Số p adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HOÀNG YẾN SỐ P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HỒNG YẾN SỐ P-ADIC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NƠNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu 1 Đồng dư thức phương trình modulo Chuẩn p-adic tập số p-adic 16 Một số kiến thức giải tích p–adic 34 Bài tập tham khảo 38 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Số p-adic để mã hóa thơng tin, có ứng dụng mạnh mẽ lý thuyết số Giải tích p-adic hướng phát triển nhanh ngành đại số lý thuyết số Mục tiêu luận văn giới thiệu khái niệm số p-adic giải tích p-adic Luận văn gồm có phần Mở đầu, chương phần kết luận Chương Trình bày kiến thức đồng dư thức phương trình modulo Chương Xây dựng khái niệm chuẩn, chuẩn Archimedean, chuẩn phi−Archimedean vành giao hoán có đơn vị Cấp p-adic, chuẩn p-adic số hữu tỉ; Khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy; Khái niệm vành đầy đủ chuẩn N; Xây dựng vành số p-adic vài tính chất Chương Giới thiệu sơ lược số khái niệm tính chất giải tích p-adic Chương Một số tập tham khảo Mỗi chương có ví dụ phần tập liên quan Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn PGS.TS Nông Quốc Chinh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy tận tình hướng dẫn suốt thời gian tác giả làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xêmina, tác giả thường xuyên nhận quan tâm giúp đỡ đóng góp ý kiến quý báu giáo sư Viện Tốn học thuộc Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam thấy cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, cơ, Ban Giám hiệu Nhà trường, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả thời gian học tập làm luận văn cao học Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp theo sát, động viên tác giả vượt qua khó khăn để có điều kiện tốt học tập nghiên cứu Mặc dù cố gắng, song lực thời gian hạn chế nên chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong góp ý, bảo Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp độc giả quan tâm Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 19 tháng 10 năm 2012 Tác giả Bùi Thị Hồng Yến 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đồng dư thức phương trình modulo Cho n ∈ N∗ Định nghĩa 1.1 Cho x, y ∈ Z, ta viết x ≡ y n |(x − y) n Ta thường viết x ≡ y(modn) đọc x đồng dư với y theo modulo n Chú ý n = 0, x ≡ y(modn) x = y , trường hợp ≡ thực đẳng thức Mệnh đề 1.1 Quan hệ ≡ quan hệ tương đương Z n Chứng minh : Cho x, y, z ∈ Z Rõ ràng ≡ có tính chất phản xạ n n |(x − x) = Nó có tính chất đối xứng n |(x − y) x − y = kn với k ∈ Z, suy y − x = (−k)n n |(y − x) Có tính chất bắc cầu, giả sử n |(x − y) n |(y − z) , x − z = (x − y) + (y − z) nên ta có n |(x − z) Ta kí hiệu lớp tương