Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)

Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)Số cân bằng và số đối cân bằng (LV thạc sĩ)

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC HONG TH HNG S CN BNG V S I CN BNG LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn - 2015 I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC HONG TH HNG S CN BNG V S I CN BNG Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC TS NGễ VN NH Thỏi Nguyờn - 2015 i Mc lc Li cm n iii Danh sỏch ký hiu iv M u 1 S cõn bng 1.1 Khỏi nim v s cõn bng 1.2 Mt s cụng thc tỡm s cõn bng 1.3 Mt s cụng thc truy hi 1.4 Hm sinh 10 1.5 Mt cụng thc khụng quy khỏc 11 1.6 Mt s tớnh cht khỏc 13 1.7 Mt ỏp dng ca s cõn bng vo mt phng trỡnh Diophantus 21 S i cõn bng 23 2.1 Khỏi nim v s i cõn bng 23 2.2 Mt s cụng thc tỡm s i cõn bng 25 2.3 Mt s cụng thc truy hi 26 2.4 Hm sinh 28 2.5 Mi liờn h gia s cõn bng v s i cõn bng 30 2.6 Mt ỏp dng ca s i cõn bng vo phng trỡnh Diophantus 35 ii Kt lun 37 Ti liu tham kho 38 iii Li cm n Lun c thc hin v hon thnh ti Trng i hc Khoa hc i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn khoa hc ca TS Ngụ Vn nh Qua õy em xin c gi li cm n sõu sc n thy giỏo, ngi hng dn khoa hc ca mỡnh, TS Ngụ Vn nh, ngi ó a ti v dnh nhiu thi gian tn tỡnh hng dn, gii ỏp nhng thc mc ca em sut quỏ trỡnh nghiờn cu Em xin by t lũng bit n sõu sc n Thy Em xin trõn trng cm n cỏc thy cụ ging dy v Phũng o to thuc Trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn ó to mi iu kin tt nht em c theo hc lp hc ng thi tụi xin gi li cm n ti th lp Cao hc Toỏn D khúa 1/2014 - 1/2016 ó ng viờn giỳp tụi quỏ trỡnh hc v lm lun ny Tụi xin chõn thnh cm n S Giỏo dc v o to Hi Dng, Ban Giỏm hiu v cỏc ng nghip Trng THPT Cm Ging II - Cm Ging - Hi Dng ó to iu kin cho tụi hc v hon thnh k hoch hc Tụi cm n gia ỡnh v bn bố ó ng viờn giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v lm lun Thỏi Nguyờn, 2015 Hong Th Hng Hc viờn Cao hc Toỏn lp D khúa 01/2014 - 01/2016, Trng H Khoa hc - H Thỏi Nguyờn iv Danh sỏch ký hiu n k T hp chp k ca n phn t [x] Phn nguyờn ca s x Fn S Fibonacci th n Ln S Lucas th n Bn S cõn bng th n bn S i cõn bng th n M u S nguyờn dng n c gi l mt s cõn bng, tng ng l mt s i cõn bng nu + + ã ã ã + (n 1) = (n + 1) + (n + 2) + ã ã ã + (n + r), tng ng nu + + ã ã ã + n = (n + 1) + (n + 