Sử dụng phép rời hình để giải một số dạng toán hình học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN VĂN NGỌC SỬ DỤNG PHÉP DỜI HÌNH ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 Giáo viên hướng dẫn: TS TRẦN VIỆT CƯỜNG THÁI NGUYÊN, 2015 Mục lục Mở đầu 1 PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 Đại cương phép biến hình mặt phẳng 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.3 1.5 Phép biến hình mặt phẳng Tích phép biến hình Các phần tử bất biến phép hình Một số phép dời hình đặc biệt mặt phẳng Phép đối xứng trục Phép tịnh tiến Phép quay đối xứng tâm Sự xác định dạng tắc phép dời hình Vận dụng phép dời hình vào việc giải số dạng tốn hình học 4 4 6 10 11 11 1.5.1 Một số toán sử dụng phép quay 1.5.2 Một số toán sử dụng phép đối xứng trục 3 biến Phép dời hình mặt phẳng 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.4 27 1.5.3 Một số toán sử dụng phép tịnh tiến PHÉP DỜI HÌNH TRONG KHƠNG GIAN 2.1 Đại cương phép biến hình khơng gian 2.1.1 Phép biến hình khơng gian 2.1.2 Tích phép biến hình 2.1.3 Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động phép biến hình 2.2 2.3 2.4 47 47 48 48 Phép Phép Phép Phép Phép đối xứng trục đối xứng tâm tịnh tiến quay quanh trục đối xứng qua mặt phẳng 48 49 49 49 50 51 52 Sự xác định dạng tắc phép dời hình khơng gian 2.4.1 2.4.2 2.5 47 Phép dời hình khơng gian Một số phép dời hình đặc biệt không gian 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 36 53 Sự xác định phép dời hình 53 Dạng tắc phép dời hình 53 Vận dụng phép dời hình vào việc giải số dạng tốn hình học khơng gian 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 2.5.5 Ứng dụng phép đối xứng trục giải toán Ứng dụng phép đối xứng tâm giải toán Ứng dụng phép tịnh tiến giải toán Ứng dụng phép quay quanh trục giải toán Ứng dụng phép đối xứng qua mặt phẳng giải toán 54 54 56 58 60 62 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 Mở đầu Phép dời hình chiếm vị trí quan trọng hình học sơ cấp nói chung phép biến hình nói riêng Việc sử dụng để giải tốn hình học nhiều cần thiết; đặc biệt nhiều tốn khơng sử dụng phép dời hình việc tìm lời giải trở nên khó khăn cho người học toán, sử dụng phép dời hình giúp cho giải trở lên ngắn gọn súc tích Phép dời hình cơng cụ quan trọng hình học, xuất điều tất yếu phát triển tư tốn học- tư biến hình Trong tốn có sử dụng phép dời hình để giải mắt xích quan trọng, định hướng thơng suất q trình tư Ngồi ra, phép dời hình cịn cơng cụ tư hữu ích để phát triển toán cho ta cách nhìn tốn Điều khiến cho người học tốn khơng phát triển kiến thức hình học mà cịn cung cấp cho họ nhìn sâu tốn Ngồi phần mở đầu, phần kết ln, luận văn gồm chương Chương Chương trình bày định nghĩa phép dời hình mặt phẳng tính chất Ngồi chương trình bày phép dời hình đặc biệt là: phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay Trình bày xác định dạng tắc phép dời hình mặt phẳng Vận dụng phép dời hình để giải tốn hình học phẳng Chương Chương trình bày kiến thức phép biến hình dời hình khơng gian: Định nghĩa, Tích phép biến hình, Các phần tử bất động phép biến hình, phép dời hình đặc biệt khơng gian Vận dụng phép dời hình để giải tốn khơng gian Luận văn đươc hồn thành với