TRƯỜNG SỐ P-ADIC VÀ BỔ ĐỀ HENSEL

MỞ ĐẦU Các số p-adic được mô tả đầu tiên vào năm 1897 và chúng dần dần thâm nhập vào nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như là Lý thuyết số, Hình học đại số, Tôpô đại số… Vào năm 40

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Minh Tâm

TRƯỜNG SỐ P-ADIC VÀ BỔ ĐỀ HENSEL

LU ẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2011

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Bùi Minh Tâm

TRƯỜNG SỐ P-ADIC VÀ BỔ ĐỀ HENSEL

LỜI CÁM ƠN

Trong quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tôi đã được Quý Thầy Cô cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên sâu, giúp tôi trưởng thành trong học tập và nghiên cứu khoa học Tôi xin gửi lời biết ơn đến tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tại trường

Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS TS Mỵ Vinh Quang Thầy đã tận tình

hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn Đặc biệt, tôi đã được học ở Thầy phương pháp làm việc khoa học và sự am hiểu thấu đáo của riêng Thầy

Xin được phép gửi lời cám ơn đến Quý Thầy trong Hội đồng Bảo vệ Luận văn Thạc

sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn

Tôi cũng xin được phép gửi lời cám ơn đến quý Thầy, Cô công tác tại phòng KHCN

và Sau đại học của trường ĐHSP Tp Hồ Chí Minh, Sở Giáo dục và Đào tạo Tp.Hồ Chí Minh, Ban Giám Hiệu trường THPT Lương Thế Vinh và các đồng nghiệp đã tạo nhiều điều

kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, thực hiện luận văn

Cuối cùng, xin khắc sâu công ơn Cha Mẹ, cảm ơn Ông xã và hai cậu con trai yêu quí, người thân, bạn bè luôn ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học

TP.Hồ Chí Minh tháng 10 – 2011

Bùi Minh Tâm

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 1

M ỤC LỤC 2

M ỘT SỐ KÍ KIỆU 3

M Ở ĐẦU 4

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 5

1.1 M ột số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường 5

1.2 Chu ẩn phi Archimede 9

Chương 2: TRƯỜNG SỐ P-ADIC p VÀ B Ổ ĐỀ HENSEL 16

2.1 Xây d ựng trường số p-adic p 16

2.2 Khai tri ển p-adic của một phần tử trong p 17

2.3 Vành các s ố nguyên p-adic p 20

2.4 B ổ đề Hensel 27

2.5 Ứng dụng của Bổ đề Hensel 35

KẾT LUẬN 48

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 49

ord : Số mũ của p trong sự phân tích a thành thừa số nguyên tố

MỞ ĐẦU

Các số p-adic được mô tả đầu tiên vào năm 1897 và chúng dần dần thâm nhập vào

nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như là Lý thuyết số, Hình học đại số, Tôpô đại số…

Vào năm 40 của những thế kỷ 20, giải tích p-adic phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập nhờ vào việc phát hiện những mối liên hệ sâu sắc của giải tích p-

adic với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số

Trường các số p-adic p được xem tương tự p-adic của trường số thực , tuy nhiên

nó lại có khá nhiều tính chất khác với  Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài “Trường

p-adic và Bổ đề Hensel” để có thể nghiên cứu rõ hơn về trường số p-adic

Mục tiêu chính của luận văn là xây dựng và nghiên cứu trường số p-adic

Đặc biệt là xây dựng Bổ đề Hensel và các ứng dụng chúng để nghiên cứu các số p-adic

Luận văn gồm hai chương

Chương 1: Các kiến thức cơ bản

Chương này sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về chuẩn trên một trường, các tính chất chung, khái niệm chuẩn phi Archimede, một số tính chất cần thiết cho chương sau

Chương 2: Trường số p-adic p và B ổ đề Hensel

Trong chương này sẽ xây dựng chi tiết trường số p-adic p Nghiên cứu khảo sát các tính chất pvà so sánh nó với trường số thực  Đặc biệt là xây dựng Bổ đề Hensel và tìm tòi các ứng dụng của nó

Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích

p-adic chẳng hạn như chuẩn trên một trường, các tính chất chung, đặc biệt là khái niệm chuẩn phi Archimede, một số tính chất cần thiết cho chương sau

1.1 Một số định nghĩa và tính chất của chuẩn trên trường

1.1.1 Định nghĩa Cho F là một trường Ánh xạ  : F→ được gọi là một chuẩn trên F

n ếu thỏa các điều kiện sau:

n n

Lập luận hoàn toàn tương tự, ta được − =1 1

Ch ứng minh Xét  là một chuẩn trên trường F Giả sử F có q phần tử, thế thì nhóm nhân

F * có cấp q – 1 Khi đó, ∀ ∈x F* ta cóx q−1=1, suy ra x q−1 = x q−1= hay 1 x = V1 ậy  là chuẩn tầm thường trên F ■

1.1.6 Định nghĩa (Hai chuẩn tương đương)

Cho  1, là hai chuẩn trên trường F Ta nói rằng hai chuẩn này tương đương nếu 2

{ }x n là dãy Cauchy theo chu ẩn 1 khi và ch ỉ khi { } x là dãy Cauchy theo chu n ẩn 2

Chú ý rằng { }x là dãy Cauchy theo chuẩn  , nghĩa là: n − →, →+∞ 0

m n m n

Hay với∀ > ∃ ∈ε 0, n o :∀n m n x, > o, m−x n <ε

1.1.7 Định lý (Các điều kiện để chuẩn tương đương)

Cho F là m ột trường;  1, là hai chuẩn trên trường F Các điều sau là tương 2

3)Tồn tại hằng số C >0 sao cho ∀ ∈x F x, 2 = x1c

4) Các tôpô sinh b ởi 1và 2 là trùng nhau

5) 1 tương đương với 2 (   1 2)

Ch ứng minh

x suy ra x1>1 (mâu thuẩn với giả thiết ) nên x2≤1

Lập luận tương tự ta cũng có x1≤1 nếu x2 ≤1

Vậy x1≤1 khi và chỉ khi x2 ≤1

Trường hợp nếu có một trong hai chuẩn là tầm thường ta sẽ chứng minh chuẩn còn

lại cũng tầm thường Giả sử 1 là tầm thường Khi đó với ∀ ∈ =

(mâu thuẩn giả thiết)

Ngược lại nếu >

n m

x nên { }x n là dãy Cauchy theo chuẩn 1 suy ra { }x n

là dãy Cauchy theo chuẩn 2nên +1− →

1.1.8 Hệ quả Cho  1, là hai chuẩn trên trường F Nếu tồn tại hai số dương 2 c c sao 1, 2

cho 1≤c1 2 và 2≤c2 1 thì khi đĩ =1 2

1.2 Chuẩn phi Archimede

1.2.1 Định nghĩa (chuẩn phi Archimede)

Cho  là một chuẩn trên trường F Chuẩn  được gọi là chuẩn phi Archimede trên

F n ếu nĩ thỏa thêm điều kiện:

( )iii x y max{ , }, ,x y x y F Chu ẩn thỏa (iii) nhưng khơng thỏa (iii’) được gọi là chuẩn Archimede

1.2.2 Ví dụ Chuẩn tầm thường trên trường F là chuẩn phi Archimede

Thật vậy

Nếu + = 0x y thì x y+ = ⇒ + ≤0 x y max{ }x y,

Nếu + ≠ 0x y thì x≠0 hoặc ≠ 0y , do đĩ: x y+ = ≤1 max{ }x y ,

1.2.3 Ví dụ Nếu F là trường hữu hạn cĩ q phần tử với phần tử đơn vị là e thì chuẩn trên

trường F là phi Archimede

Thật vậy

Nếu = 0x thì x =0

Nếu ≠ 0x thìx q−1 =e từ đĩ suy ra x q−1 = x q− 1 = = do đĩ e 1 x =1

Vậy  là chuẩn tầm thường trên trường F và do đĩ nĩ là chuẩn phi Archimede

1.2.4 Mệnh đề Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede 

i)∀x y F x, ∈ , ≠ y thì + = x y max{ , }x y Nghĩa là, mọi tam giác đều cân trong không gian mêtric sinh bởi chuẩn 