đương x ∈ Z [x]n [x] n xác định, ta sử dụng chung kí hiệu x ¯ giá trị n rõ ràng từ kiện Bằng định nghĩa [x]n = y ∈ Z : y ≡ x = {y ∈ Z : y = x + kn, ∀k ∈ Z}, với số tự n nhiên khác khơng có n lớp thặng dư, cụ thể 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [0]n , [1]n , , [n − 1]n Định nghĩa 1.2 Tập hợp gồm tất lớp thặng dư Z theo modulo n tập thương: Z/nZ = {[x]n : x = 0, 1, , n − 1} = Zn Nếu n = ta có Zn = Z Xét hàm πn : Z → Zn ; πn (x) = [x]n Đây toàn ánh thỏa mãn πn−1 (α) = {x ∈ Z : x ∈ α} Ta định nghĩa phép cộng + phép nhân × Zn cơng thức n n [x]n + [y]n = [x + y]n ;[x]n × [y]n = [xy]n Điều ta dễ dàng nhìn thấy từ định nghĩa, tức chúng không phụ thuộc vào việc chọn phần tử đại diện x y Mệnh đề 1.2 Tập Zn với phép tốn + × vành giao hoán n n hàm πn : Z → Zn đồng cấu vành, tồn ánh có hạt nhân kerπn = [0]n = {x ∈ Z : x ≡ 0(modn)} Cho R vành giao hoán với phần tử đơn vị Định nghĩa 1.3 Phần tử u ∈ R gọi phần tử khả nghịch tồn phần tử v ∈ R thỏa mãn uv = vu = Phần tử v xác định gọi nghịch đảo u thường kí hiệu u−1 Định nghĩa 1.4 Phần tử khác không z ∈ R gọi ước khơng tồn phần tử w ∈ R với w = zw = Ta quy ước phần tử ước 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ Cho n = 6, Z6 = {¯ 0, ¯1, , ¯5} Các phần tử khả nghịch ¯1, ¯5 với ¯1−1 = ¯1 ¯5−1 = ¯5 52 = 25 ≡ Các ước không ¯0, ¯2, ¯3, ¯4 Ta biết a, b ∈ Z ước chung lớn a b số nguyên dương lớn đồng thời ước a b Ta thường viết gcd (a, b) Định lí 1.1 Cho n > 0, ta có i, Các phần tử Zn khả nghịch, ước không ii, z¯ ước không Zn gcd (z, n) > iii, u ¯ phần tử khả nghịch Zn gcd (u, n) = Chứng minh : Lấy u ¯ tùy ý Zn , giả sử u¯ phần tử khả nghịch Suy gcd(u, n) = ∃v : u = u1 v; n = n1 v , n1 < n n ¯ = 0¯ Xét tích u ¯.¯ n1 ta có u¯.¯ n1 = u¯1.¯ v.¯ n1 = u¯1.¯ n = ¯0 Suy u ¯ ước không Zn Ta biết a, b ∈ Z với b = 0, ∃!q, r ∈ Z cho a = bq + r với ≤ r < |b| Định lí 1.2 (Thuật tốn Euclid tìm ước chung lớn nhất) Cho a, b ∈ Z, có dãy số nguyên qi, ri thỏa mãn a = bq1 + r1 r = b = q2 r + r r = q3 r + r 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn = rN −1 = qN + 1.rN Trong ta có ≤ ri < ri−1 với i, rN = gcd(a, b) tìm s, t ∈ Z cho rN = sa + tb Ví dụ Nếu a = 6, b = r0 = ta có = 1.5 + q1 = 1, r1 = = 1.5 q2 = 5, r2 = Suy ta có gcd(6, 5) = viết = 1.6 + (−1).5 Định nghĩa 1.5 Ký hiệu (Zn )× tập phần tử khả nghịch Zn Ta có (Zn )× nhóm Abel với phép nhân × n Cho ϕ(n) = (Zn )× = cấp (Zn )× Từ định lý 1.1, suy (Zn )× số số nguyên 0, 1, 2, , n − mà khơng có ước chung với n Hàm ϕ biết đến ϕ - hàm Euler Ví dụ Với n = 6; |Z6 | = Z6 có phần tử khả nghịch ¯ 1, ¯5, suy ϕ(6) = Ví dụ Với n = 12; |Z12 | = 12 Z12 có phần tử khả nghịch ¯1, ¯5, ¯7, 1¯1, suy ϕ(12) = Ta nghiên cứu xác định giá trị ϕ(n) qua n Khi n số nguyên tố ta có kết sau: Ví dụ Cho p