Một số liên hệ của số cân bằng và số đối cân bằng với số pell và số pell liên kết

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ LIÊN HỆ CỦA SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG VỚI SỐ PELL VÀ SỐ PELL LIÊN KẾT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ HUỆ MỘT SỐ LIÊN HỆ CỦA SỐ CÂN BẰNG VÀ SỐ ĐỐI CÂN BẰNG VỚI SỐ PELL VÀ SỐ PELL LIÊN KẾT Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2016 Mục lục Danh sách kí hiệu ii Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 1.2 Số Pell số Pell liên kết 1.3 Số cân số đối cân 1.4 Số Lucas-cân số Lucas-đối cân Chương Một số liên hệ quan trọng 11 2.1 Một số mối liên hệ liên quan đến tổng tích 11 2.2 Một số mối liên hệ liên quan đến số Lucas-cân số Lucas-đối cân 17 2.3 Một số mối liên hệ liên quan đến hàm số học 21 Chương Nghiệm số phương trình Diophant 26 3.1 Phương trình x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) 26 3.2 Phương trình + + · · · + x = y 30 3.3 Phương trình + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y 33 3.4 Một số phương trình Pythagore 35 Kết luận 39 Tài liệu tham khảo 40 i Danh sách kí hiệu Bn số cân thứ n Rn hệ số cân thứ n bn số đối cân thứ n rn hệ số đối cân thứ n Cn số Lucas-cân thứ n cn số Lucas-đối cân thứ n Pn số Pell thứ n Qn số Pell liên kết thứ n √ số vô tỷ + √ số vô tỷ − α1 α2 ii Lời mở đầu Từ xa xưa, nghiên cứu số nguồn cảm hứng bất tận nhà toán học Đã có nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu số tam giác, tức số tự nhiên có dạng + + · · · + n, với n số tự nhiên Khi nghiên cứu phương trình Diophant + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r), Behera Panda [2] phát mối liên hệ số n nghiệm (n, r) với số tam giác phương Họ gọi n số cân r hệ số cân tương ứng Đồng thời, họ tìm nhiều tính chất đẹp thú vị số cân Một số tính chất B số cân 8B + √ số phương ngược lại Số C = 8B + 1, với B số cân bằng, gọi số Lucas-cân Panda Ray [4] nghiên cứu phương trình Diophant khác + + · · · + n = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) Với nghiệm (n, r) phương trình này, họ gọi n số đối cân r hệ số đối cân tương ứng Trong nghiên cứu này, Panda Ray tìm nhiều mối liên hệ chặt chẽ số cân với số đối cân bằng, số đối cân với số phương Đặc biệt, b số đối cân 8b2 + 8b + số √ phương ngược lại Số c = 8b2 + 8b + 1, với b số đối cân bằng, gọi số Lucas-đối cân Một số tính chất thú vị nói số cân số đối cân Hồng Thị Hường [1] trình bày lại tiếng Việt Mục đích luận văn trình bày lại kết gần Panda Ray [5] số mối liên hệ số cân bằng, số đối cân với số Pell số Pell liên kết Đặc biệt, liên hệ loại số thể qua nghiệm số phương trình Diophant thú vị Các mối liên hệ tìm dựa cơng thức Binet loại số Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày thành ba chương • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trình bày sơ lược phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất; khái niệm số cân bằng, số đối cân bằng, số