tích p–adic
Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu những khái niệm cơ bản của giải tích p-adic, bao gồm những khái niệm sự hội tụ của dãy và chuỗi, tính liên tục và những chủ đề thông thường khác xuất phát từ giải tích thực, nhưng bây giờ là xét trong tập số p-adic Qp với chuẩn p-adic | |p, trong luận văn này chủ yếu là đưa ra các kết quả và không chứng minh.
Cho α = {an} ∈ Qp. Từ Chương 2 ta thấy rằng tồn tại số M sao cho |α|p = 1
pordpaM
đó là một lũy thừa nguyên của p. Vì vậy với mỗi t ∈ Z, bất đẳng thức |α|p < p1t là tương đương với
|α|p ≤ 1
pt+1.
Cho (αn) là một dãy trong Qp.
Mệnh đề 3.1. (αn) là một dãy Cauchy trongQp nếu và chỉ nếu(αn+1 −αn)
là một dãy không.
Giả sử (αn) là một dãy trong Qp. Với mỗi n ta có thể xét tổng riêng thứ n của chuỗi P
αn, đó là
Định nghĩa 3.1. Nếu dãy (sn) trong Qp có một giới hạn
S = lim(p)
x→∞ sn
thì ta nói rằng chuỗi P
αn hội tụ đến giới hạn S và ta viết
∞X X
n=1
αn = S. S được gọi là tổng của chuỗi P
αn. Nếu chuỗi này không có giới hạn ta nói nó phân kỳ. Ví dụ 21. Cho αn = npn ta có Sn = m X n=1 npn và sn+1−sn = (n+ 1)pn+1. Nó có chuẩn là (n+ 1)pn+1 p = |n+ 1|p pn+1 p ≤ 1 pn+1
dần tiến đến 0 khi n → ∞ trong tập các số thực. Từ Mệnh đề 3.1, (sn) là một dãy Cauchy và suy ra có một giới hạn trên Qp.
Trong giải tích thực, có những chuỗi hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Ví dụ, chuỗi P (−1)n
n hội tụ đến –ln2 nhưng P 1
n phân kỳ. Kết quả tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng điều này không còn đúng trong Qp.
Mệnh đề 3.2. Một chuỗi P
αn trong Qp hội tụ nếu và chỉ nếu (αn) là một dãy không.
Chứng minh: Nếu P
αn hội tụ thì từ Mệnh đề 3.1 dãy các tổng riêng
(αn) là không, thì từ Mệnh đề 3.1 ta thấy dãy (sn) là Cauchy và do vậy nó hội tụ.
Vì vậy để kiểm tra sự hội tụ của một chuỗi P
αn trong Qp ta chỉ cần xét xem khi nào thì
lim
n→∞
(p)
αn = 0.
Điều này có nghĩa là sự hội tụ của một chuỗi trong Qp nhìn chung là khá dễ dàng hơn so với sự hội tụ của chuỗi trong trường số thực hay trường số phức. Ví dụ 22. Chuỗi P pn hội tụ trong R ta có |pn|p = p1m → 0. Thật vậy, X pn = lim m→∞ (p) m X n=0 pn = 1 1−p Ví dụ 23. Chuỗi P 1 n phân kỳ trong Qp Vì βn = 1 np+ 1 của dãy 1 n có |βn|p = 1 với mọi n.
Như một kiểu đặc biệt của chuỗi ta có thể xét chuỗi các lũy thừa (với một biến x). Cho x ∈ Qp và cho (αn) là một dãy. Khi đó ta có chuỗi
P
αnxn. Như trong giải tích thực, ta cần kiểm tra xem với mỗi giá trị của x thì chuỗi này hội tụ hay phân kì.
Ví dụ 24. Cho αn = 1 với mọi n. Khi đó
lim n→∞ (p) xn = 0, khi |x|p < 1 ≥ 1, khi |x|p ≥ 1.
Vì vậy chuỗi này hội tụ nếu và chỉ nếu |x|p < 1. Dĩ nhiên, trong R, chuỗi
P
xn hội tụ nếu |x| < 1, phân kì nếu |x| > 1; phân kì tới +∞ nếu x = 1, và dao động giữa 0 và -1 nếu x = −1.
Ví dụ 25. Cho chuỗi P
nxn ta có |nxn|p = |n|p|xn|p ≤ |x|np dần đến 0 trong R có |x|p < 1. Vì vậy chuỗi này chắc chắn hội tụ với mọi x.
Chương 4
Bài tập tham khảoBÀI TẬP CHƯƠNG 1