số nguyên tố Khi p có ước tầm thường p ϕ(p) = p − Hơn nữa: xét lũy thừa p, pr với r > 0, số nguyên 0, 1, 2, , pr − có nhân tử chung với pr biểu diễn dạng kp với ≤ k ≤ pr−1 − 1, suy có pr−1 phần tử Vì ta có ϕ(pr ) = pr−1 (p − 1) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ Khi p = 2, ta có nhóm (Z2 )× = {¯1} , (Z22 )× = {¯1, ¯3} ∼ = Z2 , (Z23 )× = {¯1, ¯3, ¯5, ¯7} ∼ = Z2 × Z2 Và tổng qt lên ta có (Z2r+1 )× ∼ = Z2 × Z2r−1 Với r ≥ Giả sử n số tự nhiên tùy ý, ta biểu diễn n = pr11 pr22 prss , với i, pi số nguyên tố thỏa mãn ≤ p1 < p2 < < ps ri ≥ Khi số pi , ri xác định n Định lí 1.3 Có đẳng cấu vành Ψ : Zn ∼ = Zrp11 × Zrp22 × × Zrpss Và đẳng cấu nhóm Ψ : (Zn )× ∼ = Zrp11 × × Zrp22 × × × Zrpss × Do ta có ϕ (n) = ϕ (pr11 ) ϕ (pr22 ) ϕ (prss ) Chứng minh : Giả sử a, b hai số nguyên tố nhau, trước hết ta chứng minh có đẳng cấu vành: Ψ : Zab → Za × Zb Theo định lý 1.2, ∃u, v ∈ Z cho ua + vb = Hiển nhiên gcd(a, u) = gcd(b, v) = Xét tương ứng Ψ : Zab → Za × Zb 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 2.11 Tập Zp = α ∈ Qp : |α|p ≤ gọi tập hợp số nguyên p-adic Mệnh đề 2.5 Tập hợp số nguyên p-adic Zp vành Qp Mọi phần tử Zp giới hạn dãy số nguyên (không âm) ngược lại, dãy Cauchy Q có hạng tử số nguyên có giới hạn Zp Chứng minh: Cho α, β ∈ Zp Thì |α + β|p ≤ max{|α|p , |β|p} ≤ α + β ∈ Zp Tương tự αβ ∈ Zp theo (Nb) Vậy Zp vành Qp Từ định nghĩa Qp , ta có α ∈ Zp α = {an } với an ∈ Q dãy {an } dãy Cauchy Theo Bổ đề 2.1, ta thấy tồn k c ∈ Q cho n > k |an |p = c Nhưng ta có |α|p = c c ≤ Khơng tính tổng quát, ta giả sử |an |p ≤ 1, ∀n Ta viết an = rn/sn với rn , sn ∈ Z sn = Khi ta giả thiết sn ≡ p ordp rn − ordp sn ≥ Nhưng điều có nghĩa với m ta giải phương trình sn x ≡m Z (xem Chương 1), lấy unm ∈ Z p thỏa mãn sn unm ≡m Ta giả sử ≤ unm ≤ pm − cách p thêm vào bội số pm cần thiết Vì với m ta có |sn unm − 1|p ≤ pm Khi với m, ta có rn − rnunm sn = p rn (1 − sn unm) sn p ≤ pm Mặt khác với m, tồn số km cho |α − akm |p < pm 29 32Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn suy α − rkm ukm (m+1) p = (α − akm ) + akm − rkm ukm (m+1) ≤ max |α − akm |p , akm − rkm ukm (m+1) p < p pm Do đó, lim (p) (α − rkn ukn (n+1) ) = 0, n→∞ điều α giới hạn dãy số nguyên không âm, suy điều phải chứng minh Ta mô tả chi tiết phần tử Qp việc dùng khai triển chữ số p-adic Ta bắt đầu với phần tử Zp Lấy α ∈ Zp , theo Mệnh đề 2.5 ta thấy có số nguyên α0 thỏa mãn điều kiện |α0 − α|p < 1, ≤ α0 ≤ (p − 1) Số nguyên p-adic α0 − α có chuẩn ≤ 1/p số p-adic (α − α0 )/p thuộc Zp Lặp lại bước trên, ta thu α1 thỏa mãn |α − (α0 + α1 p)|p < , ≤ α1 ≤ (p − 1) p Tiếp tục trình ta thu dãy số nguyên αn cho |α − (α0 + α1 p + + αn pn )|p < , ≤ αn ≤ (p − 1) pn Dãy (βn ) với βn = α0 + α1 p + + αn pn dãy Cauchy chuẩn | |p Hơn giới