bất đẳng thức mũ và logarit (p1)

BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT 1. Sử dụng tính đồng biến , nghịch biến của hàm số mũ và logarit Ví dụ 1 : So sánh : 3 2 2 ,3 Giải : Ta có 6 4 3 3 3 3 3 9 8 2 (2 )> = > = = => 2 3 3 2> Ví dụ 2 : So sánh : log 3 4 , log 10 11 Giải : Ta có log 3 4 = log 9 16> log 9 11= 11 1 log 9 Mà log 11 10>log 11 9>0=> 10 11 11 1 1 log 11 log 9 log 10 > = Nên log 3 4> log 10 11 Ví dụ 3: So sánh : log 3 16, log 16 729 Giải : Ta có log 3 16.log 16 729=log 3 729=6 Mặt khác 5 6 6.25 2 3 3 3 243 256 16< = = < = =>Suy ra 6 3 3 log 3 log 16< Khi đó : 3 log 16 6> , 16 log 729 6< => log 3 16> log 16 729 Ví dụ 4 : Chứng minh rằng : 3(a.2 a +b.2 b +c.2 c ) ≥ (a+b+c)( 2 a +2 b +2 c ), ∀ a,b,c Giải : Ta có hàm số y=2 x đồng biến trên R Khi đó : (2 a -2 b )(a-b) ≥ 0=> a.2 a +b.2 b ≥ a.2 b +b.2 a , ∀ a,b (2 b -2 c )(b-c) ≥ 0=> b.2 b +c.2 c ≥ b.2 c +c.2 b , ∀ b,c (2 c -2 a )(c-a) ≥ 0=> c.2 c +a.2 a ≥ c.2 a +a.2 c , ∀ c,a  2(a.2 a +b.2 b +c.2 c ) ≥ (a.2 b +b.2 a )+ (b.2 c +c.2 b )+ (c.2 a +a.2 c )  3(a.2 a +b.2 b +c.2 c ) ≥ (a.2 b +b.2 a )+ (b.2 c +c.2 b )+ (c.2 a +a.2 c )+ (a.2 a +b.2 b +c.2 c )  3(a.2 a +b.2 b +c.2 c ) ≥ (a+b+c)(2 a +2 b +2 c ) (đpcm) Ví dụ 5 : Chứng ming rằng : 3 a b c a b c a b c abc + + > , ∀ a,b,c>0 Giải : Hàm số y=lnx đồng biến trên (0,+oo) Ta có (lna-lnb)(a-b) ≥ 0=> a.lna+b.lnb ≥ a.lnb+b.lna , ∀ a,b>0 (lnb-lnc)(b-c) ≥ 0=> b.lnb+c.lnc ≥ b.lnc+c.lnb , ∀ b,c>0 (lnc-lna)(c-a) ≥ 0=> c.lnc+a.lna ≥ c.lna+a.lnc , ∀ c,a>0  2(a.lna+b.lnb+c.lnc ) ≥ (a.lnb+b.lna)+ (b.lnc+c.lnb)+ (c.lna+a.lnc)  3(a.lna+b.lnb+c.lnc ) ≥ (a+b+c)(lna+lnb+lnc)  3lna a b b c c ≥ lnabc a+b+c  3 a b c a b c a b c abc + + > (đpcm) Ví dụ 6 : Chứng minh rằng : 4 9 log (1 4 ) log (2 9 ) a a a + > + , với mọi a>0 Giải : Ta có : 4 4 1 4 1 log (1 4 ) log (1 4 ) log 4 a a a a a − − + + = + + = + , 9 1 4 1 4 1 1 log (1 4 ) log 4 log 9 a a a − − − + + > = + Nên 4 9 9 9 9 log (1 4 ) log (1 4 ) log 9 (1 4 ) log (9 ) 4 a a a a a a a − −   + > + + = + = +  ÷   4 9 log (1 4 ) log (9 2 ) a a a => + > + (đpcm) Ví dụ 7 : Chứng minh rằng : log log ( ), , , ;1 , 0 a a c b b c a b c a b c + > + ∀ < < > Giải : , , ;1 , 0a b c a b c∀ < < > Đặt : A=log a b => b=A a >A>1 Ta có 1 1 A A A A a c a c c c a c a a a a a + + +   > = + > + =  ÷   => ( ) A A a c a c b c+ > + = + => A> log ( ) a c b c + + => log log ( ), , , ;1 , 0 a a c b b c a b c a b c + > + ∀ < < > (đpcm) Ví dụ 8 : Chứng minh rằng : ( ) 3 log log log , , , 2, 2 4 b c c a a b a b c a b c + + + + + > ∀ ∈ Giải : Đặt A= log b+c a => (b+c) A = a> 1 2 2 2= Mà 1<b+c<4 nên (b+c) A <4 A =2 2A => 2 2A > 1 2 2 => 2A> 1 2 => A> 1 4  log b+c a > 1 4 Tương tự : log c+a b > 1 4 , log b+a c > 1 4 Suy ra : ( ) 3 log log log , , , 2, 2 4 b c c a a b a b c a b c + + + + + > ∀ ∈ ( đpcm) Ví dụ 9 : Chứng minh rằng : 1 1 1 1 log ( ) log ( ) log ( ) 6 , , , ,1 4 4 4 4 a b c b c a a b c   − + − + − ≥ ∀ ∈  ÷   Giải : Ta có : 2 2 1 1 1 ( ) 0 2 4 4 x x x x x   − = − + ≥ => ≥ −  ÷   => 2 1 1 1 log log ( ) 2log log ( ), , ,1 4 4 4 y y y y x x x x x y   ≤ − => ≤ − ∀ ∈  ÷   Khi đó : 1 1 1 1 2(log log log ) log ( ) log ( ) log ( ), , , ,1 4 4 4 4 a b c a b c b c a b c a a b c   + + ≤ − + − + − ∀ ∈  ÷   Mặt khác : log a b,log b c,log c a>0 => 3 log log log 3 log .log .log 3 a b c a b c b c a b c a+ + > = => 1 1 1 1 log ( ) log ( ) log ( ) 6 , , , ,1 4 4 4 4 a b c b c a a b c   − + − + − ≥ ∀ ∈  ÷   (đpcm) Dầu bằng xảy ra  a=b=c=1/2 . BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN MŨ VÀ LOGARIT 1. Sử dụng tính đồng biến , nghịch biến của hàm số mũ và logarit Ví dụ 1 : So sánh