm)
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 675 m2 có chu vi 120 m Tìm chiều dài chiều rộng
của khu vườn Câu 4: (2 điểm)
Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = với m tham số x ẩn số.
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2
c) Với điều kiện câu b tìm m để biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ
Câu 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Đường trịn đường kính BC cắt AB, AC theo thứ tự E F Biết BF cắt CE H AH cắt BC D
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp AH vng góc với BC b) Chứng minh AE.AB = AF.AC
c) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC K trung điểm BC Tính tỉ số tứ giác BHOC nội tiếp
d) Cho HF = cm, HB = cm, CE = cm HC > HE Tính HC
(67)Câu 1:
a) Ta có Δ’ = nên phương trình có nghiệm phân biệt x1 = – x2 = +
b) Đặt t = x2 ≥ 0, ta phương trình trở thành t2 – 29t + 100 = t = 25 hay t =2.
* t = 25 x2 = 25 x = ± 5.
* t = x2 = x = ± 2.
Vậy phương trình cho có nghiệm ± 2; ±5
c) Câu 2:
a) b) Câu 3:
Gọi chiều dài x (m) chiều rộng y (m) (x > y > 0)
Theo đề ta có:
Ta có: (*) x2 – 60x + 675 = x = 45 hay x = 15.
Khi x = 45 y = 15 (nhận) Khi x = 15 y = 45 (loại)
Vậy chiều dài 45(m) chiều rộng 15 (m) Câu 4:
Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + = (1)
a) Khi m = (1) trở thành:
x2 – 2x + = 0 (x – 1)2 = x = 1.
b) (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Δ’ = m – > m >
Vậy (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 m >
c) Khi m > ta có:
S = x1 + x2 = 2m P = x1x2 = m2 – m +
Do đó: A = P – S = m2 – m + – 2m = m2 – 3m + = − ≥ –
Dấu “=” xảy m= (thỏa điều kiện m > 1)
Vậy m = A đạt giá trị nhỏ GTNN A – Câu 5:
a) * Ta có E, F giao điểm AB, AC với đường trịn đường kính BC Tứ giác BEFC nội tiếp đường trịn đường kính BC
* Ta có (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) BF, CE hai đường cao ΔABC
(68)AH vng góc với BC b) Xét Δ AEC Δ AFB có:
chung
Δ AEC đồng dạng với Δ AFB c) Khi BHOC nội tiếp ta có:
mà (do AEHF nội tiếp)
Ta có: K trung điểm BC, O tâm đường trịn ngoại tiếp ABC OK vng góc với BC mà tam giác OBC cân O (OB = OC )
Vậy mà BC = 2KC nên
d) d) Xét Δ EHB Δ FHC có:
(đối đỉnh) Δ EHB đồng dạng với Δ FHC
HE.HC = HB.HF = 4.3 = 12
HC(CE – HC) = 12 HC2 – 8.HC + 12 = HC = HC = 6.
* Khi HC = HE = (khơng thỏa HC > HE) * Khi HC = HE = (thỏa HC > HE) Vậy HC = (cm)
SỞ GD- ĐT LONG AN KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2007-2008 Mơn thi: Tốn
Ngày thi: 27/6/2007
(69)PHẦN THI TRẮC NGHIỆM:
1 Hai đường thẳng:y(2 m x m2) 5 y mx 3m 7song song với giá trị m
là:
a/1 b/ 2 c/ –2 d/ –1
2 Phương tình bậc hai 3x2 4x m
có hai nghiệm x x1, 2 thoả x13x2thì giá trị m là:
a/ m = 3 b/ m = c/ m = d/ m=2
3 Phương trình
1 2007 2006 2005 2004
x x x x
có nghiệm là:
a/ x2007 b/ x2007 c/ x2008 d/ x2008
4 Cho hàm số y = ax2 , có điểm E(2;-2) thuộc đồ thị hàm số Điểm sau điểm thuộc đồ thị hàm số trên?
a/ A(1;
) b/ B(1;
1
2) c/ C(
1
;1) d/ D(
1 2;1)
5 Đồ thị hàm số y = ax +b qua hai điểm A(1;-1) , B(2;1) giá trị a b là: a/ a = -2; b = 3 b/ a = -2; b = -3 c/ a = 2; b = 3 d/ a =2;b = -3
6 Phương trình bậc hai x21 2x 0 có hai nghiệm là: a/ 2; 1 b/ 2;1 c/ 2;1 d/ 2; 1
7 Giá trị biểu thức
1
7 3 3 bằng:
a/ b/ -4 c/ 2 d/ 2
8 Hệ phương trình
2007 2007 x y x y
có nghiệm là:
a/ 1; 2007 1 b/ 2007 1;1 c/ 2007;1 d/1; 2007
9 Cho hàm số y 1 2007x2008, x x 1 2007 giá trị y là:
a/ b/ -2 c/ 2 2007 d/ 2 2007
10. 2006 2007 xxác định
a/ 2007 2006 x b/ 2007 2006 x c/ 2006 2007 x d/ 2006 2007 x
11.Cho đường tròn (O; cm), dây AB = cm Gọi OH khoảng cách từ tâm O đến dây AB Độ dài đoạn thẳng OH là:
a/ cm b/ cm c/ cm d/ cm
12.Cho đường thẳng a điểm O cách a cm Vẽ đường tròn tâm O bán kính cm Số điểm chung đường thẳng a đường tròn (O) là:
a/ 1 b/ 3 c/ d/ 2
13.Một hình thang ABCD (AB // CD) có Bˆ2Cˆ số đo Bˆ là:
a/ 800 b/ 1000 c/ 1200 d/ 600
14.Cho tam giác ABC vuông A có AB 3AC Ta có sinBˆ bằng:
a/ 3 b/ c/ 2 d/
(70)a/ 800 b/ 600 c/ 1200 d/ 1000
16.Biết O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC AB=BC=AC Số đo góc AOB bằng:
a/ 900 b/ 1200 c/ 600 d/ 300
17.Một hình trụ có bán kính đáy cm, chiều cao cm Diện tích xung quanh hình trụ là:
a/ 24 cm2
b/ 96 cm c/ 12 cm d/ 48 cm
18.Biết điểm A thuộc đường trịn đường kính BC Khi số góc BAC bằng:
a/ 900 b/ 300 c/ 1800 d/ 600
19.Biết độ dài đường tròn 12 cm Vậy diện tích hình trịn bằng:
a/ 36 2 cm2
b/ 24 cm c/ 144 cm d/ 36 cm
20.Các khẳng định sau, khẳng định đúng?
a/ Trong đường trịn, hai dây cách tâm b/ Trong đường trịn, dây nhỏ dây gần tâm hơn. c/ Trong đường trịn, dây gần tâm dây nhỏ hơn.
d/ Trong đường trịn, đường kính qua trung điểm dây vng góc với dây âý
PHẦN THI TỰ LUẬN
Câu 1: (1,5 điểm) Cho biểu thức A
1
1 :
1 1
x x
x x x x x x
với x0và x1
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tính giá trị biểu thức A x 4
c/ Tìm giá trị x để A > 1 Câu 2: (1,5 điểm)
Cho hai hàm số: y = x2và y = –x +2
a/ Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng toạ độ b/ Tìm toạ độ giao điểm đồ thị đó.
Câu 3: (1 điểm)
Cho phương trình bậc hai x2 + (m – 2)x – (m2 +1)=0
a/ Chứng minh phương trình cho ln ln có nghiệm với m. b/ Xác định m để hai nghiệm phương trình cho thoả hệ thức x12x22 10
Câu 4: (3 điểm)
Cho đường trịn tâm O đường kính AB = cm Lấy điểm C đường thẳng AB sao cho B trung điểm đoạn thẳng OC Kẻ tiếp tuyến CD, CE đường tròn (O) M N.
a/ chứng minh tứ giác CDOE tứ giác nội tiếp Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác này.
(71)c/ Chứng minh CD2 = CM.CN.
d/ Tính đọ dài cung DOE diện tích hình trịn ngoại tiếp tư giác. THE END.
Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008
Đề thức Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình: {x
2
+2y=8
y2−2x
=8 Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh phương trình:
4 2 2 3 0
x m x m
ln có nghiệm phân biệt 1, 2, 3,
x x x x với giá trị m Tìm giá trị m cho
2 2
1 4 11
x x x x x x x x .
Bài 3: (3 điểm)
Cho hình vng cố định PQRS Xét điểm M thay đổi cạnh PQ (M P, MQ) Đường thẳng RM cắt đường chéo QS hình vng PQRS E Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS F (F Q) Đường thẳng RF cắt cạnh SP hình vng PQRS N
4 Chứng tỏ rằng: ERF QRE + SRF
5 Chứng minh M thay đổi cạnh PQ hình vng PQRS đường trịn ngoại tiếp tam giác MEF qua điểm cố định
6 Chứng minh rằng: MN = MQ + NS Bài 4: (2 điểm)
Tìm tất cặp số nguyên p q, cho đẳng thức sau đúng: √p −2+√q −3=√pq−2p −q+1
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh với số thực x y z, , ln có:
(72)SBD thí sinh: Chữ ký
GT1: Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC
Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008 ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
BÀI NỘI DUNG Điể m B.1
{x2
+2y=8
y2−2x=8
(2đ)
Ta có : x22y y2 2x0 0,25
Hay x y x y 2 0 0,25
+ Nếu x y 0, thay yx vào phương trình đầu thì:
2 2 8 2 8 0
x x x x
0,25
Giải : x4; x2 0,25
Trường hợp hệ có hai nghiệm : x y; 4; 4 ; x y; 2; 2 0,25 + Nếu x y 2 0, thay y x 2 vào phương trình đầu thì:
2 2 2 8 2 4 0
x x x x
0,25
Giải ra: x 1 ; x 1 0,25
Trường hợp hệ có hai nghiệm: x y; 5;1 5
; x y; 5;1 5 0,25
B.2 x4 2m2 2x2 m4 3 0
(1) (2đ)
Đặt :tx2, ta có :
2 2 2 3 0
t m t m
(2) (t0) 0,25
Ta chứng tỏ (2) ln có hai nghiệm : 0t1t2 0,25
2
' m m 4m
với m Vậy (2) ln có hai nghiệm phân biệt t t1,
0,25
4
1
t t m với m. 0,25
1 2
t t m
với m 0,25
Do phương trình (1) có nghiệm : t1, t1 , t2, t2
2 2 2 2 2
1 4 1 2 1 2
x x x x x x x x t t t t t t t t
2t1t2 t t1 0,25
2 2 2 4
1 4 4 11
x x x x x x x x m m m m
0,25
2 2 11 4 11 11 4 0 0
(73)(74)B.3 3 đ
Câu3.1 (1đ)
D H N
F
E
M
S R
Q P
Hình vẽ 0,25
Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ có đường kính RM
450
ERF MRF MQF (3) 0,25
F nằm đọan ES
0
90 QRE ERF FRS
Do : QRE SRF 450 (4)
0,25
Từ (3) (4) : ERF QRE SRF .
0,25
Câu3.2 (1đ)
Ta chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF qua điểm cố định P 0,25 Ta có :NSE450 NRE Do N, S, R, E đường trịn đường kính NR. 0,25
Ta có:FME 450 FNE Do N, F, E, M đường trịn đường kính
MN
0,25
Do MPN 900 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF qua điểm P. 0,25
Câu3.3 (1đ)
Tam giác RMN có hai đường cao MF NE Gọi H giao điểm MF NE, ta có RH đường cao thứ ba RH vng góc với MN D Do :
DRM ENM
0,25
Ta có: ENM EFM (do M, N, F, E đường tròn);
EFM QFM QRM (do M, F, R, Q đường tròn) Suy ra:
DRM QRM D nằm đọan MN.
0,25
Hai tam giác vuông DRM QRM nhau, suy : MQ = MD 0,25 Tương tự : Hai tam giác vuông DRN SRN nhau, suy : NS = ND
(75)Điều kiện: p 0, q 0, pq 2p q 1 (p, q số nguyên) 0,25 Bình phưong hai vế (α) : p 2 q 3pq 3p 2q6 0,25 Hay : (p 2)(q 3)p 2 q 3 0,25 Tiếp tục bình phương :
2
4 p q p q
0,25
+ Nếu p2 (α) trở thành:√0+√q −3=√q −3, với số nguyên q3
tùy ý
0,25 + Nếu q3 (α) trở thành:√p −2+√0=√p −2,đúng với số nguyên p2
tùy ý
0,25 + Xét p2 q3 Ta có : 4 p 2 q 3( p, q số nguyên)
Chỉ xảy trường hơp :
1/ p 1, q 4 ; 2/ p 2, q 2 ; 3/ p 4, q 1 0,25 Ta có thêm cặp (p; q): (3; 7) , (4; 5) , (6, 4)
Kiểm tra lại đẳng thức (α):√1+√4=√9 ; √2+√2=√8 ;√4+√1=√9
0,25
B.5 |x+y − z|+|y+z − x|+|z+x − y|+|x+y+z|≥2(|x|+|y|+|z|) (*) (1đ) Đặt:a x y z , b y z x,c z x y Trong ba số a, b, c có
ít hai số dấu, chẳng hạn: a b 0
Lúc :|x+y − z| +|y+x − z|=|a|+|b|=|a+b|= 2|y| 0,25
Ta có : x y z a b c ; 2x a c ; 2z b c Do để chứng minh (*)
đúng, cần chứng tỏ : |c|+|a+b+c||a+c|+|b+c| (**) với a b 0.
0,25 Ta có:
(**)
2
c a b c ab a c b c ca cb c ab ca cb c ab
(***)
0,25
Đặt: ca cb c A; ab B , ta có BB (do a.b0) ta có: (***)⇔|A|+|B| |A+B|⇔|A|.|B| AB⇔|AB| AB
Dấu đẳng thức xảy trường hợp số: a, b, c, a + b + c chia làm cặp dấu Ví dụ: ab0 c a b c 0.
0,25
(76)ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
HỆ THPT CHUYÊN ĐHKHTN, ĐHQG HÀ NỘI NĂM HỌC 2007-2008 – Thời gian 150 phút NGÀY THỨ NHẤT
Câu (3 điểm)
Giải hệ phương trình phương trình sau a) 4x21 x 2x2 x 2x1.
b) 3
( )
4 xy x y
x y x y
.
Câu (3 điểm)
c) Giả sử x1, x2 nghiệm dương phương trình x2 – 4x + = Chứng minh
5
1
x x số nguyên.
d) Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn a + b + 2007 chia hết cho Chứng minh 4a+ a + b chia hết cho 6.
Câu (3 điểm)
Cho M trung điểm cung nhỏ AB đường trịn tâm O (AB khơng phải đường kính) C D điểm phân biệt, thay đổi nằm A B Các đường thẳng MC, MD cắt (O) tương ứng E, F khác M
c) Chứng minh điểm C, D, E, F nằm đường tròn
d) Gọi O1 O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE BDF Chứng minh C D thay đổi đoạn AB giao điểm hai đường thẳng AO1 BO2 điểm cố định
Câu (1 điểm)
Cho a, b, c số thực dương thỏa mản abc = Chứng minh rằng:
2 2 2
1
1 1
a b c
(77)bài
a đặt ẩn phụ b đặt x+y=a
xy=b
ta có hệ ab=2 +a-3ab=4
thay ab=2 vào phương trình ta tính đc a= 2=> b=1 thay a b ta tính đc x=y=1
1 a)đk Đặt
phương trình trở thành:
Đặt Câu
a)PT có nghiệm
Do số nguyên đpcm
b) a,b lẻ (1)
(2) Từ(1)(2)=>đ.p.c.m
(78)-ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH
ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂNG KHIẾU NĂM HỌC 2007 – 2008 MƠN TỐN AB ( Chung cho lớp Tốn , Tin , Lý , Hoá , Sinh )
Thời gian làm : 150 phút.
Câu Cho phương trình :
2 2 2 ( 1) 3
0
x x m m m
x
(1)
c) Tìm m để x = -1 nghiệm phương trình (1) d) Tìm m để phương trình (1) vơ nghiệm
Câu a) Giải bất phương trình : (x3)(x1) 2 x1x2 b) Giải hệ phương trình :
2
2
x y y x x x y x x y y y
Câu a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện :
2 3 2 2 5 7 0
a ab b a b a ab b a b
Chứng tỏ : ab12a15b0
b) Cho :
2
( 2)( 1)( 2)
( 1)
x x x x x x
A
x x x
Hãy tìm tất giá trị x đểA0
Câu Cho tam giác ABC nhọn có H trực tâm góc BAC 60o Gọi M , N , P chân đường cao kẻ từ A , B , C tam giác ABC I trung điểm BC
d) Chứng minh tam giác INP
e) Gọi E K trung điểm PB NC Chứng minh điểm I , M , E K thuộc đường tròn
f) Giả sử IA phân giác góc NIP Hãy tính số đo góc BCP
(79)nhân may từ đầu họ hồn thành công việc sớm tổ B ngày Hãy xác định số công nhân ban đầu tổ Biết , công nhân may ngày 20 sản phẩm
HẾT
Sở Giáo dục-đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt thành phố huế
Thừa Thiên Huế Khóa ngày 12.7.2007
Đề thức Mơn: TN
Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (1,75 điểm)
c) Khơng sử dụng máy tính bỏ túi, tính giá trị biểu thức:
3
3 3
A
d) Rút gọn biểu thức
1 1
: vµ
1
x
B x x
x x x x x
Bài 2: (2,25 điểm)
Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B4 ; 0 C1 ; 4
d) Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm C song song với đường thẳng
2
y x Xác định tọa độ giao điểm A đường thẳng (d) với trục hoành Ox.
e) Xác định hệ số a b biết đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm B C Tính góc tạo đường thẳng BC trục hồnh Ox (làm trịn đến phút)
f) Tính chu vi tam giác ABC (đơn vị đo trục tọa độ xentimét) (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Bài 3: (2 điểm)
c) Tìm hai số u v biết: u v 1,uv 42 u v
d) Khoảng cách hai bến sông A B 60 km Một xuồng máy xi dịng từ bến A đến bến B, nghỉ 30 phút bến B quay trở lại ngược dòng 25 km để đến bến C Thời gian kể từ lúc đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất Tính vận tốc xuồng máy nước yên lặng, biết vận tốc nước chảy km/h
Bài 4: (2,5 điểm)
Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A B) Tiếp tuyến M nửa đường tròn cắt Ax D cắt By E
d) Chứng minh rằng: DOE tam giác vuông.
(80)f) Xác định vị trí điểm M nửa đường trịn (O) cho diện tích tứ giác ADEB nhỏ
Bài 5: (1,5 điểm)
Một xơ dạng hình nón cụt có bán kính hai đáy 19 cm cm, độ dài đường sinh 26cm
l Trong xô chứa sẵn lượng nước có chiều cao 18 cm so với đáy (xem hình
vẽ)
b) Tính chiều cao xô Hỏi phải đổ thêm lít nước để đầy xơ ? Sở Giáo dục đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt Tp Huế Thừa Thiên Huế Mơn: TN - Khóa ngày: 12/7/2007
(81)Bài ý Nội dung Điể m 1 1,75 1.a +
3 3
3
3 3 3 3
A
+
6 3
9 A
+ A 3 1
0,25 0,25 0,25 1.b Ta có:
+
1 1
1 1
x x x x x x
+ = 1 x x x +
1
2 1
x x
x x x
+
2
1 1
:
1 1
x x x
B
x
x x x
(vì x0 x1).
0,25 0,25 0,25 0,25
2 2,25
2.a + Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y2x 3, nên phương trình đường thẳng (d) có dạng y2x b b ( 3)
+ Đường thẳng (d) qua điểm C1; 4 nên: 4 2 b b 6 Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là: y2x6
+ Đường thẳng (d) cắt trục Ox điểm A x( ; 0) nên 2 x 6 x3.
Suy ra: A3 ; 0
0,25
0,25 0,25 2.
b + Đồ thị hàm số y ax b đường thẳng qua B4; 0 C1; 4 nên ta có hệ phương trình:
0 4 a b a b
+ Giải hệ phương trình ta được:
4 16
; ;
5
a b
.
0,25
(82)(83)+ Đường thẳng BC có hệ số góc
4
0,8
a
, nên tang góc '
kề bù với góc tạo BC trục Ox là: tg'a 0,8 ' 38 40' + Suy ra: Góc tạo đường thẳng BC trục Ox
0
180 ' 141 20'
0,25 0,25 2.c
+ Theo định lí Py-ta-go, ta có: AC AH2HC2 2242 2 +Tương tự: BC 5242 41.
Suy chu vi tam giác ABC là: AB BC CA 7 5 41 17,9( cm)
0,25 0,25
3 2,0
3.a + u, v hai nghiệm phương trình: x2 x 42 0
+ Giải phương trình ta có: x1 6; x2 7
+ Theo giả thiết: u v , nên u7;v6
0,25 0,25 0,25 3.
b
+ Gọi x (km/h) vận tốc xuồng nước yên lặng Điều kiện: x > + Thời gian xuồng máy từ A đến B:
60 (h)
x , thời gian xuồng ngược
dòng từ B C : 25
(h) x
+ Theo giả thiết ta có phương trình :
60 25
8
1
x x
+ Hay 3x2 34x11 0
Giải phương trình trên, ta nghiệm: x111;
1 x
+ Vì x > nên x = 11 Vậy vận tốc xuồng nước đứng yên 11km/h
0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
4 2,5
4.a + Hình vẽ (câu a):
+ Theo giả thiết: DA DM hai tiếp tuyến cắt D, nên OD tia phân giác góc AOM Tương tự: OE tia phân giác góc MOB
+ Mà AOM MOB hai góc kề bù, nên DOE 900 Vậy tam giác
(84)4.
b + Tam giác DOE vuông O
OMDE nên theo hệ thức lượng trong tam giác vng, ta có: DM EM OM2 R2 (1)
+ Mà DM = DA EM = EB (định lí tiếp tuyến cắt nhau) (2) + Từ (1) (2) ta có: DA EB R
0,25 0,25 0,25 4.c + Tứ giác ADEB hình thang vng, nên diện tích là:
1
2
2
S AB DA EB R DM EM R DE
+ S nhỏ DE nhỏ Mà DE đường xiên hay đường vng góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ DE = DH (DH vng góc với By H)
0,25
Khi DE song song với AB nên M điểm nửa đường trịn (O) (hoặc OM AB) Giá trị nhỏ diện tích là: S0 2R2
Ghi chú: Nếu học sinh khơng tìm giá trị nhỏ diện tích cho điểm tối đa
0,25
5 1,5
5.a
5.
b + Cắt hình nón cụt mặt phẳng qua trục OO', ta hình thang cân AA’B’B Từ A hạ AH vng góc với A’B’ H, ta có:
A'H O'A' OA 10 (cm)
Suy ra:
2 2
OO' AH AA' A'H 26 10 24 (cm).
+ Mặt nước với mặt phẳng cắt có đường thẳng chung IJ, IJ cắt AH K Theo giả thiết ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = (cm)
+ Bán kính đáy khối nước xơ r1 O I O K KI KI1
KI//A’H
KI AK
= KI 7,5 16,5 (cm)
HA' AH r
Thể tích khối nước cần đổ thêm để đầy xô là:
+
2 2
1
1
19 19 16,5 16,5
3
V h r rr r
3
5948,6 cm 5,9486 5,9
V dm
(85)Ghi chú:
3 Học sinh làm cách khác đáp án cho điểm tối đa. 4 Điểm tồn khơng làm trịn.
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên toán - tin trường đại học vinh Vòng I (150 phút)
Câu I.