hướng dẫn bảo tận tình TS TRẦN VIỆT CƯỜNG, Trường ĐHSP Thái Nguyên Là người học trò tiếp thu nhiều điều từ thầy, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên tâm huyết bảo, hướng dẫn thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học toán K7N, Trường Đại học Khoa học động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn tới Sở GD- ĐT tỉnh Nam Định, Ban Giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Trực Ninh tạo điều kiện giúp đỡ tác giả thời gian học tập làm luận văn Tuy nhiên, lực thân thời gian nghiên cứu có hạn nên khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo đóng góp ý kiến thầy cô độc giả quan tâm đến luận văn Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015 Học viên Trần Văn Ngọc Chương PHÉP DỜI HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 1.1 1.1.1 Đại cương phép biến hình mặt phẳng Phép biến hình mặt phẳng Ta kí hiệu tập hợp tất điểm mặt phẳng P , hình H P tập P ta ký hiệu H ⊂ P Định nghĩa Một song ánh f : P → P từ tập điểm P lên gọi phép biến hình mặt phẳng P Phép biến hình biến điểm M P thành gọi phép đồng Ký hiệu e Ví dụ Cho đường thẳng d Với điểm M, ta xác đinh điểm M’ hình chiếu vng góc M lên d ta phép biến hình (gọi phép chiếu vng góc lên đường thẳng d) 1.1.2 Tích phép biến hình Một phép biến hình f : P → P biến điểm M P thành điểm M lại dùng tiếp phép biến hình thứ hai g:P → P để biến M thành M Ta có M = f (M ) M = g(M ) Khi phép biến hình h biến M thành M gọi tích hai phép biến hình f g ký hiệu h = g ◦ f Nhận xét Tích phép biến hình khơng có tính chất giao hốn 1.1.3 Các phần tử bất biến phép biến hình Một điểm M thuộc P điểm kép (điểm bất động) phép biến hình f f (M ) = M 1.2 1.2.1 Phép dời hình mặt phẳng Định nghĩa Định nghĩa Một phép biến hình f : P → P gọi phép dời hình mặt phẳng P với hai điểm M, N hai ảnh chúng M = f (M ), N = f (N ) ta ln ln có M N = M N Nhận xét - Phép đồng e phép dời hình -Đảo ngược phép dời hình phép dời hình 1.2.2 Tính chất Theo định nghĩa phép dời hình có tính chất sau Tính chất .Phép dời hình biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm A C thành ba điểm A , B , C thẳng hàng với B nằm A C Hệ Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Hệ Phép dời hình biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc nó, biến đường trịn thành đường trịn bán kính Tính chất Tích hai phép dời hình phép dời hình Chứng minh Cho hai phép dời hình f g Ta xét tính chất phép biến hình g ◦ f Giả sử A, B hai điểm ta có f (A) = A , g(A ) = A”, f (B) = B , g(B ) = B” Vì f g phép dời hình nên ta có AB = A B , A B = A”B” Như phép biến hình g ◦ f biến điểm A thành điểm A”, biến điểm B thành điểm B” thoả mãn điều kiện A”B” = AB Do tích hai phép dời hình g ◦ f phép dời hình Hệ Tích n phép dời hình phép dời hình Hệ Tích phép dời hình với phép đảo ngược phép đồng Tính chất Tích phép dời hình có tính chất kết hợp Chứng minh Giả sử g, h, f phép dời hình, ta cần chứng minh (g ◦ h) ◦ f = g ◦ (h ◦ f ) (hình 1.1) Thật giả sử f biến M thành M , h biến M thành M ” g biến M ” thành M Ta có g ◦ h phép dời hình biến M thành M (g ◦ h) ◦ f biến M thành M Mặt khác h ◦ f biến M thành M ” g ◦ (h ◦ f ) biến M thành M Vậy (g ◦ h) ◦ f = g ◦ (h ◦ f ) hai biến điểm M thành M với đểm M mặt phẳng Hình 1.1: Tính chất Tập hợp phép dời hình lập thành nhóm phép biến hình với phép tốn tích phép biến hình Ta có tích hai phép dời hình phép dời hình Do tích phép dời hình đóng kín với phép toán cho Mặt khác tập hợp phép dời hình có tính chất kết hợp tập hợp phép dời hình có phần tử đơn vị phép đồng phép dời hình có phép dời hình đảo ngược Vậy tập hợp phép dời hình lập thành nhóm gọi nhóm phép dời hình 1.3 1.3.1 Một số phép dời hình đặc biệt mặt phẳng Phép đối xứng trục Định nghĩa Trong mặt phẳng P cho đường thẳng d cố định, phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho đoạn thẳng M M nhận đường thẳng d làm đường trung trực phép biến hình gọi phép đối xứng trục d Đường thẳng d gọi trục đối xứng Ta ký hiệu phép đối xứng trục Đd Nếu điểm M thuộc đường thẳng d ta lấy M trùng với M Tính chất Phép đối xứng trục phép dời hình Chứng minh Giả sử M, N hai điểm mặt phẳng phép đối xứng trục Đd biến điểm M, N thành điểm M , N Khi đoạn thẳng M M , N N vng góc với trục d trung điểm H, K chúng (hình 1.2) −−−→ −−→ −−→ −−→ Ta có M H = −M H KN = −KN −−→ −−→ −−→ −−→ Mặt khác ta có M N = M H + HK + KN −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Suy M N = M H + HK + KN + 2M H.KN (vì M H.HK = −−→ −−→ HK.KN = Tương tự ta có −−−→2 −−−→2 −−→2 −−→2 −−−→ −−→ M N = M H + HK + KN + 2M H.KN −−−→ −−−→ −−→ −−→ −−→ = (−M H ) + (HK ) + (−KN ) + 2(−M H)(−KN ) −−→ = MN2 −−−→ −−→ Do M N | = |M N | 2) Qua phép quay quanh trục , điểm thuộc trục quay điểm kép Do đường thẳng đường thẳng kép 3) Nếu α ⊥ ∆ Q(∆, ϕ) : α → α Tuy nhiên, ϕ = 2kπ, k ∈ Z điểm thuộc mặt phẳng (α), trừ giao điểm (α) với không điểm kép 2.3.5 Phép đối xứng qua mặt phẳng Định nghĩa 12 Trong không gian cho mặt phẳng (α) Phép biến hình 1-1 biến điểm M thành điểm M cho đoạn thẳng M M nhận (α) mặt phẳng trung trực gọi phép đối xứng qua mặt phẳng (α) Ký hiệu Đα Hình 2.2: Tính chất 15 1) Phép đối xứng qua mặt phẳng phép dời hình Thật vậy, gọi Đα phép đối xứng qua mặt phẳng (α) M, N hai điểm Gọi M = Đα (M ) N = Đα (N ), I = M M ∩ α, K = −−→ −−→ −→ −−→ N N ∩ (α) Ta có M N = M I + IK + KN −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ ⇒ M N = M I + IK + KN + 2(M I.IK + M I.KN + IK.KN ) (1) −−−→ −−→ −→ −−→ Ta có M N = M I + IK + KN −−−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ −→ −−→ −→ ⇒ M N = M I + IK + KN + 2(M I.IK + M I.KN + IK.KN ) (2) −−→ −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ −−→ Mà M I.IK = M I.IK = IK.KN = IK.KN = −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ M I.KN = IM N K = M I.KN (3) −−−→ −−→ Từ (1), (2), (3) suy M N = M N hay M N = M N Vậy phép đối xứng qua mặt phẳng phép dời hình, nên có đầy đủ tính chất phép dời hình 2) Trong phép đối xứng qua mặt phẳng, điểm thuộc mặt phẳng đối xứng điểm kép 52 3) Các đường thẳng, mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đối xứng đường thẳng kép, mặt phẳng kép 2.4 2.4.1 Sự xác định dạng tắc phép dời hình khơng gian Sự xác định phép dời hình Định nghĩa 13 Trong khơng gian, góc tam diện Sxyz gọi có hướng (+) (-) tia Sx, Sy, Sz lấy điểm A, B, C từ S nhìn xuống thấy ABC có hướng (-) (+) Định lý Trong khơng gian, phép dời hình bảo