PHÒNG GD&ĐT QUẬN ĐỐNG ĐA TRƯỜNG THCS BẾ VĂN ĐÀN Bài (2,0 điểm) Cho A x 2 x 2 ; B ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020 – 2021 - MƠN : TỐN Thời gian làm bài: 90 phút x 2 x 2 x 2 12 4x với x 0,x a) Tính giá trị biểu thức A x 25 b) Chứng minh B x 1 x 2 c) Biết P A.B Tìm giá trị x để P P Bài (2,0 điểm) Giải toán cách lập hệ phương trình Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 160 m Nếu tăng chiều rộng thêm 10m giảm chiều dài 10m diện tích mảnh đất tăng thêm 100 m2 Tính chiều dài chiều rộng ban đầu mảnh đất Bài (2,0 điểm) x my 1) Cho hệ phương trình 2x 4y ( m tham số) a) Giải hệ phương trình m b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm x; y cho x; y hai số đối 2) Giải phương trình x 3x Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) Điểm A ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ cát tuyến d cắt đường tròn (O) hai điểm B C ( B nằm A C ) Kẻ đường kính EF BC D ( E thuộc cung nhỏ BC) Tia AF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I, dây EI BC cắt K a) Chứng minh tứ giác DKIF nội tiếp b) Chứng minh EB2 EK.EI c) Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆KIB d) cho ba điểm A, B, C cố định chứng minh đường tròn (O) thay đổi qua BC đường thẳng EI qua điểm cố định Bài (0,5 điểm) Cho số thực a, b, c a b c Chứng minh 1 2 1 a 1 b 1 c …………………………… Hết…………………………… HƯỚNG DẪN GIẢI x 2 Bài Cho A x 2 ; B x 2 x 2 x 2 a) Tính giá trị biểu thức A x 25 12 với x 0,x 4x x 1 b) Chứng minh B x 2 c) Biết P A.B Tìm giá trị x để P P Lời giải a) x 25 thỏa mãn điều kiện x 0,x Thay x 25 vào biểu thức A ta 25 A 25 Vậy x 25 A 52 52 7 b) Với x 0,x ta có: x 2 B x 2 x 2 Vậy B x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 12 x 2 12 4x x 2 x 2 x4 12 x 2 x 2 x 2 x x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x2 x x x 12 x 2 12 x 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 x 2 x 1 x 2 với x 0,x c) Với x 0,x ta có P A.B P PP0 x 1 x 2 x 2 x 2 x ( x 1 x 2 x 1 x 2 x với x 0,x ) x x Kết hợp với điều kiện x 0,x ta có x P P Bài Giải toán cách lập hệ phương trình Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 160 m Nếu tăng chiều rộng thêm 10m giảm chiều dài 10m diện tích mảnh đất tăng thêm 100 m2 Tính chiều dài chiều rộng ban đầu mảnh đất Lời giải Nửa chu vi mảnh dất ban đầu 160 : 80 (m) Gọi chiều dài ban đầu mảnh đất x (m), x 80 Gọi chiều rộng ban đầu mảnh đất y (m) y 80 Ta có phương trình x y 80 (1) Diện tích ban đầu mảnh đất xy (m ) Chiều dài mảnh đất sau giảm 10m x 10 (m) Chiều rộng mảnh đất sau tăng thêm 10m y 10 (m) Diện tích mảnh đất sau tăng chiều rộng thêm 10m giảm chiều dài 10m (x 10)(y 10) (m ) Nếu tăng chiều rộng thêm 10m giảm chiều dài 10m diện tích mảnh đất tăng thêm 100cm Ta có phương trình (x 10)(y 10) xy 100 xy 10x 10y 100 xy 100 x y 10 x y 80 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình x y 10 Áp dụng tốn tìm hai số biết tổng hiệu ta có: x (80 10) : 45 ; y (80 10) : 35 Đối chiếu với điều kiện Ta có : Chiều dài ban đầu mảnh đất 45m Chiều rộng ban đầu mảnh đất 35m (2) Bài x my 1) Cho hệ phương trình ( m tham số) 2x 4y a) Giải hệ phương trình m b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm x; y cho x; y