Khi đó, − = − + − ≤x a x y y a max{x y y a− , − }< ⇔ − <r x a r suy ra ∈ x B r (mâu a( )thuẩn) nên B r a( )∩B x( )ε = ∅ Vậy ( )B r là tập đóng a

iii) ∀ ∈b B r ta chứng minh a( ) B r a( )=B r Thật vậy, b( )

1.2.5 Định lý (Các điều kiện tương đương của chuẩn phi Archimede)

Cho F là m ột trường,  là một chuẩn trên F Các điều sau là tương đương:

i)  là chu ẩn phi Archimede

ii) 2 1 ≤

iii) n ≤ ∀ ∈1, n N ={n n= 1/n∈ ,1_ đơn vị của F }

m n m n m

i ord xy ord x ord y

ii ord x y ord x ord y

1.2.8 Mệnh đề Cho ρ là m ột số thực thỏa < <0 ρ 1 và p là m ột số nguyên tố Ánh xạ

p

Chuẩn p được gọi là chuẩn p-adic hay chuẩn p Rõ ràng chuẩn p là chuẩn phi Archimede

3) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Với mỗi ∈  o x , ta luôn có

s x s nên = log 

o

n

1.2.9 Định lý (Ostrowski) M ọi chuẩn không tầm thường trên trường  hoặc tương đương

v ới chuẩn  p (p là m ột số nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên 

Ch ứng minh Giả sử là một chuẩn không tầm thường trên  Ta xét hai trường hợp

1.Nếu 2 1> thì là chuần Archimede

k k

n ≥n Cα dẫn đến n ≥nα.k C'Cho(k → +∞) ta được n ≥nα Vậy n =nαvới mọi n

Với x ∈, x > ta viết 0 x m, m n, , n 0

n

2.Nếu 2 1≤ thì là chuẩn phi Archimede

Từ giả thiết ta có n ≤1 với mọi n∈  Do là chuẩn không tầm thường nên tồn tại

n ∈  sao cho n < G1 ọi p là số tự nhiên bé nhất thoả p < 1 Khi đó p là số nguyên tố

Thật vậy, giả sử p là hợp số thì p p p= 1 2 với p p là số tự nhiên và1, 2 1< p p1, 2 < p Khi đó

k

m p p= α α pα.Ta có

p p

Chương 2: TRƯỜNG SỐ P-ADIC p VÀ BỔ ĐỀ HENSEL

Trong chương này chúng tôi sẽ xây dựng trường số p-adic pđược xem như là

tương tự p-adic của trường số thực  Nghiên cứu khảo sát các tính chất p, so sánh nó với trường số thực  Đặc biệt là xây dựng Bổ đề Hensel và tìm tòi các ứng dụng của nó

2.1 Xây dựng trường số p-adic p

Từ định lý Oxtropxki ta thấy mọi chuẩn không tầm thường trên  đều tương đương

với giá trị tuyệt đối thông thường  hoặc là chuẩn phi Archimede  p (p là một số nguyên

tố) Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ  theo  ta được trường số thực  Làm đầy đủ  theo pta sẽ được trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic p là tương tự p-adic của

trường số thực  Cụ thể ta xây dựng như sau :

Xét p là chuẩn p-adic trên  ; =   ∀ ∈

Ph ần tử nghịch đảo: Với { } 0 x n ≠ Ta có x n / 0 suy ra ∃ > sao cho N 0

n N y

2.2 Khai triển p-adic của một phần tử trong p

2.2.1 Quan h ệ đồng dư trong p

V ới a b, ∈ p ta định nghĩa ≡ a b(mod )p n ⇔ − a b p n

x x p Ta có thể chọn { }N n là dãy tăng

Ta thấy x i ≤ ∀ ≥1, i N Th1 ật vậy, ∀ >j N1 ta có x i −x j p < p−1 Khi đó,

x x b p x b p , gọi là khai triển p-

adic của x trong p

ii) V ới x không thỏa điều kiện ≤1

x b p suy ra

p là trường, gọi là trường thặng dư của

p là t ập compact, do đó p là t ập compact địa phương

Ch ứng minh Trước hết ta chứng minh p là tập compact

Giả sử { }x là m n ột dãy tùy ý trong p và

Trong đó ≤0 a in ≤ −p 1 với mọi = 0,1,2, i

Xét các phần tử a n0n( =1,2,3, ,p−1) ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập

Trong tập K các phần tử 0 x có số hạng thứ 2 trong khai triển p-adic là 0n a với 1n

=0,1,2, , −1

n p nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0,1,2, ,p−1}

Vậy phải tồn tại b1∈{0,1,2, ,p−1} được nhận giá trị vô hạn lần

Do đó tồn tại tập K vô hạn các phần tử 1 x của dãy 1n { }x 0n sao cho số hạng thứ 2 trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng b 1

Như vậy, với mỗi ∈ m tồn tại tập K vô hạn các phần tử m x của tập mn K sao cho số m−

hạng thứ m trong khai triển p-adic của các phần tử đó bằng nhau và bằng

Nếu x0 ≠0 ta có ánh xạ p →x0+p là phép đồng phôi

+

 0

x x x

nên x0 + p là tập compact chứa x Do đó với mọi 0 x0∈ p đều tồn tại lân cận compact

chứa x nên 0 p compact địa phương ■

2.3.6 Mệnh đề (một số tính chất tôpô khác của p)

i) M ọi hình cầu, mặt cầu trong p đều là những tập vừa mở vừa đóng

ii) Hai hình c ầu bất kỳ trong p ho ặc lồng nhau hoặc rời nhau

iii) M ọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vô số tâm Mọi hình cầu đều có vô số bán kính

iv) p ch ỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu

ii) Ta xét hai hình cầu mở B a r và 1( ), B b s Gi2( ), ả sử B a r1( ), ∩B b s2( ), ≠ ∅, ta chứng minh chúng phải lồng nhau

Thật vậy, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử r < s Sau đây chúng ta sẽ chứng minh

Đối với hình cầu đóng, ta chứng minh hoàn toàn tương tự

iii) Ta chứng minh mọi hình cầu, mặt cầu trong p đều có vô số tâm

Thật vậy, với a∈ p, r∈ +, ta xét một điểm b bất kỳ, ≠b a trong hình cầu mở

Suy ra, x B b r hay ∈ ( ), B a r( ), ⊂B b r ( ),

Ngược lại, chứng minh tương tự trên ta cũng có B b r( ), ⊂B a r ( ),

Vậy B a r( ) ( ), =B b r v, ới mọi b B a r Nói cách khác, ∈ ( ), B b r có vô s( ), ố tâm Chứng minh tương tự ta cũng có B a r và  ,  D a r có vô s( ), ố tâm

Ta chứng minh mọi hình cầu trong p đều có vô số bán kính

Trước tiên ta xét hình cầu mở B a r( ), Ta đã biết hàm chuẩn p chỉ lấy giá trị trong tập {p n n ∈}∪{ }0 nên tồn tại ∈n sao cho p n < ≤r p n+1

Ta chứng minh rằng B a s( ), =B a p( , n+ 1) với mọi s thỏa p n < ≤s p n+ 1

Thật vậy, ∀ ∈x B a s( ), , ta có − < ≤ n+1

p

x a s p ⇒ ∈x B a p( , n+ 1) Ngược lại, ∀ ∈y B a p( , n+ 1) ta có − < n+1

Như vậy, với bất kỳ hình cầu B a r v( ), ới r thỏa p n < ≤r p ta đều có n+ 1 B a r( ), =B a p( , n+ 1)

Do đó, B a r( ) ( ), =B a s v, ới mọi s thỏa p n < ≤s p Điều này có nghĩa là mọi hình cầu n+ 1

Vậy hình cầu đóng B a r có vô s ,  ố bán kính

iv) p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu

Theo iii) ta có mọi điểm trong hình cầu, mặt cầu đều là tâm của nó Dùng tính chất này ta sẽ

chứng minh p chỉ có một số đếm được các hình cầu và mặt cầu

Thật vậy, lấy bất kỳ a∈p,r∈+ Theo iii) tồn tại ∈n sao choB a r( ), =B a p ( ), n

Vậy M ={B a r r( ), ∈+}={B a p n( ), n ∈} là tập đếm được Mặt khác mọi hình cầu trong

p đều có thể chọn tâm là một số hữu tỉ Chẳng hạn, đối với hình cầu mở B a p Do ( ), n