2) + ã ã ã + (n + r), vi mt s nguyờn dng r no ú Cỏc s cõn bng v cỏc s i cõn bng cú nhiu tớnh cht p v rt thỳ v, chng hn nh: Nu n l mt s cõn bng thỡ s nguyờn dng r tng ng l mt s i cõn bng v ngc li, nu n l mt s i cõn bng thỡ r l mt s cõn bng; cú mt s phng trỡnh Diophantus cú nghim c biu din di dng cỏc s cõn bng v cỏc s i cõn bng Ni dung chớnh ca lun ny l trỡnh by li cỏc kt qu thỳ v theo cỏc ti liu tham kho [3], [4] v [5] Cu trỳc lun Ni dung chớnh ca lun c trỡnh by thnh chng: Chng 1: S cõn bng Trong chng ny, chỳng tụi trỡnh by khỏi nim, tớnh cht v s cõn bng, cụng thc tỡm s cõn bng, mt s cụng thc truy hi, hm sinh, mt s cụng thc khụng quy v ỏp dng ca s cõn bng vo gii phng trỡnh Diophantus Chng 2: S i cõn bng Chng ny trỡnh by khỏi nim, tớnh cht v s i cõn bng, cụng thc tỡm s i cõn bng, mt s cụng thc truy hi, hm sinh, mi liờn h gia s cõn bng v s i cõn bng v ỏp dng ca s i cõn bng vo gii phng trỡnh Diophantus Chng S cõn bng Trong chng u tiờn ny, chỳng tụi trỡnh by li ni dung bi bỏo [3] v [4] C th, chỳng tụi trỡnh by v khỏi nim s cõn bng, mt s tớnh cht liờn quan n s cõn bng Trong ú, c bit chỳng tụi trỡnh by v mt s hm sinh ca cỏc s cõn bng v ỏp dng vo gii phng trỡnh Diophantus 1.1 Khỏi nim v s cõn bng nh ngha 1.1.1 S nguyờn dng n c gi l s cõn bng nu + + ã ã ã + (n 1) = (n + 1) + (n + 2) + ã ã ã + (n + r), (1.1) vi mt s nguyờn dng r no ú õy r c gi l h s cõn bng ng vi s cõn bng n Vớ d 1.1.1 Cỏc s 6, 35 v 204 l cỏc s cõn bng vi cỏc h s cõn bng ln lt l 2, 14 v 84 Mnh 1.1.1 Nu n l mt s cõn bng vi s h s cõn bng tng ng l r thỡ (n + r)(n + r + 1) n = v ú (2n + 1) + r= (1.2) , 8n2 + (1.3) Chng minh T (1.1), ta cú + + ã ã ã + (n 1) = (n + 1) + (n + 2) + ã ã ã + (n + r) (n 1)n r(r + 1) = rn + n n = 2rn + r + r 2n2 = n2 + 2rn + r2 + n + r 2n2 = (n + r)2 + n + r 2n2 = (n + r)(n + r + 1) n2 = 2 () (n + r)(n + r + 1) T (*) suy r2 + (2n + 1)r n2 + n = Ta cú = 8n2 + > 0, suy (2n + 1) r= 8n2 + Vỡ r nguyờn dng nờn (2n + 1) + r= 8n2 + Mnh c chng minh nh ngha 1.1.2 [3] S tam giỏc l s cú dng + + ã ã ã + n vi n Z+ Nhn xột 1.1.1 Nu n2 l mt s tam giỏc thỡ n l mt s cõn bng v nu 8n2 + l mt s chớnh phng thỡ n cng l mt s cõn bng Do ú, t (1.2) ta thy n l mt s cõn bng nu v ch nu n2 l mt s tam giỏc v t (1.3) ta thy n l mt s cõn bng nu v ch nu 8n2 + l chớnh phng 24 v ú (2n + 1) + r= 8n2 + 8n + (2.3) Chng minh T (2.1), ta cú + + ã ã ã + n = (n + 1) + (n + 2) + ã ã ã + (n + r), n(n + 1) r(r + 1) = rn + n(n + 1) = 2rn + r + r 2n(n + 1) = n(n + 1) + 2rn + r2 + r 2n(n + 1) = (n + r)2 + n + r 2n(n + 1) = (n + r)(n + r + 1) n(n + 1) () (n + r)(n + r + 1) = T (*) suy r2 + (2n + 1)r n2 n = Ta cú = 8n2 + 8n + > 0, suy (2n + 1) r= 8n2 + 8n + Vỡ r nguyờn dng nờn (2n + 1) + r= 8n2 + 8n + Mnh c chng minh nh ngha 2.1.2 Mt s c gi l s Pronic nu nú vit c di dng n(n + 1) vi n l mt s nguyờn dng no ú T (2.3) suy n l mt s i cõn bng nu v ch nu 8n2 + 8n + l mt s chớnh phng hay n(n+1) l mt s tam giỏc Vỡ 8ì02 +8ì0+1 = 25 l mt s chớnh phng, ta tha nhn l mt s i cõn bng ging nh chng ta tha nhn l mt s cõn bng T lp lun trờn, nu n l mt s i cõn bng thỡ c n(n+1) v n(n+1)/2 l cỏc s tam giỏc Do ú, nghiờn cu ca ta v s i cõn bng c thu hp ti cỏc s tam giỏc Pronic, tc va l mt s tam giỏc, va l mt s Pronic Vỡ n < n(n + 1) < n + nờn suy nu T l mt s tam giỏc Pronic thỡ [ T ] phi l mt s i cõn bng Vớ d T = l mt s tam giỏc Pronic v dú [ 6] = l mt s i cõn bng 2.2 Mt s cụng thc tỡm s i cõn bng Trong phn ny ta gii thiu mt vi hm sinh cỏc s i cõn bng Cho n, m l s i cõn bng bt kỡ, ta xột cỏc hm sau: f (n) = 3n + 8n2 + 8n + + 1, g(n) = 17n + 8n2 + 8n + + 8, h(n) = 8n2 + 8n + + (2n + 1) 8n2 + 8n + + 1, t(n, m) = 2(2n + 1)(2m + 1) + (2n + 1) + (2m + 1) 8n2 + 8n + + 8m2 + 8m + 8n2 + 8n + 8m2 + 8m + u tiờn ta chng minh rng cỏc hm trờn luụn sinh cỏc s i cõn bng nh lớ 2.2.1 Cho n, m l hai s i cõn bng bt kỡ thỡ f (n), g(n), h(n) v t(n, m) l cỏc s i cõn bng Chng minh Gi s u = f (n) Khi ú n < u v n = 3u 8u2 + 8u + + Vỡ n v u l cỏc s nguyờn khụng õm nờn 8u2 + 8u + phi l mt s chớnh phng v ú u l mt s i cõn bng 26 Vỡ f (f (n)) = g(n) nờn g(n) cng l mt s i cõn bng Ta cng cú th kim tra trc tip rng 8h2 (n) + 8h(n) + v 8t2 (n, m) + 8t(n, m) + l cỏc s chớnh phng Vỡ vy h(n) v t(n, m) l cỏc s i cõn bng Tip tc, ta chng t rng vi n l s i cõn bng bt kỡ thỡ f (n) khụng ch n thun l mt s i cõn bng m cũn l mt s i cõn bng k tip ca n nh lớ 2.2.2 Nu n l mt s i cõn bng thỡ s i cõn bng k tip ca n l f (n) = 3n + 8n2 + 8n + + 1, v vy s i cõn bng lin trc ca n l f (n) = 3n 8n2 + 8n + + Chng minh Chng minh f (n) = 3n + 8n2 + 8n + + l s i cõn bng k tip ca n chng minh ging nh lý 1.2.2 Vỡ f f (n) = n nờn suy f (n) l mt s i cõn bng ln nht nh hn n 2.3 Mt s cụng thc truy hi Cho n = 1, 2, v bn