3 Tính giá trị biểu thức:
P x3 y3 x( y) 2004
Biết rằng: x
3
3 2
3
3 2 y
3
17 12
3
17 12
4 Rút gọn biểu thức sau:
P
1
1
5
1
9 13
2001 2005
Câu II Giải phương trình sau:
1 x2 x 2004 2004
2 x3 x x
Câu III Giả sử tam giác ABC có diện tích 1, gọi a,b,c h❑a,h❑b,h❑ctương ứng độ
dài cạnh đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: (a2+b2+c2).(ha2 + hb2 +hc2) > 36
Câu IV Cho tam giác ABC, có A❑ =600, AC = b, AB = c (với b > c) Đường kính EF
đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với BC M Gọi I, J chân đường vng góc hạ từ E xuống đường AB, AC, gọi H, K chân đường vng góc hạ từ F xuống đường thẳng AB, AC
e) Chứng minh tứ giác AIEJ Và CMJE nội tiếp
f) Chứng minh I, J, M thẳng hàng IJ vng góc với HK
(86)
Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 THPT CHUYÊN TOÁN - TIN TRƯờNG ĐạI HọC VINH
Vòng II (150 phút) Câu V.
a) Tìm giá trị tham số m để tập nghiệm phương trìng sau có phần tử:
x2 m2 x m4 m2 x2 x 12
0 b) Giải hệ phương trình:
x y z
x y
1 z
51 x2 y2 z2
x2 y2
1 z2
771 16
Câu VI Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: P = x - y + 2004, số thực x y thỏa mãn hệ thức:
x2
9 y2 16 36
Câu VII Chứng minh tồn số tự nhiên a,b,c nghiệm phương trình: x2 + y2 + z2 = 3xyz thỏa mãn điều kiện: Min {a,b,c } > 2004.
Câu VIII Cho ngũ giác ABCDE, Gọi M,P,N,Q trung điểm AB, BC, DE, EA Chứng minh MN qua trung điểm PQ MN//CD
Câu IX Cho đ[ngf thẳng xy điểm A cố định nằm đường thẳng Điểm M chuyển động xy, đoạn thẳng AM lấy điểm I cho:
(87)Đề THI TUYểN SINH VÀO LớP 10 TRƯờNG THPT CHUYÊN TĨNH Năm học: 2007 - 2008
Thời gian: 150' Bài 1: a) Giải phương trình: x4- 2x3 + 4x2-3x - = 0
b)Tìm điểm M(x;y) đường thẳng y = x +1 có tọa độ thỏa mãn đẳng thức:
P xy
x2 y2
y2 y x 2 x 0
Bài 2: Các số x, y, z khác thỏa mãn: xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức
P yz x2
zx y2
xy z2
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 -xy + y2 = 2x - 3y - 2 Bài 4: Tìm tất ba số dương (x; y; z) thỏa mãn hệ phương trình
2 x2008 y2007 z2006 y2008 z2007 x2006 z2008 x2007 y2006
Bài 5: Từ điểm P ngồi đường trịn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến PE PF tới đường tròn( E, F tiếp điểm) Tia PO cắt đường tròn A B cho A nằm P O Kẻ EH vng góc với FB ( HFB) Gọi I trung điểm EH Tia BI cắt đường tròn M ( M # B), EF cắt AB N
c) Chứng minh EMN❑ = 900.
d) Đường thẳng AB tiếp tuyến đường tròn qua ba điểm P, E, M
Bài 6: Ba số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2008 y2007 z2006
2 y2008 z2007 x2006 z2008 x2007 y2006
P x
2 y z
y2 z x
(88)ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ( khối chuyên) MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm : 150 phút -Bài1: ( 1,5 điểm)Tìm x, y biết
c) x2 -25 = y(y+6) d) 1+x + x2 +x3 = y3
Bài 2: ( 1, điểm) Cho P =
1 1
4( 1)
x x x
x x
c) Tìm điều kiện x để P có nghĩa d) Rút gọn P
Bài3: ( 2,5 điểm)Cho Parabol (P) :y=
2
1
4 x đường thẳng (D) qua điểm A B (P) có hồnh độ -2
d) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số e) Viết phương trình đường (D)
f) Tìm vị trí điểm M cung AB (P) tương ứng hoành độ x [-2 , 4] cho
AMB có diện tích lớn Bài 4: ( 3, điểm)
Cho hình vng ABCD có tâm O , vẽ đường d quay quanh O cắt cạnh AD BC E F ( E,F khơng trùng đỉnh hình vng).Từ E F vẽ đường thẳng song song với BD AC cắt I
c) Tìm quỹ tích điểm I
d) Từ I vẽ đường vng góc với EF H.Chứng tỏ H thuộc đường tròn cố định đường IH qua điểm cố định
Bài 5: ( điểm) Chứng minh rằng:
( 1999 1997 3 1) ( 1998 1996 2) 500
(89)MA TRẬN ĐỀ DỰ THI
Chủ đề Nhận biết Thơng hiểu Vận dụng Tổng
Phương trình nghiệm
nguyên 0.5 0.5 0.5 1.5
Rút gọn biểu thức căn bậc hai
0.5 0.5 0.5 1.5
Hàm số y=ax2 0.5 0.5 1.5 2.5
Bài toán quỹ tích 0.5 0.5
Bài tốn cố định 0.5 0.5 0.5 1.5
Mở rộng phần căn thức
0.5 0.5
Tổng 2.5 4.5 10
ĐÁP ÁN Bài 1: ( 1, điểm)
a) x2 -25 = y(y+6) x2 – ( y +3) 2 = 16 (1) ( x y3 ).( x y3 ) 16
Và từ (1) x y3 0 Mặt khác x y3 x y3 có tính chất chẵn lẽ nghiệm số (4;-3) ; ( -4; -3) ; (5 ; 0) ; ( -5; ) ; ( 5; -6) ; ( -5; -6)
b)Xét x = -1 ; x = y tương ứng
Xét x 0 x -1 =>x (x+1) >0
=> x3 < y3 < (x+1)3 : Vô lý => Bộ số (x ,y) (0 ; 1) ; ( -1; 0) Bài 2: ( 1, điểm)
2
1 ( 1)
2
x x
P
x
TXĐ x
2
2 2
x x P
x
(90)e) A(-2;yA ) (P) ; B(a; yB) (P) => A( -2 ;1) B( ; 4) Phương trình (D) : y =
1 2x
f) AMB có AB khơng đổi => SAMB max MH max ( MH AB) lúc M (d) //AB tiếp xúc (P)
(d) : y=
1
1
2x k k x x
1 y
M tiếp điểm (d) với (P) => M( ; 4)
(d)
H
I
F O
A
D C
B E
K
Bài : ( 3, điểm) b) Tìm quỹ tích
2 Thuận: AEI vng cân => AE = AI ; AOE = OCF =>AI = CF => FI //AB=> I AB ( cố định)
* Giới hạn I AB trừ điểm A B
* Đảo : Gọi I’ AB ( A , B ) Gọi E’, F’ điểm đối xứng I’ qua AC
BD
=>OA phân giác I OE' ' ; OB tia phân giác I OF' ' =>E'OF' 180 0 => E’ ; O; F’ thẳng hàng
* Kết luận : I AB ngoại trừ điểm A B
b)AEHI nội tiếp =>AHI AEI 450 BIHF nội tiếp => 450 900
BHI IFB AHB Hđường trịn đường kính AB =>KHA450=> K chính
(91)Đặt vế trái A
2 2000 2000
( 1999 1997 1) ( 1998 1996 ) 2000 ( 1999 1997 1)
A A A
Vận dụng n n 1 n 1 n
1999 1998 2000 1999
……
1 > 1 ( luôn )
=> BĐT chứng minh
Sở giáo dục đào tạo TP Hải Phịng
Tr¬ng THPT Đề thi tuyển sinh vào lớp 10Năm học: 2008 - 2009 Đề thi gồm có 01 trang
I Phần trắc nghiệm:
Khoanh trũn vo chữ trớc câu trả lời sau:
Câu 1: Đờng thẳng y = ax qua điểm M(-3 ; 2) điểm N(1 ; -1) có phơng trình là: A y = 3
4 x+
4 B y = -3 x −
1
4 C y = − 3x −
1
3 D y = 3x+
1 Câu 2: Phơng trình x4 – 2mx2 – 3m2 = ( m0 ) cã sè nghiƯm lµ:
A Vơ nghiệm B nghiệm C nghiệm D không xác định đợc Câu 3: Phơng trình 3x
2−15x
x2−9 = x - x
x −3 cã tỉng c¸c nghiƯm lµ:
A 4 B - 4 C -1 D 1
C©u 4:Cho a + β 90o HƯ thức sau SAI ? A 1- sin2a = sin2β B cot ga = tgβ
C tgβ = sin
❑ D. tga = cotg(90
o –β) Câu 5: Tam giác ABC cân đỉnh A, đờng cao AH có AH = BC = 2a Diện tích tồn phần của hình nón cho tam giác quay vòng xung quanh AH là:
A πa2 (
√3+1) B πa2 (√3+2) B πa2(√5+1) D πa2 (√5+2)
C©u 6: cho tga = 3
4, giá trị biểu thức C = 5sin2 a + 3cos2a lµ:
A 3,92 B 3,8 C 3,72 D 3,36
II Phần tự luận:
Bài 1: Cho P = (1− x√x
1−√x +√x) x (
1+x√x
1+√x −√x). a Rót gän P
b Tìm x để p < - 4√3
Bài 2: Cho parabol (P) y = x2 đờng thẳng (d) y = 2x + m.
a Vẽ (P) (d) hệ trục toạ độ với m = tìm toạ độ giao điểm (P) (d).
(92)Bài 3: từ điểm M ngồi đơng trịn (O; R) vẽ tiếp tuyến MA đến đờng tròn E trung điểm AM; I, H lợt hình chiếu E A MO Từ I vẽ tiếp tuyến MK với (O)
a chứng minh I nằm ngồi đờng trịn (O; R).
b Qua M vẽ cát tuyến MBC ( B nằm M C ) Chøng minh tø gi¸c BHOC néi tiÕp
c Chứng minh HA phân giác góc BHC tam giác MIK cân.
S giỏo dc đào tạo TP Hải Phòng
Trơng THPT … đáp án tuyển sinh vào lớp 10Năm học: 2008 - 2009 Đáp án có trang
I PhÇn trắc nghiệm Câu 1: B
Câu 2: B
Phơng trình trung gian có ac = -3m2 < suy phơng trình trung gian có hai nghiệm trái dấu ýuy phơng trình có hai nghiệm.
Câu 3: D C©u 4: D C©u 5: C
Ta cã I = AC = a√5 suy Stp = πRL + πR2 = πa.a√5+ πa2(√5+1) C©u 6: C
II Phần tự luận: Bài 1:
a A = (1- x)2, víi x ≥0; x1
b. P < 7- 4√3↔1 - x ׀ 1 -√3↔√3 -2 > ׀ < x < 3-√3; x1 Bµi 2:
a Với m = (d) y = 2x +3, đồ thị qua điểm (0; 3) ( −3 2;0) ( Bạn đọc tự vẽ đò thị)
Hồnh độ giao điểm nghiệm phơng trình x2 = 2x =3 Giao điểm parabol đờng thẳng (d) (-1 ; 10 ) ( ; ) b Để (P) tiếp xúc với (d) phơng trình x2 = 2x + m có nghiệm kép ↔ x2 – 2x – m = có Δ = = m = ↔ m = -1
Bài 3:
Bạn làm tự vẽ h×nh.
a. Ta cã OI2 + IE2 = OE2 = OA2 + EA2 (1)
Mµ IE < ME = EA VËy IE2 < AE2→ OI2 > OA2→OI > OA = R (2) Tõ suy ®iĨm I n»m ngoµi (O; R)
b. Dễ dàng chứng minh c MA2 = MB.MC
áp dụng hệ thức lợng tam giác vuông AMO, ta có MA2 = MH.MO → Δ MBH ΔMOC
→ ∠H1 = ∠C1 → tứ giác BHOC nội tiếp.
c. Từ ta cã ∠ CHO = ∠ B1 = ∠C1 = H1.
VËy ∠ BHA = ∠AHC( cïng phơ víi c¸c góc nhau) Ta có HA phân giác góc BHC
(93)Tõ (3) vµ (4) suy IK = IM, tam giác MIK cân I
ĐỀ THI TS VÀO 10 TỈNH HẢI DƯƠNG Năm học : 2008 – 2009
Khoá thi ngày 26/6/2008 - Thời gian 120 phút Câu I: (3 điểm)
1) Giải phương trình sau: a) 5.x 45 0
b) x(x + 2) – =
2) Cho hàm số y = f(x) =
2
x a) Tính f(-1)
b) Điểm M 2;1 có nằm đồ thị hàm số khơng ? Vì ?
Câu II: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức P =
4 a a
1
a a a
với a > a 4.
Câu III: (1 điểm)
Tổng số công nhân hai đội sản xuất 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ
2
3 số cơng nhân đội thứ hai Tính số cơng nhân đội lúc đầu
Câu IV: (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), đường thẳng AO cắt đường trịn (O) điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F
1) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
2) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM AC. 3) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2.
Câu V: (1 điểm) Cho biểu thức :
B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008.
Tính giá trị B x =
1
2
(94)Giải Câu I:
1) a) 5.x 45 0 5.x 45 x 45 : 5 x 3. b) x(x + 2) – = x2 + 2x – =
’ = + = ' 6 Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x
1,2 = 1
2) a) Ta có f(-1) =
2
( 1)
2
b) Điểm M 2;1 có nằm đồ thị hàm số y = f(x) =
2
x
2 Vì
2
f
2
Câu II:
1) Rút gọn: P =
4 a a
1
a a a
=
a a a a
a
a a 2 a 2
=
a a 2 a a 2
a
a a
=
6 a
a a
2) ĐK: ’ > + 2m > m >
1
Theo đề :
2
2 2
1 2
1 x x 5 x x x x 5
2
1 2
1 x x x x 2x x 5 Theo Vi-ét : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m
+ 4m2 + + 4m = 4m2 + 4m = 4m(m + 1) = m = m = -1.
Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = (t/m) Vậy m =
Câu III:
Gọi số công nhân đội thứ x (người) ĐK: x nguyên, 125 > x > 13 Số công nhân đội thứ hai 125 – x (người)
Sau điều 13 người sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ cịn lại x – 13 (người) Đội thứ hai có số công nhân 125 – x + 13 = 138 – x (người)
Theo ta có phương trình : x – 13 =
3 (138 – x)
3x – 39 = 276 – 2x 5x = 315 x = 63 (thoả mãn).
Vậy đội thứ có 63 người
Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người)
(95)M F
E
D
B O C
A
3) Xét hai tam giác ACF ECB có góc C chung , A E 90 0 Do hai tam giác ACF ECB đồng dạng
AC EC
CE.CF AC.CB
CF CB (1).
Tương tự ABD AEC đồng dạng (vì có BAD chung, C ADB 180 0 BDE ).
AB AE
AD.AE AC.AB
ADAC (2).
Từ (1) (2) AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2.
Câu V:
Ta có x =
2
2
1 1
2 2 2
x2 =
3 2
; x3 = x.x2 =
5
; x4 = (x2)2 =
17 12 16
; x5 = x.x4 =
29 41 32
Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – =
29 41 32
+
17 12 16
-
5 + 2 - =
29 41 34 24 25 35 20 20 16
= -1
Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 = (-1)2 + 2008 = + 2008 = 2009.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học 2008-2009
(96)Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
Bài ( điểm ):
a) Thực phép tính: nb3√10+√20−3√6−√12
√5−√3 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức x −√x −2008
Bài ( 1,5 điểm ):
Cho hệ phương trình:
mx− y=2
3x+my=5
¿{
¿ ¿
a) Giải hệ phương trình m=√2
b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x+y=1− m
2
m2+3
Bài (1,5 điểm ):
a) Cho hàm số y=−1
2 x
2
, có đồ thị (P) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm M N nằm (P) có hồnh độ −2và
b) Giải phương trình: 3x2
+3x −2√x2+x=1
Bài ( điểm ):
Cho hình thang ABCD (AB // CD), giao điểm hai đường chéo O Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD vàBC M vàN
a) Chứng minh: MOCD +MO
AB =1 b) Chứng minh:
AB+ CD=
2 MN
c) Biết SAOB=m2; SCOD=n2 Tính SABCD theo m n (với SAOB, SCOD, SABCD diện
tích tam giác AOB, diện tích tam giác COD, diện tích tứ giác ABCD)
Bài ( điểm ): Cho đường tròn ( O; R ) dây cung AB cố định không qua tâm O; C D hai điểm di động cung lớn AB cho AD BC song song Gọi M giao điểm AC BD Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AOMB tứ giác nội tiếp b) OM BC
c) Đường thẳng d qua M song song với AD qua điểm cố định
Bài ( điểm ):
a) Cho số thực dương x; y Chứng minh rằng:x
2
y + y2
x ≥ x+y b) Cho n số tự nhiên lớn Chứng minh n4+4n hợp số
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN
QUẢNG NAM Năm học 2008-2009
(97)Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề )
HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN I Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm khơng theo cách nêu đáp án mà cho đủ điểm phần hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm thống Hội đồng chấm thi
3) Điểm toàn lấy điểm lẻ đến 0,25 II Đáp án:
Bài Nội dung Điểm
1 (1đ)
a) Biến đổi được:
(√5−√3)(3√2+2)
√5−√3 ¿3√2+2
0,25 0,25 b) Điều kiện x ≥2008
x −√x −2008=(x −2008−2 1
2.√x −2008+
4)+2008− ¿ ¿
¿ Dấu “ = “ xảy √x −2008=1
2⇔x= 8033
4 (thỏa mãn) Vậy giá trị nhỏ cần tìm 8031
4 khix= 8033 0,25 0,25 2 (1,5đ)
a) Khi m = √2 ta có hệ phương trình
√2x − y=2
3x+√2y=5
¿{
¿ ¿
⇔
2x −√2y=2√2 3x+√2y=5
⇔
¿x=2√2+5
5
y=√2x −2
¿{ ⇔ x=2√2+5
5 y=5√2−6
5 ¿{
0,25
0,25
0,25
b) Giải tìm được: x=2m+5
m2
+3 ; y=
5m−6 m2
+3 Thay vào hệ thức x+y=1− m
2
m2+3; ta
2m+5
m2+3 +
5m −6 m2+3 =1−
m2 m2+3 Giải tìm m=4
7
(98)3 (1,5đ)
a) Tìm M(- 2; - 2); N(1 :−1
2)
Phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b, đường thẳng qua M N nên −2a+b=−2
a+b=−1
2 ¿{
¿ ¿
Tìm a=1
2;b=−1 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm y= 2x −1
0,25
0,25 0,25 b) Biến đổi phương trình cho thành 3(x2+x)−2√x2+x −1=0
Đặt t=√x2+x ( điều kiện t0), ta có phương trình 3t2−2t −1=0 Giải tìm t = t = −1
3(loại)
Với t = 1, ta có √x2+x=1⇔x2+x −1=0 Giải x=−1+√5
2 x=
−1−√5 0,25 0,25 0,25 4 (2đ) Hình vẽ O A B C D N M 0,25
a) Chứng minh MOCD =AM
AD ; MO AB =
MD AD Suy MO
CD + MO AB =
AM+MD
AD =
AD
AD=1 (1)
0,25 0,50 b) Tương tự câu a) ta có NOCD +NO
AB=1 (2) (1) (2) suy MO+NO
CD +
MO+NO
AB =2 hay MN CD +
MN AB =2 Suy CD1 +
AB= MN 0,25 0,25 c) SAOB SAOD =OB OD ; SAOD SCOD =OA OC ; OB OD= OA OC ⇒ SAOB SAOD
=SAOD
SCOD
⇒SAOD
=m2.n2⇒SAOD=m.n
Tương tự SBOC=m.n Vậy SABCD=m2+n2+2 mn=¿
(99)5 (3đ)
O I
C D
M
B A
a) Chứng minh được: -hai cung AB CD - sđ góc AMB sđ cung AB Suy hai góc AOB AMB
O M phía với AB Do tứ giác AOMB nội tiếp
0,25 0,25 0,25 0,25 b) Chứng minh được: - O nằm đường trung trực BC (1)
- M nằm đường trung trực BC (2) Từ (1) (2) suy OM đường trung trực BC, suy OM⊥BC
0,25 0,25 0,25 c) Từ giả thiết suy d⊥OM
Gọi I giao điểm đường thẳng d với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB, suy góc OMI 900, OI đường kính đường tròn
Khi C D di động thỏa mãn đề A, O, B cố định, nên đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOMB cố định, suy I cố định
Vậy d qua điểm I cố định
0,25 0,25 0,25 0,25
6 (1đ)
a) Với x y dương, ta có x
2
y + y2
x ≥ x+y (1) ⇔x3+y3≥xy(x+y)⇔(x+y)¿ (2)
(2) với x > 0, y > Vậy (1) với x>0, y>0 0,25 0,25 b) n số tự nhiên lớn nên n có dạng n = 2k n = 2k + 1, với k số tự nhiên lớn
- Với n = 2k, ta có n4+4n=¿ lớn chia hết cho Do n4+4nlà hợp số -Với n = 2k+1, tacó
n4
+4n=n4+42k 4=n4+¿
= (n2 + 22k+1 + n.2k+1)(n2 + 22k+1 – n.2k+1) = [( n+2k)2 + 22k ][(n – 2k)2 + 22k ] Mỗi thừa
số lớn Vậy n4 + 4n hợp số
0,25
0,25
======================= Hết =======================
(100)(101)Lời giải mơn Tốn Bài I.Cho biểu thức P=(
√x+
√x
√x+1):
√x x+√x
a) Rút gọn P
P=(
√x+
√x
√x+1):
√x x+√x=
√x+1+x
√x(√x+1):
√x
√x(√x+1) P= √x+1+x
√x(√x+1):
√x+1=
√x+1+x
√x(√x+1).(√x+1) P=x+√x+1
√x
b) Tính giá trị P x = 4
Với x = P=4+√4+1 √4 =
7 c) Tìm x để P=13
3 Đkxđ: x>0
P=13
3 ⇔
x+√x+1
√x = 13
3 ⇔3(x+√x+1)=13√x⇔3x −10√x+3=0 (1) Đặt √x=t; điều kiện t >
Phương trình (1) ⇔3t2−10t+3=0; Giải phương trình ta
¿
¿ (thoả mãn điều kiện)
*) Với t = ⇔√x=3⇔x=9
*) Với t=1
3⇔√x= 3⇔x=
1
Bài II. Giải tốn cách lập phương trình
Gọi số chi tiết máy tổ thứ làm tháng đầu x (xN*; x < 900; đơn vị:chi tiết máy)
Số chi tiết máy tổ thứ hai làm tháng đầu 900-x (chi tiết máy) Tháng thứ hai tổ I làm vượt mức 15% so với tháng thứ nên tổ I làm được 115%x=1,15x (chi tiết máy)
Tháng thứ hai tổ II làm vượt mức 10% so với tháng thứ nên tổ II làm được 110%(900-x)=1,1(900-x) (chi tiết máy)
Tháng thứ hai hai tổ làm 1010 chi tiết máy nên ta có phương trình: 1,15x + 1,1(900-x) = 1010
1,15x + 1,1.900 – 1,1.x = 1010
0,05x = 20
x = 20:0,05
(102)tổ II sản xuất 900 – 400 = 500 chi tiết máy.
