Số cân bằng và số đối cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HƯỜNG SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ HƯỜNG SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cảm ơn iii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu 1 Số cân 1.1 Khái niệm số cân 1.2 Một số cơng thức tìm số cân 1.3 Một số công thức truy hồi 1.4 Hàm sinh 10 1.5 Một công thức không đệ quy khác 11 1.6 Một số tính chất khác 13 1.7 Một áp dụng số cân vào phương trình Diophantus 21 Số đối cân 23 2.1 Khái niệm số đối cân 23 2.2 Một số cơng thức tìm số đối cân 25 2.3 Một số công thức truy hồi 26 2.4 Hàm sinh 28 2.5 Mối liên hệ số cân số đối cân 30 2.6 Một áp dụng số đối cân vào phương trình Diophantus 35 ii Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 iii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học TS Ngô Văn Định Qua em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, TS Ngơ Văn Định, người đưa đề tài dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn, giải đáp thắc mắc em suốt trình nghiên cứu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giảng dạy Phòng Đào tạo thuộc Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tốt để em theo học lớp học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn D khóa 1/2014 - 1/2016 động viên giúp đỡ tơi q trình học tập làm luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Hải Dương, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT Cẩm Giàng II - Cẩm Giàng - Hải Dương tạo điều kiện cho tơi học tập hồn thành kế hoạch học tập Tơi cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, 2015 Hồng Thị Hường Học viên Cao học Tốn lớp D khóa 01/2014 - 01/2016, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên iv Danh sách ký hiệu   n   k Tổ hợp chập k n phần tử [x] Phần nguyên số x Fn Số Fibonacci thứ n Ln Số Lucas thứ n Bn Số cân thứ n bn Số đối cân thứ n Mở đầu Số nguyên dương n gọi số cân bằng, tương ứng số đối cân + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), tương ứng + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), với số nguyên dương r Các số cân số đối cân có nhiều tính chất đẹp thú vị, chẳng hạn như: Nếu n số cân số nguyên dương r tương ứng số đối cân ngược lại, n số đối cân r số cân bằng; có số phương trình Diophantus có nghiệm biểu diễn dạng số cân số đối cân Nội dung luận văn trình bày lại kết thú vị theo tài liệu tham khảo [3], [4] [5] Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn trình bày thành chương: • Chương 1: Số cân Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm, tính chất số cân bằng, cơng thức tìm số cân bằng, số công thức truy hồi, hàm sinh, số công thức không đệ quy áp dụng số cân vào giải phương trình Diophantus • Chương 2: Số đối cân Chương trình bày khái niệm, tính chất số đối cân bằng, cơng thức tìm số đối cân bằng, số cơng thức truy hồi, hàm sinh, mối liên hệ số cân số đối cân áp dụng số đối cân vào giải phương trình Diophantus Chương Số cân Trong chương này, chúng tơi trình bày lại nội dung báo [3] [4] Cụ thể, chúng tơi trình bày khái niệm số cân bằng, số tính chất liên quan đến số cân