hạn α |α − βn |p < pn Vậy ta có khai triển α = α0 + α1 p + α2 p2 + tương tự việc khai triển thập phân số thực, có vơ hạn lũy thừa dương p Đây khai triển p-adic (tiêu chuẩn) α ∈ Zp 30 33Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn αn gọi chữ số p-adic (tiêu chuẩn) Nó có khác biệt tinh tế so với việc mở rộng thập phân số thực, cụ thể tính Giả sử α = α0′ + α1′ p + α2′ p2 + khai triển thứ hai với tính chất khai triển Lấy d số nguyên thỏa mãn αd = α′d Khi khơng tính tổng qt ta giả thiết αd < α′d suy ≤ αd′ − αd ≤ (p − 1) Nếu βn′ = α0′ + α1′ p + + αn′ pn , βd′ − βd = (αd′ − αd ) pd , suy |βd′ − βd |p = pd Chú ý |βd′ − βd |p = |(βd′ − α) + (α − βd )|p ≤ max |βd′ − α|p , |α − βd | < , pd điều mâu thuẫn với đẳng thức cuối Do khơng thể tồn d thỏa mãn, có khai triển α Cho α ∈ Qp số p-adic Nếu |α|p > 1, giả sử |α|p = pk , k > Xét β = pk α, có |β|p = 1, có mở rộng p-adic β = β0 + β1 p + β2 p2 + Khi α= β1 βk−1 β0 + + + + βk + βk+1p + + βk+r pr + k k−1 p p p 31 34Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với ≤ βn ≤ (p − 1) với n Những lập luận ta thực chất thiết lập kết quan trọng Định lí 2.3 Mọi số p-adic α ∈ Qp có khai triển p-adic α = α−r p−r + α1−r p1−r + α2−r p2−r + + α−1p−1 + α0 + α1 p + α2 p2 + với αn ∈ Z ≤ αn ≤ (p − 1) Hơn nữa, α ∈ Zp α−r = với r > Ta làm phép tính số học Qp theo cách tương tự cách thực R với khai triển thập phân Ví dụ 20 Tìm tổng 1/3 + + 2.3 + 0.32 + 2.33 + + 32 + + + 2.3 + 1.32 + 1.33 + Ta thực từ trái sang phải Giả sử α = a−2 32 + a−1 /3 + a0 + a1 + , a−2 = 2, a−1 = 1, a0 = + = + 1.3 ≡ 0, a1 = + + = + 1.3 ≡ thực từ 30 Tiếp tục ta nhận a2 = + + = 2, a3 = + = + 1.3 ≡ α = 32 + 1/3 + + 2.3 + 2.32 + 0.33 + Chú ý khai triển p-adic số p-adic nhất, khai triển thập phân số thực khơng cần phải Ví dụ 0.999 = 1.000 = Ta kết thúc mục với kết khác đầy đủ 32 35Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ˆ trường Đặc Định lí 2.4 Cho R trường với chuẩn N Khi R biệt, Qp trường ˆ , không {0} Khi Chứng minh: Cho {an } phần tử R ˆ ({an }) = Đặt l = N ˆ ({an }) = lim N (an ) > Khi có số M N n→∞ cho n > M kéo theo N (an ) > l/2, với số n ta có an = Cuối an có nghịch đảo R Bây xác định dãy (bn ) R cách bn = n ≤ M bn = a−1 n n > M Vì dãy Cauchy lim (N ) an bn n→∞ = 1, từ suy {an } {bn } = {1} ˆ Vậy {an } có nghịch đảo {bn } R 33 36Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức giải tích p–adic Trong chương giới thiệu khái niệm giải tích p-adic, bao gồm khái niệm hội tụ dãy chuỗi, tính liên tục chủ đề thơng thường khác xuất phát từ giải tích thực, xét tập số p-adic Qp với chuẩn p-adic | |p , luận văn chủ yếu đưa kết không chứng minh Cho α = {an } ∈ Qp Từ Chương ta thấy tồn số M cho |α|p = ordp aM p lũy thừa nguyên p Vì với t ∈ Z, bất đẳng thức |α|p < pt