SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ KHÓA NGÀY 19.6.2006 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨCSố báo danh: .......... Phòng: ........Bài 1: (2,5 điểm)a)Tìm các số thực biết : và .b)Giải phương trình : .Bài 2: (3,5 điểm)Cho đường tròn (O) có đường kính BD = 2R, dây AC của (O) vuông góc với BD tại H. Gọi P, Q, R, S theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AD, CD, CB.a)Chứng tỏ : HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 .b)Chứng minh tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp .c)Chứng minh : PR + QS AB + AD .Bài 3: (3 điểm) a)Đặt = ; = . Chứng tỏ rằng : .b)Chứng tỏ : với mọi số thực .Suy ra với là các số dương ta luôn có : .c)Phân chia chín số : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 thành ba nhóm tuỳ ý, mỗi nhóm có ba số. Gọi T1 là tích của ba số của nhóm thứ nhất, T2 là tích của ba số của nhóm thứ hai và T3 là tích của ba số của nhóm thứ ba. Hỏi tổng : T1 + T2 + T3 có giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu ?Bài 4: (1 điểm) Một thùng sắt đậy kín hình lập phương. Biết rằng trong thùng chứa 9 khối có dạng hình cầu cùng bán kính, làm bằng chất liệu rất rắn . Chứng minh rằng nếu cạnh của thùng hình lập phương là a thì đường kính của các khối cầu bên trong nó nhỏ hơn hoặc bằng ( )a. HếtThõa Thiªn HuÕM«n: TO¸N N¨m häc 20072008§Ò chÝnh thøcThêi gian lµm bµi: 150 phót Bài 1: (2 điểm) Giải hệ phương trình: Bài 2: (2 điểm) Chứng minh rằng phương trình: luôn có 4 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của . Tìm giá trị sao cho .Bài 3: (3 điểm) Cho hình vuông cố định PQRS. Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M P, M Q). Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F Q). Đường thẳng RF cắt cạnh SP của hình vuông PQRS tại N.1.Chứng tỏ rằng: .2.Chứng minh rằng khi M thay đổi trên cạnh PQ của hình vuông PQRS thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MEF luôn đi qua một điểm cố định.3.Chứng minh rằng: MN = MQ + NS.Bài 4: (2 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho đẳng thức sau đúng: Bài 5: (1 điểm) Chứng minh với mọi số thực luôn có: Hết Së Gi¸o dôc vµ ®µo t¹oKú THI TUYÓN SINH LíP 10 chuyªn QuèC HäC Thõa Thiªn HuÕM«n: TO¸N N¨m häc 20082009§Ò chÝnh thøcThêi gian lµm bµi: 150 phót Bài 1: (3 điểm)a)Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy chứng minh đẳng thức : .b)Giải hệ phương trình : Bài 2: (1,5 điểm) Cho phương trình: . Tìm giá trị để phương trình có bốn nghiệm sao cho: và .Bài 3: (3 điểm) Cho đường tròn (O), đường kính AB. Gọi C là trung điểm của bán kính OB và (S) là đường tròn đường kính AC. Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy ý phân biệt M, N khác A và B. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN với đường tròn (S). a)Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.b)Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm. Chứng minh: .c)Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm. Chứng minh: .Bài 4: (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:(i)Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.