Số P Adic luận án thạc sĩ.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HOÀNG YẾN SỐ P-ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HOÀNG YẾN SỐ P-ADIC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đ ầu 1 1 Đồng dư thức và phương trình modulo 3 2 Chuẩn p-adic và tập số p-adic 16 3 Một số kiến thức cơ bản của giải tích p–ad ic 34 4 Bài tập tham khảo 38 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Số p-adic để mã hóa thông tin, có ứng dụng mạnh mẽ trong lý thuyết số. Giải tích p-adic là một trong các hướng mới và đang phát triển nhanh trong ngành đại số và lý thuyết số. Mục tiêu chính của luận văn là giới thiệu những khái niệm cơ bản nhất về số p-adic và giải tích p-adic. Luận văn gồm có phần Mở đầu, 4 chương tiếp theo và phần kết luận. Chương 1. Trình bày những kiến thức về đồng dư thức và phương trình modulo. Chương 2. Xây dựng c ác khái niệm chuẩn, chuẩn Archimedean, chuẩn phi−Archimedean trên m ột vành giao hoán có đơn vị. Cấp p-adic, chuẩn p-adic của một số hữu tỉ; Khái niệm dãy hội tụ, dãy Cauchy; Khái niệm vành đầy đủ đối với một chuẩn N; Xây dựng vành các số p-adic và một vài tính chất của nó. Chương 3 . Giới thiệu sơ lược một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích p-adic. Chương 4. Một số bài tập tham khảo. Mỗi chương đều có ví dụ và phần bài tập liên quan. Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Nông Quốc Chinh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy về sự tận tình hướng dẫn trong suốt thời gian tác giả làm luận văn. Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng và 1 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn xêmina, tác gi ả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng góp những ý kiến quý báu của các giáo sư trong Viện Toán học thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam cùng các thấy cô giáo trong trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy các cô. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô, Ban Giám hiệu Nhà trường, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn cao học. Cuối c ùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn theo sát, động viên tác giả vượt qua những khó khăn để có được điều kiện tốt nhất khi học tập và nghiên cứu. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song do năng lực và thời gian còn hạn chế nên chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của các Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các độc giả quan tâm. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, 19 tháng 10 năm 2012. Tác giả Bùi Thị Hoàng Yến 2 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Đồng dư thức và phương trình modulo Cho n ∈ N ∗ . Định nghĩa 1.1. Cho x, y ∈ Z, ta viết x ≡ n y nếu và chỉ nếu n |(x −y). Ta thường viết x ≡ y(modn) và đọc là x đồng dư với y theo modulo n. Chú ý rằng khi n = 0, x ≡ y(modn) nếu và chỉ nếu x = y, vì vậy trường hợp ≡ 0 thực ra là đẳng thức. Mệnh đề 1.1. Quan hệ ≡ n là m ột quan hệ tương đương trên Z. Chứng minh : Cho x, y, z ∈ Z. Rõ ràng ≡ n có tính chất phản xạ vì n |(x −x) = 0. Nó có tính chất đối xứng vì nếu n |(x −y) thì x −y = kn với mỗi k ∈ Z, suy ra y −x = (−k)n và vì vậy n |(y − x). Có tính chất bắc cầu, giả sử rằng n |(x − y) và n |(y −z), khi đó vì x−z = (x−y)+(y −z) nên ta có n |(x −z). Ta kí hiệu lớp tương đương của x ∈ Z là [x] n hoặc chỉ là [x] nếu n xác định, ta sử dụng chung kí hiệu ¯x nếu giá trị của n là rõ ràng từ dữ kiện. Bằng đị nh nghĩa [x] n =  y ∈ Z : y ≡ n x  = {y ∈ Z : y = x + kn, ∀k ∈ Z}, với mỗi số tự nhiên khác không có đúng n lớp thặng dư, cụ thể là 3 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [0] n , [1] n , , [n − 1] n . Định nghĩa 1.2. Tập hợp gồm tất cả các lớp thặng dư của Z theo modulo n là tập thương: Z/nZ = {[x] n : x = 0, 1, , n − 1} = Z n Nếu n = 0 ta có Z n = Z. Xét hàm π n : Z → Z n ; π n (x) = [x] n . Đây là một toàn ánh thỏa mãn π −1 n (α) = {x ∈ Z : x ∈ α} Ta có thể định nghĩa phép cộng + n và phép nhân × n trên Z n bởi công thức [x] n + [y] n = [x + y] n ;[x] n × [y] n = [xy] n Điều này ta có thể dễ dàng nhìn thấy từ định nghĩa, tức là chúng không phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện x và y. Mệnh đề 1.2. Tập Z n với các phép toán + n và × n là một vành giao hoán và hàm π n : Z → Z n là một đồng cấu vành, nó là một toàn ánh và có hạt nhân kerπ n = [0] n = {x ∈ Z : x ≡ 0(modn)} Cho R là một vành giao hoán với phần tử đơn vị 1. Định nghĩa 1.3. Phần tử u ∈ R được gọi là một phần tử khả nghịch nếu tồn tại một phần tử v ∈ R thỏa mãn uv = vu = 1. Phần tử v là duy nhất xác định và được gọi là nghịch đảo của u và thường được kí hiệu là u −1 . Định nghĩa 1.4. Phần tử khác không z ∈ R được gọi là m ột ước của không nếu tồn tại ít nhất một phần tử w ∈ R với w = 0 và zw = 0. Ta quy ước phần tử 0 là ước của chính nó. 4 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1. Cho n = 6, khi đó Z 6 = { ¯ 0, ¯ 1, , ¯ 5}. Các phần tử khả nghịch là ¯ 1, ¯ 5 với ¯ 1 −1 = ¯ 1 và ¯ 5 −1 = ¯ 5 vì 5 2 = 25 ≡ 6 1. Các ước của không là ¯ 0, ¯ 2, ¯ 3, ¯ 4. Ta đã biết nếu a, b ∈ Z thì ước chung lớ n nhất của a và b là số nguyên dương lớn nhất đồng thời là ước của cả a và b. Ta thường viết là gcd (a, b). Định lí 1.1. Cho n > 0, khi đó ta có i, Các phần tử của Z n hoặc là khả nghịch, hoặc là ước của không. ii, ¯z là một ước của không trong Z n nếu và chỉ nếu gcd (z, n) > 1. iii, ¯u là một phần tử khả nghịch trong Z n nếu và chỉ nếu gcd (u, n) = 1. Chứng minh : Lấy ¯u tùy ý trong Z n , giả sử ¯u không phải là phần tử khả nghịch. Suy ra gcd(u, n) = 1 vậy ∃v : u = u 1 .v; n = n 1 .v, trong đó n 1 < n và ¯n 1 = ¯ 0. Xét tích ¯u.¯n 1 ta có ¯u.¯n 1 = ¯u 1 .¯v.¯n 1 = ¯u 1 .¯n = ¯ 0 Suy ra ¯u là ước của không trong Z n . Ta đã biết nếu a, b ∈ Z với b = 0, khi đó ∃!q, r ∈ Z sao cho a = bq + r với 0 ≤ r < |b|. Định lí 1.2. (Thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất) Cho a, b ∈ Z, khi đó có những dãy duy nhất các số nguyên q i , r i thỏa mãn a = bq 1 + r 1 r 0 = b = q 2 r 1 + r 2 r 1 = q 3 r 2 + r 3 . . 5 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn . 0 = r N−1 = q N + 1.r N Trong đó ta có 0 ≤ r i < r i−1 với mỗi i, r N = gcd(a, b) và tìm được s, t ∈ Z sao cho r N = sa + tb Ví dụ 2. Nếu a = 6, b = 5 thì r 0 = 5 và ta có 6 = 1.5 + 1 vì vậy q 1 = 1, r 1 = 1. 