hai số đối 2) Giải phương trình x 3x Lời giải x my 1) Cho hệ phương trình 2x 4y a) Khi m ta có hệ phương trình ( m tham số) x x 4y x x 2x 4y x 4y 4y y 1 Vậy m Hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) 2; 4 (1) x my b) Ta có hệ phương trình 2x 4y (2) Từ phương trình (1) ta có x my Thay vào phương trình (2) ta 2(1 my) 4y 2my 4y (4 2m)y (3) Hệ phương trình cho có nghiệm phương trình (3) có nghiệm 2m 2m m Từ phương trình (3) ta có y 2m 2m m 3m x my m 2m 2m 2m x; y hai số đối 3m xy 3m m ( thỏa mãn ) 2m 2m Vậy m hệ phương trình có nghiệm x; y x; y hai số đối 2) Giải phương trình x 3x Phương trình cho phương trình bậc hai ẩn x có hệ số a 0, b 3, c 2 b2 4ac 32 4.1.(2) 17 Phương trình có nghiệm phân biệt x1 Vậy x1 b 3 17 b 3 17 , x2 2a 2a b 3 17 b 3 17 , x2 nghiệm phương trình cho 2a 2a Bài Cho đường trịn (O) Điểm A ngồi đường trịn (O) Qua A kẻ cát tuyến d cắt đường tròn (O) hai điểm B C ( B nằm A C ) Kẻ đường kính EF BC D ( E thuộc cung nhỏ BC) Tia AF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai I, dây EI BC cắt K a) Chứng minh tứ giác DKIF nội tiếp b) Chứng minh EB2 EK.EI c) Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆KIB d) Cho ba điểm A, B, C cố định Chứng minh đường tròn (O) thay đổi qua BC đường thẳng EI qua điểm cố định Lời giải E C D K B O A M I N F a) Chứng minh tứ giác DKIF nội tiếp 90 Đường trịn (O) có EF BC D (gt) FDK góc nội tiếp chắn nửa đường tròn EIF 900 hay KIF 900 EIF KIF 90 900 1800 Tứ giác DKIF có FDK KIF hai góc vị trí đối Mà FDK Tứ giác DKIF nội tiếp đường tròn b) Chứng minh EB2 EK.EI Đường trịn (O) có đường kính EF BC D EB E điểm cung nhỏ BC EC Xét KBE BIE có góc chung BEK CBE ( hai góc nội tiếp chắn hai cung EC EB ) BIE KBE BIE ( góc – góc ) BE EK BE EK.EI EI BE c) Chứng minh BE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆KIB KIB KBE BIE KBE Gọi M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KIB, kẻ đường kính KN đường trịn (M) KNB (2 góc nội tiếp chắn cung KB) KIB KIB KNB KBE (1) MK MB bán kính đường tròn (M) MBK MKB (2) 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (M) ) KBN KNB 900 MKB (3) MBK 900 MBE 900 BE MB Từ (1), (2) (3) KBE Mà B (M) BE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ∆KIB d) Chứng minh đường tròn (O) thay đổi qua BC đường thẳng EI ln qua điểm cố định Vì bốn điểm B, C, F, I thuộc đường tròn (O) BCF 1800 Tứ giác BCFI nội tiếp đường tròn (O) FIB BIA 1800 (hai góc kề bù) Mà FIB BIA BCF Xét ∆ACF ∆AIB có góc chung FAC BIA BCF ∆ACF ∆AIB ( góc – góc ) AB AI AB.AC AI.AF AF AC (4) Xét ∆AIK ∆ADF có góc chung FAD ADF 900 AIK ∆AIK ∆ADF ( góc – góc ) AK AI AK.AD AI.AF AF AD Từ (4) (5) AB.AC AK.AD AK Mà điểm A cố định K cố định ĐPCM (5) AB.AC ( không đổi ) AD Bài Cho số thực a, b, c a b c Chứng minh 1 2 1 a 1 b 1 c Lời giải Vì (a 1) với a a 2a với a a 2a với a Mà a 1 1 a 2a a2 a2 a 1 1 1 Ta có: 2 1 a 1 a 2a Chứng minh tương tự ta có: b 1 , 1 b c 1 1 c Suy 1 a b c 1 1 2 1 a 1 b 1 c 2 3 abc 3 3 2 Dấu xảy a b c TEAM XỎ XIÊN – DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN THCS VIỆT NAM ... 1 1 2 1 a 1 b 1 c 2 3 abc 3 3 2 Dấu xảy a b c TEAM XỎ XIÊN – DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN THCS VIỆT NAM