(ii)Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm.Bài 5: (1 điểm)Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên. Chứng minh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên.Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾMôn: TOÁN CHUYÊN Năm học 20092010ĐỀ CHÍNH THỨCThời gian làm bài: 150 phútBài 1: (2 điểm)Cho phương trình : ( là tham số). a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm thực phân biệt , .b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .Bài 2: (3 điểm)a) Cho phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. Chứng minh rằng phương trình cũng có hai nghiệm dương phân biệt.b) Giải phương trình : c) Chứng minh rằng có duy nhất bộ số thực (x ; y ; z) thỏa mãn điều kiện : Bài 3: (2,5 điểm) Cho góc xOy có số đo bằng 60o. Đường tròn có tâm K nằm trong góc xOy tiếp xúc với tia Ox tại M và tiếp xúc với tia Oy tại N. Trên tia Ox lấy điểm P sao cho OP = 3OM. Tiếp tuyến của đường tròn (K) qua P cắt tia Oy tại Q khác O. Đường thẳng PK cắt đường thẳng MN ở E. Đường thẳng QK cắt đường thẳng MN ở F.a) Chứng minh tam giác MPE đồng dạng với tam giác KPQ.b) Chứng minh tứ giác PQEF nội tiếp được trong đường tròn.c) Gọi D là trung điểm của đoạn PQ. Chứng minh tam giác DEF là một tam giác đều.Bài 4: (1,5 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên (a ; b) nghiệm đúng điều kiện : .Bài 5: (1 điểm)Người ta gọi “Hình vuông (V) ngoại tiếp tứ giác lồi ABCD” khi tứ giác ABCD nằm trong (V) và trên mỗi cạnh của (V) có chứa đúng một đỉnh của tứ giác ABCD (Hình 1).Giả sử tứ giác lồi ABCD có hai hình vuông ngoại tiếp khác nhau. Chứng minh rằng tứ giác này có vô số hình vuông ngoại tiếp nó. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Khoá ngày 24.6.2010ĐỀ CHÍNH THỨCMôn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm)Xác định tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn: .Bài 2: (2,0 điểm)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức khi các số thực x, y thay đổi. Giá trị nhỏ nhất đó đạt được tại các giá trị nào của x và y.Bài 3: (2,5điểm)a) Giải phương trình : . b) Giải hệ phương trình : Bài 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a. Đường trung trực của đoạn AC cắt đường phân giác trong của góc BAC tại K.a) Gọi (K) là đường tròn có tâm K và tiếp xúc với đường thẳng AB. Chứng minh rằng đường tròn (K) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.b) Chứng minh rằng trung điểm của đoạn AK cũng là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.Bài 5: (2,0 điểm)a) Với bộ số (6 ; 5 ; 2), ta có đẳng thức đúng : .Hãy tìm tất cả các bộ số (a ; b ; c) gồm các chữ số hệ thập phân a , b, c đôi một khác nhau và khác 0 sao cho đẳng thức đúng.b) Cho tam giác có số đo một góc bằng trung bình cộng của số đo hai góc còn lại và độ dài các cạnh a, b, c của tam giác đó thoả mãn: .Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN QUỐC HỌC THỪA THIÊN HUẾ Khóa ngày 2462011 Môn : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài :150 phútBài 1: (2 điểm)
