LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM 2020 THUVIENTOAN.NET. Câu 1.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM 2020 – 2021
Mơn thi: Tốn Chun
Thời gian làm 150 phút, không kể thời gian phát đề Câu (1,5 điểm)
Giả sử a b c, , số thực khác cho hệ phương trình
ax by c bx cy a cx ay b
có nghiệm x y;
Chứng minh
2 2
3
a b c
bccaab
Câu (2,5 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
4
2
2
2 2
x x y
x y y
b) Giải phương trình: 2x2 x 2 x2 3x3 Câu (2,5 điểm)
a) Tồn hay không số nguyên dương n cho 2n2021 3n2020 số phương
b) Tìm tất cặp số nguyên dương x y; cho
2
x xy
có giá trị số nguyên Câu (2,5 điểm)
Cho hai đường tròn O O cắt A B, cho hai tâm O O nằm khác phía với đường thẳng AB Đường thẳng d thay đổi qua B cắt đường tròn O O C D (d không trùng với đường thẳng AB)
a) Xác định vị trí đường thẳng d cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn
b) Gọi M điểm di chuyển từ điểm A, ngược chiều kim đồng hồ đường tròn O ; N điểm di chuyển từ điểm A, chiều kim đồng hồ đường tròn O cho AOM AON Chứng minh trung trực MN qua điểm cố định
Câu (1,0 điểm)
Cho x y z, , số thực không âm thỏa mãn x z2 2y z2 2 1 z
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2
2 2
1
1
z P
x y z
(2)LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN HÀ TĨNH NĂM 2020 THUVIENTOAN.NET
Câu
Từ hệ phương trình, ta có:
3 3 2
2 2
3
a b c a a b b c c
a bx cy b cx ay c ax by ab ax by bc bx cy ca cx ay ab c bc a ca b abc
Suy a3 b3 c3 3abc, mà a b c, , khác nên:
2 2
3 3
3 a b c
a b c abc
bc ca ab
Do ta có điều phải chứng minh,
Câu
a) Cộng vế theo vế hai phương trình ta được:
4 2
4 2
2
2
2
2
2 2
2
2
1
3
x x y x y y
x x y y x y
x y x y
x y x y
x y x y
Với x2 y 1, thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y 0 x x 1
Với x2 y 3, Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y2 8 y 2 y 2 Khi x2 2 23 x2 2 23, phương trình vơ nghiệm x20
Tóm lại hệ cho có hai nghiệm x y; 1; , 1;0 b) Điều kiện: x2 Phương trình tương đương:
2
2
3 2
4 2 2
2
2
2
2
2
x x x x
x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
(3)Trường hợp 1:
2 2
5 11 29
1
2 11 23
2 x x x x x x x Trường hợp 2:
2
1 1 1 5
2 2 x x x x x x x
Vậy tập nghiệm phương trình 11 29;
2 S Câu
a) Đặt x2 2n2021 y23n2020 với x y, * Khi ta có: 3x22y2 2023 Ta có
2y 2 2023 không chia hết cho Suy x lẽ nên đặt x2m1, thay vào phương trình, ta được:
2 2 2
3 2m1 2y 20236m m 1 1012 y 2 Ta có: m m 1 2 nên 2m m 1 4, đồng thời 1012 4 nên
2 y
Mặt khác y2 0 mod 4 y21 mod 4 nên không tồn y cho y22 chia hết cho Điều dẫn đến không tồn n thỏa mãn yêu cầu tốn
b) Ta có: 2 x xy
số nguyên nên
2
y x xy
số nguyên
Mà
2
2 2
2 2
y x x xy x y x y
x
xy xy xy
nên
2 x y xy
số nguyên dương
Đặt 2 2 2
x y
k x y k xy
xy
với
* k
Nếu k2, ta có: 2xyk xy 2 2xy2 x y xy 2 x1y 1 Vơ lí x y, 1 Do k1
Với k1, ta có: 2xyxy 2 x2y 2 Phương trình tương đương: 2
2 x y
2 2 x y
2 2 x y
2 x y
Hay x y
x y
x y
x y
(4)Câu
a) Kéo dài AO cắt O E, kéo dài AO cắt O F Ta có ABEABF900900 1800 nên E B F, , thẳng hàng Ta có ACDAEF chắn cung AB O
Tương tự AFEADC chắn cung AB O Do đó: ACDAEF Suy ra: CD AC 1
EF AE Mà ACE vng C có ACAE 2
Từ 1 2 suy CDEF với EF không đổi Ta có: CD EF C E
D F
hay d vng góc với AB B
Vậy giá trị lớn CD EF đạt d vng góc AB B
b) Gọi I trung điểm EF, ta có O I đường trung bình tam giác AEF Suy O I OA O I OA O trung điểm AE
Do AOIO hình hình hành Suy AOIAO I
Gọi P P, giao điểm OI với O Q Q, điểm O I với O cho
IP IP IQ IQ
Do MOANO A mà M N, di chuyển ngược chiều nên xét hai trường hợp
N Q
Q' P' P
I
D
F
E
A
O
B
O'
C
(5) M trùng P P
Nếu M P NQ Suy IM IPIOOPO I O Q IN
Nếu M P NQ Suy IM IPIOOPO Q O I IQIN M không trùng P P N khơng trùng Q Q
Do
MOA NO A
MOI IO N AOI AO I
Ta có MOIO OI, O N
Suy MOI IO N IM IN
Trong trường hợp IM IN nên trung trực MN qua điểm I cố định
Câu
Với a b, 0, ta có:
2
2
1 8
a b ab ab ab
Do
2
2
1
a b ab Đẳng thức xảy ab Áp dụng bất đẳng thức liên tiếp, ta có:
2
2 2 2
1 1 8
1 1 1
1 1
2 2
z
x z x
x x
z z z
2 2
8 64 64
1 1
2
2 2
y
x x y x y
z z z
Từ suy 64 2
5
P
x y z
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
2 2 2
2
3
3z x z y z x y 2x y
z z z
Suy ra: 2
x y x y
z z z
Do
2
64
1
P
Đẳng thức xảy
1 1,
2 x y z