Bài III. Cho Parabol (P) y=1
4x
2
đường thẳng (d) y = mx + 1
1) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P):
4x
2
=mx+1⇔x2−4 mx−4=0(∗)
Học sinh giải theo hai cách sau:
Cách 1. Δ'=¿
(*) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị m.
Cách 2. Vì a.c = (-4) = -4 <0 ∀m
(*) ln có hai nghiệm phân biệt trái dấu với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị m.
2) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB theo m (O gốc toạ độ)
3,5 2,5 1,5 0,5
-0,5 -1 -1,5
-4 -3 -2 -1
y2
y2
x2
-x1 O
A
B
D C
Vì phương trình hồnh độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt trái dấu nên đồ thị hai hàm số có dạng trên.
Gọi toạ độ điểm A x y B x y( ; ); ( ; )1 2 ; giả sử x1 < < x2
(103)OC=|x2|=x2;OD=|x1|=− x1;CD=OC+OD=x2− x1
BC=|y2|=1
4 x2
;AD=|y1|=1
4x1
Ta có
SOAB=SABCD− SOBC− SOAD=(AD+BC)CD
2 −
1
2OC BC−
2OD AD SOAB=(
1 x2
2
+1
4 x1
)(x2− x1)
2 −
1 2x2
1 4x2
2−1
2(− x1)
1 x1
2
SOAB=1
8(x2
+x12)(x2− x1)−
1 8x2
3
+1
8 x1
=1
8x1
x2−1 8x2
2
x1=1
8x1x2(x1− x2)
Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có: x1+x2=4m ; x1x2=−4
Ta có
(x1− x2)
=(x1+x2)
−4x1x2=16m2+16=16(m2+1)
⇒|x1− x2|=√16(m2+1)=4√m2+1
⇒x1− x2=−4√m
+1(x1<x2)
SOAB=1
8x1x2(x1− x2)=
1
8.(−4).(−4√m
2
+1)=2√m2+1 Bài IV.
a) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA
Xét (O) có AEK KEB (EK phân giác Ê)
AK KB (hai cung chắn hai góc nội tiếp nhau) E1 A1 (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau)
(104)
K chung
1
E A (chứng minh trên)
KAF đồng dạng với KEA (g-g)
b) Chứng minh KAF đồng dạng với KEA
- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc với (O E
Ta có O, I, E thẳng hàng OI = OE – EI nên (I;IE) tiếp xúc với (O).
- Chứng minh đường tròn (I;IE) tiếp xúc AB F:
Dễ dàng chứng minh EIF cân I EOK cân O
IFE OKE ( OEK)
Mà hai góc vị trí đồng vị
IF // OK (dấu hiệu nhận biết) Vì AK KB (chứng minh trên) AOK 90o
OK AB
Ta có IF // OK ; OK AB IFAB
Mà IF bán kính (I;IE)
(I;IE) tiếp xúc với AB F
c) Chứng minh MN//AB
Xét (O):
AEB 90o
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét (I;IE):
90o
MEN (vì AEB 90o) MN đường kính (I;IE)
EIN cân I Mà EOB cân O
ENI OBE ( IEN)
Mà hai góc vị trí đồng vị
MN//AB
d)Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động (O)
Học sinh dễ dàng chứng minh tứ giác PFQK hình chữ nhật; tam giác BFQ tam giác vng cân Q
(105)mà PK = FQ (PFQK hình chữ nhật)
FQ = QB (BFQ vuông cân Q) PK = QB PQ = FK (PFQK hình chữ nhật)
Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ = QB + QK + FK = BK + FK
Vì (O) cố định, K cố định (hs tự chứng minh K điểm cung AB) FK FO ( quan hệ đường vng góc, đường xiên)
Chu vi KPQ nhỏ = BK + FO E điểm cung AB. Ta có FO = R
Áp dụng định lí Py-ta-go tam giác vng cân FOB tính BK = 2
R
Chu vi KPQ nhỏ = R + R 2 R 2 1
Bài V. Tính giá trị nhỏ biểu thức
14 34 6 1 2 32
A x x x x
Đặt a = x – 2
x – = a + 1; x – = a -1
4 4 2 2
4 2
4
1 1 6 1 1
( 4 6 4 1) ( 4 6 4 1) 6( 1)
8 8 8
A a a a a
A a a a a a a a a a
A a
Min A = a4 =
(106)(107)(108)CÁC ĐỀ THI – ĐÁP ÁN : TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 – NĂM 2008- 2009 ***********************************
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2008 - 2009
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề
Chú ý:
- Đề thi gồm có hai trang.
- Học sinh làm vào tờ giấy thi
Phần I: Trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm)
1 Biểu thức 4x
x
xác định với giá trị x? A x
1
4 B x ≤
4 C x ≤
(109)A y = 2x - B y = 2(1- 2x). C y = - x D y = 2(1- 2x).
3 Hai hệ phương trình
x 3
1 k y x y
3x 3
1 y x y
tương đương k bằng: A -3 B C D -1
4 Điểm Q (- 2;
2 ) thuộc đồ thị hàm số hàm số sau đây? A y =
2
2 x2 B y =
2
2 x
C y =
2
2
4 x D y =
-2
2
4 x 5 Tam giác GEF vng E, có EH đường cao Độ dài đoạn GH = 4, HF = Khi đó độ dài EF bằng:
A 13 B 13 C 2 13 D 3 13
6. Tam giác ABC vng A, có AC = 3a, AB = 3 3a, sinB bằng: A
3
2 a B
2 C
2 D. 2a
7 Cho tam giác ABC vngtại A, có AB = 18 cm, AC = 24 cm Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác bằng:
A 30 cm B 15 2 cm C 20 cm D 15 cm
8 Cho tam giác ABC vuông A, AC = cm, AB = cm Quay tam giác vịng quanh cạnh AC cố định hình nón Diện tích tồn phần hình nón là: A 96 cm2 B 100 cm2
C 144 cm2 D 150 cm2
Phần 2: Tự luận (8,0 điểm)
Bài 1: (1,5 điểm)
Cho phương trình bậc hai, ẩn số x : x2 – 4x + m + = 0. 1 Giải phương trình m =
2 Với giá trị m phương trình có nghiệm.
3 Tìm giá trị m cho phương trình cho có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x12 + x22 = 10.
(110)Giải hệ phương trình:
3 2
2
x y
x y
Bài 3: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức:
1 A = 3 3
2 B =
5 49 20 6 11
Bài 4: (4,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A B Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, kẻ hai tia Ax By vng góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I Tia vng góc với CI tạiC cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P.
1 Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp được. 2 Chứng minh AI BK = AC CB
3 Chứng minh tam giác APB vuông.
4 Giả sử A,B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho tứ giác ABKI có diện tích lớn
= = = Hết = = =
Họ tên học sinh: ………., Giám thị số 1: ……… Số báo danh: ……… , Giám thị số 2: ………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
ĐÁP ÁN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2008 - 2009
Phần I: Trắc nghiệm ( điểm)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
Đáp án C B A C D B D C
(Mỗi câu 0,25 điểm) Phần II: Tự luận (8 điểm)
Bài NỘI DUNG CẦN ĐẠT Điểm
1.Khi m= PT là: x2 - 4x +4 =
(111)3 x12 +x22 = (x1 + x2)2 -2x1x2 = 42 -2(m+1) = 10 m = thoả mãn (*) 0,5
Điều kiện x 2, y - 2 0,25
2
x y2 2 x = y = ( thỏa mãn điều kiện) 0,75 A > A2 = 18
A = 3 2 ( A > 0) 0,5
B =
5 6 2 2
9 11
=
5 6 2
9 11
= 1
0,5x2
1800
CPK CBK CPKB nội tiếp 0,5
A B 900
vàC1I1(cùng phụ vớiC 2)AICBCKAI.BK = AC.CB 1,0
1 90
C K
I1K 900
0
1 90
P P
APB vuông 1,0
SABKI =
1
2 AI BK AB , SABKI lớn AI + BK lớn nhấtAI = BK AI = BK AIKB hình chữ nhật C trung điểm AB
0,5 0,5
***************************************** KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI
(112)Bài ( 2,5 điểm )
Cho biểu thức: 1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị P x = 4 3) Tìm x để
Bài ( 2,5 điểm )
Giải toán sau cách lập phương trình:
Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng tjhứ hai tổ I vươt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất, hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy?
Bài ( 3,5 điểm )
Cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = mx + 1
1) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt.
2) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB theo m (O gốc tọa độ)
Bài IV (3,5 điểm )
Cho đường trịn (O) có đường kính AB = 2R E điểm đường trịn (E khác A B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K.
1) Chứng minh tam giác KAF đồng dạng với tam giác KEA
2) Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE, chứng minh đường trịn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường tròn (O) E tiếp xúc với đường thẳng AB F. 3) Chứng minh MN // AB, M N giao điểm thứ hai AE, BE với đường tròn (I).
4) Tính giá trị nhỏ chu vi tam giác KPQ theo R E chuyển động đường tròn (O), với P giao điểm NF AK; Q giao điểm MF BK.
Bài V ( 0,5 điểm )
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A, biết:
(113)a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P x = 4. Với x =
c) Tìm x để ĐKXĐ: x > 0
(1) Đặt ; điều kiện t > 0.
Phương trình (1) ;
Giải phương trình ta hoặc ( thỏa mãn điều kiện )
+) Với x = 9
+) Với
Bài 2: Giải tốn cách lập phương trình
Gọi số chi tiết máy tổ thứ làm tháng đầu x ( x N*; x<900; đơn vị: chi tiết máy)
Số chi tiết máy tổ thứ hai làm tháng đầu 900-x (chi tiết máy) Tháng thứ hai tổ I làm vượt mức 15% so với tháng thứ nên tổ I làm được 115% x=1,15 x ( chi tiết máy )
Tháng thứ hai tổ II làm vượt mức 10% so với tháng thứ nên tổ II làm 110%(900-x)=1, 1(900-x) (chi tiết máy)
Tháng thứ hai hai tổ làm 1010 chi tiết máy nên ta có phương trình: 1,15 x + 1,1 (900-x) = 1010
1,15.x + 1,1.900 – 1,1.x = 1010 0,05.x = 20
x = 400 ( thỏa mãn điều kiện )
(114)Bài 3:
Cho Parabol (P) và đường thẳng (d) y=mx+1 1) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P):
(*)
với m
(*) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với giá trị m.
2) Gọi A,B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB theo m (O gốc tọa độ)
SỞ GD & ĐT QUẢNG NGÃI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
N Ă M HỌC: 2008 – 2009
ĐỀ CHÍNH THỨC
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 24/ 06/2008.
Bài : (2 điểm) Cho biểu thứcP =(√a −√b)
2
+4√ab
√a+√b :
√ab a√b −b√a
a/ Xác định a ; b để biểu thức có nghĩa rút gọn P
(115)a/ Cho hệ phương trình
x+my=3m
mx− y=m2−2
¿{
¿ ¿
Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 2x y > 0. b/ Giải phương trình x2 x
x +
x2 10 =
Bài : (2 điểm)
Một ô tô quãng đường AB dài 80 km thời gian định, ba phần tư quãng đường đầu ô tô chạy nhanh dự định 10 km/h, quãng đường cịn lại tơ chạy chậm dự định 15 km/h Biết ô tô đến B quy định Tính thời gian tơ hết qng đường AB
Bài : (3 điểm)
Gọi C điểm nằm đoạn thẳng AB (C A, C B) Trên nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AB, kẻ tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I (I A), tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường tròn đường kính IC cắt IK P
1/ Chứng minh:
a/ Tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn Xác định tâm đường trịn b/ AI.BK = AC.BC
c/ APB vuông
2/ Cho A, I, B cố định Tìm vị trí điểm C cho diện tích tứ giác ABKI đạt giá trị lớn
Bài : (1 điểm) Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 - HẾT -Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm.
Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:
GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MƠN TỐN QUẢNG NGÃI
Ngày thi 24-6-2008
-Bài 1: Cho biểu thứcP =(√a −√b)
2
+4√ab
√a+√b :
(116)a) P có nghĩa a > ; b > a b
P =a −2√ab+b+4√ab
√a+√b ⋅
√ab(√a−√b)
√ab =
(√a −√b)2
√a+√b ⋅(√a −√b) = a b b) Với a = √15−6√6+√33−12√6 = √(3−√6)2+√(3−2√6)2 =
= 3 √6+ 3 2√6= √6 + 2√6 3 = √6 Với b = √24 = 2√6
Do P = a b = √6 √6 = √6
Bài 2:
a) Cho hệ phương trình
x+my=3m(1)
mx− y=m2−2(2)
¿{
¿ ¿
Từ(1) ta có x = 3m my (3) Thay (3) vào (2): m(3m my) y = m-2 2.
3m2 m2y y = 2(m2 + 1)
(m2 + 1)y = 2(m2 + 1) Vì m2 + > với m nên y = 2(m
2
+1)
m2+1 = Thay y = vào (3) ta có x = 3m m.2 = m
Vậy nghiệm (x ; y) hệ phương trình (x = m ; y = 2) Để x2 2x y > m2 m >
(m 1)2 (
√3)2 >
(m √3).(m 1+√3) >
¿m−1−√3>0
m−1+√3>0
¿ ¿ ¿
¿m>1+√3
m>1−√3 ¿ ¿ ¿
¿¿
Vậy m > + √3 m < √3 hệ phương trình cho có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x2 2x y > 0.
b) Giải phương trình x2 x
x +
x2 10 = (1) Điều kiện x
Phương trình (1) (x2 +1
x2) (x +
x) 10 = (x2 +
x2 + ) (x +
x) 12 =
(x +1x)2 (x +1
x) 12 = (*)
Đặt y = x +1x Phương trình (*) trở thành : y2 y 12 =
y1 = ; y2 = Với y = x +1x = x2 + 3x + =
x1 = 3+√5
2 ; x1 = 3−√5
2
Với y = x +1x = x2 4x + =
x3 = + √3 ; x4 = √3 Các giá trị x vừa tìm thỏa mãn x
Vậy nghiệm số (1) : x1 = 3+√5
2 ; x1 = 3−√5
2 ; x3 = + √3 ; x4 = √3
Bài 3:
(117)Thời gian ô tô ba phần tư quãng đường AB 60x
+10 (h) Vận tốc ô tô phần tư quãng đường AB x 15 (km/h) Thời gian ô tô phần tư quãng đường AB 20x −15 (h) Ơ tơ đến B quy định nên ta có phương trình : 60x
+10 +
20 x −15 =
80 x
x+310 + x −115 = 4x 3x(x 15) + x(x + 10) = 4(x + 10)(x 15)
4x2 35x = 4x2 20x 600
15x = 600 x = 40 (thỏa mãn điều kiện) Do vận tốc dự định ô tô 40 km/h
Vậy thời gian ô tô hết quãng đường AB 80 : 40 = (giờ) Bài 4:
1 a/ P nằm đường tròn tâm O1 đường kính IC IPC = 900
Mà IPC + CPK = 1800 (góc kề bù)
CPK = 900
Do CPK + CBK = 900 + 900 = 1800 Nên CPKB nội tiếp đường tròn tâm O2 đường kính CK
b/ Vì ICK = 900
C1 + C2 = 900 AIC vuông A C1 + A1 = 900
A1 + C2 có A = B = 900 Nên AIC BCK (g.g)
BCAI =AC
BK AI BK = AC BC (1)
c/ Trong (O1) có A1 = I2 (gnt chắn cung PC) Trong (O2) có B1 = K1 (gnt chắn cung PC) Mà I2 + K1 = 900 (Vì ICK vng C)
A1 + B1 = 900, nên APB vuông P
2/ Ta có AI // BK ( vng góc với AB, nên ABKI hình thang vng Do SABKI =
1
2.AB.(AI + BK)
Vì A, B, I cố định nên AB, AI không đổi Suy SABKI lớn BK lớn Từ (1) có AI BK = AC BC BK = AC BCAI
Nên BK lớn AC BC lớn
Ta có (√AC−√BC)2≥0 AC + BC 2√AC BC √AC BC AC+2BC
√AC BC AB2 AC BC AB2
4
Vậy AC BC lớn AC BC = AB2
4 AC = BC = AB
(118)Bài 5:
Tìm x ; y nguyên dương thỏa mãn : 1003x + 2y = 2008 1 Cách :
Từ 1003x + 2y = 2008 2y = 2008 1003x y = 1004 10032 x Vì y > 1004 10032 x > x < 20081003
Suy < x < 20081003 x nguyên x {1 ; 2} Với x = y = 1004 10032 Z nên x = loại
Với x = y = 1004 1003 22 = Z+ nên x = thỏa mãn. Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1
1 Cách :
Vì x ; y số dương thỏa mãn 1003x + 2y = 2008 1003x < 2008
x < 20081003 < Do x Z+
x {1 ; 2}
Với x = 2y = 2008 1003 = 1005 y = 10052 Z+ nên x = loại. Với x = 2y = 2008 2006 = y = Z+ nên x = thỏa mãn. Vậy x ; y nguyên dương phải tìm x = ; y =1
(119)
ĐỀ CHÍNH THỨC
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 26/ 06/2008.
Bài : (2 điểm)
Cho Parabol (P) : y = x2 đường thẳng (d) có phương trình y = 4mx
+ 10
a/ Chứng minh với m, (d) cắt (P) hai điểm phân biệt
b/ Giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2
Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x12 + x22 + x1x2 m thay đổi
Bài : (2 điểm)
a/ Giải phương trình :
√x+15+8√x −1+√x+3+4√x −1=6
b/ Chứng minh : Với a ; b khơng âm ta có a3 + b3
2ab√ab
Khi xảy dấu đẳng thức? Bài : (2 điểm)
Một phịng họp có 360 ghế ngồi, xếp thành hàng hàng có số ghế ngồi Nhưng số người đến dự họp 400 nên phải kê thêm hàng ghế ngồi thêm hàng đủ chỗ Tính xem lúc đầu phịng họp có hàng ghế hàng có ghế ngồi
Bài : (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC
a/ Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp xác định tâm I đường tròn
b/ Vẽ đường kính AK đường trịn (O ; R) Chứng minh ba điểm H , I , K thẳng hàng
c/ Giả sử BC = 34AK Tính tổng AE.CK + AC.BK theo R Bài : (1 điểm)
Cho y = x2− x −1
x+1 , Tìm tất giá trị x nguyên để y có giá trị nguyên - HẾT
(120)Họ tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2:
GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 MƠN TỐN QUẢNG NGÃI
Ngày thi 26-6-2008
-Bài 1:
a/ Hoành độ giao điểm Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 là nghiệm số phương trình: x2 = 4mx + 10
x2 4mx 10 = (1)
Phương trình (1) có ’ = 4m2 + 10 > nên phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Do Parabol (P): y = x2 đường thẳng (d) : y = 4mx + 10 cắt hai điểm phân biệt
b/ Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1), ta có x1 + x2 = 4m ; x1,x2 = 10 F = x12 + x22 + x1x2 = [(x1 + x2)2 2x1x2] + x1x2 = (x1 + x2)2 x1x2 = 16m2 + 10 10 Dấu “ = ” xảy 16m2 =
m = Vậy GTNN F = 10 m =
Bài 2:
a/ Giải phương trình: √x+15+8√x −1+√x+3+4√x −1=6 Điều kiện x
√x −1+2√x −1 4+16+√x −1+2√x −1 2+4=6√ (√x −1+4)2+√(√x −1+2)2=6
√x −1+4+√x −1+2=6
2√x −1+6=6 √x −1=0 x = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình x =
b/ Với a , b ta có: (√a −√b)2≥0 a + b 2√ab
Ta có a3 + b3 = (a + b)(a2 + b2 ab) = (a + b).[(a + b)2 3ab]
2√ab[(2√ab)2 3ab]
a3 + b3
2√ab(4ab 3ab) = 2√ab.ab = 2ab√ab
Dấu “ = ” xảy a = b Vậy với a, b không âm ta có a3 + b3
2ab√ab Bài 3:
Gọi x (hàng) số hàng ghế ban đầu phịng họp (x ngun, dương) Do 360x (ghế) số ghế ban đầu hàng
x + (hàng) số hàng ghế lúc dự họp phịng họp Do 400x
+1 (ghế) số ghế lúc dự họp hàng
Khi dự họp hàng kê thêm ghế ngồi, ta có phương trình :
400 x+1
360
x = x2 39x + 360 =
Giải phương trình x1 = 24 ; x2 = 15 Cả hai giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy ban đầu phịng họp có 24 hàng ghế, hàng có 15 ghế ngồi
(121)Nên BEC = BDC = 900
Suy BCDE nội tiếp đường tròn
b/ Ta có BH // CK (cùng vng góc với AC) Và CH // BK (cùng vng góc với AB) Nên BHCK hình bình hành
Do hai đường chéo BC HK giao trung điểm đường
Mà I trung điểm BC I trung điểm củaHK Nên H, I, K thẳng hàng
c/ Gọi F giao điểm AH BC Ta có ABF ∽ AKC (g.g) ABAK=BF
KC AB KC = AK BF (1)
Và ACF ∽ AKB (g.g) ACAK=CF
KB AC KB = AK CF (2)
Cộng (1) (2) theo vế ta có: AB KC + AC KB = AK BF + AK CF = AK.(BF + CF) = AK.BC Mà BC = 34AK AB KC + AC KB = AK 34AK = 34AK2 = 3
4.(2R)2 = 3R2
Bài 5:
Với x ta có y = x2− x −1
x+1 = x +
1 x+1 Với x Z x + Z Để y Z x1
+1 Z x + { ; 1} x + = x = (thỏa mãn điều kiện)
3 x + = x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy y có giá trị nguyên x = ; x =
-Câu I: (3 điểm)
1) Giải phương trình sau: a) 5.x 45 0
b) x(x + 2) – =
2) Cho hàm số y = f(x) =
2
x a) Tính f(-1)
b) Điểm M 2;1 có nằm đồ thị hàm số khơng ? Vì ?
Câu II: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức P =
4 a a
1
a a a
với a > a 4.
Câu III: (1 điểm)
Tổng số công nhân hai đội sản xuất 125 người Sau điều 13 người từ đội thứ sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ
2
(122)Câu IV: (3 điểm)
Cho đường tròn tâm O Lấy điểm A ngồi đường trịn (O), đường thẳng AO cắt đường tròn (O) điểm B, C (AB < AC) Qua A vẽ đường thẳng không qua O cắt đường tròn (O) hai điểm phân biệt D, E (AD < AE) Đường thẳng vng góc với AB A cắt đường thẳng CE F
4) Chứng minh tứ giác ABEF nội tiếp
5) Gọi M giao điểm thứ hai đường thẳng FB với đường tròn (O) Chứng minh DM AC. 6) Chứng minh CE.CF + AD.AE = AC2.
Câu V: (1 điểm) Cho biểu thức :
B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008.
Tính giá trị B x =
1
2
Giải Câu I:
1) a) 5.x 45 0 5.x 45 x 45 : 5 x 3. b) x(x + 2) – = x2 + 2x – =
’ = + = ' 6 Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x
1,2 = 1
2) a) Ta có f(-1) =
2
( 1)
2
b) Điểm M 2;1 có nằm đồ thị hàm số y = f(x) =
2
x
2 Vì
2
f
2
Câu II:
1) Rút gọn: P =
4 a a
1
a a a
=
a a a a
a
a a 2 a 2
=
a a 2 a a 2
a
a a
=
6 a
a a
2) ĐK: ’ > + 2m > m >
1
Theo đề :
2
2 2
1 2
1 x x 5 x x x x 5
2
(123)Theo Vi-ét : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m
+ 4m2 + + 4m = 4m2 + 4m = 4m(m + 1) = m = m = -1.
Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = (t/m) Vậy m =
Câu III:
Gọi số công nhân đội thứ x (người) ĐK: x nguyên, 125 > x > 13 Số công nhân đội thứ hai 125 – x (người)
Sau điều 13 người sang đội thứ hai số cơng nhân đội thứ lại x – 13 (người) Đội thứ hai có số cơng nhân 125 – x + 13 = 138 – x (người)
Theo ta có phương trình : x – 13 =
3 (138 – x)
3x – 39 = 276 – 2x 5x = 315 x = 63 (thoả mãn).
Vậy đội thứ có 63 người
Đội thứ hai có 125 – 63 = 62 (người)
Câu IV:
M F
E
D
B O C
A
3) Xét hai tam giác ACF ECB có góc C chung , A E 90 0 Do hai tam giác ACF ECB đồng dạng
AC EC
CE.CF AC.CB
CF CB (1).
Tương tự ABD AEC đồng dạng (vì có BAD chung, C ADB 180 0 BDE ).
AB AE
AD.AE AC.AB
ADAC (2).
Từ (1) (2) AD.AE + CE.CF = AC.AB + AC.CB = AC(AB + CB) = AC2.
Câu V:
2
2
1 1
2 2 2
(124) x2 =
3 2
; x3 = x.x2 =
5
; x4 = (x2)2 =
17 12 16
; x5 = x.x4 =
29 41 32
Xét 4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – =
29 41 32
+
17 12 16
-
5 + 2 - =
29 41 34 24 25 35 20 20 16
= -1
Vậy B = (4x5 + 4x4 – 5x3 + 5x – 2)2 + 2008 = (-1)2 + 2008 = + 2008 = 2009.
Đề thi vào 10 THPT chuyên ngoại ngữ (ĐHNN) ( năm học 2008-2009)
Câu 1: (2 điểm) cho biÓu thøc P=[ √x −√y
x√y+y√x+
√x+√y
x√y − y√x].√ x3 y
x+y −
2y x − y
Chng minh P nhận giá trị nguyên vơí x,y thoả mÃn điều kiện x> 0,y> 0,và xy
Câu 2: (3 điểm ) 1) Giải PT: 3
√x+1+√3 x+2=1+√3x2+3x+2
2) Tìm x,y số nguyên thảo mãn đẳng thức x❑2- xy –y +2 = 0
C©u : (3 ®iĨm )
Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB C điểm cung AB Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC Đờng thẳng qua hai điểm A K cắt (O)tại điểm M ( M≠A ) Kẻ CH vng góc với AM H Đơng thẳng OH cắt đờng thẳng BC N , đờng thẳng MN cắt (O) D (D≠M )
CM : Tứ giác BHCM hình bình hµnh. CM: ΔOHC vµ ΔOHM b»ng CM : điểm B,H,D thẳng hàng Câu 4: ( điểm ).
Tìm tất nghiƯm nhá h¬n -1 cđa PT x2
+ x
2
¿ ¿
Câu :( 1điểm )
(125)HÕT
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2008 – 2009 Ngày thi : 26/6/ 2008
ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN TỐN - ĐỀ CHUNG
( Thời gian làm bài: 120phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1( 2,0 điểm) Các câu đây,sau câu có nêu phương án trả lời ( A,B,C,D) trong có phương án Hãy viết vào làm phương án mà em cho ( cần viết chữ ứng với phương án trả lời ).
Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy,cho đường thẳng d1: y = 2x +1 d2: y = x – 1.Hai đường thẳng cho cắt tai điểm có toạ độ là:
A (-2;-3) B ( -3;-2) C (0;1) D (2;1)
Câu 2: Trong hàm số sau đây,hàm số đồng biến x < ?
A y = -2x B y = -x + 10 C y = 3 x2 D y = ( 3 - 2)x2 Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đồ thị hàm số y = 2x + hàm số y = x2.
Các đồ thị cho cắt tại điểm có hồnh độ là:
A -3 B -1 -3 C D -1 3
Câu 4: Trong phương trình sau đây, phương trình có tổng nghiệm 5? A x2 – 5x +25 = B 2x2 – 10x - 2 = C x2 – = D 2x2 + 10x +1 = 0
Câu 5: Trong phương trình sau đây, phương trình có hai nghiệm âm? A x2 + 2x +3 = B x2 + 2x – 1=0 C x2 + 3x + 1=0 D x2 + =0 Câu 6: Cho hai đường trịn (O;R) (O’;R’) có OO’ = 4cm ; R = 7cm; R’ = 3cm Hai đường tròn cho:
A Cắt B.Tiếp xúc C Ở D Tiếp xúc ngồi
Câu 7: Cho tam giác ABC vng A có AB = 4cm; AC = 3cm Đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng:
A 5cm B 2cm C 2,5cm D 5 cm
Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy 3cm, chiều cao 5cm Khi đó, diện tích xung quanh hình trụ cho bằng:
A 30cm2 B 30cm2 C 45cm2 D 15 cm2 Bài 2( 1,5 điểm)
Cho biểu thức P =
2
1 :
1
x x x
x x x x
(126)1 Rút gọn P 2 Tìm x để P < 0.
Bài (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 + 2mx + m – = 0 1 Giải phương trình m = 2
2 Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt,với m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương.
Bài ( 3,0 điểm)
Cho đường trịn (O;R) có đường kính AB; điểm I nằm hai điểm A O.Kẻ đường thẳng vuong góc với AB I, đường thẳng cắt đường tròn (O;R) tai M và N.Gọi S giao điểm đường thẳng BM AN.Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng cắt đường thẳng AB AM K H Hãy chứng minh:
1 Tứ giác SKAM tứ giác nội tiếp HS.HK = HA.HM 2 KM tiếp tuyến đường tròn (O;R).
3 Ba điểm H,N,B thẳng hàng.
Bài ( 1,5 điểm)
Giải hệ phương trình
2
6 12
xy y
xy x
(127)SỞ GD - ĐT QUẢNG NGÃI KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2008 – 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC
MƠN THI: TỐN
Thời gian làm 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25/06/2008
Bài 1: (2 điểm)
1) Giải phương trình: x x2
+x+1+
2x x2
+2x+1=
8 15 2) Giải hệ phương trình:
2x√y+y√x=3√4y −3
2y√x+x√y=3√4x −3 ¿{
¿ ¿
Bài 2: (2 điểm)
1) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 20 ab + bc + ca ≤ Chứng minh rằng: < a + b + c ≤ 6
2) Cho số nguyên dương n Chứng minh A = + 2√28n2+1 số nguyên thì
A số phương.
Bài 3: (2 điểm)
1) Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + 2z = Tìm giá trị nhỏ của biểu thức: P = 2x2 + 2y2 – z2
2) Cho phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) có hai nghiệm số x
1 x2 thỏa mãn ax1 + bx2 + c =
Tính giá trị biểu thức: A = a2c + ac2 + b3 – 3abc + 3 Bài 4: (4 điểm)
Cho hai đường tròn (O1; R1) (O2; R2) với R1>R2 cắt hai điểm A B sao cho số đo góc O1AO2 lớn 900.Tiếp tuyến đường tròn (O1) A cắt đường tròn (O2) C khác A, tiếp tuyến đường tròn (O2) A cắt đường tròn (O1) D khác A Gọi M giao điểm AB CD.
1) Chứng minh: BABD=BC
BA= AC AD
2) Gọi H, N trung điểm AD, CD Chứng minh tam giác AHN đồng dạng với tam giác ABC.
3) Tính tỉ số MCMD theo R1 R2.
4) Từ C kẻ tiếp tuyến CE với đường tròn (O1) (E tiếp điểm, E khác A) Đường thẳng CO1 cắt đường tròn (O1) F (O1 nằm C F) Gọi I hình chiếu vng góc A đường thẳng EF J trung điểm AI Tia FJ cắt đường tròn (O1) K Chứng minh đường thẳng CO1 tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác AKC.
(128)Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ MÃ ký hiệu: Năm học : 2008-2009
Đ01T- 08 - TS10CT Môn thi : Toán
Thêi gian lµm bµi :150 phót ( Đề gồm 05 câu, 01 trang)
Bµi 1: Rót gän biĨu thøc sau : P = 2√x+3√2
√2x+2√x −3√2−6+
√2x −6
√2x+2√x+3√2+6
Bài 2: Giải phơng trình hệ phơng tr×nh sau:
a)
2x2− y2=1
xy+x2=2
¿{
¿ ¿
b) √1− x+√4+x=3
Bµi 3: Chøng minh r»ng :
2007 2009 ¿
3(1+√2)+ 5(√2+√3)+
1
7(√3+√4)+⋯+
1
4015(√2007+√2008) ¿
¿
Bài 4 : BC dây cung khơng đờng kính đờng tròn tâm O Một điểm A di động cung lớn BC cho tâm O nằm tam giác ABC, đờng cao AD, BE, CF tam giác ABC cắt H.
a) Chứng minh tam giác AEF ABC đồng dạng b) Gọi A' trung điểm BC, chứng minh AH = 2OA'
c) Gäi A1 lµ trung ®iĨm cđa EF, chøng minh : R.AA1 = AA'.OA'
d) Chứng minh R(EF + FD + DE) = 2SABC từ tìm vị trí A để
tỉng (EF + FD + DE) lín nhÊt.
Bài 5 : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi 2 Chứng minh : a2 + b2 + c2 + 2abc < 2
(129)M· ký hiƯu: Híng dÉn chÊm
HD01T- 08 - TS10CT §Ị thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ Bài 1: (2,5 ®iÓm)
Cã : A =
2√x+3√2
√2x+2√x −3√2−6=
2√x+3√2
√x(√2+2)−3(√2+2)
¿ ¿
cho 0,25 ®iĨm A = 2√x+3√2
(√2+2)(√x −3) cho 0,25 ®iĨm
T¬ng tù cã: B = √2x −6
√2x+2√x+3√2+6=
√2x −6
(√x+3) (2+√2) cho 0,25 ®iĨm
Từ ⇒Tập xác định x0 vàx ≠9 cho 0,25 điểm Ta có P = A+B = 2√x+3√2
(√2+2)(√x −3)+
√2x −6 (√x+3) (2+√2)
=(2√x+3√2)(√x+3)+(√2x −6)(√x −3)
(√x+3) (√x −3)(2+√2) cho 0,5 ®iĨm
=2x+6√x+3√2x+9√2+x√2−6√x −3√2x+18
(x −9)(2+√2) Cho 0,25 ®iĨm
= (x+9)(2+√2)
(x −9)(2+√2)= x+9
x −9 Cho 0,25 ®iĨm
VËy P =x+9
x −9 Víi x0 vµ x9 Cho 0, 25 điểm
Bài 2 ( 4,5 ®iĨm) a, Tõ hƯ
2x2− y2=1
xy+x2=2
¿{
¿ ¿
xy +x❑2=4x2−2y2 cho 0,25 điểm ⇔3x2−xy−2y2=0(*) cho 0,25 điểm - Nếu y = ta đợc :
x2=1
2 x2=2
¿{
¿ ¿
hệ vô nghiệm cho 0,25 điểm
- NÕu y ≠ ta cã : (*) 3(xy)
2
− x
y−2=0 cho 0,25 ®iÓm
¿
¿ cho 0,5 ®iÓm
(130)x=y
2x2− y2=1
¿{
¿ ¿
hay
x=−2
3 y 2x2− y2=1
¿{
¿ ¿
cho 0,25 điểm Giải hệ đầu ta đợc (x; y) = (1; 1) hay (x ; y) = (-1 ; -1) cho 0,25 điểm Hệ sau vô nghiệm cho 0,25 điểm Vậy hệ cho có nghiệm x = y = x = y = -1 cho 0,25 điểm b) Điều kiện - x cho 0,25 điểm Phơng trình tơng đơng với : (vì vế khơng âm)
5+2√4−3x − x2=9 cho 0,25 ®iĨm √4−3x − x2
=2 cho 0,25 ®iĨm
4- 3x - x2 = cho 0,25 ®iĨm
x2 +3x = cho 0,25 ®iĨm
x(x + 3) = cho 0,25 ®iĨm
x = hc x = -3 cho 0,25 điểm Vậy phơng trình có nghiệm x = x = -3 cho 0,25 điểm
Bài 3 : (3điểm) Ta có với n th×
2
(2n+1)(√n+√n+1)=
2(√n+1−√n)
√4n2+4n+1 cho 0,5 ®iĨm < 2(√n+1−√n)
2√n(n+1) = n−
1
√n+1 cho 0,5 điểm Từ ta có :
Sn =
1 3(1+√2)+
1
5(√2+√3)+⋯+
2
(2n+1)(√n+√n+1)
< 1-
1−
√n2+4n+4
¿
√n+1=1−
2
√4n+4
¿ ¿
cho 0,75 ®iĨm
= 1-n2 +2=
n
n+2 cho 0,5 ®iĨm VËy Sn < n
n+2 cho 0,25 ®iĨm
(131)Bài 4 : Hình vẽ cho 0,25 điểm
a) Chứng minh AEF đồng dạng ABC.
Có E, F nhìn BC dới góc vng nên E, F thuộc đờng trịn đờng kính BC Cho 0,25 điểm
góc AFE = góc ACB (cùng bù góc BFE) cho 0,25 điểm AEF đồng dạng ABC (g.g) cho 0,25 điểm b) Vẽ đờng kính AK
Cã BE AC(gt)
KC AC (V× gãc ACK = 90❑0 ) cho 0,25 ®iĨm
⇒ BE // KC cho 0,25 điểm Tơng tự CH // BK cho 0,25 điểm Do tứ giác BHCK hình bình hành cho 0,25 điểm
HK đờng chéo nên qua trung điểm A' đờng chéo BC ⇒ H, A', K thẳng hàng cho 0,25 điểm
XÐt tam gi¸c AHK cã A'H = A'K
OA = OK cho 0,25 điểm Nên OA' đờng trung bình
⇒ AH = A'O cho 0,25 ®iĨm
c, áp dụng tính chất: tam gác đồng dạng tỉ số trung tuyến tơng ứng, tỉ số bán kính đờng trịn ngoại tiếp tỉ số đồng dạng nên ta có:
cho 0,25 ®iĨm
AEF đồng dạng ABC ⇒ R 'R = AAAA'
1 cho 0,25 ®iĨm
Trong R bán kính đờng trịn tâm O
R' bán kính đờng trịn ngoại tiếp AEF cho 0,25 điểm cũng đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF cho 0,25 điểm ⇒ R AA❑1 = R' AA' = AH
2 .AA' cho 0,5 ®iĨm
= AA' 2OA2 ' = AA' OA' cho 0,25 ®iĨm VËy R.AA1 = AA' OA' cho 0,25 ®iĨm
d, Tríc hÕt ta chøng minh OA EF
vẽ tiếp tuyến Ax đờng tròn tâm O
(132)V× gãc xAB = Gãc BCA
mµ gãc BCA = gãc EFA (cmt)
⇒ gãc EFA = gãc xAB cho 0,25 ®iĨm ⇒ EF// Ax cho 0,25 ®iĨm ⇒ OA EF cho 0,25 điểm Chứng minh tơng tự có OB DF vµ OC ED
Ta cã S❑ABC = S❑OEAF + S❑OFBD +S❑ODCE
= 1
2OA EF +
2OB FD +
2OC.DE cho 0,25 ®iĨm
= 12R( EF + FD + DE ) (v× OA = OB = OC = R)
⇒ R (EF + FD + DE) = S❑ABC cho 0,25 ®iĨm
⇒ EF + FD + DE = 2SABC R
Nªn EF + FD + DE lín nhÊt ⇔ S❑ABC lín nhÊt cho 0,25 ®iĨm
L¹i cã S❑ABC = 1
2BC.h (h đờng vng góc hạ từ A đến BC) S❑ABC lớn
nhÊt h lín nhÊt ΔABC lµ tam giác cân A điểm già cung AB lớn cho 0,25 điểm
Bài 5: (3 điểm)
Vì a, b, c cạnh tam giác có chu vi nên ta cã: < a; b, c
1 ¿ ¿ ¿
(cho 0,25 ®iĨm) a - ¿¿
¿ ; b - ¿ ¿
¿ 0; c-1 ¿ ¿
¿ cho 0,25 ®iĨm
( a -1) (b -1) (c -1) ¿¿ ¿0
( ab - a - b +1) ( c -1) ¿¿
¿0 cho 0,25 ®iĨm
abc - (ab + ac + bc) + (a + b + c) - ¿¿
¿0 cho 0,25 ®iĨm
2abc - 2(ab + ac + bc) + 2( a + b +c) ¿¿
¿ cho 0,25 ®iĨm
2abc - 2(ab + ac + bc) +2.2 ¿¿
¿ cho 0,25 ®iĨm
2abc - 2(ab + ac + bc) + (a +b +c)❑2
¿ ¿
¿ cho 0,5 ®iÓm
2abc - 2(ab + ac + bc) + a❑2 + b❑2 + c❑2 +2(ab + ac + bc)
¿ ¿
¿ (cho 0,25 ®iĨm)
2abc + a❑2 + b❑2 + c❑2
¿ ¿
¿ (®pcm) cho 0,25 ®iĨm
(133)- Đối với hình học sinh sử dụng nhiều hình vẽ khác cho các ý ý sử dụng cơng thức tính diện tích tứ giác có đờng chéo vng góc mà khơng cần chứng minh lại.
Đề thi : vào lớp 10 chuyên lơng văn tuỵ MÃ ký hiệu: Năm học : 2008-2009
Đ02T- 08 - TS10 CT Môn thi : Toán
Thời gian làm :150 phó
Bµi 1:
a, Chøng minh r»ng ab ta luôn có
|a+b
2 +√ab|+| a+b
2 −√ab| = |a|+|b|
b, Phân tích đa thức M = a10+a5+1 thành nhân tử
Bài 2:
a, Giải hệ phơng trình b, cho x, y x + y = 1 Chøng minh 8(x❑4+ y
❑4) + xy1 5
Bài 3: Cho đa thức f(x) = ax❑3+bx2+cx+d
a) Chứng minh f(x) nhận giá trị nguyên với x số 6a; 2b; a + b + c ; d số nguyên.
b, Đảo lại số 6a; 2b; a + b + c ; d số ngun đa thức f(x) có nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x không? sao?
Bài 4: Cho tam giácABC vuông A, D điểm cạnh huyền BC, E điểm đơí xứng với D qua AB, G làgiao điểm AB với DE, từ giao diểm H AB với CE hạ HI vng góc với BC I tia CH, IG cắt K Chứng minh KC tia phân giác góc IKA.
Bài 5: Chứng minh phơng trình
x6 - x❑5 + x❑4 - x❑3 + x❑2 - x + 34 = 0
Vô nghiệm tập hợp c¸c sè thùc.
……… HÕt………
M· ký hiƯu: Híng dÉn chÊm
(134)Bài 1: (3 điểm)
a, Vì vế khơng âm nên bình phơng vế trái ta có: ( |a+b
2 +√ab| + | a+b
2 −√ab|)❑2=
= (a+b
2 )❑2+ ab + (a + b)√ab + ( a+b
2 )❑2 + ab - (a + b) √ab +2¿
Cho 0,25 ®iĨm = 2(a+b
2 )❑2 + 2ab + 2( a+b
2 )❑2 - 2ab Cho 0,25 điểm
( (a+b
2 )❑2 ab) Cho 0,25 ®iĨm
= 4( a+b
2 )❑2= (a + b)❑2 = (|a| + |b|)2 Cho 0,5 điểm
(vì ab a; b cïng dÊu) |a+2b+√ab| + |a+b
2 −√ab| = |a| + |b| Cho 0,25 ®iĨm
(Víi ab 0) b, Ta cã A = a❑10 + a❑5 + 1
= a❑10 - a + a
❑5 - a❑2 + a❑2 + a +
= a(a❑3 - 1)(a
❑6 + a❑3 + 1) + a❑2(a❑3 - 1) + a❑2 + a + Cho 0,25
®iĨm
= a(a - 1)( a❑2 + a + 1)( a❑6 + a❑3 + 1) +
+ a❑2(a - 1)(a❑2 + a + 1) + a❑2 + a + Cho 0,25 ®iĨm
= (a❑2 + a + 1) a(a - 1)(a❑6 + a❑3 + 1) + a❑2(a - 1) + 1) Cho 0,25
®iĨm
= (a❑2 + a + 1)(a
❑8 - a❑7+ a❑5 - a❑4+ a❑3 - a + 1) Cho 0, 5
điểm
Bài 2: (5 ®iĨm)
a, NÕu x = thay vµo ta cã
y3
=2
y.y2=1
¿{
¿ ¿
v« lý Cho 0,25 ®iĨm
(135)¿ ¿ = 2
1 Cho 0,25 điểm
( t ≠ -1 hƯ míi cã nghiƯm) Cho 0,25 ®iĨm (1+t)t
1− t+t2 = Cho 0,25 ®iÓm t + t❑2 = - 2t + 2t❑2 Cho 0,25 ®iĨm
t❑2 - 3t + = Cho 0,25 ®iĨm
¿
¿ Cho 0,25 ®iĨm
* NÕu t = y = x 4x❑3 = 2
x = y = 31
√2 Cho 0,25 ®iĨm
* nÕu t = y = 2x
18x❑3 = Cho 0,25 ®iĨm
x=31
√9 y=32
√9 ¿{
¿ ¿
Tãm l¹i hƯ cã nghiƯm x = y = 31
√2
Hc ( x = 31
√9; y =
3
√9) Cho 0,25 ®iĨm
b, áp dụng bất đẳng thức
a2+b2
2 ( a+b
2 )❑2 Víi mäi a, b Cho 0,25 ®iÓm
ta cã
x4
+y4
2 ( ) ¿ ¿ Cho 0,25 ®iÓm
x4+2y4 (x+2y)❑4 = 161 Cho 0,5 ®iĨm
8( x❑4+ y❑4) Cho 0,25 ®iĨm
(136) xy1 Cho 0,25 ®iĨm VËy 8( x❑4+ y
❑4) +xy1 + = Cho 0,25 ®iĨm
Bµi 3: ( ®iĨm)
a, Ta có f(0) = d số nguyên Cho 0,25 ®iÓm f(1) = a + b + c + d số nguyên Cho 0,25 điểm f(1) - f(0) = a + b + c cịng lµ số nguyên Cho 0,25 điểm f( -1) =- a + b - c + d số nguyên Cho 0,25 ®iĨm f(2) = 8a + 4b + 2c + d số nguyên Cho 0,25 điểm VËy f(1) + f( -1) = 2b + 2d lµ số nguyên Cho 0,25 điểm 2b số nguyên ( 2d số nguyên) Cho 0,25 ®iÓm f(2) = 6a + 2( a + b + c) + 2b + d số nguyên Cho 0,25 điểm
Mà
a+b+c
2b d { {
số nguyên
Nên 6a số nguyên Cho 0,25 điểm Ta có điều phải chứng minh
b, Đảo l¹i:
f(x) = ax❑3 + bx
❑2+ cx + d
= (ax❑3 - ax) + (bx❑2 - bx) + ax + bx + cx + d Cho 0,25 ®iĨm
= a(x - 1)x( x + 1) + bx(x - 1) + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iÓm = 6a(x −1)x(x+1)
6 +
2 bx(x −1)
2 + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm
= 6a(x −1)x(x+1)
6 + 2b
x(x −1)
2 + (a + b + c)x + d Cho 0,25 ®iĨm
Vì (x - 1)x( x + 1) tích sè nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 6 6a(x 1)x(x+1)
6 số nguyên Cho 0,25 điểm
x(x -1) tích số nguyªn liªn tiÕp nªn nã chia hÕt cho 2 nªn 2bx(x 1)
2 số nguyên Cho 0,25 điểm
(137)d số nguyên
f(x) nhận giá trị nguyên với x nguyªn 4sè 6a; 2b; a + b + c; d số nguyên Cho 0,25 điểm
Bài 4: ( điểm)
(V hỡnh ỳng 0,5 điểm)
Ta có G I nhìn HD dới góc vng nên HGID tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm Góc GHD = góc GIB (cùng bù với góc GID) Cho 0,5 điểm Hay góc GHD = góc KIB Cho 0,5 điểm lại có góc GHD = góc GHK ( E I đối xứng qua AB) Cho 0,5 điểm góc KIB = góc KHB ( = góc GHD) Cho 0,25 điểm Nên KHIB tứ giác nội tiếp Cho 0,5 điểm Vì góc HIB = 90❑0 góc HKB = 90❑0 Cho 0,5 điểm
Ta cã gãc B❑1 = gãc K❑1 (Do KHIB tứ giác nội tiếp) Cho 0,5 điểm
Lại có K A nhìn BC dới góc vuông nên AKBC tứ giác nội tiÕp Cho 0,5 ®iĨm gãc K❑2 = gãc B❑1 Cho 0,5 ®iĨm
Từ ta có KC phân giác góc IKA Cho 0,5 điểm
Chó ý häc sinh vÏ hình khác cho điểm tơng tự. Bài 5: (2 ®iĨm)
(138)* NÕu < x < 1
Ta cã vÕ tr¸i = x6− x3+1
4+x
4
− x2+1
4+x
2
− x+1
4+x
2
− x5 Cho 0,25 ®iĨm =(x3−1
2)
+(x2−1
2)
+(x −1
2)
+x2(1− x3) Cho 0,25 ®iĨm
cũng dơng nên khoảng phơng trình v« nghiƯm * NÕu x ta cã
VÕ tr¸i = x❑5 (x - 1) + x❑3(x - 1) + x(x - 1) + 34 Cho 0,25 ®iĨm
Cũng số dơng nên khoảng phơng trình vơ ngiệm Cho 0,25 điểm Tóm lại phơng trình cho vơ nghiệm tập hợp số thực R
(Cho 0,25 ®iĨm)
Chú ý chấm: học sinh làm theo cách khác nhng cho điểm tối đa
Sở Giáo Dục & Đào Tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT
Bắc giang Năm học 2008 2009
Môn thi: Toán
Đề ChÝnh thøc Ngµy thi:20/06/2008
Thêi gian lµm bµi: 120 phút
Câu 1:(2 điểm)
1) Phân tÝch x2– thµnh tÝch
2) x = có nghiệm phơng trình x2 5x + = không ?