S GIO DC - O TO HC THA THIấN HU ***** K THI TUYN SINH VO LP 10 CHUYấN QUC KHểA NGY 19.6.2006 MễN : TON Thi gian lm bi: 150 phỳt CHNH THC S bỏo danh: Phũng: Bi 1: (2,5 im) a) Tỡm cỏc s thc u, v bit : u + v3 = v u ìv = b) Gii phng trỡnh : ( x 1) ( x + 3) ( x + ) = Bi 2: (3,5 im) Cho ng trũn (O) cú ng kớnh BD = 2R, dõy AC ca (O) vuụng gúc vi BD ti H Gi P, Q, R, S theo th t l chõn cỏc ng vuụng gúc k t H n AB, AD, CD, CB a) Chng t : HA2 + HB2 + HC2 + HD2 = 4R2 b) Chng minh t giỏc PQRS l t giỏc ni tip c) Chng minh : PR + QS AB + AD Bi 3: (3 im) a) t = p ; = q Chng t rng : b) Chng t : ( 1 p q = p + q + + +1 q p 2 ) x + y + z xyz = ( x + y + z ) x + y + z xy yz zx vi mi s thc x, y , z Suy vi a, b, c l cỏc s dng ta luụn cú : a + b + c 3 abc c) Phõn chia chớn s : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, thnh ba nhúm tu ý, mi nhúm cú ba s Gi T1 l tớch ca ba s ca nhúm th nht, T l tớch ca ba s ca nhúm th hai v T3 l tớch ca ba s ca nhúm th ba Hi tng : T1 + T2 + T3 cú giỏ tr nh nht l bao nhiờu ? Bi 4: (1 im) Mt thựng st y kớn hỡnh lp phng Bit rng thựng cha cú dng hỡnh cu cựng bỏn kớnh, lm bng cht liu rt rn Chng minh rng nu cnh ca thựng hỡnh lp phng l a thỡ ng kớnh ca cỏc cu bờn nú nh hn hoc bng ( )a -Ht Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008 Thời gian làm bài: 150 phút Đề thức Bi 1: (2 im) Gii h phng trỡnh: x + y = y 2x = Bi 2: (2 im) 2 Chng minh rng phng trỡnh: x ( m + ) x + m + = luụn cú nghim phõn bit x1 , x2 , x3 , x4 vi mi giỏ tr ca m 2 2 Tỡm giỏ tr m cho x1 + x2 + x3 + x4 + x1 ìx2 ìx3 ìx4 = 11 Bi 3: (3 im) Cho hỡnh vuụng c nh PQRS Xột mt im M thay i trờn cnh PQ (M P, M Q) ng thng RM ct ng chộo QS ca hỡnh vuụng PQRS ti E ng trũn ngoi tip tam giỏc RMQ ct ng thng QS ti F (F Q) ng thng RF ct cnh SP ca hỡnh vuụng PQRS ti N ã ã ã Chng t rng: ERF = QRE + SRF Chng minh rng M thay i trờn cnh PQ ca hỡnh vuụng PQRS thỡ ng trũn ngoi tip tam giỏc MEF luụn i qua mt im c nh Chng minh rng: MN = MQ + NS Bi 4: (2 im) Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn p, q cho ng thc sau ỳng: p2 + q3 = pq p q + Bi 5: (1 im) Chng minh vi mi s thc x, y , z luụn cú: x + y z + y + z x + z + x y + x + y + z 2( x + y + z ) Ht Sở Giáo dục đào tạo Thừa Thiên Huế Đề thức Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC Môn: TOáN - Năm học 2008-2009 Thời gian làm bài: 150 phút Bi 1: (3 im) a) Khụng s dng mỏy tớnh b tỳi, hóy chng minh ng thc : 13 = b) Gii h phng trỡnh : x +1 + y = ( x + x + 1) y = 36 Bi 2: (1,5 im) Cho phng trỡnh: x 2mx + 2m = Tỡm giỏ tr m phng trỡnh cú bn nghim x1, x2 , x3 , x4 cho: x1 < x2 < x3 < x4 v x4 x1 = ( x3 x2 ) Bi 3: (3 im) Cho ng trũn (O), ng kớnh AB Gi C l trung im ca bỏn kớnh OB v (S) l ng trũn ng kớnh AC Trờn ng trũn (O) ly hai im tựy ý phõn bit M, N khỏc A v B Gi P, Q ln lt l giao im th hai ca AM v AN vi ng trũn (S) a) Chng minh rng ng thng MN song song vi ng thng PQ b) V