Trong đó, đặc biệt chúng tơi trình bày số hàm sinh số cân áp dụng vào giải phương trình Diophantus 1.1 Khái niệm số cân Định nghĩa 1.1.1 Số nguyên dương n gọi số cân + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), (1.1) với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số cân ứng với số cân n Ví dụ 1.1.1 Các số 6, 35 204 số cân với hệ số cân 2, 14 84 Mệnh đề 1.1.1 Nếu n số cân với số hệ số cân tương ứng r (n + r)(n + r + 1) n = − (2n + 1) + r= (1.2) , √ 8n2 + (1.3) Chứng minh Từ (1.1), ta có + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) ⇒ (n − 1)n r(r + 1) = rn + ⇒ n −n = 2rn + r + r ⇒ 2n2 = n2 + 2rn + r2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)2 + n + r ⇒ 2n2 = (n + r)(n + r + 1) ⇒ n2 = 2 (∗) (n + r)(n + r + 1) Từ (*) suy r2 + (2n + 1)r − n2 + n = Ta có ∆ = 8n2 + > 0, suy − (2n + 1) ± r= √ 8n2 + Vì r nguyên dương nên − (2n + 1) + r= √ 8n2 + Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 1.1.2 [3] Số tam giác số có dạng + + · · · + n với n ∈ Z+ Nhận xét 1.1.1 Nếu n2 số tam giác n số cân 8n2 + số phương n số cân Do đó, từ (1.2) ta thấy n số cân n2 số tam giác từ (1.3) ta thấy n số cân 8n2 + phương 24 − (2n + 1) + r= √ 8n2 + 8n + (2.3) Chứng minh Từ (2.1), ta có + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), ⇒ n(n + 1) r(r + 1) = rn + ⇒ n(n + 1) = 2rn + r + r ⇒ 2n(n + 1) = n(n + 1) + 2rn + r2 + r ⇒ 2n(n + 1) = (n + r)2 + n + r ⇒ 2n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1) ⇒ n(n + 1) (∗) (n + r)(n + r + 1) = Từ (*) suy r2 + (2n + 1)r − n2 − n = Ta có ∆ = 8n2 + 8n + > 0, suy − (2n + 1) ± r= √ 8n2 + 8n + Vì r nguyên dương nên − (2n + 1) + r= √ 8n2 + 8n + Mệnh đề chứng minh Định nghĩa 2.1.2 Một số gọi số Pronic viết dạng n(n + 1) với n số nguyên dương Từ (2.3) suy n số đối cân 8n2 + 8n + số phương hay n(n+1) số tam giác Vì 8×02 +8×0+1 = 25 số phương, ta thừa nhận số đối cân giống chương ta thừa nhận số cân Từ lập luận trên, n số đối cân n(n+1) n(n+1)/2 số tam giác Do đó, nghiên cứu ta số đối cân thu hẹp tới số tam giác Pronic, tức vừa số tam giác, vừa số Pronic Vì n < n(n + 1) < n + nên suy T số tam giác Pronic √ [ T ] phải số đối cân Ví dụ T = số tam giác Pronic √ dó [ 6] = số đối cân 2.2 Một số công thức tìm số đối cân Trong phần ta giới thiệu vài hàm sinh số đối cân Cho n, m số đối cân bất kì, ta xét hàm sau: f (n) = 3n + 8n2 + 8n + + 1, g(n) = 17n + 8n2 + 8n + + 8, h(n) = 8n2 + 8n + + (2n + 1) 8n2 + 8n + + 1, t(n, m) = 2(2n + 1)(2m + 1) + (2n + 1) + (2m + 1) 8n2 + 8n + + 8m2 + 8m + 8n2 + 8n + 8m2 + 8m + − Đầu tiên ta chứng minh hàm sinh số đối cân Định lí 2.2.1 Cho n, m hai số đối cân f (n), g(n), h(n) t(n, m) số đối cân Chứng minh Giả sử u = f (n) Khi n < u n = 3u − 8u2 + 8u + + Vì n u số nguyên không âm nên 8u2 + 8u + phải số phương u số đối cân 26 Vì f (f (n)) = g(n) nên g(n) số đối cân Ta kiểm tra trực tiếp 8h2 (n) + 8h(n) + 8t2 (n, m) + 8t(n, m) + số phương Vì h(n) t(n, m) số đối cân Tiếp tục, ta chứng tỏ với n số đối cân f (n) không đơn số đối cân mà số đối cân n Định lí 2.2.2 Nếu n số đối cân số đối cân n f (n) = 3n + 8n2 + 8n + + 1, số đối cân liền trước n f (n) = 