Câu 2:(1 điểm)
1) Hàm số y = - 2x + đồng biến hay nghịch biến ?
2) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = - 2x + vi trc Ox, Oy
Câu 3:(1,5 điểm)
Tìm tích hai số biết tổng chúng 17 Nếu tăng số thứ lên 3 đơn vị số thứ hai lên đơn vị tích chúng tăng lên 45 đơn vị.
(139)Rót gän biĨu thøc: P =
2
: a b ab
a b a b
víi a, b 0 vµ a ≠ b
Câu 5:(5 điểm)
Cho tam giỏc ABC cân B, đờng cao AD, BE cắt H Đờng thẳng d qua A vng góc với AB cắt tia BE F
1) Chøng minh r»ng: AF // CH 2) Tø gi¸c AHCF hình ?
Câu 6:(1 điểm)
Gọi O tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp điểm đờng tròn (O) với cạnh BC, CA, AB lần lợt D, E, F Kẻ BB’ vng góc với OA, AA’ vng góc với OB Chứng minh rằng: Tứ giác AA’B’B nội tiếp bồn điểm D, E, A’, B’ thẳng hng.
Câu 7:(1 điểm)
Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa A = (2x – x2)(y – 2y2) víi x 2
y -
(140)SỞ GD&§T QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT
Năm học 2008 -2009 Mơn: TỐN
Thời gian làm 120 phút (không kể thời gian giao đề) I Phần trắc nghiệm (4, điểm)
Chọn ý câu sau ghi vào giấy làm bài.Ví dụ: Nếu chọn ý A câu thì ghi 1A
Câu Giá trị biểu thức (3 5)2 bằng
A 3 B 3 C 2 D 5
Câu 2. Đường thẳng y = mx + song song với đường thẳng y = 3x khi
A m = 2 B m = 2 C m = 3 D m = 3
Câu x 7 x bằng
A 10 B 52 C 46 D 14
Câu 4 Điểm thuộc đồ thị hàm số y = 2x2
A ( 2; 8) B (3; 12) C ( 1; 2) D (3; 18) Câu Đường thẳng y = x cắt trục hồnh điểm có toạ độ là
A (2; 0) B (0; 2) C (0; 2) D ( 2; 0)
Câu Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH Ta có A.
AC sin B
AB
B.
AH sin B
AB
C.
AB sin B
BC
D.
BH sin B
AB
Câu 7. Một hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h Diện tích xung quanh hình trụ bằng
A r2h B 2r2h C 2rh D rh
Câu 8. Cho hình vẽ bên, biết BC đường kính đường trịn (O), điểm A nằm trên đường thẳng BC, AM tiếp tuyến (O) M MBC· =650.
Số đo góc MAC bằng
A 150 B 250 C 350 D 400
II Phần tự luận(6,0 điểm)
Bài 1.(1,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức: M=2 5- 45+2 20;
1
N
3 5 5
-= - ì
- +
-ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ
ố ứ .
b) Tổng hai số 59 Ba lần số thứ lớn hai lần số thứ hai Tìm hai số đó.
Bài 2.(1,5 điểm)
(141)b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn 2
x x x x 6.
Bài (3,0 điểm)
Cho đường trịn (O) đường kính AB 6cm Gọi H điểm nằm A và B cho AH = 1cm Qua H vẽ đường thẳng vng góc với AB, đường thẳng này cắt đường tròn (O) C D Hai đường thẳng BC DA cắt M Từ M hạ đường vng góc MN với đường thẳng AB (N thuộc đường thẳng AB).
a) Chứng minh MNAC tứ giác nội tiếp. b) Tính độ dài đoạn thẳng CH tính tgABC· .
c) Chứng minh NC tiếp tuyến đường tròn (O).
d) Tiếp tuyến A đường tròn (O) cắt NC E Chứng minh đường thẳng EB qua trung điểm đoạn thẳng CH.
(142)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 thpt THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM HỌC 2008-2009
KHĨA NGÀY 18-06-2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau:
a) 2x2 + 3x – = (1) b) x4 – 3x2 – = (2) c)
2x y (a)
3x 4y (b)
(3)
Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –x2 đường thẳng (D): y = x – một cùng hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) câu phép tính.
Câu 3: Thu gọn biểu thức sau: a) A = 3 3
b) B =
x x .x x 2x x
x x x x
(x > 0; x ≠ 4).
Câu 4: Cho phương trình x2 – 2mx – = (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt. b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để
2
1 2
x x x x 7.
Câu 5: Từ điểm M đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD khơng qua tâm O hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), A, B tiếp điểm C nằm giữa M, D.
a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
b) Gọi I trung điểm CD Chứng minh điểm M, A, O, I , B nằm trên đường tròn.
c) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường tròn Suy AB phân giác góc CHD.
d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) Chứng minh A, B, K thẳng hàng
(143)-oOo -UBNN TỈNH KONTUM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
SỞ GD & ĐT KONTUM TRƯỜNG THPT CHUYÊN – NĂM HỌC 2008 – 2009
Mơn : Tốn (Mơn chung) – Ngày thi : 26/6/2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (2.0 điểm) Cho biểu thức
x x 2x
P
x
x 1 x
(với x ≥ x ≠ 1)
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tính giá trị biểu thức P x = + 2 3.
Câu 2. (2.0 điểm)
a. Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(1 ; - 2) song song với đường thẳng y = 2x – 1.
b. Giải hệ phương trình
2 12 x y
19 x y
Câu 3. (1,5 điểm) Quãng đường AB dài 120 km Một ôtô khởi hành từ A đến B, lúc xe máy khởi hành từ B A với vận tốc nhỏ vận tốc ôtô 24 kim/h Ơtơ đến B 50 phút xe máy tới A Tính vận tốc xe.
Câu 4. (1,5 điểm) Cho phương trình x2 – 2(m + 2)x + 3m + = 0 a. Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m.
b. Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho Chứng minh biểu thức M = x1(3 – x2) + x2(3 – x1) không phụ thuộc vào m.
Câu 5. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường trịn (O) Tia phân giác góc BAC cắt dây BC D cắt đường tròn (O) điểm thứ hai E Các tiếp tuyến với đường tròn (O) C E cắt N, tia CN tia AE cắt tại P Gọi Q giao điểm hai đường thẳng AB CE.
a. Chứng minh tứ giác AQPC nội tiaaps đường tròn.
b. Chứng minh EN // BC.
c. Chứng minh
EN NC
1 CD CP
(144)-Hết -UBNN TỈNH KONTUM KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
SỞ GD & ĐT KONTUM TRƯỜNG THPT CHUYÊN – NĂM HỌC 2008 – 2009
Mơn : Tốn (Mơn chun) – Ngày thi : 27/6/2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu (2.5 điểm) a Rút gọn biểu thức :
x x x x x
A :
x x x x x
(x ≥ ; x ≠ ; x ≠
9)
b Tính giá trị biểu thức : P = a3 + b3 – 3(a + b), biết a = 11 2 ; b = 11 2
Câu (1.5 điểm) Cho phương trình x4 +x2 – m2 – = (1)
a Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m.
b Tìm m để hai nghiệm x1 , x2 phương trình (1) thỏa mãn xx 1 x2 1
Câu (1.5 điểm) Giải hệ phương trình :
1
(x y)
xy
1 x y
xy
xy y x
Câu (1.0 điểm) Cho hàm số y = 2x + có đồ thị đường thẳng qua điểm
A ; y
4
cắt trục Oy B Tìm tọa độ điểm A tính diện tích tam giác OAB (theo đơn vị đo trục tọa độ xentimet).
Câu (2.5 điểm) Trên đường thẳng d cho ba điểm A, B, C (B nằm A C).Vẽ đường tròn (O) qua B C (tâm O đường tròn không thuộc đường thẳng d) Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Gọi E, F lần lượt trung điểm BC MN.
a Chứng minh AM2 = AB.AC.
b Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) K Chứng minh NK // AB
c Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF qua điểm cố định (khác điểm E) đường tròn (O) thay đổi.
Câu (1.0 điểm) Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức 2x2 + 4y2 +
1
x = Tìm x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ nhất.
(145)(146)-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 KHÁNH HOÀ Bài (3 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: A 12 75 48 3 b) Giải hệ phương trình:
2x y 3x y
c) Giải phương trình: x4 – 7x2 – 18 = 0 Giải:
a) Ta có: A 12 75 48 3 10 20 3 3 5 b)
2x y 5x x
3x y y 3x y
c) Đặt x2 = t (t ≥ 0) Phương trình cho trở thành: t2 – 7t – 18 = 0 Giải ta t1 = (thỏa mãn), t2 = –2 (loại)
- Với t = x = ±3
Vậy: Phương trình cho có hai nghiệm: x1 = 3; x2 = –3 Bài 2(2 điểm)
Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = 2x – có đồ thị (d) a) Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Bằng phương pháp đại số, xác định tọa độ giao điểm (P) (d)
Giải:
a) Đồ thị hàm số y = x2 (hình bên)
b) Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phương trình:
2
2
y x (1)
y x
(2)
y 2x x 2x
Phương trình (2) vơ nghiệm có Δ’ = – = –2 < 0 Suy ra: Hệ phương trình vơ nghiệm
Vậy: (P) (d) khơng giao nhau
(147)Lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 + x2 = (1)
1
1
x x 13
x 1 x 16 (2) Giải:
Ta có: (2)
1 1 2 2
1 2
x x x x x x 13 2x x (x x ) 13
(x 1)(x 1) x x (x x )
12x1x2 – 6(x1 + x2) = 13x1x2 – 13(x1 + x2) + 13
x1x2 = 7(x1 + x2) – 13
x1x2 = –6
Vậy: Phương trình bậc hai cần lập là: x2 – x – = 0 Bài 4(4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A Kẻ đường cao AH đường phân giác BE (HBC, EAC) Kẻ AD vng góc với BE (DBE)
a) Chứng minh tứ giác ADHB nội tiếp Xác định tâm O đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ADHB
b) Chứng minh tứ giác ODCB hình thang
c) Gọi I giao điểm OD AH Chứng minh:
2 2
1 1
4AI AB AC
d) Cho biết góc ABC 60 0, độ dài AB = a Tính a theo diện tích hình phẳng giới hạn AC, BC cung nhỏ AH (O)
Giải:
1
1
I O
D H
E
C A
(148)a) Ta có: AD BE (gt) ADB 90 0 Suy ra: D thuộc đường trịn đường kính AD Tương tự: H thuộc đường trịn đường kính AD
Vậy: ABHD nội tiếp đường trịn đường kính AB Tâm O đường tròn trung điểm [AB]
b) ΔADB vng D có OD trung tuyến Nên OD =
2 AB = OB ΔOBD cân O Suy ra: D1 B 2 mà B B 1(gt)
Suy ra: B D OD // BC Vậy: Tứ giác ODBC hình thang
c) OD // BC mà OB = OA nên AI = IH =
2AH Hay: AH = 2AI (1)
Mặt khác ΔABC vng A, đường cao AH có: 2
1 1
AH AB AC (2)
Từ (1) (2) suy ra: 2
1 1
4AI AB AC
d) Ta có: ABC 60 0 ΔABC nửa tam giác nên: BC = 2a ΔOBH cân có B 60 0 ΔOBH tam giác BH = OB =
a
2 HC = 3a
2 Theo ĐL Pitago:
2
2 2 a a
AH AB BH a
4
SAHC =
2
1 3a a 3a
AH.HC
2 2 2
Vì OI đường trung bình ΔABH nên:
1 a
OI BH
2
Gọi diện tích hình quạt trịn OAH S1 diện tích phần mặt phẳng giới hạn cung nhỏ AH dây cung AH S2 Ta có:
S2 = S1 – SOAH =
2
2
a
π 120 1 a a πa a 3
4 . .
(149)Së GD&ĐT Thanh hoá Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2008-2009
Môn : Toán
Ngày thi: 25/6/2008 Thêi gian lµm bµi: 120 phót
Câu 1: (2,0 điểm):
Cho hai số: x1=2-√3 ; x2=2+√3 TÝnh: x1 + x2 x1 x2
Lập phơng trình bậc hai ẩn x nhận x1, x2 hai nghiệm.
Câu 2: (2,5 điểm):
Giải hệ phơng trình: 3x + 4y = 7 2x – y = 1
Rót gän biĨu thøc:
A=( a −1
√a −1−
√a+1)
√a+1
√a+2 víi a0 ; a1
Câu 3: (1,0 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho đờng thẳng (d): y =(m2- m)x + m đờng thẳng (d!): y = 2x + Tìm m để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (d!).
C©u 4: (3,5®iĨm):
Trong mặt phẳng cho đờng trịn (O), AB dây cung cố định khơng qua tâm của đờng tròn (O) Gọi I trung điểm dây cung AB , M điểm cung lớn AB (M không trùng với A,B) Vẽ đờng tròn (O,) qua M tiếp xúc với đờng thẳng AB tại A Tia MI cắt đờng tròn (O,) điểm thứ hai N cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai C.
1. Chứng minh ΔBIC=ΔAIN, từ chứng minh tứ giác ANBC hình bình hành.
2 Chứng minh BI tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BMN. 3 Xác định vị trí điểm M cung lớn AB để diện tích tứ giác ANBC lớn
nhÊt.
C©u 5: (1,0 điểm):
Tìm nghiệm dơng phơng trình: (1+x −√x2−1)2005
(150)Së GD&ĐT Thanh hoá Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT Năm học 2008-2009 Môn : Toán
Ngày thi: 25/6/2008 Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2,0 ®iĨm):
Cho hai sè: x1=2-√3 ; x2=2+√3 TÝnh: x1 + x2 x1 x2
Lập phơng trình bËc hai Èn x nhËn x1, x2 lµ hai nghiƯm.
Câu 2: (2,5 điểm):
Giải hệ phơng trình: 4x + 3y = 7 2x – y = 1
a) Rót gän biĨu thøc:
B=( b −1
√b −1−
√b+1)
√b+1
√b+2 víi b0 ; b1
Câu 3: (1,0 điểm):
Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho đờng thẳng (d): y=( m2- 2m)x +m đờng thẳng (d!): y=3x+3 Tìm m để đờng thẳng (d) song song với ng thng (d!).
Câu 4: (3,5điểm):
Trong mặt phẳng cho đờng tròn (O), AB dây cung cố định không qua tâm của đờng tròn (O) Gọi I trung điểm dây cung AB , M điểm cung lớn AB (M khơng trùng với A,B) Vẽ đờng trịn (O,) qua M tiếp xúc với đờng thẳng AB tại B Tia MI cắt đờng tròn (O,) điểm thứ hai N cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai C.
4. Chứng minh ΔAIC=Δ BIN, từ chứng minh tứ giác ANBC hình bình hành.
5 Chứng minh AI tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN. 6 Xác định vị trí điểm M cung lớn AB để diện tích tứ giác ANBC lớn
nhất.
Câu 5: (1,0 điểm):
Tìm nghiệm dơng phơng trình: (1+x x21)2006
(151)Sở GD&ĐT Thanh hoá Đề thi tun sinh líp 10 THPT - §Ị C Năm học 2008-2009 Môn : Toán
Ngµy thi: 25/6/2008 Thêi gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2,0 điểm):
Cho hai sè: x1=2-√3 ; x2=2+√3 TÝnh: x1 + x2 vµ x1 x2
Lập phơng trình bậc hai ẩn x nhận x1, x2 hai nghiệm.
Câu 2: (2,5 điểm):
Giải hệ phơng trình: 5x + 4y = 9 2x – y = 1
b) Rót gän biĨu thøc:
C=( c −1
√c −1−
√c+1)
√c+1
√c+2 víi c0 ; c1
C©u 3: (1,0 ®iĨm):
Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho đờng thẳng (d): y=( m2- 3m)x +m đờng thẳng (d!): y=4x+4 Tìm m để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (d!).
Câu 4: (3,5điểm):
Trong mt phng cho đờng trịn (O), CD dây cung cố định khơng qua tâm của đờng tròn (O) Gọi I trung điểm dây cung CD , M điểm cung lớn CD (M không trùng với C,D) Vẽ đờng tròn (O,) qua M tiếp xúc với đờng thẳng CD tại C Tia MI cắt đờng tròn (O,) điểm thứ hai N cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai E.
7. Chứng minh ΔDIE=ΔCIN, từ chứng minh tứ giác CNDE hình bình hành.
8 Chứng minh DI tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác DMN. 9 Xác định vị trí điểm M cung lớn CD để diện tích tứ giác CNDE lớn
nhÊt.
C©u 5: (1,0 điểm):
Tìm nghiệm dơng phơng trình: (1+x x2
1)2007+(1+x+x21)2007=22008
Sở GD&ĐT Thanh hoá Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT
Năm học 2008-2009 Môn : Toán Ngµy thi: 25/6/2008
Thêi gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2,0 điểm):
Cho hai sè: x1=2-√3 ; x2=2+√3 TÝnh: x1 + x2 vµ x1 x2
Lập phơng trình bậc hai ẩn x nhận x1, x2 hai nghiệm.
Câu 2: (2,5 ®iĨm):
(152)2x – y = 1
Rót gän biÓu thøc:
D=( d −1
√d −1−
1
√d+1)
√d+1
√d+2 víi d0 ; d1
C©u 3: (1,0 ®iĨm):
Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho đờng thẳng (d): y=( m2- 4m)x +m đờng thẳng (d!): y=5x+5 Tìm m để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (d!).
Câu 4: (3,5điểm):
Trong mt phng cho đờng trịn (O), CD dây cung cố định khơng qua tâm của đờng tròn (O) Gọi I trung điểm dây cung CD , M điểm cung lớn CD (M không trùng với C,D) Vẽ đờng tròn (O,) qua M tiếp xúc với đờng thẳng CD tại D Tia MI cắt đờng tròn (O,) điểm thứ hai N cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai E.
1.Chứng minh ΔCIE=ΔDIN, từ chứng minh tứ giác CNDE hình bình hành.
2.Chứng minh CI tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác CMN. 3.Xác định vị trí điểm M cung lớn CD để diện tích tứ giác CNDE ln nht.
Câu 5: (1,0 điểm):
Tìm nghiệm dơng phơng trình: (1+x x21)2008
+(1+x+x21)2008=22009
Đề 1
Câu1 : Cho biÓu thøc A=(x
3
−1 x −1+x)(
x3+1
x+1 − x):x¿ ¿Víi x√2;1
.a, R gän biĨu thøc A
.b , Tính giá trị biểu thức cho x=√6+2√2 c Tìm giá trị x A=3
Câu2.a, Giải hệ phơng trình:
b Giải bất phơng trình: x
3
−4x2−2x −15 x2+x+3 <0
Câu3 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 4 Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng trịn Dng hình vng ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh C Gọi Flà giao điểm của Aevà nửa đờng tròn (O) Gọi Klà giao điểm CFvà ED
a chứng minh điểm E,B,F,K nằm đờng tròn b Tam giác BKC tam giác ? Vì ?
đáp án
C©u 1: a Rót gän A=x
2
−2 x
(153)c.A=3<=> x2-3x-2=0=> x=3±√17
Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4 Từ ta có¿¿<=>
*
x − y=1
2x+3y=12
¿{
¿ ¿
(1)
*
x − y=−4
2x+3y=12
¿{
¿ ¿
(2)
Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2 Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4
Vậy hệ phơng trình có nghiệm x=3, y=2 x=0; y=4 b) Ta có x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với x Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5
Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0
2 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 3 Xét 2m-10=> m 1/2 ta có
Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiÖm víi mäi m ta thÊy nghiƯm x=1 kh«ng thc (-1,0)
víi m 1/2 pt cßn cã nghiƯm x=m− m2m−+11=2m −1 1 pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1<
2m −1<0
O K
F E
D
C B
A
1
2m −1+1>0 2m−1<0
¿{
¿ ¿
=> 2m 2m −1>0 2m −1<0
¿{
¿ ¿
=>m<0
VËy Pt cã nghiÖm khoảng (-1,0) m<0
Câu 4:
(154)mặt khác BFC= 900( góc nội tiếp chắn đờng tròn) do CF kéo dài cắt ED D
=> BFK= 900 => E,F thuộc đờng trịn đờng kính BK hay điểm E,F,B,K thuộc đờng trịn đờng kính BK. b BCF= BAF
Mµ BAF= BAE=450=> BCF= 450 Ta cã BKF= BEF
Mà BEF= BEA=450(EA đờng chéo hình vng ABED)=> BKF=450 Vì BKC= BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân B
Đề 2
Bài 1: Cho biểu thức: P = (x√x −1 x −√x −
x√x+1
x+√x ):(
2(x −2√x+1)
x −1 ) a,Rót gän P
b,Tìm x ngun để P có giá trị nguyên.
Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm.
b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn |x13− x23| =50
Bµi 3: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = có hai nghiệm dơng phân biệt x
1, x2Chứng minh:
a,Phơng trình ct2 + bt + a =0 có hai nghiệm dơng phân biệt t
1 vµ t2. b,Chøng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4
Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đờng trịn tâm O H trực tâm của tam giác D điểm cung BC không chứa điểm A.
a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành.
b, Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng điểm D qua đờng thẳng AB và AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bµi 5: Cho hai số dơng x; y thoả mÃn: x + y 1 Tìm giá trị nhỏ của: A =
x2+y2+
501 xy
Đáp án
Bài 1: (2 điểm) ĐK: x 0; x 1 a, Rót gän: P = 2x(x −1)
x(x −1) :
2(√x −1❑z)
2
x −1 <=> P = √ x −1
¿ ¿ b P = √x+1
√x −1=1+
(155)√x −1=1⇒√x=2⇒x=4
√x −1=−1⇒√x=0⇒x=0
√x −1=2⇒√x=3⇒x=9
√x −1=−2⇒√x=−1(Loai)
Vậy với x= {0;4;9} P có giá trị nguyên
Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì: =(2m+1)24(m2
+m6)0
x1x2=m2+m6>0
x1+x2=2m+1<0
¿{ {
¿ ¿
⇔
Δ=25>0 (m −2)(m+3)>0
m<−1
2
⇔m<−3
¿{ {
b Giải phơng trình:
¿m1=−1+√5
2
m2=
−1−√5
¿
⇔|5(3m2+3m+7)|=50⇔m2+m−1=0
⇔ {
Bài 3: a Vì x1 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = nên ax12 + bx1 + c =0 . V× x1> => c.(
x1)
+b.
x1
+a=0 Chøng tá x1
1
nghiệm dơng phơng trình: ct2
+ bt + a = 0; t1 =
x1 Vì x2 nghiệm phơng trình: ax2 + bx + c = => ax
22 + bx2 + c =0 v× x2> nªn c (
x2)
+b.(1
x2)
+a=0 điều chứng tỏ x1
2
nghiệm dơng phơng
trình ct2 + bt + a = ; t 2 =
1 x2
VËy nÕu ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c =0 cã hai nghiĐm dơng phân biệt x
1; x2 phơng trình : ct2 + bt + a =0 còng cã hai nghiệm dơng phân biệt t
1 ; t2 t1 =
x1 ; t2 = x2 b Do x1; x1; t1; t2 nghiệm dơng nên
t1+ x1 =
x1 + x1 t2 + x2 =
(156)Bµi 4
H
O
P
Q
D
C B
A
a Giả sử tìm đợc điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên
CH AB BHAC => BDAB CDAC. Do đó: ABD = 900 ACD = 900 Vậy AD đờng kính đờng trịn tâm O Ngợc lại D đầu đờng kính AD của đờng trịn tâm O
tứ giác BHCD hình bình hành.
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên APB = ADB nhng ADB =ACB nhng ADB = ACB
Do đó: APB = ACB Mặt khác: AHB + ACB = 1800 => APB + AHB = 1800
Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên PAB = PHB Mà PAB = DAB đó: PHB = DAB
Chøng minh t¬ng tù ta cã: CHQ = DAC
VËy PHQ = PHB + BHC + CHQ = BAC + BHC = 1800 Ba ®iĨm P; H; Q thẳng hàng
c) Ta thy APQ tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD PAQ = 2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn AP AQ lớn hay AD lớn
D đầu đờng kính kẻ từ A đờng trịn tâm O
(157)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT QUẢNG NAM NĂM HỌC 2009-2010
Mơn thi TỐN ( chung cho tất thí sinh) Thời gian 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Bài (2.0 điểm )
1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a) x b)
1 x 2 Trục thức mẫu
a)
3
2 b)
1 1
3 Giải hệ phương trình :
1 x
x y
Bài (3.0 điểm )
Cho hàm số y = x2 y = x + 2
a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy b) Tìm tọa độ giao điểm A,B đồ thị hai hàm số phép tính c) Tính diện tích tam giác OAB
Bài (1.0 điểm )
Cho phương trình x2 – 2mx + m – m + có hai nghiệm x
1 ; x (với m tham số ) Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài (4.0 điểm )
Cho đường tròn tâm (O) ,đường kính AC Vẽ dây BD vng góc với AC K ( K nằm A O).Lấy điểm E cung nhỏ CD ( E không trùng C D), AE cắt BD H.
a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp. b) Chứng minh AD2 = AH AE.
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi hình trịn (O).
d) Cho góc BCD α Trên mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A , vẽ tam giác MBC cân M Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).
======Hết======
(158)Bài (2.0 điểm )
1 Tìm x để biểu thức sau có nghĩa
a) x0 b) x1 0 x1
2 Trục thức mẫu
a)
3 3
2
2 2 b)
1
1 3
3
3 3
3 Giải hệ phương trình :
1 1
3
x x x
x y y y
Bài (3.0 điểm )
Cho hàm số y = x2 y = x + 2
a) Vẽ đồ thị hàm số mặt phẳng tọa độ Oxy Lập bảng :
x 0 - 2 x - 2 - 1 0 1 2
y = x + 2 2 0 y = x2 4 1 0 1 4
b) Tìm toạ độ giao điểm A,B :
Gọi tọa độ giao điểm A( x1 ; y1 ) , B( x2 ; y2 ) hàm số y = x2 có đồ thị (P) y = x + có đồ thị (d)
Viết phương trình hồnh độ điểm chung (P) (d) x2 = x +
x2 – x – = 0
( a = , b = – , c = – ) có a – b + c = – ( – ) – =
1
x
;
2 c x
a
thay x1 = -1 y1 = x2 = (-1)2 = 1; x2 = y2 = 4
Vậy tọa độ giao điểm A( - 1 ; 1) , B( ; )
c) Tính diện tích tam giác OAB
Cách : S = S - S =
2(OC.BH - OC.AK)= =
(159)Cách : Ctỏ đường thẳng OA đường thẳng AB vng góc OA AK2OK2 1212 2 ; BC = BH2CH2 4242 4 2; AB = BC – AC = BC – OA = 3
(ΔOAC cân AK đường cao đồng thời trung tuyến OA=AC) SOAB =
1
2OA.AB =
.3 2
2 đvdt
Hoặc dùng công thức để tính AB = (xB xA)2(yB yA)2 ;OA= (xA xO)2(yA yO)2
Bài (1.0 điểm ).Tìm biểu thức x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho phương trình x2 – 2mx + m – m + ( a = ; b = - 2m => b’ = - m ; c = m2 - m + )
Δ’ = = m2 - ( m2 - m + ) = m2 - m2 + m - = m – ,do pt có hai nghiệm x ; x (với m tham số ) Δ’ ≥ m ≥ theo viét ta có:
x1 + x2 = = 2m
x1 x2= = m2 - m +
x12 + x22 = ( x1 + x2)2 – 2x1x2 = (2m)2 - 2(m2 - m + )=2(m2 + m - )
=2(m2 + 2m 2 +
1 4-
1 4 -
12
4 ) =2[(m + 2)2 -
13
4 ]=2(m + 2)2 -
13
Do điều kiện m ≥ m +
2 ≥ 3+ 2= (m + 2)2 ≥
49
4 2(m + 2)2 ≥
49
2 2(m + 2)2 -
13 ≥
49 -
13 = 18 Vậy GTNN x12 + x22 18 m = 3
Bài (4.0 điểm )
a) Chứng minh tam giác CBD cân tứ giác CEHK nội tiếp.
* Tam giác CBD cân
AC BD K BK=KD=BD:2(đường kính vng góc dây cung) ,ΔCBD có đường cao CK vừa đường trung tuyến nên ΔCBD cân.
* Tứ giác CEHK nội tiếp
· ·
AEC HEC 180 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ; KHC 180· 0(gt)
· · 0
HEC HKC 90 90 180 (tổng hai góc đối) tứ giác CEHK nội tiếp
b) Chứng minh AD2 = AH AE.
(160)¶A chung ; AC
BD K ,AC cắt cung BD A suy A điểm cung BAD , hay cung AB cung AD ADB AED· · (chắn hai cung nhau) Vậy ΔADH = ΔAED (g-g)
2 .
AD AE
AD AH AE AH AD
c) Cho BD = 24 cm , BC =20cm Tính chu vi hình trịn (O).
BK=KD=BD:2 = 24:2 = 12 (cm) ( cm câu a ) ; BC =20cm
* ΔBKC vuông A có : KC = BC2 BK2 202122 400 144 256=16 * ABC 90· 0( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)
ΔABC vng K có : BC2 =KC.AC 400 =16.AC AC = 25 R= 12,5cm C = 2пR = 2п.12,5 = 25п (=25.3,14 = 78.5) (cm)
d)Tính góc MBC theo α để M thuộc đường tròn (O).
Giải: ΔMBC cân M có MB = MC suy M cách hai đầu đoạn thẳng BC M d đường trung trực BC ,(OB=OC nên O d ),vì M(O) nên giả sử d cắt (O) M (M
thuộc cung nhỏ BC )và M’(thuộc cung lớn BC ).
* Trong trường hợp M thuộc cung nhỏ BC ; M D nằm khác phía BC hay AC do ΔBCD cân C nên
· · · ) :
2 BDC DBC (180 DCB 90 Tứ giác MBDC nội tiếp thì
· · · · ( ) 0
2 2
BDC BMC 180 BMC 180 BDC 180 90 180 90 90 * Trong trường hợp M’ thuộc cung lớn BC
ΔMBC cân M có MM’ đường trung trực nên MM’ phân giác góc BMC
· · ) : 450
2
BMM ' BMC (90
sđ
¼
BM ' )
(161)sđBD» 2BCD 2· (góc nội tiếp cung bị chắn)
+ Xét BD BM '» ¼
0 3 0
2
2 90 2 90 180 0 60
suy tồn tại hai điểm M thuộc cung nhỏ BC (đã tính )và M’ thuộc cung lớn BC
Tứ giác BDM’C nội tiếp
· ·
2 BDC BM 'C 90
(cùng chắn cung BC nhỏ) + Xét BD BM '» ¼
0 3 0
2
2 90 2 90 180 60
M’≡ D khơng thỏa mãn điều kiện đề nên khơng có M’ ( có điểm M tmđk đề bài) + Xét BD BM '» ¼
0 3 0
2
2 90 2 90 180 60 90
(khi BD qua tâm O BDAC ·BCD 900) M’ thuộc cung BD» không thỏa mãn điều kiện đề nên khơng có M’ (chỉ có điểm M tmđk đề).
(162)KHÁNH HOÀ MƠN: TỐN
NGÀY THI: 19/6/2009
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề)
Bài 1: (2 điểm) (không dùng máy tính bỏ túi)
a) Cho biết A= 5+√15 B= 5−√15 Hãy so sánh A+B AB 2x +y =
b) Giải hệ phương trình:
3x – y= 12
Baøi 2: (2.5 ñieåm)
Cho Parabol (P) : y= x2 đường thẳng (d): y=mx-2 (m tham số m 0)
a/ Vẽ đồ thị (P) mặt phẳng toạ độ Oxy b/ Khi m = 3, tìm toạ độ giao điểm (p) ( d)
c/ Goïi A(xA;yA), B(xA;yB) hai giao điểm phân biệt (P) ( d)
Tìm gia trị m cho : yA +yB = 2(xA + xB )-1
Bài 3: (1.5 điểm)
Cho mảnh đất hình chữ nhật có chiểu dai chiều rộng m bình phương độ dài đường chéo gấp lần chu vi Xác định chiều dài rộng mảnh đất hình chữ nhật
Bài 4: ( điểm)
Cho đường trịn(O; R) từ điểm M ngồi đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến A, B lấy C cung nhỏ AB Gọi D, E, F hình chiếu vng góc C tên AB, AM, BM
a/ cm AECD Nội tiếp đường tròn b/ cm: CD E^ =CB A^
c/ cm : Gọi I trung điểm AC ED, K giao điểm CB , DF Cm IK// AB
d/ Xaùc định vị trí c cung nhỏ AB dể (AC2 + CB2 )nhỏ tính giá trị nhỏ
nhất OM =2R
-Hế t -Đáp án câu 4c,d: Đề thi 2009 – 2010 :
4c)Chứng minh : IK//AB
Gợi ý: Chứng minh tổng số đo hai góc ICK IDK 1800 4d)Xác định vị trí điểm C cung nhỏ AB để CA2 + CB2 đạt GTNN
(163)Gọi N trung điểm AB Ta có:
AC2 + CB2 = 2CD2 + AD2 + DB2 =2(CN2 – ND2) + (AN+ND)2 + (AN – ND)2
= 2CN2 – 2ND2 + AN2 + 2AN.ND + ND2+ AN2 – 2AN.ND + ND2. = 2CN2 + 2AN2
= 2CN2 + AB2/2
AB2/2 ko đổi nên CA2 + CB2 đạt GTNN CN đạt GTNN
C giao điểm ON cung nhỏ AB
=> C điểm cung nhỏ AB
Khi OM = 2R OC = R hay C trung điểm OM => CB = CA = MO/2 = R Do đó: Min (CA2 + CB2) = 2R2
N
K
I
F
D
E
O A
B
C
Sở gd đt
hoá Kỳ thi tuyển sinh thpt chuyên lam sơnnăm học: 2009 - 2010
Đề thức Môn: Toán (Dành cho thí sinh thi vào
lớp chuyên Toán) Thêi gian lµm bµi: 150 (kh«ng kĨ thêi gian
giao đề)
Ngày thi: 19 tháng năm 2009
(164)Cho sè x (x∈R ; x>0) thoả mÃn điều kiện: x2 + 1
x2 = 7 Tính giá trị biểu thức: A = x3 + 1
x3 vµ B = x
5 + 1
x5
Giải hệ phương trình:
1 2 1 2 y x x y
Câu 2: (2,0 điểm) Cho phơng trình: ax2 bx c 0(a0) có hai nghiệm x x1, 2 thoả
mÃn điều kiện: 0 x1 x2 2.Tìm giá trị lớn biểu thức:
2
2
2 3
2
a ab b Q
a ab ac
Câu 3:(2,0 điểm)
Giải phơng trình: x 2 + y+2009 + z2010 = 1
2(x+y+z)
2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 cng l s nguyờn t.
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình vng ABCD có hai đờng chéo cắt E Một đờng thẳng qua A, cắt cạnh BC M cắt đờng thẳng CD N Gọi K giao điểm của các đờng thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK BN
Cho đường trịn (O) bán kính R=1 v mà ột điểm A cho OA=√2.Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C l tià ếp điểm).Một góc xOy có số đo 450
có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D v cà ạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh rằng: 2√2−2≤DE<1.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P=a2+b2+c2+d2+ac+bd,trong ad−bc=1.
Chøng minh r»ng: P ≥√3. HÕt
Sở giáo dục đào Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn Thanh Hoá năm học 2009-2010
Đáp án đề thi thức
Môn: Toán ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)
Ngày thi: 19 tháng năm 2009 (Đáp án gồm 04 trang)
Câu ý Nội dung Điểm
1
1
Tõ gi¶ thiÕt suy ra: (x +1
x)2 = x +
x = (do x > 0)
21 = (x +1
x)(x2 +
x2) = (x +1
x3) + (x +
x) A = x3 + x3=18
(165) 7.18 = (x2 + 1 x2)(x
3 +1
x3) = (x +1
x5) + (x + x)
B = x5+1
x5= 7.18 - = 123
0.25
2
Từ hệ suy
√x+√2− y=
1
√y+√2−
x (2) Nếu
√x>
√y √2−
1
y>√2−
1
x nên (2) xảy v chà ỉ x=y
thế v o hà ệ ta giải x=1, y=1
0.5
0.5 2
Theo ViÐt, ta cã: b x x
a
,
. c x x a . Khi 2 2 3 2
a ab b Q
a ab ac
= 2 3. 2 b b a a b c a a
( V× a 0)
=
2
1 2
1 2
2 3( ) ( )
2 ( )
x x x x x x x x
Vì 0 x1 x2 2 nên
1
x x x vµ x22 4 x12 x22 x x1 24
2
1 3 4
x x x x
Do
1 2
1 2
2 3( ) 3 4
3
2 ( )
x x x x Q
x x x x
Đẳng thức xảy x1 x2 2 x10,x2 2
Tức là 4 4 4 2 2 0 0 b a
c c b a
a b a
b c a c a
VËy maxQ=3
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 3
1 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 Phơng trình cho tơng đơng với:
x + y + z = 2√x −2 +2√y+2009 +2√z −2010
0.25
(166)
(√x −2- 1)2 + (
√y+2009- 1)2 + (√z−2010- 1)2 = 0 √x −2 - = x = 3
√y+2009- = y = - 2008
√z−2010- = z = 2011
0.25
0.25
2 Nhận xét: p số nguyên tố 4p2 + > vµ 6p2 + > 5 Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1)
y = 6p2 + 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) Khi đó:
- NÕu p chia cho d d (p - 1)(p + 1) chia hÕt cho 5
x chia hÕt cho mà x > x không sè nguyªn tè
- NÕu p chia cho d d (p - 2)(p + 2) chia hÕt cho 5
4y chia hÕt cho mµ UCLN(4, 5) = y chia hÕt cho mµ y >
y không số nguyên tố
VËy p chia hÕt cho 5, mµ p lµ sè nguyªn tè p = 5 Thư víi p =5 x =101, y =151 số nguyên tố
Đáp số: p =5
0.25
0.25
0.25
0.25
4 1.
2.
Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM Ta cã Δ IBE = Δ MCE (c.g.c).
Suy EI = EM , MEC=BEI MEI vuông cân E Suy EMI=450=BCE
Mặt khác: IB AB=
CM CB =
MN
AN IM // BN
∠BCE =∠EMI =∠BKE tø gi¸c BECK néi tiÕp ∠BEC+∠BKC=1800
L¹i cã: ∠BEC=900⇒ ∠BKC=900 VËy CK BN
(167)5.
Vì AO = √2, OB=OC=1 v àABO=ACO=900 suy OBAC l à hình vuông
Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho DOM = DOB
MOE=COE
Suy Δ MOD=Δ BOD DME=900 Δ MOE=Δ COE EMO=900
suy D,M,E thẳng h ng, suy DE l tià à ếp tuyến (O). Vì DE l tià ếp tuyến suy DM=DB, EM=EC
Ta có DE<AE+AD 2DE<AD+AE+BD+CE =2 suy DE<1 Đặt DM= x, EM=y ta có AD2 + AE2 = DE2
(1-x)2 + (1-y)2 = (x+y)2
1- (x+y) = xy (x+y)
2
4 suy DE
2 + 4.DE - 4
DE2√2−2
Vậy 2√2−2≤DE<1
Ta cã: ¿
¿a2(c2+d2)+b2(d2+c2)=(a2+b2) (c2+d2)
Vì adbc=1 nên 1+
ỏp dng bt ng thức Cosi cho hai số khơng âm (a2+b2);(c2+d2) có:
P=a2+b2+c2+d2+ac+bd≥2√(a2+b2) (c2+d2)+ac+bd
⇒P ≥2√1+(ac+bd)2+ac+bd (theo (1)) Râ rµng P>0 vì: 21+(ac+bd)2>|ac+bd|2 Đặt x=ac+bd,ta có: P 21+x2+x
P24(1+x2)+4x1+x2+x2=(1+x2)+4x1+x2+4x2+3
¿(√1+x2+2x)2+3≥3
VËy P ≥3
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25 0.25
(168)Sở giáo dục đào tạo kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên lam sơn hoá năm học: 2009 – 2010
Đề thức Môn: Toán( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên tin)
Thời gian làm : 150 phút( Không kể thời gian giao đề) Ngày thi:19 tháng năm 2009
Câu 1( 2,0 điểm)
Cho biểu thức: T=2x
2
+4
1− x3 − 1+√x−
1 1−√x
1 Tìm điều kiện xđể T xác định Rút gọn T 2. Tìm giá tr ln nht ca T.
Câu 2( 2,0 điểm)
1 Giải hệ phơng trình: { 2x
2
−xy=1
4x2
+4 xy− y2=7
2 Giải phơng trình: x 2+y+2009+z 2010=1
2(x+y+z) Câu 3(2,0 ®iĨm)
1 Tìm số ngun a để phơng trình: x2- (3+2a)x + 40 - a = 0 có nghiệm
ngun Hãy tìm nghiệm ngun đó.
2 Cho a , b , c số thoả mÃn điều kiện: {
a 0 b ≥0 19a+6b+9c=12
Chøng minh r»ng Ýt nhÊt mét hai phơng trình sau có nghiệm x22(a+1)x+a2+6 abc+1=0
x22
(b+1)x+b2+19 abc+1=0
Câu 4(3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đờng trịn tâm O đờng kính AD. Gọi H trực tâm tam giác ABC, E điểm cung BC không chứa điểm A.
1 Chøng minh tứ giác BHCD hình bình hành.
2 Gọi P Q lần lợt điểm đối xứng E qua đờng thẳng AB AC. Chứng minh điểm P, H, Q thẳng hàng.
3 Tìm vị trí điểm E để PQ cú di ln nht.
Câu 5( 1,0 điểm)
Gọi a , b , c độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh rằng với số thực x , y , z ta ln có: x
2
a2+ y2 b2+
z2 c2>
2x2+2y2+2z2
a2+b2+c2
-Hết
-Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên chữ ký giám thị Họ tên chữ ký giám thị 2
Sở giáo dục đào tạo Kỳ thi tuyển vào lớp 10 chuyên lam sơn
Thanh Hoá năm học 2009-2010
ỏp ỏn thi chớnh thc
Môn: Toán ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin)
(169)2,0 1 §iỊu kiƯn: x ≥0; x ≠1
T=2x
2
+4
1− x3 −
2 1− x=
2−2x 1− x3 =
2 x2
+x+1
0,25 0,75 2 Tlín x2
+x+1 nhỏ nhất, điều xẩy x=0
VËy T lín nhÊt b»ng 2
0,5 0,5 1 Giải hệ phơng trình:
2x2 – xy = (1) 4x2 +4xy – y2 = (2)
NhËn thấy x = không thoả mÃn hệ nên từ (1) y = 2x
2−1
x (*) Thế vào (2) đợc: 4x2 + 4x 2x2−1
x - ¿= 7
8x4 – 7x2 - = 0
Đặt t = x2 với t ≥ ta đợc 8t2 - 7t - = 0
t = 1 t = - 1
8 (lo¹i)
với t =1 ta có x2 = x = thay vào (*) tính đợc y = 1 Hệ phơng trình cho có nghiệm: x = x = -1 y = y = -1
0,25
0,25
0,25
0,25
2 §K: x ≥2; y ≥ −2009; z ≥2010
Phơng trình cho tơng đơng với: x+y+z=2√x −2+2√y+2009+2√z −2010
⇔(√x −2−1)2+(√y+2009−1)2+(√z−2010−1)2=0 ⇔x=3; y=−2008; z=2011
0,25 0,25 0,250,25 0,25 0,25 0,2 0,25 0,2 3 1 PT cho có biệt số = 4a2 + 16a -151
PT có nghiệm nguyên = n2 với n N
Hay 4a2 + 16a - 151 = n2 (4a2 + 16a + 16) - n2 = 167
(2a + 4)2 - n2 = 167 (2a + + n)(2a + - n) = 167
Vì 167 số nguyên tè vµ 2a + + n > 2a + - n nên phải có:
2a + + n = 167
2a + - n = 4a + = 168 a = 40 2a + + n = -1 4a + = -168 a = -44 2a + - n = -167
với a = 40 đựơc PT: x2 - 83x = có nghiệm nguyên x = 0, x = 83 với a = - 44 PT có nghiệm ngun x= -1, x = - 84
0,25 0,25 0,25 0,25 2 Ta cã: ' '
1 a(2 ) ;bc b(2 19 )ac
0,25
(170)Suy
' '
1 a(2 )bc b(2 19 )ac
Tõ gi¶ thiÕt 19a6b9c12, ta cã tæng
(2 ) (2 19 ) 4 bc ac c(19a6 ) 4b c(12 ) c
=
2
9c 12c 4 3c 2 0.