tip tuyn ME ca (S) vi E l tip im Chng minh: ME = MA ìMP c) V tip tuyn NF ca (S) vi F l tip im Chng minh: ME AM = NF AN Bi 4: (1,5 im) Tỡm s t nhiờn cú bn ch s (vit h thp phõn) cho hai iu kin sau ng thi c tha món: (i) Mi ch s ng sau ln hn ch s ng lin trc (ii) Tng p + q ly giỏ tr nh nht, ú p l t s ca ch s hng chc v ch s hng n v cũn q l t s ca ch s hng nghỡn v ch s hng trm Bi 5: (1 im) Mt tm bỡa dng tam giỏc vuụng cú di ba cnh l cỏc s nguyờn Chng minh rng cú th ct tm bỡa thnh sỏu phn cú din tớch bng v din tớch mi phn l s nguyờn Ht S GIO DC V O TO Kè THI TUYN SINH LP 10 CHUYấN QUC HC THA THIấN HU Mụn: TON CHUYấN - Nm hc 2009-2010 CHNH THC Bi 1: (2 im) Thi gian lm bi: 150 phỳt Cho phng trỡnh : x mx m = ( m l tham s) a) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh trờn cú hai nghim thc phõn bit x1 , x2 b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc S = m + 2m x12 + x22 + Bi 2: (3 im) a) Cho phng trỡnh ax + bx + c = cú hai nghim dng phõn bit Chng minh rng phng trỡnh cx + bx + a = cng cú hai nghim dng phõn bit b) Gii phng trỡnh : x x+4 +1 = x+4 x c) Chng minh rng cú nht b s thc (x ; y ; z) tha iu kin : x 2008 + y 2009 + z 2010 + 3012 = ( x + y + z) Bi 3: (2,5 im) Cho gúc xOy cú s o bng 60o ng trũn cú tõm K nm gúc xOy tip xỳc vi tia Ox ti M v tip xỳc vi tia Oy ti N Trờn tia Ox ly im P cho OP = 3OM Tip tuyn ca ng trũn (K) qua P ct tia Oy ti Q khỏc O ng thng PK ct ng thng MN E ng thng QK ct ng thng MN F a) Chng minh tam giỏc MPE ng dng vi tam giỏc KPQ b) Chng minh t giỏc PQEF ni tip c ng trũn c) Gi D l trung im ca on PQ Chng minh tam giỏc DEF l mt tam giỏc u Bi 4: (1,5 im) Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn (a ; b) nghim ỳng iu kin : (a 1) (a + 9) = 4b + 20b + 25 Bi 5: (1 im) Ngi ta gi Hỡnh vuụng (V) ngoi tip t giỏc li ABCD t giỏc ABCD nm (V) v trờn mi cnh ca (V) cú cha ỳng mt nh ca t giỏc ABCD (Hỡnh 1) Gi s t giỏc li ABCD cú hai hỡnh vuụng ngoi tip khỏc Chng minh rng t giỏc ny cú vụ s hỡnh vuụng ngoi tip nú - HT S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH THPT CHUYấN QUC HC THA THIấN HU Khoỏ ngy 24.6.2010 Mụn: TON CHNH THC Thi gian lm bi: 150 phỳt Bi 1: (1,5 im) Xỏc nh tham s m phng trỡnh ( m + 1) x ( m 1) x + m = cú hai nghim phõn bit x1 , x2 tho món: ( x1 + x2 ) = x1 x2 Bi 2: (2,0 im) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = x + xy + y x y + 2010 cỏc s thc x, y thay i Giỏ tr nh nht ú t c ti cỏc giỏ tr no ca x v y Bi 3: (2,5im) a) Gii phng trỡnh : x + + x = 1 x+ y+ x + y +4=0 b) Gii h phng trỡnh : xy + + x + y - = xy y x Bi 4: (2,0 im) Cho tam giỏc ABC cú BC = 5a, CA = 4a, AB = 3a ng trung trc ca on AC ct ng phõn giỏc ca gúc BAC ti K a) Gi (K) l ng trũn cú tõm K v tip xỳc vi ng thng AB Chng minh rng ng trũn (K) tip xỳc vi ng trũn ngoi tip ca tam giỏc ABC b) Chng minh rng trung im ca on AK cng l tõm ng trũn ni tip ca tam giỏc ABC Bi 5: (2,0 im) 65 = 26 Hóy tỡm tt c cỏc b s (a ; b ; c) gm cỏc ch s h thp phõn a , b, ab b = c ụi mt khỏc v khỏc cho ng thc ỳng ca c a) Vi b s (6 ; ; 