3n − 8n2 + 8n + + Chứng minh Chứng minh f (n) = 3n + √ 8n2 + 8n + + số đối cân n chứng minh giống Định lý 1.2.2 Vì f f (n) = n nên suy f (n) số đối cân lớn nhỏ n 2.3 Một số công thức truy hồi Cho n = 1, 2, bn số đối cân thứ n Ta đặt b1 = Hai số đối cân b2 = b3 = 14 Chương trước ta quy ước số cân đặt B0 = 1, B1 = 6, kí hiệu Bn số cân thứ n Để chuẩn hóa kí hiệu cho bậc với số Fibonacci, ta đặt lại số cân bằng cách đặt B1 = 1, B2 = 6, Định lý 2.2.2 nói bn+1 = 3bn + 8b2n + 8bn + + 1, 27 8b2n + 8bn + + bn−1 = 3bn − Cộng vế với vế hai phương trình ta kết luận số đối cân tuân theo công thức truy hồi tuyến tính bậc hai (2.4) bn+1 = 6bn − bn−1 + Từ công thức (2.4)ta thu định lý sau: Định lí 2.3.1 Mọi số đối cân số chẵn Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Hai số đối cân b1 = b2 = số chẵn Giả sử bn chẵn với n ≤ k Sử dụng (2.4) dễ thấy bk+1 số chẵn Sử dụng công thức truy hồi (2.4), ta suy vài liên hệ thú vị số đối cân Định lí 2.3.2 a) (bn − 1)2 = + bn−1 bn+1 ; b) Với n > k ≥ bn = bk + Bk bn−k+1 − Bk−1 bn−k ; c) b2n = Bn bn+1 − bn (Bn−1 − 1); d) b2n+1 = (Bn+1 + 1)bn+1 − Bn bn Chứng minh Từ (2.4), ta có bn+1 + bn−1 − bn = Thay n n − 1, ta có bn + bn−2 − bn−1 = Suy bn+1 + bn−1 − bn = bn + bn−2 − bn−1 28 Suy (bn − 1)2 − bn−1 bn+1 = (bn−1 − 1)2 − bn−2 bn Do (bn − 1)2 − bn−1 bn+1 = (b2 − 1)2 − b1 b3 = (2 − 1)2 − × 14 = Chứng minh b) cần mối liên hệ số cân đối cân thiết lập phần sau Do ta hỗn lại chứng minh b) Chứng minh c) suy từ b) cách thay n 2n k n Tương tự chứng minh d) suy từ b) cách thay n 2n + k n + 2.4 Hàm sinh Ở phần trên, ta phát triển công thức truy hồi bn+1 = 6bn − bn−1 + cho số đối cân Sử dụng công thức truy hồi này, ta thu hàm sinh cho số đối cân thiết lập mối liên hệ thú vị số cân đối cân Nhớ lại rằng, hàm sinh thông thường cho dãy {xn }∞ n=0 số thực định nghĩa ∞ x n sn g(s) = n=0 Chương ta biết hàm sinh cho dãy số cân {Bn }∞ n=0 g(s) = − 6s + s2 Để phù hợp với quy ước đề xuất phần trước, dễ dàng thấy hàm sinh cho dãy số cân {Bn }∞ n=1 có dạng g(s) = − 6s + s2 29 Định lí 2.4.1 Hàm sinh cho dãy số đối cân {bn }∞ n=1 2s2 f (s) = (1 − s)(1 − 6s + s2 ) với n ≥ bn = 2(B1 + B2 + · · · + Bn−1 ) Chứng minh Từ (2.4), với n = 1, 2, ta có bn+2 − 6bn+1 + bn = Nhân hai vế với sn+2 lấy tổng từ n = tới n = ∞, ta có ∞ ∞ bn+2 s n+2 − 6s n=1 ∞ bn+1 s n+1 +s n=1 ∞ n bn s = 2s n=1 sn , n=1 mà số hạng f (s) biểu diễn 2 (f (s) − 2s ) − 6sf (s) + s f (s) = 2s3 1−s Do 2s2 f (s) = (1 − s)(1 − 6s + s2 ) 2s = s − s − 6s + s2 2s = g(s) = 2(s + s2 + )g(s) 1−s Bây cho n ≥ 2, hệ số sn f (s) thu cách tập hợp hệ số sr từ g(s) hệ số sn−r từ 2(s + s2 + ) với r = 1, 2, , n − Trong hệ số sr g(s) Br , hệ số sn−r 2(s + s2 + ) Do bn = 2(B1 + B2 + · · · + Bn−1 ) Điều kết thúc chứng minh Hệ sau Định lý 2.3.2 hệ trực tiếp Định lý 2.4.1 30 Hệ 2.4.1 Cho n số nguyên dương Bn = (bn+1 − bn )/2 Bây chứng minh Định lý 2.3.2 b): Chứng minh quy nạp k Dễ thấy khẳng định với n > k = Giả sử khẳng định với n > r ≥ k ≥ tức bn = br + Br bn−r+1 − Br−1 bn−r (2.5) Ta biết số cân tuân theo công thức truy hồi Bn+1 = 6Bn − Bn−1 Áp dụng công thức này, (2.4) Hệ 2.4.1 vào (2.5) ta có br+1 + Br+1 bn−r − Br bn−r−1 = br+1 + (6Br − Br−1 )bn−r − Br (6bn−r − bn−r−1 + 2) = br+1 − 2Br + Br bn−r+1 − Br−1 bn−r = br + Br bn−r+1 − Br−1 bn−r = bn Do khẳng định với k = r + Điều kết thúc chứng minh Định lý 2.3.2 b) 2.5 Mối liên hệ số cân số đối cân Cho B số cân với hệ số cân R b số đối cân với hệ số đối cân r Khi đó, theo định nghĩa cặp (B, R) (b, r) thỏa mãn tính chất + + · · · + (B − 1) = (B + 1) + (B + 2) + · · · + (B + R), + + · · · + b = (b + 1) + (b + 2) + · · · + (b + r) (2.6) (2.7) 31 Giải (2.6) theo B (2.7) theo b, ta (2R + 1) + B= √ 8R2 + 8R + b= (2.8) , √ (2r − 1) + 8r2 + (2.9) Từ (2.8) ta suy R hệ số cân 8R2 + 8R + phương từ (2.9) r hệ số đối cân 8r2 + phương Lập luận cho ta định lý sau: Định lí 2.5.1 Mọi hệ số cân số đối cân hệ số đối cân số cân Cho n = 1, 2, , cho Bn số cân thứ n bn số đối cân thứ n Ta kí hiệu Rn hệ số cân tương ứng với Bn rn hệ số đối cân tương ứng bn Kết mà ta chứng minh sau mạnh nhiều so với Định lý 2.5.1 Định lí 2.5.2 Cho n = 1, 2, , Rn = bn rn+1 = Bn Chứng minh Ta biết B số cân với hệ số cân R √ − (2B + 1) + R= 8B + Do − (2Bn+1 + 1) + Rn+1 = 8Bn+1 +1 − (2Bn−1 + 1) + Rn−1 = 8Bn−1 +1 , (2.10) (2.11) Theo Định lý 2.3.1 Hệ 1.2.2, ta có Bn+1 = 2Bn + 8Bn2 + (2.12) 32 (2.13) 8Bn2 + Bn−1 = 2Bn − Thay (2.12) (2.13) vào (2.10) (2.11), ta có Rn+1 = Rn−1 = 2Bn + 8Bn2 + − , − 14Bn + 8Bn2 + − Cộng hai phương trình trên, ta Rn+1 + Rn−1 = 8Bn2 + − − 12Bn + = − (2Bn + 1) + 8Bn2 + + = 6Rn + Suy Rn+1 = 6Rn − Rn−1 + Do Rn thỏa mãn cơng thức truy hồi giống bn Hơn nữa, R1 = b1 = R2 = b2 = nên suy Rn = bn với n = 1, 2, Điều chứng tỏ phần thứ định lý Ta chứng minh phần thứ hai định lý cách tương tự Sử dụng (2.3), ta có 8b2n+1 + 8bn+1 + − (2bn+1 + 1) + rn+1 = 8b2n−1 + 8bn−1 + − (2bn−1 + 1) + rn−1 = Thay bn+1 = 3bn + 8b2n+1 + 8bn+1 + + 1, bn−1 = 3bn − 8b2n−1 + 8bn−1 + + 1, vào (2.14) thay , (2.14) (2.15) 33 vào (2.15), ta 2bn + rn+1 = 8b2n+1 + 8bn−1 + + , − 14bn + rn−1 = 8b2n−1 + 8bn−1 + − Cộng hai phương trình trên, ta rn+1 + rn−1 = − 12bn + = 8b2n + 8bn + − 8b2n + 8bn + − (2bn + 1) + = 6rn Do rn thỏa mãn cơng thức truy hồi giống Bn Hơn nữa, B1 = r2 = B2 = r3 = suy Bn = rn+1 với n = 1, 2, Điều kết thúc chứng minh định lý Hệ 2.5.1 Mọi hệ số cân số chẵn Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 2.3.1 Định lý 2.5.2 Hệ 2.5.2 Rn+1 = Rn + 2Bn Chứng minh Suy trực tiếp từ Hệ 2.4.1 Định lý 2.5.2 Bây ta chứng minh h(n) t(n, m) số đối cân khẳng định Định lý 2.2.1 Đầu tiên ta chứng tỏ n số đối cân h(n) = 8n2 + 8n + + (2n + 1) số đối cân 8n2 + 8n + + 34 √ Từ Định lý 1.2.2, ta biết m số cân u = 2m 8m2 + số cân hệ số cân tương ứng với u √ − (2u + 1) + 8u2 + R= = 8m2 − 2m 8m2 + (2.16) Nếu n hệ số cân tương ứng với số cân m từ (2.8) ta tìm (2n + 1) + m= √ 8n2 + 8n + cho 8m2 + = 24n2 + 24n + 4(2n + 1) = 2(2n + 1) + 8n2 + 8n + + 8n2 + 8n + (2.17) Thay (2.17) vào (2.16), ta R = 24n2 + 24n + 4(2n + 1) 8n2 + 8n + +   √ 2(2n + 1) + 8n + 8n +  2(2n + 1) + − 2 = 8n2 + 8n + + (2n + 1) 8n2 + 8n + 8n2 + 8n + = h(n) Do n hệ số cân h(n) ln hệ số cân Theo Định lý 2.5.1, hệ số cân số đối cân nên suy kết Tiếp tục, ta chứng minh n m số đối cân