l s i cõn bng th n Ta t b1 = Hai s i cõn bng k tip l b2 = v b3 = 14 Chng trc ta ó quy c l mt s cõn bng v t B0 = 1, B1 = 6, v kớ hiu Bn l s cõn bng th n chun húa kớ hiu cho cựng bc vi cỏc s Fibonacci, ta t li cỏc s cõn bng bng cỏch t B1 = 1, B2 = 6, nh lý 2.2.2 núi rng bn+1 = 3bn + 8b2n + 8bn + + 1, 27 8b2n + 8bn + + bn1 = 3bn Cng v vi v hai phng trỡnh trờn ta kt lun rng s i cõn bng tuõn theo cụng thc truy hi tuyn tớnh bc hai (2.4) bn+1 = 6bn bn1 + T cụng thc (2.4)ta thu c nh lý sau: nh lớ 2.3.1 Mi s i cõn bng l s chn Chng minh Ta chng minh bng quy np Hai s i cõn bng u tiờn l b1 = v b2 = l cỏc s chn Gi s bn chn vi n k S dng (2.4) d thy rng bk+1 cng l s chn S dng cụng thc truy hi (2.4), ta suy mt vi liờn h thỳ v gia cỏc s i cõn bng nh lớ 2.3.2 a) (bn 1)2 = + bn1 bn+1 ; b) Vi n > k thỡ bn = bk + Bk bnk+1 Bk1 bnk ; c) b2n = Bn bn+1 bn (Bn1 1); d) b2n+1 = (Bn+1 + 1)bn+1 Bn bn Chng minh T (2.4), ta cú bn+1 + bn1 bn = Thay n bng n 1, ta cú bn + bn2 bn1 = Suy bn+1 + bn1 bn = bn + bn2 bn1 28 Suy (bn 1)2 bn1 bn+1 = (bn1 1)2 bn2 bn Do ú (bn 1)2 bn1 bn+1 = (b2 1)2 b1 b3 = (2 1)2 ì 14 = Chng minh ca b) cn mi liờn h gia s cõn bng v i cõn bng c thit lp phn sau Do ú ta hoón li chng minh b) Chng minh ca c) suy t b) bng cỏch thay n bng 2n v k bng n Tng t chng minh ca d) suy t b) bng cỏch thay n bng 2n + v k bng n + 2.4 Hm sinh phn trờn, ta ó phỏt trin cụng thc truy hi bn+1 = 6bn bn1 + cho cỏc s i cõn bng S dng cụng thc truy hi ny, ta thu c hm sinh u tiờn cho cỏc s i cõn bng v ú thit lp mi liờn h rt thỳ v gia cỏc s cõn bng v i cõn bng Nh li rng, hm sinh thụng thng cho dóy {xn } n=0 cỏc s thc c nh ngha l x n sn g(s) = n=0 Chng ta bit rng hm sinh cho cỏc dóy s cõn bng {Bn } n=0 l g(s) = 6s + s2 phự hp vi quy c mi nh xut phn trc, cú th d dng thy rng hm sinh cho dóy cỏc s cõn bng {Bn } n=1 cú dng g(s) = 6s + s2 29 nh lớ 2.4.1 Hm sinh cho cỏc dóy cỏc s i cõn bng {bn } n=1 l 2s2 f (s) = (1 s)(1 6s + s2 ) v ú vi n thỡ bn = 2(B1 + B2 + ã ã ã + Bn1 ) Chng minh T (2.4), vi n = 1, 2, ta cú bn+2 6bn+1 + bn = Nhõn hai v vi sn+2 v ly tng t n = ti n = , ta cú bn+2 s n+2 6s n=1 bn+1 s n+1 +s n=1 n bn s = 2s n=1 sn , n=1 m cỏc s hng ca f (s) cú th biu din l 2 (f (s) 2s ) 6sf (s) + s f (s) = 2s3 1s Do ú 2s2 f (s) = (1 s)(1 6s + s2 ) 2s = s s 6s + s2 2s = g(s) = 2(s + s2 + )g(s) 1s Bõy gi cho n 2, cỏc h s ca sn f (s) cú th thu c bng cỏch hp cỏc h s ca sr t g(s) v cỏc h s ca snr t 2(s + s2 + ) vi r = 1, 2, , n Trong cỏc h s ca sr g(s) l Br , h s ca snr 2(s + s2 + ) l Do ú bn = 2(B1 + B2 + ã ã ã + Bn1 ) iu ny kt thỳc chng minh H qu sau v nh lý 2.3.2 l h qu trc tip ca nh lý 2.4.1 30 H qu 2.4.1 Cho n l mt s nguyờn dng thỡ Bn = (bn+1 bn )/2 Bõy gi chỳng ta chng minh nh lý 2.3.2 b): Chng minh bng quy np trờn k D thy khng nh ỳng vi n > k = Gi s khng nh ỳng vi n > r k tc l bn = br + Br bnr+1 Br1 bnr (2.5) Ta bit rng cỏc s cõn bng tuõn theo cụng thc truy hi Bn+1 = 6Bn Bn1 p dng cụng thc ny, (2.4) v H qu 2.4.1 vo (2.5) ta cú br+1 + Br+1 bnr Br bnr1 = br+1 + (6Br Br1 )bnr Br (6bnr bnr1 + 2) = br+1 2Br + Br bnr+1 Br1 bnr = br + Br bnr+1 Br1 bnr = bn Do ú khng nh cng ỳng vi k = r + iu ny kt thỳc chng minh nh lý 2.3.2 b) 2.5 Mi liờn h gia s cõn bng v s i cõn bng Cho B l mt s cõn bng bt kỡ vi h s cõn bng R v b l mt s i cõn bng vi h s i cõn bng r Khi ú, theo nh ngha cỏc cp (B, R) v (b, r) tha cỏc tớnh cht + + ã ã ã + (B 1) = (B + 1) + (B + 2) + ã ã ã + (B + R), + + ã ã ã + b = (b + 1) + (b + 2) + ã ã ã + (b + r) (2.6) (2.7) 31 Gii (2.6) theo B v (2.7) theo b, ta c (2R + 1) + B= 8R2 + 8R + b= (2.8) , (2r 1) + 8r2 + (2.9) T (2.8) ta suy nu R l mt h s cõn bng thỡ 8R2 + 8R + l chớnh phng v t (2.9) nu r l mt h s i cõn bng thỡ 8r2 + l chớnh phng Lp lun ny cho ta nh lý sau: nh lớ 2.5.1 Mi h s cõn bng l mt s i cõn bng v mi h s i cõn bng l mt s cõn bng Cho n = 1, 2, , cho Bn l s cõn bng th n v bn l s i cõn bng th n Ta cng kớ hiu Rn l h s cõn bng tng ng vi Bn v rn l h s i cõn bng tng ng bn Kt qu m ta s chng minh sau õy mnh hn nhiu so vi nh lý 2.5.1 nh lớ 2.5.2 Cho n = 1, 2, , thỡ Rn = bn v rn+1 = Bn Chng minh Ta bit rng nu B l mt s cõn bng vi h s cõn bng R thỡ (2B + 1) + R= 8B + Do ú (2Bn+1 + 1) + Rn+1 = 8Bn+1 +1 (2Bn1 + 1) + Rn1 = 8Bn1 +1 , (2.10) (2.11) Theo nh lý 2.3.1 v H qu 1.2.2, ta cú Bn+1 = 2Bn + 8Bn2 + (2.12) 32 (2.13) 8Bn2 + Bn1 = 2Bn Thay ln lt (2.12) v (2.13) vo (2.10) v (2.11), ta cú Rn+1 = Rn1 = 2Bn + 8Bn2 + , 14Bn + 8Bn2 + Cng hai phng trỡnh trờn, ta c Rn+1 + Rn1 = 8Bn2 + 12Bn + = (2Bn + 1) + 8Bn2 + + = 6Rn + Suy Rn+1 = 6Rn Rn1 + Do ú Rn tha cụng thc truy hi ging nh bn Hn na, vỡ R1 = b1 = v R2 = b2 = nờn suy Rn = bn vi n = 1, 2, iu ny chng t phn th nht ca nh lý Ta chng minh phn th hai ca nh lý bng cỏch