Do hai số (2 ) ;(2 19 ) bc ac không âm Mặt khác, theo giả thiết ta có a0 ;b0 Từ suy một hai số
' '
1 ;
không âm, suy hai
phơng trình cho có nghiệm ( đpcm)
0,25
0,25
4 1
2
A
P
B
C D
E H
O Q
Vì H trực tâm tam giác ABC nên BHAC (1)
0,25
0,25 0,25 0,25
(171)5 3
Mặt khác AD đờng kính đờng trịn tâm O nên DCAC (2) Từ (1) (2) suy BH // DC.
Hoàn toàn tơng tự, suy BD // HC.
Suy tứ giác BHCD hình bình hành ( Vì có cặp cạnh đối song song).
Theo giả thiết, ta có: P đối xứng với E qua AB suy AP=AE ∠PAB=∠EAB
ΔPAB=ΔEAB ( c.g c ) ⇒∠APB=∠AEB
L¹i cã ∠AEB =∠ACB ( gãc néi tiÕp cïng chắn cung)
APB=ACB
Mặt khác AHB+ACB=1800 APB +AHB=1800 tứ giác
APHB tứ giác néi tiÕp ∠PAB=∠PHB( gãc néi tiÕp cïng ch¾n mét cung)
Mµ ∠PAB=∠EAB⇒ ∠PHB=∠EAB
Hồn tồn tơng tự, ta có: ∠CHQ=∠EAC.Do đó:
∠PHQ =∠PHB+∠EHC +∠CHQ=∠BAE +∠EAC+∠BHC=¿=∠BAC+∠BHC=1800
Suy ba điểm P, H, Q thẳng hàng
Vì P, Q lần lợt điểm đối xứng E qua AB AC nên ta có AP = AE = AQ suy tam giác APQ tam giác cân đỉnh A
Mặt khác, tính đối xứng ta có ∠PAQ=2∠BAC( khơng đổi) Do cạnh đáy PQ tam giác cân APQ lớn khi AP, AQ lớn AE lớn
Điều xảy AE đờng kính đờng trịn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC E D
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
(172)V× a2
+b2+c2>0ta cã:
(a2
+b2+c2)(x
2
a2+ y2 b2+
z2 c2)=¿x
2
(2+b
2
+c2− a2
a2 )+y
2
(2+a
2
+c2−b2
b2 )+z
2
(2+a
2
+b2− c2
c2 ) ¿2x2+2y2+2z2+x2(b
2
+c2− a2
a2 )+y
(a2+c2−b2
b2 )+z
(a2+b2− c2
c2 )
(*)
Giả sử a b c c2
− a2≥0;c2−b2≥0 Với cạnh c lớn ∠ACB nhọn (gt) kẻ đờng cao BH ta có
c2
=BH2+HA2≤BC2+CA2=a2+b2 từ suy biểu thức (*) l khụng õm
suy điều phải chứng minh
0,25 0,25
0,25
0,5
SỞ GIÁO DỤC ĐAØO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VAØO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 - 2010
Đề thức
Mơn thi: Tốn
Ngày thi: 02/ 07/ 2009
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2,0 điểm)
Giải phương trình sau:
1. 2(x + 1) = – x
2. x2 – 3x + = 0
(173)1. Cho hàm số y = ax + b tìm a, b biết đồ thị hàm số đẫ cho qua hai điểm A(-2; 5) B(1; -4).
2. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2
a tìm điều kiện m để hàm số nghịch biến.
b Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ bằng
2
Baøi 3: (2,0 ñieåm)
Một người xe máy khởi hành từ Hồi Ân Quy Nhơn Sau 75 phút, trên tuyến đường ơtơ khởi hành từ Quy Nhơn Hoài Ân với vận tốc lớn vận tốc xe máy 20 km/giờ Hai xe gặp Phù Cát Tính vận tốc xe, giả thiết Quy Nhơn cách Hoài Ân 100 km Quy Nhơn cách Phù Cát 30 km.
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho tam giác vng ABC nội tiếp đường trịn tâm O đường kính AB Kéo dài AC (về phía C) đoạn CD cho CD = AC.
1. Chứng minh tam giác ABD cân.
2. Đường thẳng vuông góc với AC A cắt đường trịn (O) E Kéo dài
AE (về phía E) đoạn EF cho EF = AE Chứng minh ba điểm D, B, F nằm đường thẳng.
3. Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường
tròn (O). Bài 5: (1,0 điểm)
Với số k nguyên dương, đặt Sk = ( 2 + 1)k + ( 2 - 1)k
Chứng minh rằng: Sm+n + Sm- n = Sm .Sn với m, n số nguyên dương
m > n.
(174)SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2009 - 2010
Đề thức
Lời giải vắn tắt mơn thi: Tốn
Ngày thi: 02/ 07/ 2009 Bài 1: (2,0 điểm)
Giải phương trình sau:
1) 2(x + 1) = – x 2x + = - x 2x + x = - 3x = x =
2) x2 – 3x + = (a = ; b = - ; c = 2)
Ta có a + b + c = - + = Suy x1= x2 = = Bài 2: (2,0 điểm)
1.Ta có a, b nghiệm hệ phương trình = -2a + b
-4 = a + b
-3a =
-4 = a + b
a = -
b = -
Vậy a = - vaø b = - 1
Cho hàm số y = (2m – 1)x + m + 2
a) Để hàm số nghịch biến 2m – < m <
b) Để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hồnh độ
2
Hay đồ thị hàm số qua điểm có toạ đợ (
2
;0) Ta phải có pt 0 = (2m – 1).(- ) + m + m = 8
Bài 3: (2,0 điểm)
Quãng đường từ Hoài Ân Phù Cát dài : 100 - 30 = 70 (km) Gọi x (km/h) vận tốc xe máy ĐK : x > 0.
Vận tốc ô tô x + 20 (km/h)
Thời gian xe máy đến Phù Cát : (h) Thời gian ô tô đến Phù Cát : (h)
Vì xe máy trước tơ 75 phút = (h) nên ta có phương trình : - =
Giải phương trình ta x1 = - 60 (loại) ; x2 = 40 (nhaän).
(175)Bài : a) Chứng minh ABD cân
Xét ABD có BCDA (Do ACB = 900 : Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O))
Mặt khác : CA = CD (gt) BC vừa đường cao vừa trung tuyến nên ABD cân
B
b)Chứng minh ba điểm D, B, F nằm đường thẳng.
2
3
E
O B
D
F A
C
Vì CAE = 900, nên CE đường kính (O), hay C, O, E thẳng hàng. Ta có CO đường trung bình tam giác ABD
Suy BD // CO hay BD // CE (1)
Tương tự CE đường trung bình tam giác ADF
Suy DF // CE (2)
Từ (1) (2) suy D, B, F nằm đường thẳng
c)Chứng minh đường tròn qua ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O).
Ta chứng minh BA = BD = BF
Do đường trịn qua ba điểm A,D,F nhận B làm tâm AB làm bán kính Vì OB = AB - OA > Nên đường tròn qua
ba điểm A, D, F tiếp xúc với đường tròn (O) A
Bài 5: (1,0 điểm)
Với m, n số nguyên dương m > n. Vì Sk = ( 2 + 1)k + ( 2 - 1)k
(176)Sm- n = ( 2 + 1)m - n + ( 2 - 1)m - n
Suy Sm+n + Sm- n = ( 2 + 1)m + n + ( 2 - 1)m + n + ( 2 + 1)m - n + ( 2 - 1)m – n (1)
Mặt khác Sm.Sn =
m m
( 2+ 1) + ( 2- 1)
n n
( 2+ 1) + ( 2- 1)
= ( 2 + 1)m+n + ( 2 - 1)m+n + ( 2 + 1)m ( 2 - 1)n + ( 2 - 1)m ( 2 + 1)n
(2) Maø ( 2 + 1)m - n + ( 2 - 1)m - n
=
m n
( 2+ 1) ( 2+ 1) +
m n
( 2- 1) ( 2- 1) =
m n m n
n n
( 2+ 1) ( 2- 1) ( 2- 1) ( 2+ 1) ( 2- 1) ( 2+ 1)
=
m n m n
n
( 2+ 1) ( 2- 1) ( 2- 1) ( 2+ 1)
= ( 2+ 1) ( 2- 1)m n( 2- 1) ( 2+ 1)m n (3)
Từ (1), (2) (3) Vậy Sm+n + Sm- n = Sm .Sn với m, n số nguyên dương m > n. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NINH -
-KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010
ĐỀ THI CHÍNH THỨC MƠN : TỐN
Ngµy thi : 29/6/2009
Thêi gian lµm bµi : 120 phót
(khơng kể thời gian giao đề)
Ch÷ ký GT : Ch÷ ký GT :
(Đề thi có 01 trang) Bài (2,0 điểm) Rót gän c¸c biĨu thøc sau :
a) 3 27 300 b)
1 1
:
1 ( 1)
x x x x x
Bài (1,5 điểm)
a) Giải phơng trình: x2 + 3x = 0
b) Giải hệ phơng trình: 3x 2y = 2x + y =
Bµi (1,5 điểm)
Cho hàm số : y = (2m – 1)x + m + víi m lµ tham sè vµ m #
1
2 Hãy xác định m mỗi
(177)b) Đồ thị hàm số cắt trục tung, trục hoành lần lợt A , B cho tam giác OAB cân
Bài 4 (2,0 điểm): Giải toán sau cách lập phơng trình hệ phơng trình:
Một ca nơ chuyển động xi dịng từ bến A đến bến B sau chuyển động ngợc dòng từ B A hết tổng thời gian Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 Km vận tốc dòng nớc Km/h Tính vận tốc thực ca nô (( Vận tốc ca nô nớc đứng yờn )
Bài (3,0 điểm)
Cho im M nằm ngồi đờng trịn (O;R) Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB đến đờng tròn (O;R) ( A; B hai tiếp điểm)
a) Chøng minh MAOB tứ giác nội tiếp
b) Tính diện tích tam giác AMB cho OM = 5cm R = cm
c) Kẻ tia Mx nằm góc AMO cắt đờng trịn (O;R) hai điểm C D ( C nằm
M vµ D ) Gọi E giao điểm AB OM Chứng minh EA tia phân giác gãc CED
HÕt
-(C¸n bé coi thi không giải thích thêm)
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Đáp án
Bµi 1:
a) A = b) B = + x
Bµi 2 :
a) x1 = ; x2 = -4
b) 3x – 2y = 2x + y =
<=> 3x – 2y = 7x = 14 x = <=> <=>
4x + 2y = 2x + y = y =
Bµi :
a) Vì đồ thị hàm số qua điểm M(-1;1) => Tọa độ điểm M phải thỏa mãn hàm số : y = (2m – 1)x + m + (1)
Thay x = -1 ; y = vµo (1) ta cã: = -(2m -1 ) + m + <=> = – 2m + m + <=> = – m
<=> m =
VËy víi m = Thì ĐT HS : y = (2m 1)x + m + ®i qua ®iĨm M ( -1; 1)
c) ĐTHS cắt trục tung A => x = ; y = m+1 => A ( ; m+1) => OA = m1 c¾t truc hoành B => y = ; x =
1
2
m m
=> B (
2
m m
; ) => OB =
1 m m
Tam gi¸c OAB c©n => OA = OB <=> m1 =
1
2
m m
Gi¶i PT ta cã : m = ; m = -1
Bµi 4: Gäi vËn tốc thực ca nô x ( km/h) ( x>5) Vận tốc xuôi dòng ca nô x + (km/h) Vận tốc ngợc dòng ca nô x - (km/h) Thời gian ca nô xuôi dòng :
60
x ( giê)
Thời gian ca nô xuôi dòng :
60
(178)Theo bµi ta cã PT:
60 x +
60 x = 5
<=> 60(x-5) +60(x+5) = 5(x2 – 25)
<=> x2 – 120 x – 125 = 0
2 x1 = -1 ( không TMĐK)
3 x2 = 25 ( TMĐK)
Vậy vân tốc thực ca nô 25 km/h Bài 5: D C E O M A B
a) Ta cã: MA AO ; MB BO ( T/C tiÕp tuyÕn c¾t nhau)
=> MAO MBO 900
Tứ giác MAOB có : MAO MBO 900 + 900 = 1800 => Tứ giác MAOB ni tip ng
tròn
b) áp dụng ĐL Pi ta go vào MAO vuông A cã: MO2 = MA2 + AO2
4 MA2 = MO2 – AO2
5 MA2 = 52 – 32 = 16 => MA = ( cm)
Vì MA;MB tiếp tuyến cắt => MA = MB => MAB cân A
MO phân giác ( T/C tiếp tuyến) = > MO đờng trung trực => MO AB
XÐt AMO vuông A có MO AB ta có:
AO2 = MO EO ( HTL trongvu«ng) => EO =
2
AO MO =
9
5(cm)
=> ME = -
9 5 =
16
5 (cm)
áp dụng ĐL Pi ta go vào tam giác AEO vuông E ta cã:AO2 = AE2 +EO2
6 AE2 = AO2 – EO2 = - 81 25 =
144 25 =
12 AE =
12
5 ( cm) => AB = 2AE (vì AE = BE MO đờng trung trực AB)
8 AB =
24
5 (cm) => SMAB =
2ME AB =
1 16 24 5 =
192
25 (cm2)
c) Xét AMO vuông A có MO AB áp dụng hệ thức lợng vào tam giác vu«ng AMO
ta cã: MA2 = ME MO (1)
mµ : ADC MAC =
1
2Sđ AC ( góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung
(179)MAC DAM (g.g) =>
MA MD
MC MA => MA2 = MC MD (2)
Tõ (1) vµ (2) => MC MD = ME MO =>
MD ME MO MC
MCE MDO ( c.g.c) ( M chung;
MD ME
MO MC ) => MEC MDO ( gãc tøng) ( 3)
T¬ng tù: OAE OMA (g.g) =>
OA OE=
OM OA
=>
OA OE =
OM OA =
OD OM
OE OD ( OD = OA = R)
Ta cã: DOE MOD ( c.g.c) ( O chong ;
OD OM
OE OD ) => OED ODM ( gãc t øng) (4)
Tõ (3) (4) => OED MEC mµ : AEC MEC =900
AED OED =900
=> AECAED => EA phân giác DEC
sở gd&đt quảng bình đề thi thức tuyển sinh vo lp 10 thpt
Năm học 2009-2010 Môn :toán
Thi gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Phần I Trắc nghiệm khách quan (2,0 điểm)
* Trong câu từ Câu 1 đến Câu 8, câu có phơng án trả lời A, B, C, D; có phơng án trả lời Hãy chọn chữ đứng trớc phơng án trả lời đúng.
C©u (0,25 điểm): Hệ phơng trình sau vô nghiệm?
(I){y=3x+1y=3x2 (II){y=2xy=12x
A Cả (I) (II) B (I) C (II) D Không có hệ c¶
Câu (0,25 điểm): Cho hàm số y = 3x2 Kết luận dới đúng?
A Hàm số nghịch biến với giá trị x>0 đồng biến với giá trị x<0. B Hàm số đồng biến với giá trị x>0 nghịch biến với giá trị x<0. C Hàm số đồng biến với giá trị x.
D Hµm số nghịch biến với giá trị x.
Câu (0,25 điểm): Kết sau sai?
A sin 450 = cos 450 ; B sin300 = cos600
C sin250 = cos520 ; D sin200 = cos700
Câu (0,25 điểm): Cho tam giác ABC có độ dài cạnh cm Bán kính đờng
(180)Câu (0,25 điểm):
Cho hai đờng thẳng (d1): y = 2x (d2): y = (m - 1)x = 2; với m tham số Đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d2) khi:
A m = -3 B m = 4 C m = 2 D m = 3
Câu (0,25 điểm): Hàm số sau lµ hµm sè bËc nhÊt?
A y = x + 2
x; B y = (1 + √3)x + 1 C y = √x2+2D y = x
Câu (0,25 điểm): Cho biết cos=3
5, với α góc nhọn Khi sinα bao nhiêu? A.3
5 ; B
5
3 ; C
4
5 ; D
3
Câu (0,25 điểm): Phơng trình sau có nghiệm phân biệt?
A x2 + 2x + = 0 ; B x2 + = 0
C 4x2 - 4x + = 0 ; D 2x2 +3x - = 0
PhÇn II Tù luËn ( ®iĨm)
Bµi (2,0 ®iĨm): Cho biĨu thøc:
N=√n−1
√n+1+
√n+1
√n−1; víi n 0, n 1. a) Rót gän biĨu thøc N.
b) Tìm tất giá trị nguyên n để biểu thức N nhận giá trị nguyên.
Bµi (1,5 ®iĨm):
Cho ba đờng thẳng (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = (d3): nx - y = n - 1; n tham số.
a) Tìm tọa độ giao điểm N hai đờng thẳng (d1) (d2). b) Tìm n để đờng thẳng (d3) qua N.
Bµi (1,5 ®iĨm):
Cho phơng trình: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - = (1), với n tham số. a) Tìm n để phơng trình (1) có nghiệm x = 3.
b) Chứng minh rằng, với n- phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Bài (3,0 điểm): Cho tam giác PQR vuông cân P Trong gãc PQR kỴ tia Qx bÊt kú
cắt PR D (D không trùng với P D không trùng với R) Qua R kẻ đờng thẳng vng góc với Qx E Gọi F giao điểm PQ RE.
a) Chứng minh tứ giác QPER nội tiếp đợc đờng tròn. b) Chứng minh tia EP tia phân giác góc DEF
c) TÝnh sè ®o gãc QFD.
d) Gọi M trung điểm đoạn thẳng QE Chứng minh điểm M nằm trên cung tròn cố định tia Qx thay đổi vị trớ nm gia hai tia QP v QR
Đáp ¸n bµi thi tun sinh vµo líp 10 THPT
Năm học 2009 - 2010
(181)Phần I Trắc nghiệm khách quan
Câu Câu1 Câu 2 C©u 3 C©u 4 C©u 5 C©u 6 C©u7 C©u 8
Đáp án C B C A D B C D
Phần II Tự luận Bài 1:
a)N = √n−1 √n+1+
√n+1 √n−1
= (√n−1)
2
+(√n+1)2 (√n+1) (√n −1) = n −2√n+1+n+2√n+1
n−1 = 2(n+1)
n −1 víi n 0, n 1. b) N = 2(n+1)
n −1 =
2(n −1)+4
n−1 = +
4 n 1
Ta có: N nhận giá trị nguyên n 41 có giá trị nguyên n-1 ớc cña 4 ⇒ n-1 {±1;±2;±4}
+ n-1 = -1 ⇔ n = 0 + n-1 = ⇔ n = 2
+ n-1 = -2 n = -1 (Không thỏa mÃn với ĐKXĐ cña N) + n-1 = ⇔ n = 3
+ n-1 = -4 ⇔ n = -3 (Không thỏa mÃn với ĐKXĐ N) + n-1 = ⇔n = 5
Vậy để N nhận giá trị nguyên n {0;2;3;5}
Bµi 2: (d1): -x + y = 2; (d2): 3x - y = vµ
(d3): nx - y = n - 1; n lµ tham sè.
a) Gọi N(x;y) giao điểm hai đờng thẳng (d1) (d2) x,y nghiệm của hệ phơng trình:
{3x − y=4− x+y=2(I)
Ta cã : (I){y=x+22x=6⇔{y=5x=3
VËy: N(3;5)
b) (d3) qua N(3; 5)⇒ 3n - = n -1 ⇔ 2n = ⇔ n= 2. Vậy: Để đờng thẳng (d3) qua điểm N(3;5) ⇔ n = 2
Bài 3: Cho phơng trình: (n + 1)x2 - 2(n - 1)x + n - = (1), với n tham số. a) Phơng trình (1) cã mét nghiÖm x = ⇒ (n+1).32 - 2(n-1).3 + n-3 = 0 ⇔ 9n + - 6n + + n - = 0
⇔ 4n = -12 ⇔ n = -3
b) Víi n-1, ta cã: Δ'= (n-1)2 - (n+1)(n-3) = n2 - 2n + - n2 +2n +4 = > 0
(182)a) Ta có: QPR = 900 ( tam giác PQR vuông cân P) QER = 900 ( RE Qx)
Tứ giác QPER có hai đỉnh P E nhìn đoạn thẳng QR dới góc khơng đổi (900)
⇒ Tứ giác QPER nội tiếp đờng trịn đờng kính QR. b) Tứ giác QPER nội tiếp ⇒ ∠PQR +∠PER = 1800 mà ∠PER + ∠PEF = 1800 (Hai góc kề bù) ⇒ ∠PQR = ∠PEF ⇒∠PEF = ∠PRQ (1)
Mặt khác ta có: ∠PEQ = ∠PRQ (2) <Hai góc nội tiếp chắn cung PQ đờng tròn ngoại tiếp tứ giác QPER>.
Tõ (1) vµ (2) ta cã ∠PEF = ∠PEQ EP tia phân giác gócDEF c) Vì RPQF QE RF nên D trực tâm tam gi¸c QRF suy FDQR⇒ ∠QFD = ∠PQR (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
mà PQR = 450 (tam giác PQR vuông cân P) ∠QFD = 450
d) Gọi I trung điểm QR N trung điểm PQ (I,N cố định) Ta có: MI đờng trung bình tam giác QRE ⇒MI//ER mà ERQE ⇒ MI QE ⇒ ∠QMI = 900 ⇒ M thuộc đờng tròn đờng kính QI.
Khi QxQR th× MI, QxQP th× MN.
Vậy: tia Qx thay đổi vị trí nằm hai tia QP QR M ln nằm cung NI đờng trịn ng kớnh QI c nh.
Trờng THCS cẩm văn
- Kú thi thư tun sinh líp 10 THPT năm học 2009 2010
Môn thi : To¸n
Thời gian làm : 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi : tháng năm 2009 ( buổi sáng) Đề thi gồm : 01 trang
Bài ( 3,0 điểm)
(183)b)
4
1
x
x x x x
2) Giải hệ phơng trình
2x+y=8
y − x=2
¿{
¿ ¿
3) Tìm toạ độ giao điểm đờng thẳng y = 3x - với hai trục toạ độ.
Bài ( 2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thøc P=( √a+2
a+2√a+1−
√a −2 a −1 ):
√a
√a+1(a>0; a≠1)
2) Cho ph¬ng trình x2 - 2(m - 1)x - 3=0 (m tham sè)
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm -2 Tìm nghiệm cịn lại
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q=x1
3
x2+x1x2
5x1x2.