tồn (làm thay đổi) hướng góc tam diện bảo tồn (làm thay đổi) hướng góc tam diện Định nghĩa 14 Trong không gian, phép dời hình gọi phép dời hình loại 1(loại 2) bảo tồn(làm thay đổi )hướng góc tam diện − Trong khơng gian, phép dời hình loại bao gồm T→ v , Q(O, α), Đd , phép đồng e Phép dời hình loại bao gồm ĐO , Đα Định lý Trong không gian, cho hai điểm (A, B, C) (A , B , C ) mà không thẳng hàng cho ABC = A B C tồn phép dời hình loại phép dời hình loại hai biến A thành A , B thành B C thành C 2.4.2 Dạng tắc phép dời hình Trong khơng gian, phép dời hình loại phân tích thành tích phép quay quanh trục với phép tịnh tiến, có trục quay song song với phương tịnh tiến Trong không gian, phép dời hình loại phân tích thành tích phép quay quanh trục với phép đối xứng mặt, có mặt đối xứng vng góc với trục quay tích phép tịnh tiến 53 với phép đối xứng mặt có mặt đối xứng song song với phương tịnh tiến 2.5 2.5.1 Vận dụng phép dời hình vào việc giải số dạng tốn hình học không gian Ứng dụng phép đối xứng trục giải tốn Dạng Chứng minh tính chất hình học Bài tốn 38 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Gọi O trung điểm đoạn M N Chứng minh với điểm K nằm tứ diện ta có KA + KB + KC + KD ≥ OA + OB + OC + OD Lời giải Ta có M N trục đối xứng tứ diện ABCD Gọi K điểm đối xứng K qua M N , H giao KK với M N , KA + KB = AK + AK ≥ 2AH KC + KD = CK + CK ≥ 2CH Ta chứng minh AH +CH ≥ OA+OC Xét mặt phẳng (M CD) điểm A cho tia M A vng góc với M N , ngược chiều với tia N C M A = M A Rõ ràng HA = HA, HA + HC = HA + HC ≥ A C Vì A C qua O, A C = OC + OA = OC + OA Bài tốn 39 Trong khơng gian cho hình bình hành ABCD Chứng minh tồn đường thẳng (d) không nằm mặt phẳng (ABCD) cho phép đối xứng Đd biến hình bình hành ABCD thành nó, (d) phải qua giao điểm hai đường chéo hình bình hành vng góc với mặt phẳng chứa Lời giải Vì Đd biến hình bình hành ABCD thành nó, biến mặt phẳng (ABCD) thành Vì d vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi O giao điểm d mặt phẳng (ABCD) Nếu M điểm bât kỳ hình bình hành ABCD M ảnh M O 54 trung điểm M M Vậy O tâm đối xứng biến M thành M tâm đối xứng hình bình hành d vng góc với mặt phẳng (ABCD) Bài tốn 40 Chứng minh hình lăng trụ tam giác có trục đối xứng, lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Lời giải Ta kí hiệu ABC.A B C hình lăng trụ tam giác có trục đối xứng d Hiển nhiên d nằm mặt đáy, thật vậy, giả sử d thuộc mặt phẳng (ABC), phép đối xứng qua d biến đỉnh A , B , C thành điểm nằm mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) khác phía với A B C điều chứng tỏ ảnh A , B , C không thuộc lăng trụ Mặt khác ta có d khơng cắt đáy lăng trụ , cắt (ABC) O, ảnh cạnh bên cạnh bên, điều chứng tỏ d phải thuộc mặt bên mà điều khơng thể sảy Vì d song song với đáy lăng trụ Phép đối xứng qua d biến ABC thành A B C , mặt bên chứa A thành mặt bên chứa A , A thành A Điều chứng tỏ d vng góc với AA hay AA vng góc với đáy lăng trụ Dạng 2.Tốn tìm quỹ tích dựng hình Bài tốn 41 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Trên đoạn AC B D ta lấy điểm M, N cho AM = D N Hãy tìm tập hợp trung điểm đoạn M N , M N biến thiên Lời giải Gọi I, J trung điểm đoạn AD , B C Khi IJ trục đối xứng biến A thành D