t(n, m) = 2(2n + 1)(2m + 1) + (2n + 1) (2m + 1) 8n2 + 8n + + 8m2 + 8m + 1+ 8n2 + 8n + 8m2 + 8m + − số đối cân Từ Định lý 1.2.3, ta thấy u v số cân w = u 8v + + v 8u2 + 35 số cân Cho s, x, y hệ số cân tương ứng với số cân w, u, v Khi − (2w + 1) + s= 8w2 + = √ 8uv + (8u2 + 1)(8v + 1) − 2u 8v + − 2v 8u2 + − Bây thay (2n + 1) + √ u= (2m + 1) + v= 8n2 + 8n + √ , 8m2 + 8m + , vào đẳng thức trên, ta s = [2(2n + 1)(2m + 1) + (2n + 1) (2m + 1) 8n2 + 8n + + 8m2 + 8m + + 8n2 + 8n + 8m2 + 8m + − = t(n, m) Tiếp tục, hệ số cân số đối cân Định lý 2.5.1, suy kết Chú ý: t(n, n) = h(n) 2.6 Một áp dụng số đối cân vào phương trình Diophantus Như ta biết, phương trình Diophantus x2 + (x + 1)2 = y , x, y ∈ Z+ trường hợp đặc biệt phương trình x2 + y = z , x, y, z ∈ Z+ Nghiệm (x, y, z) phương trình sau gọi ba Pythagoras Ở chương ta thiết lập mối liên hệ nghiệm phương trình 36 x2 + (x + 1)2 = y số cân Ở đây, ta dễ dàng thu mối liên hệ nghiệm phương trình với số đối cân Cho b số đối cân bất kì, r hệ số đối cân tương ứng c = b + r Khi (2.1) viết sau + + · · · + b = (b + 1) + (b + 2) + · · · + c Suy −1+ √ 2c2 + 2c + b= Do 2c2 + 2c + phương 2c2 + 2c + = c2 + (c + 1)2 Điều gợi ý phương trình Diophantus x2 + (x + 1)2 = y có nghiệm x = b + r, y = 2c2 + 2c + Ví dụ b = 14 r = c = b + r = 20 Hơn 2c2 + 2c + = 841 = 292 ta có 202 + 212 = 292 Tương tự cho b = 84 ta có 1192 + 1202 = 1692 37 Kết luận Luận văn trình bày lại kết số cân số đối cân theo tài liệu [3], [4] [5] Cụ thể, luận văn trình bày về: Khái niệm số tính chất thú vị số cân số đối cân bằng; đặc biệt số công thức truy hồi, công thức không đệ quy; Một số hàm sinh cho số cân số đối cân bằng; Mối liên hệ số cân số đối cân bằng; Áp dụng số cân số đối cân để tìm nghiệm phương trình Diophantus 38 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Nhật Cương (2014), Dãy Fibonacci, dãy Lucas ứng dụng, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên [2] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán: Cơ sở lý thuyết tính tốn thực hành, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Behera A., Panda G K (1999), "On the square roots of trianglular numbers", Fibonacci Quarterly, 48 No 2, p 98-105 [4] Panda G K (2009), "Some fascinating properties of balancing numbers", Proceedings of the Eleventh International Conference on Fibonacci Numbers and their Applications, Cong Numer 194, p 185189 [5] Panda G K., Ray P K (2005), "Cobalancing numbers and cobalancers", Int J Math Sci., No , p 1189-1200 ... tính chất số đối cân bằng, cơng thức tìm số đối cân bằng, số công thức truy hồi, hàm sinh, mối liên hệ số cân số đối cân áp dụng số đối cân vào giải phương trình Diophantus 3 Chương Số cân Trong... r), (2.1) với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số đối cân ứng với số đối cân n Ví dụ 2.1.1 Các số 2, 14 84 số đối cân với hệ số đối cân 1, 35 Mệnh đề 2.1.1 Nếu n số đối cân với hệ số đối cân tương ứng... r), với số nguyên dương r Các số cân số đối cân có nhiều tính chất đẹp thú vị, chẳng hạn như: Nếu n số cân số nguyên dương r tương ứng số đối cân ngược lại, n số đối cân r số cân bằng; có số phương