Bài (1,0 điểm)
Tìm hai số có tổng 30 tổng bình phơng chúng 468
Bài (3,0 điểm)
Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O Trên cung AC không chứa điểm B lấy điểm D ( D ≠ A, D ≠ C) P điểm cung AB ( khơng chứa C) Đ-ờng thẳng PC cắt đĐ-ờng thẳng AB, AD lần lợt K E ĐĐ-ờng thẳng PD cắt đĐ-ờng thẳng AB, BC lần lợt I F.Chứng minh :
a) Góc CED góc CFD Từ suy CDEF tứ giác nội tiếp. b) EF // AB.
c) PA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADI
d) Khi D thay đổi tổng bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác AID, BID khơng đổi.
Bài (1,0 điểm) Học sinh chọn phần sau đây
a)Tìm số hữu tỉ x, y tho¶ m·n : √√12−3+√y√3=√x√3
b)Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy) cho điểm A (-3;0)và Parabol(P) có phơng trình y=x2 Hãy tìm toạ độ điểm M thuộc (P) độ dài đoạn thẳng AM nhỏ nhất.
c)Tìm m để giá trị lớn biểu thức 2x+m x2
+1 b»ng 2
d)Rót gän biĨu thøc :A33b b 8b 3 33b b 8b 3 víi b3 / e)Tìm số thực x cho x 2009 vµ
16
2009
x số nguyên.
Hết
Trờng thcs cẩm văn
- Kỳ thi thử tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2009 2010
Môn thi : Toán
Ngày thi : tháng năm 2009 ( buổi sáng)
Hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn gåm 04 trang I Híng dÉn chung
(184)đủ điểm
1) - Việc chi tiết hố điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải đảm bảo không sai lệch với h ớng dẫn chấm đ ợc thống Hội đồng chấm − −
- Sau cộng điểm toàn bài, điểm l n 0,25 im.
II Đáp án thang điểm
Câu (bài)
ý
(phần) Nội dung Điểm
1a:
(0,5 điểm)
6x + =0 6x = -5 x=−5
6 VËy pt cã nghiƯm lµ x=−5
6
0,25
0,25
1b:
(1,25 điểm)
Đkxđ: x vµ x1
Cã
4
1
x
x x x x
2 4 3
( 1) ( 1)
x x
x x x x
2 4 3 3 4 0
4 x
x x x x
x x = 1(loại), x = -4 (TMđk)
Vậy phơng trình cho có nghiệm x = -4
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2: (0,75 ®iĨm)
2x+y=8
y − x=2 ⇔ ¿2x+y=8
− x+y=2
¿{
¿ ¿ ⇔ − x+y=2
3x=6 ⇔ ¿x=2
− x+y=2
¿{
Giải đợc nghiệm x=2
y=4
¿{
¿ ¿
vµ kÕt luËn
0,25
0,25
0,25
(185)y=0 => 3x - = => x=4
3
=> đờng thẳng cắt trục hoành B (4
3;0) 0,25
1:
(0,75®iĨm)
P=[ √a+2
(√a+1)2−
√a −2
(√a −1)(√a+1)]
√a+1
√a
Biến đổi đến P=
a −1
0,25
0,5
2.a
(0,5 ®iĨm)
Phơng trình có nghiệm -2 <=> + 4(m-1) - = tìm đợc m = 3
4
Theo Viet: x x1 3.Mµ
3
x x
2
0,25 0,25
2.b
(0,75 ®iĨm)
' = (m -1)2 + > m
⇒
x1+x2=2(m−1)
x1.x2=−3
¿{
Q= x1.x2[(x1+x2)2-2x1x2]-5x1x2
= -12(m-1)2 - ≤-3 m => Max Q = -3 m =1
0,25
0,25 0,25
Bµi 3
(1,0 ®iĨm)
Gọi số thứ x => số thứ hai 30 - x ta đợc phơng trình : x2 +(30 - x)2 = 468 Giải pt ta đợc : x1 = 18; x2 = 12
Kết luận số phải tìm 18 vµ 12.
0,25 0,25 0,25 0,25
(186)O2 O1
H
Q I
F
K E
P O
A
B
C D
4.a
(0,75 ®iĨm)
CED = (s®CD - s®AP); CFD = (s® CD - s® BP)
2
Mµ PA = PB ( gt) => CED = CFD => CDEF tứ giác nội tiếp
0,25
0,25
4.b:
(0,75
(187)
ECD =
1
s® PD = (s® AP + s® AD)
2 = AID
=> gãc EFD = gãc AID => EF//AB
0,25
4.c:
(0,5 ®iĨm)
KỴ O H1 AI
1 O
1 1
1
PAI ADI AO I AO H
PAI IAO AO H IAO 90
=>PA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AD
0,25
0,25
4d (0,75 ®iĨm)
Cm tt : PB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp BDI. Kẻ đờng kính PQ (O) => Tâm O1 (ADI) thuộc AQ Tâm O2 (BDI) thuộc QB Chứng minh: O AI = O IA; O IB = O BI 1
gãc QAB = gãc QBA => O1I//O2Q ; O2I//O1Q => O1IO2Q hình bình hành
=> O1I + O2I = QA không đổi
0,25
0,25 0,25
a
√√12−3=√x√3−√y√3§K : x ≥0; y ≥0; x>y
=>√12−3=x√3+y√3−2√3 xy⇒(x+y −2)√3=2√3 xy−3 (1) 3 xy số hữu tỉ,mà 3 số vô tØ nªn tõ (1)
x y x y
3 xy 3xy
4
Gi¶i ta cã: x=3
2; y= Thư l¹i, kÕt ln
0,25
0,25
0,25
0,25 b Giả sử M có hồnh độ x Vì M thuộc (P) => M (x;x2)
AM2 = (x+3)2 +(x2)2 = x4 + x2 + 6x + 9 = (x2 - 1)2 + 3(x +1)2 +5
=> AM2 ≥ x
0,25
(188)AM2
=5⇔ x2−1=0
x+1=0 ⇔x=−1
¿{
Điểm M có toạ độ M(-1;1) AM nhỏ ( ¿√5)
0,25 0,25
Giả thiết cho giá trị lớn cña 2x+m x2
+1 b»ng
2x+m
x2+1 ≤2∀x
PT2x+m
x2+1 =2
¿{
¿ ¿
0,25
(1) <=> 2x+m ≤ 2x2+2 x <=> m ≤2¿ <=>m ≤min¿ <=>m ≤3
2
0,25
(2) <=> 2x2 - 2x+2-m = cn<=> ' = 1-2(2-m)≥0 <=> m 3
2 0,25
Kết hợp lại ta có m=3
2 0,25 §K: b
Tõ gi¶ thiÕt
2
3 3
A 6b 3A 3b 1 b 8b 3
3
A 3(1 2b)A (6b 2)
0.25
2
(A 1)(A A 6b 2)
A
(I)
A A 6b (*)
0.25 +) NÕu 3 b
8 =>
3 31 1
A
8 2 0.25
+) NÕu b
8
Phơng trình (*) vô nghiệm (vì 24b0 )
Tõ (I) A = VËy víi mäi
3
b
8 th× A =
0.25
ĐK : x0 Đặt :
16
a x 2009 vµ b 2009
x
(189)
16
b 2009
a 2009
ab 2025b a 2009 0.25
Nếu ab vế phải số vô tỉ vế trái số nguyên vô lÝ
NÕu a = b th× ab - 2025 = a b 45 0.25
x45 2009 Thử lại với x45 2009 thoả mãn đề bài
0.25
HƯỚNG DẨN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT TỈNH QUẢNG TRỊ
MƠN: TỐN Ngày thi: 07/07/2009
Câu 1 (2,0 điểm)
1 Rút gọn biểu thức sau:
a) √12−√27+4√3=2√3−3√3+4√3=3√3.
b) 1−√5+√(2−√5)2=1−√5+|2−√5|=1−√5+√5−2=−1
2 Giải phương trình: x2-5x+4=0
Ta có: a=1; b=-5; c=4; a+b+c= 1+(-5)+4=0 Nên phương trình có nghiệm : x=1 x=4 Hay : S={1;4}.
Câu 2 (1,5 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y=-2x+4 có đồ thị đường thẳng (d). a) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng (d) với hai trục toạ đô.
1 Toạ độ giao điểm đường thẳng (d) với trục Oy nghiệm hệ :
x=0
y=−2x+4 ⇔ ¿x=0
y=4
¿{
¿ ¿ Vậy toạ độ giao điểm đường thẳng (d) với trục Oy A(0 ; 4).
2 Toạ độ giao điểm đường thẳng (d) với trục Ox nghiệm hệ :
y=0
y=−2x+4 ⇔ ¿y=0
x=2
¿{
¿ ¿ Vậy toạ độ giao điểm đường thẳng (d) với trục Ox B(2 ; 0).
(190)Vậy: M(4/3;4/3).
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho phương trình bậc hai: x2-2(m-1)x+2m-3=0 (1)
a) Chứng minh phương trình (1) có nghiệm với giá trị m. x2 - 2(m-1)x + 2m - 3=0.
Có: Δ’ = [−(m−1)]2−(2m −3)
= m2-2m+1-2m+3
= m2-4m+4 = (m-2)2 với m.
4 Phương trình (1) ln ln có nghiệm với giá trị m. b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 <=> 2m-3 < 0
<=> m < 32.
Vậy : với m < 32 phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Câu 4 (1,5 điểm)
Một mảnh vườn hình chử nhật có diện tích 720m2, tăng chiều dài thêm 6m và giảm chiều rộng 4m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính kích thước mảnh vườn ?
Bài giải :
Gọi chiều rộng mảnh vườn a (m) ; a > 4. Chiều dài mảnh vườn 720a (m).
Vì tăng chiều rộng thêm 6m giảm chiều dài 4m diện tích khơng đổi nên ta có phương trình : (a-4) (720a +6) = 720.
⇔a2 -4a-480 = 0 ⇔¿
¿ ¿
Vậy chiều rộng mảnh vườn 24m. chiều dài mảnh vườn 30m.
Câu 5 (3,5 điểm)
Cho điểm A nằm đường trịn tâm O bán kính R Từ A kẻ đường thẳng (d) không qua tâm O, cắt (O) B C ( B nằm A C) Các tiếp tuyến với đường tròn (O) B C cắt D Từ D kẻ DH vng góc với AO (H nằm AO), DH cắt cung nhỏ BC M Gọi I giao điểm DO BC.
1 Chứng minh OHDC tứ giác nội tiếp. 2 Chứng minh OH.OA = OI.OD.
3 Chứng minh AM tiếp tuyến đường tròn (O).
(191)K
I
M H
D
C B
O A
Chứng minh: a) C/m: OHDC nội tiếp.
Ta có: DH vng goc với AO (gt) => ∠OHD = 900. CD vng góc với OC (gt) => ∠OCD = 900. Xét Tứ giác OHDC có ∠OHD + ∠OCD = 1800. Suy : OHDC nội tiếp đường tròn. b) C/m: OH.OA = OI.OD
Ta có: OB = OC (=R); DB = DC ( T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Suy OD đường trung trực BC => OD vuông góc với BC. Xét hai tam giác vng ΔOHD ΔOIA có ∠AOD chung
5 ΔOHD đồng dạng với ΔOIA (g-g) 6 OHOI =OD
OA => OH OA=OI OD (1) (đpcm). c) Xét ΔOCD vng C có CI đường cao áp dụng hệ thức lượng tam giác vng, ta có: OC2 = OI.OD mà OC = OM (=R) (2). Từ (1) (2) : OM2 = OH.OA
⇒OM OH =
OA OM.
Xét tam giác : ΔOHM ΔOMA có : ∠AOM chung OMOH =OA
OM.
Do : ΔOHM đồng dạng ΔOMA (c-g-c) 7 ∠OMA =∠OHM = 900.
(192)d)Gọi K giao điểm OA với (O); Gọi diện tích cần tìm S. 10 S = SΔAOM - SqOKM
Xét ΔOAM vuông M có OM = R ; OA = 2.OK = 2R => ΔOMK tam giác đều.
=> MH = R.√23 ∠AOM = 600 => SΔAOM = 1
2OA MH=
2 2R.R.√ =R
2
.√3
2 (đvdt) SqOKM = Π.R
2
60
360 =
Π.R2
6 (đvdt) => S = SΔAOM - SqOKM = R2.√3
2 − Π.R2
6 =R
2
.3√3− Π
6 (đvdt).
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT THANH HĨA NĂM HỌC 2009-2010
Mơn thi : Toán
Ngày thi: 30 tháng năm 2009 Thời gian làm bài: 120 phút
Bài (1,5 điểm)
Cho phương trình: x2 – 4x + n = (1) với n tham số. 1.Giải phương trình (1) n = 3.
(193)Giải hệ phương trình:
2
2
x y x y
Bài (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 điểm B(0;1) 1 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm B(0;1) có hệ số k.
2 Chứng minh đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt E và F với k.
3 Gọi hoành độ E F x1 x2 Chứng minh x1 x2 = - 1, từ đó suy tam giác EOF tam giác vuông.
Bài (3,5 điểm)
Cho nửa đương trịn tâm O đường kính AB = 2R Trên tia đối tia BA lấy điểm G (khác với điểm B) Từ điểm G; A; B kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) Tiếp tuyến kẻ từ G cắt hai tiếp tuyến kẻ từ A avf B C D.
1 Gọi N tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ G tới nửa đường tròn (O) Chứng minh tứ giác BDNO nội tiếp được.
2 Chứng minh tam giác BGD đồng dạng với tam giác AGC, từ suy ra
CN DN CG DG .
3 Đặt BOD Tính độ dài đoạn thẳng AC BD theo R Chứng tỏ rằng tích AC.BD phụ thuộc R, khơng phụ thuộc .
Bài (1,0 điểm)
Cho số thực m, n, p thỏa mãn :
2
2 1
2 m n np p
.
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức : B = m + n + p. ……… Hết ……….
(194)ĐÁP ÁN
Bài (1,5 điểm)
Cho phương trình: x2 – 4x + n = (1) với n tham số. 1.Giải phương trình (1) n = 3.
x2 – 4x + = Pt có nghiệm x
1 = 1; x2 = 3 2 Tìm n để phương trình (1) có nghiệm.
’ = – n n 4 Bài (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
2
x y x y
HPT có nghiệm: x y
Bài (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2 điểm B(0;1) 1 Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm B(0;1) có hệ số k.
y = kx + 1
2 Chứng minh đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt E và F với k.
Phương trình hồnh độ: x2 – kx – = 0
= k2 + > với k
PT có hai nghiệm phân biệt đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt E F với k.
3 Gọi hoành độ E F x1 và x2 Chứng minh x1 x2 = -1, từ đó suy tam giác EOF tam giác vuông
Tọa độ điểm E(x1; x12); F((x2; x22) PT đường thẳng OE : y = x1 x PT đường thẳng OF : y = x2 x Theo hệ thức Vi ét : x1 x2 = - 1
đường thẳng OE vng góc với đường thẳng OF EOF vng. Bài (3,5 điểm)
(195)1, Tứ giác BDNO nội tiếp được.
2, BD AG; AC AG BD // AC (ĐL) GBD đồng dạng GAC (g.g)
CN BD DN CG AC DG
3, BOD = BD = R.tg ; AC = R.tg(90o –
) = R tg BD AC = R2.
Bài (1,0 điểm)
2
2 1
2 m n np p
(1)
… ( m + n + p )2 + (m – p)2 + (n – p)2 = 2
(m – p)2 + (n – p)2 = - ( m + n + p )2
(m – p)2 + (n – p)2 = – B2 vế trái không âm – B2
B2
B dấu m = n = p thay vào (1) ta có m = n = p =
2
Max B = 2 m = n = p = Min B = 2 m = n = p =
2
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————— KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 ĐỀ THI MƠN: TỐN
Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
—————————
(Đề có 01 trang)
Câu (3,0 điểm).
a) Giải hệ phương trình:
1
2
1
2 x y
x y xy
xy
b) Giải biện luận phương trình: |x3 |p x| | 5 (p tham số có giá trị thực).
(196)Cho ba số thực , ,a b c đôi phân biệt Chứng minh
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
Câu (1,5 điểm). Cho
4
A
x x
2
2
x B
x x
Tìm tất giá trị nguyên x cho
2 A B C
số nguyên.
Câu (3,0 điểm). Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB<CD) Gọi K, M là trung điểm BD, AC Đường thẳng qua K vng góc với AD cắt đường thẳng qua M vng góc với BC Q Chứng minh:
a) KM // AB. b) QD = QC.
Câu (1,0 điểm). Trong mặt phẳng cho 2009 điểm, cho điểm trong chúng đỉnh tam giác có diện tích khơng lớn Chứng minh tất cả điểm cho nằm tam giác có diện tích không lớn 4.
—Hết—
Cán coi thi khơng giải thích thêm
Họ tên thí sinh SBD
SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN
Dành cho lớp chuyên Toán.
—————————
Câu (3,0 điểm).
a) 1,75 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
(197)Hệ cho
2[ ( ) ( )] (1)
2( ) (2)
xy x y x y xy xy xy 0,25
Giải PT(2) ta được:
2 (3) (4) xy xy 0,50
Từ (1)&(3) có:
1 2 x y x y xy x y 0,25
Từ (1)&(4) có:
1 2 1 2 x y x y xy x y 0,25
Vậy hệ cho có nghiệm là: ( ; ) (1; 2), (2; 1), (1; 1/ 2), (1/ 2; 1)x y 0,25 b) 1,25 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Xét trường hợp:
TH1 Nếu 2x PT trở thành: (p1)x2(p1) (1)
TH2 Nếu 3 x 2 PT trở thành: (1 p x) 2(1 p) (2) TH3 Nếu x 3 PT trở thành: (p1)x2(p 4) (3)
0,25 Nếu p1 (1) có nghiệm x2; (2) vơ nghiệm; (3) có nghiệm x thoả mãn:
2( 4)
3 1
1 p x p p . 0,25 Nếu p1 (1) cho ta vô số nghiệm thoả mãn 2x; (2) vô nghiệm; (3) vô
nghiệm. 0,25
Nếu p1 (2) cho ta vơ số nghiệm thoả mãn 3 x 2; (1) có nghiệm x=2;
(3)VN 0,25
Kết luận:
+ Nếu -1 < p < phương trình có nghiệm: x =
2( 4) p x p + Nếu p = -1 phương trình có vơ số nghiệm 2 x
+ Nếu p = phương trính có vơ số nghiệm 3 x + Nếu 1 p p
phương trình có nghiệm x = 2.
0,25
(198)Nội dung trình bày Điểm + Phát chứng minh
1
( )( ) ( )( ) ( )( )
bc ca ab
a b a c b a b c c a c b
1,0 + Từ đó, vế trái bất đẳng thức cần chứng minh bằng:
2
2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c bc ca ab
b c c a a b a b a c b c b a c a c b
0,5
Câu (1,5 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
Điều kiện xác định: x1 (do x nguyên). 0,25
Dễ thấy
1 2( 1)
;
| 1| | 1|
x
A B
x x
, suy ra:
2 1
3 | 1| | 1| x C x x
0,25
Nếu x1 Khi
2 4( 1) 4( 1)
1 1
3 3(2 1) 3(2 1) 3(2 1)
x x x
C C
x x x x
Suy 0C1, hay C số nguyên với x1
0,5 Nếu 1 x
Khi đó: x0 (vì x nguyên) C0 Vậy x0 giá trị cần tìm.
0,25
Nếu
1 x
Khi x1 (do x nguyên) Ta có:
2 4( 1)
1
3 3(2 1)
x C x x
4( 1)
1
3(2 1) 3(2 1)
x x
C
x x
, suy ra
1 C
hay C 0 x1.
Vậy giá trị tìm thoả mãn yêu cầu là: x0, x1.
0,25
Câu (3,0 điểm): a) 2,0 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Gọi I trung điểm AB, ,
E IK CD R IM CD Xét hai tam
giác KIB KED có: ABD BDC
0,25 KB = KD (K trung điểm BD) 0,25
IKB EKD 0,25
Suy KIBKED IK KE. 0,25
Chứng minh tương tự có: MIAMRC 0,25
Suy ra: MI = MR 0,25
Trong tam giác IER có IK = KE MI = MR nên KM đường trung bình KM // CD
(199)(đpcm) b) 1,0 điểm:
Nội dung trình bày Điểm
Ta có: IA=IB, KB=KD (gt) IK đường trung bình ABD IK//AD hay IE//AD
chứng minh tương tự ABC có IM//BC hay IR//BC
0,25 Có: QK AD(gt), IE//AD (CM trên) QK IE Tương tự có QM IR 0,25 Từ có: IK=KE, QKIE QKlà trung trực ứng với cạnh IE IER Tương
tự QM trung trực thứ hai IER 0,25
Hạ QH CD suy QH trung trực thứ ba IER hay Q nằm trung trực
của đoạn CD Q cách C D hay QD=QC (đpcm). 0,25
Câu (1,0 điểm):
Nội dung trình bày Điểm
A'
B' C'
A
B C
P P'
Trong số tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn (diện tích
S) Khi S1. 0.25
Qua đỉnh tam giác, kẻ đường thẳng song song với cạnh đối diện, đường thẳng giới hạn tạo thành tam giác A B C' ' ' (hình vẽ) Khi đó
' ' ' 4
A B C ABC
S S Ta chứng minh tất điểm cho nằm tam giác ' ' '
A B C .
0.25
Giả sử trái lại, có điểm P nằm tam giác A B C' ' ', chẳng hạn hình vẽ Khi d P AB ; d C AB ; , suy SPAB SCAB, mâu thuẫn với giả thiết tam giác
ABC có diện tích lớn nhất.
0.25 Vậy, tất điểm cho nằm bên tam giác A B C' ' ' có diện tích khơng
lớn 4. 0.25
Một số lưu ý:
(200)-Trong trình giải học sinh bước sai, bước sau có sử dụng kết phần sai có khơng cho điểm.
-Bài hình học, học sinh khơng vẽ hình phần khơng cho điểm tương ứng với phần đó.
-Những phần điểm từ 0,5 trở lên, tổ chấm thống chia tới 0,25 điểm. -Điểm tồn tính đến 0,25 điểm.
—Hết—
ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN QUỐC HỌC HUẾ NĂM 2009-2010
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: Cho phương trình:
a) Tìm m để pt có nghiệm phân biệt b) Tìm của
Bài 2:
a) Cho pt có nghiệm dương phân biệt CMR phương trình có nghiệm dương phân biệt.
b) Giải pt:
c) CMR có số thực (x;y;z) thỗ mãn:
Bài 3: Cho góc xOy có số đo 60 độ (K) nằm góc xOy tiếp xúc với tia Ox M và tiếp xúc với Oy N Trên tia Ox lấy P cho OP=3 OM.
Tiếp tuyến (K) qua P cắt Oy Q khác O Đường thẳng PK cắt MN E QK cắt MN F.
a) CMR: Tam giác MPE đồng dạng tam giác KPQ b) CMR: PQEF nội tiếp
c) Gọi D trung điểm PQ CMR tam giác DEF đều. Bài 4:Giải PTNN:
Bài 5: Giả sử tứ giác lồi ABCD có hình vng ngoại tiếp khác CMR: Tứ giác này có vơ số hình vng ngoại tiếp.