Pell, số Pell liên kết, số Lucas-cân số Lucas-đối cân • Chương 2: Một số liên hệ quan trọng Trong chương này, chúng tơi trình bày tính chất thể mối liên hệ chặt chẽ loại số nói Chúng tơi phân loại tính chất trình bày thành ba mục khác nhau: số mối liên hệ liên quan đến tổng riêng phân tích thành tích; số mối liên hệ có liên quan đến số Lucas-cân số Lucas-đối cân bằng; số mối liên hệ liên quan đến hàm số học trung bình cộng, ước chung lớn nhất, hàm phần nguyên • Chương 3: Nghiệm số phương trình Diophant Chương cuối chúng tơi trình bày kết Panda Ray nghiệm bốn loại phương trình Diophant đặc biệt biểu diễn hồn tồn thơng qua loại số trình bày chương trước Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình thầy hướng dẫn TS Ngơ Văn Định suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, tiến sĩ công tác Viện toán học, Trường Đại học khoa học tự nhiên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, trường Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức để nâng cao trình độ Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới tất thầy, cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo Khoa Tốn Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè gia đình tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành luận văn Thái Nguyên, 2016 Nguyễn Thị Huệ Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại số kiến thức sử dụng nội dung luận văn Cụ thể, nhắc lại sơ lược phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nhất; nhắc lại khái niệm số Pell, số Pell liên kết, số cân số đối cân Ngoài ra, chúng tơi nhắc lại vài tính chất số cân số đối cân Tài liệu tham khảo chương [1], [2] [4] 1.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Trong mục này, nhắc lại khái niệm phương trình sai phân tuyến tính cấp hai đặc biệt chúng tơi trình bày cơng thức nghiệm phương trình trường hợp đa thức đặc trưng có hai nghiệm phân biệt Đây kiến thức cần thiết cho nội dung sau Định nghĩa 1.1.1 Phương trình có dạng un+2 = Aun+1 + Bun , n = 1, 2, , (1.1) A, B số, gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp hai Để tìm nghiệm phương trình sai phân (1.1), xét phương trình bậc hai α2 − Aα − B = (1.2) Phương trình bậc hai gọi phương trình đặc trưng phương trình sai phân (1.1) Định lý sau cho cơng thức nghiệm phương trình sai phân (1.1) trường hợp phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt Định lý 1.1.2 ([3, Theorem 10.1]) Giả sử phương trình đặc trưng (1.2) có hai nghiệm phân biệt α1 α2 Khi phương trình sai phân (1.1) có nghiệm un = C1 α1n + C2 α2n , n = 1, 2, , (1.3) C1 C2 số Chúng ta cần ý rằng, biết điều kiện ban đầu u0 u1 số C1 C2 hồn tồn xác định Khi đó, dãy số {un }∞ n=1 xác định un = aα1n−1 − bα2n−1 α1 − α2 (1.4) α1 , α2 hai nghiệm phương trình đặc trưng (1.2) a = u2 − u1 α2 , b = u2 − u1 α1 Ví dụ 1.1.3 Ta xét ví dụ quen thuộc dãy số Fibonacci {Fn } xác định phương trình sai phân (1.5) Fn+2 = Fn+1 + Fn với điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = Phương trình đặc trưng phương trình (1.5) λ2 − λ − = Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt √ √ 1+ 1− λ1 = λ2 = 2 Do đó, nghiệm tổng qt phương trình (1.5) Fn = C1 √ 1+ n + C2 √ 1− n , n = 1, Từ điều kiện ban đầu F1 = 1, F2 = ta có hệ phương trình  √ √  1+ 1−   + C2 = 1,  C1 2 √ √  − + 5    + C2 = C1 2 Giải hệ phương trình ta C1 = −C2 = √ Từ suy số hạng tổng quát dãy số Fibonacci Fn = √ 1.2 √ 1+ √ 1− n − n , n = 1, 2, Số Pell số Pell liên kết Với n = 1, 2, , số Pell Pn số Pell liên kết Qn xác định P1 = 1, P2 = 2, Pn+1 = 2Pn + Pn−1 , n = 2, 3, (1.6) Q1 = 1, Q2 = 3, Qn+1 = 2Qn + Qn−1 , n = 2, 3, (1.7) Như số Pell số Pell liên kết xác định phương trình sai phân với điều kiện ban đầu khác Phương trình đặc trưng phương trình sai phân xác định hai dãy số α2 − 2α − = Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt α1 = + √ α2 = − √ Áp dụng công thức nghiệm (1.4) ta thu Pn = α1n − α2n √ , 2 Qn = α1n + α2n (1.8) Các công thức gọi công thức Binet cho dãy số Pell dãy số Pell liên kết Chương Nghiệm số phương trình Diophant Trong chương này, ta xét vài phương trình mà tồn nghiệm biểu diễn qua số cân bằng, số đối cân bằng, số Pell số Pell liên kết 3.1 Phương trình x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) Phương trình xét tìm hai số tự nhiên cho tổng tất số tự nhiên từ số bé đến số lớn tích hai số Định lý 3.1.1 Các nghiệm phương trình Diophant x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) x = Rn + y = Bn − Rn − 1, n = 1, 2, Chứng minh Ta biết rằng, B số cân với hệ số cân R + + · · · + (B − 1) = (B + 1) + (B + 2) + · · · + (B + R) Do đó, (R + 1) + (R + 2) + · · · + (B − 1) = (B + 1) + (B + 2) + · · · + (B + R) − (1 + + · · · + R) = RB Cộng B vào hai vế ta có (R + 1) + (R + 2) + · · · + B = (R + 1)B 26 Do đó, x = R + 1, x + y = B Từ suy điều cần chứng minh Chứng minh Dưới chứng minh khác định lý 3.1.1 cách sử dụng phương trình Pell: Phương trình Diophant x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) tương đương với (2y + 1)2 − 2(2x − 1)2 = −1 Đặt u = 2y + v = 2x − 1, ta thu phương trình Pell u2 − 2v = −1 Nghiệm phương trình u = v = Do đó, nghiệm tổng quát un + Vì un − √ √ 2vn = (1 + 2vn = (1 − nên un = (1 + = (1 + √ √ 2)n , √ 2)n , 2)n + (1 − √ 2)n + (1 − √ 2 n = 1, 2, n = 1, 2, , √ 2)n √ 2)n = Qn , = Pn Vì un lẻ Pn lẻ n lẻ, nên ta có un = Q2n−1 , = P2n−1 , n = 1, 2, Do 2y + = Q2n−1 , 2x − = P2n−1 , 27 hay y= (Q2n−1 − 1) , x= (P2n−1 + 1) Áp dụng công thức Binet (1.8) (1.11) ta thu x= (P2n−1 + 1) = Rn + 1, theo Định lý 2.1.7 ta có x+y = (P2n−1 + Q2n−1 ) = Bn , từ suy kết luận định lí Định lý sau cho biểu diễn khác nghiệm phương trình Diophant xét Định lý 3.1.2 Các nghiệm phương trình Diophant x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) x = Bn y = Rn+1 − Bn , n = 1, 2, Chứng minh Nếu b số đối cân với hệ số đối cân r + + · · · + b = (b + 1) + (b + 2) + · · · + (b + r), hay (r + 1) + (r + 