tng t S dng (2.3), ta cú 8b2n+1 + 8bn+1 + (2bn+1 + 1) + rn+1 = 8b2n1 + 8bn1 + (2bn1 + 1) + rn1 = Thay bn+1 = 3bn + 8b2n+1 + 8bn+1 + + 1, bn1 = 3bn 8b2n1 + 8bn1 + + 1, vo (2.14) v thay , (2.14) (2.15) 33 vo (2.15), ta c 2bn + rn+1 = 8b2n+1 + 8bn1 + + , 14bn + rn1 = 8b2n1 + 8bn1 + Cng hai phng trỡnh trờn, ta c rn+1 + rn1 = 12bn + = 8b2n + 8bn + 8b2n + 8bn + (2bn + 1) + = 6rn Do ú rn tha cụng thc truy hi ging nh Bn Hn na, vỡ B1 = r2 = v B2 = r3 = suy Bn = rn+1 vi n = 1, 2, iu ny kt thỳc chng minh nh lý H qu 2.5.1 Mi h s cõn bng l s chn Chng minh Suy trc tip t nh lý 2.3.1 v nh lý 2.5.2 H qu 2.5.2 Rn+1 = Rn + 2Bn Chng minh Suy trc tip t H qu 2.4.1 v nh lý 2.5.2 Bõy gi ta chng minh h(n) v t(n, m) l cỏc s i cõn bng nh khng nh ca nh lý 2.2.1 u tiờn ta chng t rng nu n l mt s i cõn bng thỡ h(n) = 8n2 + 8n + + (2n + 1) cng l mt s i cõn bng 8n2 + 8n + + 34 T nh lý 1.2.2, ta bit rng nu m l mt s cõn bng thỡ u = 2m 8m2 + cng l mt s cõn bng v h s cõn bng tng ng vi u l (2u + 1) + 8u2 + R= = 8m2 2m 8m2 + (2.16) Nu n l h s cõn bng tng ng vi s cõn bng m thỡ t (2.8) ta tỡm (2n + 1) + m= 8n2 + 8n + cho 8m2 + = 24n2 + 24n + 4(2n + 1) = 2(2n + 1) + 8n2 + 8n + + 8n2 + 8n + (2.17) Thay (2.17) vo (2.16), ta c R = 24n2 + 24n + 4(2n + 1) 8n2 + 8n + + 2(2n + 1) + 8n + 8n + 2(2n + 1) + 2 = 8n2 + 8n + + (2n + 1) 8n2 + 8n + 8n2 + 8n + = h(n) Do ú n l h s cõn bng bt kỡ thỡ h(n) luụn l mt h s cõn bng Theo nh lý 2.5.1, mi h s cõn bng l mt s i cõn bng nờn suy kt qu Tip tc, ta chng minh rng nu n v m l cỏc s i cõn bng thỡ t(n, m) = 2(2n + 1)(2m + 1) + (2n + 1) (2m + 1) 8n2 + 8n + + 8m2 + 8m + 1+ 8n2 + 8n + 8m2 + 8m + cng l s i cõn bng T nh lý 1.2.3, ta thy rng nu u v v l cỏc s cõn bng thỡ w = u 8v + + v 8u2 + 35 cng l mt s cõn bng Cho s, x, y l cỏc h s cõn bng tng ng vi cỏc s cõn bng w, u, v Khi ú (2w + 1) + s= 8w2 + = 8uv + (8u2 + 1)(8v + 1) 2u 8v + 2v 8u2 + Bõy gi thay (2n + 1) + u= (2m + 1) + v= 8n2 + 8n + , 8m2 + 8m + , vo ng thc trờn, ta c s = [2(2n + 1)(2m + 1) + (2n + 1) (2m + 1) 8n2 + 8n + + 8m2 + 8m + + 8n2 + 8n + 8m2 + 8m + = t(n, m) Tip tc, vỡ mi h s cõn bng l mt s i cõn bng nh lý 2.5.1, suy kt qu Chỳ ý: t(n, n) = h(n) 2.6 Mt ỏp dng ca s i cõn bng vo phng trỡnh Diophantus Nh ta ó bit, phng trỡnh Diophantus x2 + (x + 1)2 = y , x, y Z+ l mt trng hp c bit ca phng trỡnh x2 + y = z , x, y, z Z+ Nghim bt kỡ (x, y, z) ca phng trỡnh sau c gi l mt b ba Pythagoras chng ta ó thit lp mi liờn h gia cỏc nghim ca phng trỡnh 36 x2 + (x + 1)2 = y v cỏc s cõn bng õy, ta d dng thu c mi liờn h gia cỏc nghim ca phng trỡnh ny vi cỏc s i cõn bng Cho b l mt s i cõn bng bt kỡ, r l h s i cõn bng tng ng ca nú v c = b + r Khi ú (2.1) cú th vit nh sau + + ã ã ã + b = (b + 1) + (b + 2) + ã ã ã + c Suy 1+ 2c2 + 2c + b= Do ú 2c2 + 2c + l chớnh phng v 2c2 + 2c + = c2 + (c + 1)2 iu ny gi ý rng phng trỡnh Diophantus x2 + (x + 1)2 = y cú nghim x = b + r, y = 2c2 + 2c + Vớ d b = 14 thỡ r = v c = b + r = 20 Hn na 2c2 + 2c + = 841 = 292 v ta cú 202 + 212 = 292 Tng t cho b = 84 ta cú 1192 + 1202 = 1692 37 Kt lun Lun ó trỡnh by li kt qu v s cõn bng v s i cõn bng theo ti liu [3], [4] v [5] C th, lun ó trỡnh by v: Khỏi nim v mt s tớnh cht thỳ v ca s cõn bng v s i cõn bng; c bit l mt s cụng thc truy hi, cụng thc khụng quy; Mt s hm sinh cho s cõn bng v s i cõn bng; Mi liờn h gia s cõn bng v s i cõn bng; p dng s cõn bng v s i cõn bng tỡm nghim ca phng trỡnh Diophantus 38 Ti liu tham kho Ting Vit [1] V Nht Cng (2014), Dóy Fibonacci, dóy Lucas v cỏc ng dng, Lun Thc s Toỏn hc, Trng i hc Khoa hc - i hc Thỏi Nguyờn [2] H Huy Khoỏi, Phm Huy in (2003), S hc thut toỏn: C s lý thuyt v tớnh toỏn thc hnh, NXB i hc Quc gia H Ni Ting Anh [3] Behera A., Panda G K (1999), "On the square roots of trianglular numbers", Fibonacci Quarterly, 48 No 2, p 98-105 [4] Panda G K (2009), "Some fascinating properties of balancing numbers", Proceedings of the Eleventh International Conference on Fibonacci Numbers and their Applications, Cong Numer 194, p 185189 [5] Panda G K., Ray P K (2005), "Cobalancing numbers and cobalancers", Int J Math Sci., No , p 1189-1200 ... tính chất số đối cân bằng, công thức tìm số đối cân bằng, số công thức truy hồi, hàm sinh, mối liên hệ số cân số đối cân áp dụng số đối cân vào giải phương trình Diophantus 3 Chương Số cân Trong... r), (2.1) với số nguyên dương r Ở r gọi hệ số đối cân ứng với số đối cân n Ví dụ 2.1.1 Các số 2, 14 84 số đối cân với hệ số đối cân 1, 35 Mệnh đề 2.1.1 Nếu n số đối cân với hệ số đối cân tương ứng... r), với số nguyên dương r Các số cân số đối cân có nhiều tính chất đẹp thú vị, chẳng hạn như: Nếu n số cân số nguyên dương r tương ứng số đối cân ngược lại, n số đối cân r số cân bằng; có số phương