tương đương với |α|p ≤ pt+1 Cho (αn ) dãy Qp Mệnh đề 3.1 (αn ) dãy Cauchy Qp (αn+1 − αn ) dãy không Giả sử (αn ) dãy Qp Với n ta xét tổng riêng thứ n chuỗi αn , sn = α1 + α2 + + αn 34 37Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 3.1 Nếu dãy (sn ) Qp có giới hạn S = lim(p) sn x→∞ ta nói chuỗi αn hội tụ đến giới hạn S ta viết ∞ αn = S n=1 S gọi tổng chuỗi αn Nếu chuỗi giới hạn ta nói phân kỳ Ví dụ 21 Cho αn = npn ta có m npn Sn = n=1 sn+1 − sn = (n + 1) pn+1 Nó có chuẩn (n + 1) pn+1 p = |n + 1|p pn+1 p ≤ pn+1 dần tiến đến n → ∞ tập số thực Từ Mệnh đề 3.1, (sn ) dãy Cauchy suy có giới hạn Qp Trong giải tích thực, có chuỗi hội tụ khơng hội tụ tuyệt đối Ví dụ, chuỗi n (−1) n hội tụ đến –ln2 n phân kỳ Kết ta điều khơng cịn Qp Mệnh đề 3.2 Một chuỗi αn Qp hội tụ (αn ) dãy không Chứng minh: Nếu αn hội tụ từ Mệnh đề 3.1 dãy tổng riêng (sn ) dãy Cauchy sn+1 − sn = αn dãy không Ngược lại, 35 38Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (αn ) không, từ Mệnh đề 3.1 ta thấy dãy (sn ) Cauchy hội tụ Vì để kiểm tra hội tụ chuỗi αn Qp ta cần xét xem lim (p) αn = n→∞ Điều có nghĩa hội tụ chuỗi Qp nhìn chung dễ dàng so với hội tụ chuỗi trường số thực hay trường số phức Ví dụ 22 Chuỗi pn hội tụ R ta có |pn |p = Thật vậy, m n p = Ví dụ 23 Chuỗi n lim (p) m→∞ βn = n n=0 → 1−p phân kỳ Qp Vì dãy pn = pm np + có |βn |p = với n Như kiểu đặc biệt chuỗi ta xét chuỗi lũy thừa (với biến x) Cho x ∈ Qp cho (αn ) dãy Khi ta có chuỗi αn xn Như giải tích thực, ta cần kiểm tra xem với giá trị x chuỗi hội tụ hay phân kì Ví dụ 24 Cho αn = với n Khi lim (p) xn n→∞ = 0, |x|p < ≥ 1, |x|p ≥ Vì chuỗi hội tụ |x|p < Dĩ nhiên, R, chuỗi xn hội tụ |x| < 1, phân kì |x| > 1; phân kì tới +∞ x = 1, dao động -1 x = −1 36 39Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 25 Cho chuỗi nxn ta có |nxn|p = |n|p |xn|p ≤ |x|np dần đến R có |x|p < Vì chuỗi chắn hội tụ với x 37 40Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài tập tham khảo BÀI TẬP CHƯƠNG Bài Với giá trị n = 19, 27, 60 vành Z/n tìm i, Tất ước không ii, Tất phần tử khả nghịch nghịch đảo Bài Cho f (X) = X − ∈ Z [X] Với số nguyên tố p = 2, 3, 7, xác định có hay khơng nghiệm i, mod p ii, mod p2 iii, mod p3 iv, mod p4 Bạn có nhận xét điều này? Bài Giải hệ phương trình tuyến tính sau Z/n với giá trị n = 2, 9, 10: 3x + 2y − 11z ≡ n 7x + 2z ≡ 12 n −8y + z ≡ n Bài Tìm phần tử sinh cho nhóm cyclic phần tử đơn vị (Z/n)× vành sau 38 41Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i, Z/23 ii, Z/27 iii, Z/10 Bài a, Với số nguyên tố p, n ≥ x ≡ 0, xét p sn = + x + x2 + + xn−1 ∈ Z Phần tử Z/pn có sn làm đại diện? b, Cho p số nguyên tố lẻ.Cho n ≥ 0, x ≡ a số nguyên p n cho 2a ≡ Chỉ p 2k k rn = + 1≤k≤n−1 a2 x k Thỏa mãn phương trình n (rn)2 (1 − x) ≡ p Với p = 2, phương trình cố định x ≡ BÀI TẬP CHƯƠNG Bài Dùng bổ đề Hensel giải phương trình i, X + ≡ 625 ii, X + X + ≡ 2401 Chú ý 2401 = Bài Xác định số sau: ord3 54, ord5 (−0.0625) , ord7 (−700/197) , |−128/7|2 , |−13.23|3 , |9!|3 39 42Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài Cho a ∈ Q, điều kiện |a|p phải thỏa mãn để đảm bảo phương trình 5x2 = a có nghiệm i, Trong Z ii, Trong Q Bài Cho p số nguyên tố n > a, Chỉ ordp (pn !) = + p + + pn−1 b, Khi ≤ a ≤ p − ordp (apn !) = a + p + + pn−1 c, Cho r = r0 + r1 p + + rd pd , ≤ rk ≤ p − với k , tập ri αp (r) = 0≤i≤d Chỉ ordp (r!) = Sử dụng để xác định |r!|p r − αp (r) p−1 BÀI TẬP CHƯƠNG Bài Cho F trường R = F [x] vành đa thức F với biến X Định nghĩa hàm giá trị nguyên ordX f (X) = max {r : f (X) = X r g (X) , g (X) ∈ F [X]} Và đặt ordX = ∞ Khi xác định N (f (X)) = e−ordx f (x) Chứng minh ordX thỏa mãn điều kiện mệnh đề 2.4 với ordX vị trí ordp Suy N thỏa mãn điều kiện yêu cầu để chuẩn phi−Archimedean R 40 43Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bài Cho R vành trang bị chuẩn phi−Archimedean N Chỉ dãy (an ) Cauchy với quan hệ N (an+1 − an ) dãy không Chỉ điều sai N chuẩn Archimedean Bài Xác định số 5-adic với sai số chuẩn nhiều 1/625 α = (3/5 + + × + × 25 + × 25 + )−(4/5 + × 25 + × 125 + ) β= (5 + × 25 + 125 + ) (3 + × 25 + × 125 + ) 41 44Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau: - Khái niệm tính chất đồng phương trình đồng dư - Đã xây dựng khái niệm chuẩn N, chuẩn Archimedean, chuẩn phi−Archimedean vành; Cấp p-adic số hữu tỉ, khái niệm dãy hội tụ theo chuẩn N, dãy Cauchy, dãy không, vành đầy đủ theo chuẩn N; Đặc biệt xây dựng khái niệm vành số p-adic vài tính chất - Đã giới thiệu sơ lược số khái niệm tính chất giải tích p-adic - Phần cuối luận văn nêu số tập ứng dụng Mặc dù có cố gắng nỗ lực song hẳn đề tài khơng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! 42 45Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Anh [1] A.J Baker (2003), An introduction to p-adic Numbers and p-adic Analysis, Department of Mathematics, University of Glasgow, Glasgow G12 8QW, Scotland 43 46Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... lim (p) an = Suy dãy n→∞ dãy khơng chuẩn p- adic Ví dụ 17 Sử dụng chuẩn Ví dụ 2.3 với an = (1 + p) p − r Khi với n = 1, |an |p = |(1 + p) p − 1 |p = p p + + p p−1 pp−1 + pp = p , p2 p = Suy |a1 |p. .. Qp số p- adic Nếu |α |p > 1, giả sử |α |p = pk , k > Xét β = pk α, có |β |p = 1, có mở rộng p- adic β = β0 + β1 p + β2 p2 + Khi α= β1 βk−1 β0 + + + + βk + βk+ 1p + + βk+r pr + k k−1 p p p 31 3 4Số. .. 3 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 2.11 T? ?p Zp = α ∈ Qp : |α |p ≤ gọi t? ?p h? ?p số nguyên p- adic Mệnh đề 2.5 T? ?p h? ?p số nguyên p- adic Zp vành Qp