2), ta cú ng thc ỳng : b) Cho tam giỏc cú s o mt gúc bng trung bỡnh cng ca s o hai gúc cũn li v di cỏc cnh a, b, c ca tam giỏc ú tho món: a +bc = a + b c Chng minh rng tam giỏc ny l tam giỏc u - HT S GIO DC V O TO THA THIấN HU CHNH THC Kè THI TUYN SINH LP 10 CHUYấN QUC HC Khúa ngy 24-6-2011 Mụn : TON Thi gian lm bi :150 phỳt Bi 1: (2 im) x + y xy = 19 Gii h phng trỡnh: 3 x + y + 19 = Bi 2: (1,5 im) Cho parabol (P): y = x v ng thng (d): y = ax a Xỏc nh tham s a (d) ct (P) ti hai im phõn bit cú honh x1 , x2 1 tha món: x + x = Bi 3: (2,5 im) a) Gii phng trỡnh : x + + x +1 + x + x +1 = 1+ x b) Tỡm cỏc s nguyờn t p cho hai s 2(p + 1) v 2(p + 1) l hai s chớnh phng Bi 4: (2 im) Cho hai ng trũn (S) v (T) ct ti A v B Mt ng thng tip xỳc vi ng trũn (S) ti C, tip xỳc vi ng trũn (T) ti E v cho khong cỏch t A n ln hn khong cỏch t B n a) Gi D l im i xng ca A qua ng thng Chng minh rng t giỏc BCDE ni tip c mt ng trũn (V) b) Gi RS , RT v RV ln lt l cỏc bỏn kớnh ca cỏc ng trũn (S), (T) v (V) RS RT = RV2 Chng minh rng: Bi 5: (2 im) a) Xột cỏc s thc x, y, z, t tha ng thi cỏc iu kin: x + y + z + t = v xy + xz + xt + yz + yt + zt = 18 Tỡm giỏ tr nh nht ca t b) Cho hỡnh vuụng cú cỏc di cnh tớnh bng l n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6, n + 7, n + 8, n + 9, vi n l s nguyờn dng Gi S l tng din tớch ca hỡnh vuụng ny Cú hay khụng mt hỡnh vuụng din tớch bng S v cú di cnh l mt s nguyờn một? - HT S GIO DC V O TO K THI TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN QUC HC THA THIấN HU Nm hc: 2012 - 2013 Khúa ngy: 24/6/2012 Mụn thi: TON (CHUYấN TON) THI CHNH THC Thi gian lm bi : 150 phỳt (khụng k thi gian giao ) Bi 1: (2,0 im) x + y = x + y + Gii h phng trỡnh: x ( x 1) y ( y 1) = 12 Bi 2: (2,0 im) ( )( ) 2 Cho cỏc s thc u, v cho: u + u + v + v 2v + = Chng minh: u + v + 3uv = Bi 3: (2,0 im) Cho hai ng trũn (O) v (O) ct ti A v B cho on thng OO' ct ng thng AB ng thng tip xỳc vi ng trũn (O) ti C, tip xỳc vi ng trũn (O') ti D v cho khong cỏch t A n ng thng ln hn khong cỏch t B n ng thng ng thng qua A song song vi ng thng ct ng trũn (O) thờm im E v ct ng trũn (O) thờm im F Tia EC ct tia FD ti G ng thng EF ct cỏc tia CB v tia DB ln lt ti H v K a) Chng minh t giỏc BCGD ni tip c ng trũn b) Chng minh tam giỏc GHK l tam giỏc cõn Bi 4: (2,0 im) a) Tỡm cỏc s nguyờn dng l x, y, z tha ng thi cỏc iu kin sau: 1 1 + + = x < y < z v x y z b) Chng minh rng tn ti 2013 s nguyờn dng a1, a2, a3,, a2013 cho: 1 1 + + + + + =1 a1 < a2 < a3 AC (A khỏc C) V hỡnh vuụng ABDE (D v E cựng nm trờn na mp b AB khụng cha C) Gi F l giao im th ca AD vi ng trũn v K l giao im ca CF vi DE Chng minh KB l tip tuyn ca ng trũn (O) Cho tam giỏc ABC cú BC=a, CA=b, AB=c Gi I l tõm ng trũn ni tip tam giỏc ABC ng thng vuụng gúc vi CI ti I ct CA, CB theo th t ti M, N Chng minh: a) AM.BN=IM2=IN2 IA2 IB IC b) + + = BC AC AB Bi 5: (2 im) Cho s dng a v b tha iu kin a+b2 Chng minh (a + 1)6 (b + 1) + 128 b5 a5 n Tỡm s t nhiờn cú ch s n = 100a + 10b + c cho biu thc t a+b+c giỏ tr nh nht