2) + · · · + b = (b + 1) + (b + 2) + · · · + (b + r) − (1 + + · · · + r) = rb Do đó, x = r x+y = b Bây áp dụng Định lí 1.3.3, ta kết luận x = Bn x + y = Rn+1 Chứng minh Cũng định lý trước, trường hợp ta có chứng minh khác sử dụng phương trình Pell: 28 Phương trình Diophant x + (x + 1) + · · · + (x + y) = x(x + y) tương đương với (2y + 1)2 − 2(2x)2 = Đặt u = 2y + 1, v = 2x, ta thu phương trình Pell u2 − 2v = 1, u lẻ , v chẵn Nghiệm phương trình u = v = Do đó, nghiệm tổng quát un + √ √ 2vn = (3 + 2)n , n = 1, 2, √ √ 2vn = (3 − 2)n , n = 1, 2, Điều suy un − Theo hai phương trình cuối Định lí 2.3.1 2.2.1, ta có √ √ (3 + 2)n + (3 − 2)n un = 2n 2n α + α2 = = Cn = Q2n , √ √ (3 + 2)n − (3 − 2)n = 2n 2n α +α = √ = 2Bn = P2n 2 Ta thấy Q2n lẻ P2n ln chẵn Do đó, 2y + = Cn , 2x = 2Bn , hay y= (Cn − 1) , x = Bn Do x+y = 2Bn + Cn − 29 Nhưng theo [4, Hệ 6.4], ta có 2Bn + Cn − = Rn+1 3.2 Phương trình + + · · · + x = y Trong mục xem xét nghiệm phương trình Diophant gồm hai số mà tổng tất số tự nhiên số lớn bình phương số bé Định lý cho ta trường hợp số lớn số chẵn Định lý 3.2.1 Các nghiệm phương trình Diophant + + · · · + 2x = y = 4Bn2 y = P2n Q2n = B2n , n = 1, 2, x = P2n Chứng minh Phương trình Diophant + + · · · + 2x = y tương đương với x(2x + 1) = y Vì x 2x + nguyên tố nhau, nên x 2x + phải bình phương Đặt 2x + = (2l + 1)2 , ta tìm x=4· l(l + 1) Vì x bình phương nên l(l + 1)/2 bình phương mộ số tam giác Do x = 4Bn2 = P2n , n = 1, 2, 30 Theo Định lý 2.1.1 ta có y= x(2x + 1) = 4Bn2 (8Bn2 + 1) = 4Bn2 Cn2 = 2Bn Cn = B2n = P2n Q2n Bây ta xét trường hợp số lớn số lẻ Định lý 3.2.2 Các nghiệm phương trình Diophant + + · · · + (2x − 1) = y x = P2n−1 y = B2n−1 , n = 1, 2, Chứng minh Phương trình Diophant + + · · · + (2x − 1) = y tương đương với x(2x − 1) = y Vì x 2x − nguyên tố nên x 2x − phải số phương Ta đặt 2x − = (2k + 1)2 ta có x = 2k + 2k + = k + (k + 1)2 Đặt x = l2 phương trình trở thành k + (k + 1)2 = l2 31 Theo [4, trang 1199] nghiệm phương trình Diophant k = bn + rn = Bn−1 + Rn , n = 1, 2, , 2k + 2k + l= Áp dụng công thức Binet Bn bn (1.11), ta thấy l = P2n−1 Do x = P2n−1 Áp dụng Định lý 2.1.1 2P2n−1 − = Q22n−1 , nên y= 2 P2n−1 (2P2n−1 − 1) = P2n−1 Q2n−1 = B2n−1 Định lí chứng minh Định lý sau cho nghiệm phương trình xét mà khơng có hạn chế số lớn Định lý 3.2.3 Các nghiệm phương trình Diophant + + · · · + x = y2 x = Bn + Rn , xấp xỉ với Q2n , y = Pn Qn = Bn Chứng minh Phương trình Diophant + + · · · + x = y2 tương đương với x(x + 1) = y2, 32 suy y số tam giác Lấy y = Bn áp dụng công thức Binet (1.8) (1.11) ta kiểm tra x = Bn + Rn = 3.3   Q2n n lẻ,  Q2 − n n chẵn Phương trình 1+2+· · ·+(y −1)+(y +1)+· · ·+x = y Tương tự mục trước xét phương trình + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y ba trường hợp: x số chẵn; x số lẻ trường hợp tổng quát Tuy nhiên, ta xét trường hợp tổng quát định lý sau Định lý 3.3.1 Các nghiệm phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y