∈ p

a nên ta giả sử khai triển p-adic của a có dạng

+ +

b a

p

nên b B a p Do đó ∈ ( ), n B a p( ) ( ), n =B b p , n

Vậy mọi hình cầu trong p đều có dạng B b p trong đó ∈( ), n b và n∈, do đó số hình

cầu trong p là tập đếm được

Tương tự, ta cũng chứng minh được mọi hình cầu đóng, mặt cầu trong p cũng là những

tập đếm được.■

2.4 Bổ đề Hensel

Như chúng ta đã biết các phép toán số học như: cộng, trừ, nhân và chia trong p

được thực hiện một cách khá dễ Tuy nhiên, việc khai căn của một số nguyên và việc tìm nghiệm của một phương trình nào đó trong p nói chung là vấn đề không phải lúc nào chúng ta cũng thực hiện được Bổ đề Hensel sẽ giúp chúng ta giải quyết một phần nào của

vấn đề trên Đặc biệt là Bổ đề Hensel giúp chúng ta mô tả các căn của 1 trongp hay các tự đẳng cấu trong trường p

2.4.1 Bổ đề Hensel Cho đa thức ( )= 0+ 1 + + n∈   , ≠0

Để chứng minh bổ để Hensel ta cần chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề Cho a0∈ p , t ổn tại duy nhất dãy số tự nhiên a 1 , a 2 , …, a n ,…th ỏa 3 điều kiện

Ch ứng minh Ta xây dựng a 1 , a 2 , …, a n ,… bằng quy nạp

Gọi a là số tự nhiên duy nhất thỏa ≤0 0 a0 ≤ −p 1 mà a0 ≡ a0(modp ( ) a là chữ số 0

đầu tiên trong khai triển p-aidc của a 0

Giả sử đã có a 1 , do a 1 thỏa i), ii) nên có thể chọn = + a1 a0 pb với ≤ ≤ −0 b p 1 ta chỉ còn phải chọn b phù hợp Ta có:

Như vậy bằng quy nạp ta đã xây dựng được duy nhất dãy số tự nhiên a 1 , …, a n thỏa bổ đề

Để chứng minh Bổ đề Hensel ta cần chứng minh các điều sau:

1 Sự tồn tại: Với a0∈ p, theo bổ đề trên tồn tại duy nhất một dãy số tự nhiên a 1 ,

a 2 ,…, a n thỏa điều kiện :

a thỏa i), ii) của bổ đề trên

Hơn nữa: ′ ≡ ′(mod n+ 1)

2.4.2 Ví dụ Trong 7luôn t ồn tại căn bậc 2 của -3

Thật vậy, xét f x( )= x2+3, ta chứng minh f(x) có nghiệm trong 7

2.4.3 Ví dụ Trong 2luôn t ồn tại căn bậc 2 của 9

Thật vậy, dễ dàng nhận thấy tồn tại ∈ 2 =

0

2 1 0

0

0 mod

0 mod

M M M

Để chứng minh bổ để hensel mở rộng ta cần chứng minh bổ đề sau đây :

Bổ đề: Cho a0∈ p t ồn tại duy nhất dãy số tự nhiên a 1 , a 2 , …, a n th ỏa 3 điều kiện

Ta xây dựng dãy số a 1 , a 2 , …, a n bằng quy nạp

Gọi a là số tự nhiên duy nhất thỏa ≤0 0 a0 < p mà ≡  ( + 1)

Suy ra a duy nhất và thỏa điều kiện (*) 0

Giả sử đã có a , 1 a thỏa i), ii) nên có thể chọn: 1 =  + + 1

Suy ra b được chọn duy nhất, là chữ số đầu tiên trong khai triển p-adic số − − 0

2 1

( )

M

f a

Đến đây ta xây dựng được a 1

Giả sử ta đã có duy nhất dãy số tự nhiên a a1, , ,2 a thỏa i), ii), iii) Ta sẽ xây dựng n−1