5 = 1.5 vì vậy q 2 = 5, r 2 = 0. Suy ra ta có gcd(6, 5) = 1 và có thể viết 1 = 1.6 + (−1).5 . Định nghĩa 1.5. Ký hiệu (Z n ) × là tập các phần tử khả nghịch trong Z n . Ta có (Z n ) × là một nhóm Abel với phép nhân × n . Cho ϕ(n) =   (Z n ) ×   = cấp của (Z n ) × . Từ định lý 1.1, suy ra   (Z n ) ×   bằng số các số nguyên 0, 1, 2, , n −1 mà không có ước chung với n. Hàm ϕ này được biết đến là ϕ - hàm Euler. Ví dụ 3. Với n = 6 ; |Z 6 | = 6 và Z 6 có các phần tử khả nghịch là ¯ 1, ¯ 5, suy ra ϕ(6) = 2. Ví dụ 4. Với n = 12; |Z 12 | = 12 và Z 12 có các phần tử khả nghịch là ¯ 1, ¯ 5, ¯ 7, 1 ¯ 1, suy ra ϕ(12) = 4. Ta sẽ nghiên cứu xác định gi á trị của ϕ(n) qua n. Khi n là một số nguyên tố ta có kết quả sau: Ví dụ 5. Cho p là một số nguyên tố. Khi đó p chỉ có ước tầm thường là 1 và p vì vậy ϕ (p) = p − 1. Hơn nữa: xét một lũy thừa của p, p r với r > 0, khi đó các số nguyên trong 0, 1, 2, , p r − 1 có nhân tử chung với p r đều được biểu diễn dưới dạng kp với 0 ≤ k ≤ p r−1 − 1, suy ra có p r−1 phần tử. Vì vậy ta c ó ϕ(p r ) = p r−1 (p −1) 6 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 6. Khi p = 2, ta có các nhóm (Z 2 ) × = { ¯ 1}, (Z 2 2 ) × = { ¯ 1, ¯ 3} ∼ = Z 2 , (Z 2 3 ) × = { ¯ 1, ¯ 3, ¯ 5, ¯ 7} ∼ = Z 2 × Z 2 . Và tổng quát lên ta có (Z 2 r+1 ) × ∼ = Z 2 × Z 2 r−1 Với m ọ i r ≥ 1. Giả sử n là một số tự nhiên tùy ý, ta biểu diễn n = p r 1 1 p r 2 2 p r s s , trong đó với mỗi i, p i là một số nguyên tố thỏa m ãn 2 ≤ p 1 < p 2 < < p s và r i ≥ 1. Khi đó những số p i , r i được xác định duy nhất bởi n . Định lí 1.3. Có duy nhất một đẳng cấu vành Ψ : Z n ∼ = Z r 1 p 1 × Z r 2 p 2 × ×Z r s p s Và một đẳng cấu nhóm Ψ : (Z n ) × ∼ =  Z r 1 p 1  × ×  Z r 2 p 2  × × ×  Z r s p s  × Do đó ta có ϕ (n) = ϕ (p r 1 1 ) ϕ (p r 2 2 ) ϕ (p r s s ). Chứng minh : Giả sử a, b là hai số nguyên tố cùng nhau, trước hết ta sẽ chứng minh có một đẳng cấu vành: Ψ : Z ab → Z a × Z b Theo định lý 1.2, ∃u, v ∈ Z sao cho ua + vb = 1. Hiển nhiên gcd(a, u) = gcd(b, v) = 1 Xét tương ứng Ψ : Z ab → Z a × Z b 7 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Q cùng với chuẩn p- adic | |p , ta có an = pn Khi đó |pn |p = 1 pn → 0 khi n → ∞, và vì vậy lim (p) an = 0 Suy ra dãy này là n→∞ dãy không đối với chuẩn p- adic Ví dụ 17 Sử dụng cùng chuẩn như ở Ví dụ 2.3 với an = (1 + p) p − 1 r Khi đó với n = 1, |an |p = |(1 + p) p − 1 |p = p 1 p + + p p−1 pp−1 + pp = p 1 , p2 p = 1 Suy ra |a1 |p = p1 2 k Với số tổng quát n, ta chứng minh bằng quy n p theo n và thấy... chuẩn N = | |p được gọi là vành các số p- adic; ta sẽ ký hiệu là Qp Chuẩn trên Qp vẫn được ký hiệu là | |p 28 3 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 2.11 T p Zp = α ∈ Qp : |α |p ≤ 1 được gọi là t p h p của các số nguyên p- adic Mệnh đề 2.5 T p h p các số nguyên p- adic Zp là một vành con của Qp Mọi phần tử của Zp là giới hạn của một dãy các số nguyên... điều phải chứng minh Ta sẽ mô tả chi tiết phần tử của Qp bằng việc dùng khai triển chữ số p- adic Ta sẽ bắt đầu với những phần tử của Zp Lấy α ∈ Zp , theo Mệnh đề 2.5 ta thấy rằng có một số nguyên α0 thỏa mãn điều kiện |α0 − α |p < 1, 0 ≤ α0 ≤ (p − 1) Số nguyên p- adic α0 − α có chuẩn ≤ 1 /p và vì vậy số p- adic (α − α0 ) /p thuộc Zp L p lại bước trên, ta thu được α1 thỏa mãn 1 |α − (α0 + α1 p) |p < ,... Cho α ∈ Qp là một số p- adic bất kỳ Nếu |α |p > 1, giả sử |α |p = pk , k > 0 Xét β = pk α, có |β |p = 1, nó có