x = bn + rn y = bn , n = 1, 2, Chứng minh Phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y tương đương với x(x + 1) = y(y + 1), suy y(y + 1) số tam giác Từ suy y số đối cân Giả sử y = bn Áp dụng Định lý 1.3.3 ta có x= −1 + 8b2n + 8bn + = bn + rn , n = 1, 2, Định lí chứng minh 33 Định lý 3.3.2 Phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + 2x = y khơng có nghiệm x lẻ Nếu x chẵn, nghiệm cho x= b2n + r2n y = b2n , n = 1, 2, Chứng minh Phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + x = y tương đương với x(x + 1) = y(y + 1) Nếu x lẻ, vế trái lẻ, vế phải chẵn Do trường hợp nghiệm khơng tồn Nếu x chẵn, giải phương trình x ta có x= 8y + 8y + −1 + Vì y(y + 1) số tam giác, nên y số đối cân , tức y = bn rn = 8b2n + 8bn + −(2bn + 1) + nên ta có x= bn + rn Nhưng bn + rn chẵn n chẵn Do đó, nghiệm tổng quát cho x= b2n + r2n , y = b2n , n = 1, 2, Định lý 3.3.3 Phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + (2x − 1) = y khơng có nghiệm x lẻ Nếu x chẵn, nghiệm cho x= b2n−1 + r2n−1 + y = b2n−1 , n = 1, 2, 34 Chứng minh Phương trình Diophant + + · · · + (y − 1) + (y + 1) + · · · + (2x − 1) = y tương đương với x(2x − 1) = y(y + 1) Nếu x lẻ, vế trái lẻ, vế phải chẵn Do trường hợp nghiệm khơng tồn Nếu x chẵn, giải phương trình x ta có x= 8y + 8y + 1+ Vì y(y + 1) số tam giác, nên y số đối cân bằng, tức y = bn x= bn + rn + Nhưng bn + rn + chẵn n lẻ Do đó, nghiệm tổng quát cho x= 3.4 b2n−1 + r2n−1 + , y = b2n−1 , n = 1, 2, Một số phương trình Pythagore Phương trình Diophant dạng x2 +y = z x, y, z ∈ Z+ ẩn chưa biết thường gọi phương trình Pythagore Trường hợp đặc biệt x2 + (x + 1)2 = y nghiên cứu [2, 4], đó, nghiệm biểu diễn qua số cân số đối cân Phương trình có dạng x2 + y = z ± gọi phương trình hầu Pythagore Trong định lý sau, ta xét số phương trình hầu Pythagore đặc biệt, cụ thể phương trình dạng x2 + (x + 1)2 = y ± Định lý 3.4.1 Phương trình hầu Pythagore x2 + (x + 1)2 = y + có nghiệm x = Bn + bn y = 2Bn = P2n , n = 1, 2, phương trình x2 + (x + 1)2 = y − khơng có nghiệm 35 Chứng minh Phương trình Diophant x2 + (x + 1)2 = y + tương đương với x(x + 1) y2 = , điều chứng tỏ x(x + 1) số tam giác Từ suy x(x + 1) = Bn2 Do y = 2Bn = P2n x= −1 + 8Bn2 + Từ định nghĩa số cân hệ số cân Rn = −1 + 8Bn2 + , theo Định lí 1.3.3, Rn = bn với n nên x = Bn + bn Phương trình x2 + (x + 1)2 = y − tương đương với 2(x2 + x + 1) = y Do y số chẵn y chia hết cho Điều x2 + x + số chẵn Nhưng số x2 + x ln số chẵn nên x2 + x + số lẻ Do đó, trường hợp phương trình khơng tồn nghiệm Định lý 3.4.2 Phương trình Pythagore x2 + (x + 2)2 = y có nghiệm x = 2(Bn−1 + bn ) = cn − y = 2P2n+1 , n = 1, 2, Chứng minh Phương trình Diophant x2 + (x + 2)2 = y 36 tương đương với 2(x2 + 2x + 2) = y từ suy y chẵn x2 + 2x + chẵn, x chẵn Lấy x = 2u y = 2v phương trình trở thành 2u2 + 2u + = v , phương trình Pythagore u2 + (u + 1)2 = v Các nghiệm phương trình xác định [4, trang 1199] u = bn + rn , v= 2u2 + 2u + Áp dụng công thức Binet bn , rn Pn ta có 2(bn + rn )2 + 2(bn + rn ) + = P2n+1 Vì rn = Bn−1 theo Định lý 1.3.3, nên nghiệm phương trình u2 + (u + 1)2 = v u = Bn−1 + bn , v = P2n+1 , n = 1, 2, Do đó, nghiệm phương trình Diophant x2 + (x + 2)2 = y cho x = 2(Bn−1 + bn ), y = 2P2n+1 , n = 1, 2, Áp dụng công thức Binet bn , rn cn ta có 2(bn + rn ) + = cn Từ đó, x đưa cách khác x = cn −1 Định lí chứng minh Thay x x − định lí trên, ta có kết thú vị sau: 37 Hệ 3.4.3 Phương trình Pythagore (x − 1)2 + (x + 1)2 = y có nghiệm x = cn = Q2n−1 y = 2P2n+1 , n = 1, 2, Định lý 3.4.4 Phương trình Pythagore x(x − 1) 2 x(x + 1) + 2 = y2 có nghiệm x = Q2n−1 = cn y = B2n−1 , n = 1, 2, Chứng minh Phương trình Pythagore x(x − 1) 2 x(x + 1) + 2 = y2 tương đương với x(x + 1) = y2, (3.1) phương trình chứng tỏ y số tam giác, y số cân bằng, tức y = Bn với n Bây giờ, ta giải phương trình (3.1) với x2 mối liên hệ Bn Rn , ta có x2 = 8Bn2 + = Bn + Rn −1 + Trong chứng minh Định lý 3.2.3, ta Bn + Rn số phương n số lẻ với Q2n Do đó, nghiệm phương trình Pythagore x(x − 1) 2 x(x + 1) + 2 = y2 x = Q2n−1 y = B2n−1 , n = 1, 2, Thật vậy, theo Định lý 2.2.1 ta có Q2n−1 = cn Định lí chứng minh 38 Kết luận Luận văn trình bày lại kết [5] Cụ thể, qua ba chương, luận văn trình bày số vấn đề sau: Nhắc lại khái niệm số cân bằng, số đối cân bằng, số Lucas-cân bằng, số Lucas-đối cân bằng, số Pell số Pell liên kết; Trình bày kết thú vị mối liên hệ số nêu trên; Trình bày nghiệm số phương trình Diophant biểu diễn thông qua loại số nêu 39 Tài liệu tham khảo Tiếng việt [1] Hoàng Thị Hường (2015), Số cân số đối cân bằng, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Tiếng Anh [2] Behera A., Panda G.K (1999), “On the square roots of triangular numbers”, The Fibonacci Quarterly 37(2), pp 98–105 [3] Koshy T (2001), Fibonacci and Lucas numbers with Applications, John Wiley & Sons, Inc., Toronto [4] Panda G.K., Ray P.K (2005), “Cobalancing numbers and cobalancers”, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 2005(8), pp 1189– 1200 [5] Panda G.K., Ray P.K (2011), “Some links of balancing and cobalancing numbers with Pell and associated Pell numbers", Bulletin of the Institute of Mathermatics Academia Sinica 6(1), pp 41–72 [6] Ray P.K (2009), Balancing and cobalancing numbers, PhD thesis, National Institute of Technology Rourkela, India 40 ... ta mối liên quan tổng riêng số Pell liên kết bậc chẵn với tổng số đối cân hệ số đối cân Định lý 2.1.8 Tổng n số Pell liên kết có bậc chẵn với tổng số đối cân thứ (n + 1) hệ số đối cân số Chứng... n số đối cân r hệ số đối cân tương ứng Trong nghiên cứu này, Panda Ray tìm nhiều mối liên hệ chặt chẽ số cân với số đối cân bằng, số đối cân với số phương Đặc biệt, b số đối cân 8b2 + 8b + số. .. 2.2 Một số mối liên hệ liên quan đến số Lucas -cân số Lucas -đối cân Định lý sau cho thấy dãy số Pell liên kết hợp dãy số Lucas -cân dãy số Lucas -đối cân Định lý 2.2.1 Mọi số Pell liên kết số cân