BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài 1. Dùng bổ đề Hensel giải các phương trình i, X2 + 6 ≡ 6250. ii, X2 + X + 82401≡ 0. Chú ý 2401 = 74. Bài 2. Xác định các số sau: ord354,ord5(−0.0625),ord7(−700/197),|−128/7|2,|−13.23|3,|9!|3
Bài 3. Cho a ∈ Q, những điều kiện nào trên |a|p phải được thỏa mãn để đảm bảo phương trình 5x2 = a có một nghiệm
i, Trong Z. ii, Trong Q.
Bài 4. Cho p là một số nguyên tố và n > 0. a, Chỉ ra rằng
ordp(pn!) = 1 +p+ ...+pn−1.
b, Khi 0≤ a ≤ p−1 chỉ ra rằng
ordp(apn!) = a 1 +p+...+pn−1 .
c, Cho r = r0 + r1p + ...+ rdpd, khi 0 ≤ rk ≤ p −1 với mỗi k, và tập
αp(r) = P 0≤i≤d ri. Chỉ ra rằng ordp(r!) = r −αp(r) p−1 . Sử dụng để xác định |r!|p. BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Bài 1. Cho F là một trường vàR = F [x] là một vành của các đa thức trên
F với biến X.
Định nghĩa một hàm giá trị nguyên
ordXf (X) = max{r :f (X) = Xrg(X), g(X) ∈ F [X]} Và đặt ordX0 = ∞. Khi đó xác định
N(f (X)) = e−ordxf(x)
Chứng minh rằng ordX thỏa mãn những điều kiện của mệnh đề 2.4 với
ordX ở vị trí củaordp. Suy ra N thỏa mãn các điều kiện yêu cầu để là một chuẩn phi−Archimedean trên R.
Bài 2. Cho R là một vành được trang bị một chuẩn phi−Archimedean N. Chỉ ra rằng một dãy (an) là Cauchy với quan hệ trên N nếu và chỉ nếu
(an+1 −an) là một dãy không. Chỉ ra rằng điều này sai nếu N là chuẩn Archimedean.
Bài 3. Xác định các số 5-adic với sai số của chuẩn nhiều nhất là1/625 của
α = (3/5 + 2 + 4×5 + 0×25 + 2×25 +...)−(4/5 + 3×25 + 3×125 +...)
β = (5 + 2×25 + 125 +...) (3 + 2×25 + 4×125 +...)
Kết luận
Luận văn đã trình bày các vấn đề sau:
- Khái niệm và tính chất cơ bản về đồng và phương trình đồng dư. - Đã xây dựng các khái niệm chuẩn N, chuẩn Archimedean, chuẩn phi−Archimedean trên một vành; Cấp p-adic của một số hữu tỉ, khái niệm dãy hội tụ theo chuẩn N, dãy Cauchy, dãy không, vành đầy đủ theo chuẩn N; Đặc biệt là đã xây dựng khái niệm vành các số p-adic và một vài tính chất của nó.
- Đã giới thiệu sơ lược một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích p-adic.
- Phần cuối của luận văn nêu ra một số bài tập ứng dụng.
Mặc dù đã có sự cố gắng và nỗ lực song chắc hẳn đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện hơn.