một mở rộng p- adic β = β0 + β1 p + β2 p2 + như trên Khi đó α= β1 βk−1 β0 + k−1 + + + βk + βk+ 1p + + βk+r pr + k p p p 31 3 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với 0 ≤ βn ≤ (p − 1) với mỗi n Những l p luận trên của ta thực chất đã thiết l p được một... trường h p R = Q, các số hữu tỷ, với chuẩn p- adic | |p , cho dãy an = 1 + p + p2 + + pn−1 Khi đó ta có |an+k − an |p = pn + pn+1 + + pn+k−1 p = 1 pn Với mỗi ε > 0, ta có thể chọn một số M thỏa mãn pM ≥ 1 , vì vậy nếu ε n > M ta có |an+k − an |p < 1 ≤ε pM Như vậy (an ) là dãy Cauchy Ngoài ra, dãy này có một giới hạn đối với chuẩn | |p là a = ta có 1 1 p ∈ Q, an = (pn − 1)/ (p − 1), 20 2 3Số hóa bởi... (hoặc định giá p- adic của x) là ordp x = max {r : pr |x} ≥ 0 Với a/b ∈ Q thì c p p -adic của a/b là a ordp = ordpa − ordp b b Nhận xét: ∀x ∈ Q, ordp x là một số nguyên Và nếu x = a/b thì ordp x hoàn toàn được xác định Thật vậy, giả sử a/b = a′ /b′ ta có ngay ordp a − ordp b = ordp a′ − ordpb′ 17 2 0Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ta quy ước ordp 0 = ∞ Mệnh... quả quan trọng dưới đây Định lí 2.3 Mọi số p- adic α ∈ Qp có một khai triển p- adic duy nhất α = α−r p r + α1−r p1 −r + α2−r p2 −r + + α− 1p 1 + α0 + α1 p + α2 p2 + với αn ∈ Z và 0 ≤ αn ≤ (p − 1) Hơn nữa, α ∈ Zp nếu và chỉ nếu α−r = 0 với mỗi r > 0 Ta cũng có thể làm ph p tính số học trong Qp theo cách tương tự như cách nó được thực hiện trong R với khai triển th p phân Ví dụ 20 Tìm tổng 1/3 + 2 + 2.3 +... + α1 p) |p < , 0 ≤ α1 ≤ (p − 1) p Ti p tục quá trình trên ta sẽ thu được một dãy các số nguyên αn sao cho |α − (α0 + α1 p + + αn pn ) |p < 1 , 0 ≤ αn ≤ (p − 1) pn Dãy (βn ) với βn = α0 + α1 p + + αn pn là dãy Cauchy đối với chuẩn | |p Hơn nữa giới hạn của nó là α vì |α − βn |p < 1 pn Vậy ta có một khai triển α = α0 + α1 p + α2 p2 + tương tự việc khai triển th p phân của một số thực, ở đây có vô hạn... bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nên 1 an − (1 − p) Vì vậy với ε > 0 ta có an − trên) p pn = (1 − p) 1 (1 p) p = p 1 pn < ε với bất kỳ n > M (chọn M như Từ đây ta sẽ viết lim (p) thay cho lim (N ) trong trường h p N = | |p n→∞ n→∞ là chuẩn p- adic Vậy trong ví dụ trước, ta có lim (p) (1 + p + p2 + + pn−1) = n→∞ 1 1 p Định nghĩa 2.7 Cho R là vành với chuẩn N, dãy... trường h p K = Zp trong đó p là một số nguyên tố và các đa thức X p − X, X p 1 − ¯ ∈ Zp [X] 1 Định lí 1.6 (Định lý Fermat nhỏ) Cho p là số nguyên tố Đối với bất kỳ a ∈ Zp , hoặc a = ¯ hoặc ¯ ¯ 0 1 1 ¯ (¯ )p 1 = ¯ (vì vậy trong trường h p này a là một căn bậc (p − 1) của ¯) a Suy ra, X p − X = X(X − ¯ 1)(X − ¯ 2) (X − p − 1) Hệ quả 1.2 (Định lý Wilson) Với bất kỳ số nguyên tố p ta có (p − 1)! ≡ −1(modp) Định . THỊ HOÀNG YẾN SỐ P- ADIC Chuyên ngành: PHƯƠNG PH P TOÁN SƠ C P Mã số : 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa bởi Trung. Z b | (Hai t p h p hữu hạn có cùng số phần tử mà Ψ l à toàn ánh nên suy ra nó là đơn ánh ) Với n là một số tự nhiê n tùy ý, p dụng kết quả trên, định l ý được chứng minh bằng phương ph p quy n p theo. giá p- adic của x) là ord p x = max {r : p r |x} ≥ 0 Với a/b ∈ Q thì c p p -adic của a/b là ord p a b = ord p a − ord p b. Nhận xét: ∀x ∈ Q, ord p x là một s ố nguyên. Và nếu x = a/b thì ord p x