C thành B Vì M thành M thuộc đoạn D B AM = D M Theo giả thiết AM = D N , M N trùng Vậy trung điểm M N thuộc IJ Nếu AC = B D tập hợp cần tìm đoạn IJ Nếu AC = B D tập hợp cần tìm tập hợp thuộc đoạn IJ Bài toán 42 Cho lăng trụ đứng ABC.A B C ,có đáy tam giác cân ABC A Trên cạnh AC, A B ta lấy điểm tương ứng M M cho AM = A M Tìm tập hợp trung điểm đoạn M M Lời giải Gọi I, J trung điểm cạnh bên AA giao đường chéo hình chữ nhật BCC B Hiển nhiên IJ trục đối xứng hai đoạn AC 55 A B Vậy M M đối xứng qua IJ Trung điểm M M thuộc đoạn IJ Vậy quỹ tích trung điểm đoạn M M đoạn thẳng IJ Bài toán 43 Cho đường thẳng d điểm A không thuộc đường thẳng d Hãy dựng tứ diện có đỉnh A đường thẳng d qua trung điểm hai cạnh chéo tứ diện Lời giải Gọi B điểm đối xứng A qua d, M giao AB d √ Dựng điểm N d cho M N = AM Dựng đường thẳng d qua N vng góc đồng thời với d AB Trên d dựng điểm C D cho N C = N D = AM Khi ABCD tứ diện cần dựng 2.5.2 Ứng dụng phép đối xứng tâm giải toán Dạng Chứng minh tính chất hình học Bài tốn 44 Chứng minh hình tứ diện khơng thể có tâm đối xứng Lời giải Giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng O Nếu O thuộc mặt tứ diện, mặt hình có tâm đối xứng Mà điều khơng xảy mặt tứ diện tam giác tam giác hình khơng có tâm đối xứng Vậy O không thuộc mặt phẳng chứa mặt phẳng tứ diện Gọi A , B ảnh A, B qua phép đối xứng Vậy A , B thuộc mặt đối (BCD) (ACD) Vì ABB A hình bình hành, AB //BA suy AB //CD BA //CD suy A trùng với B B trùng với A Điều chứng tỏ O trung điểm AB O thuộc mặt phẳng chứa mặt tứ diện(mâu thuẫn) Vậy hình tứ diện khơng thể có tâm đối xứng Bài tốn 45 Chứng minh hình lăng trụ mà đáy có tâm đối xứng , lăng trụ có tâm đối xứng Lời giải Ta ký hiệu A1 A2 An B1 B2 Bn đỉnh thuộc hai đáy, A1 B1 //A2 B2 // An Bn Gọi O1 O2 tương ứng tâm đối xứng 56 đa giác A1 A2 An B1 B2 Bn O trung điểm O1 O2 Ta chứng minh O tâm đối xứng lăng trụ Thật với Ai ta xét đoạn Ai Aj nhận O1 làm trung điểm Gọi O trung điểm Bi Bj , O1 O //Aj Bj Tương tự ta xét đoạn Ai+1 Aj+1 nhận O1 trung điểm Gọi O trung điểm Bi+1 Bj+1 , O1 O //Ai+1 Bi+1 //Ai Bi Vì O O trùng Cứ tiếp tục ta suy O1 O2 //Ai Bi Như với đỉnh Ai Z = ZO2 ◦ Zo ◦ ZO1 biến thành Bj Vậy hình lăng trụ có tâm đối xứng Bài toán 46 Chứng minh hình đa diện T có tâm đối xứng, số mặt T chẵn, số cạnh chẵn, số đỉnh chẵn Lời giải Gọi O tâm đối xứng T X điểm thuộc mặt (M ) T Gọi X ảnh X qua phép đối xứng Ta có X thuộc mặt M T Vậy với cặp mặt M M T ứng với đoạn XX Mà số đoạn số nguyên, nên số mặt T số chẵn Mặt khác ta biết điểm thuộc cạnh T , điểm đối xứng qua O thuộc cạnh T Vì hai cạnh T ứng với đoạn thẳng nối điểm cạnh với điểm cạnh kia, số cạnh số đỉnh hình đa diện số chẵn Dạng Tìm tập hợp điểm dựng hình Bài tốn 47 Cho mặt cầu (O) điểm A, B, C, D Với điểm M −−→ −−→ −−→ thuộc mặt cầu ta xác định điểm N thoả mãn 7M N = 2M A + 3M B + −−→ −−→ 4M C + 5M D Hãy tìm quỹ tích điểm N M biến thiên mặt cầu −→ −−→ −→ −−→ → − Lời giải Gọi G điểm cho 2GA+3GB+4GC+5GD = , từ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ giả thiết ta có 7M N = 14M G ⇔ 7M G+7GN = 14M G ⇔ GN = −GM Vậy tập hợp điểm N mặt cầu đối xứng với (O) qua G Bài toán 48 Cho điểm A, B nằm đường thẳng x hai điểm C, D nằm đường thẳng y , biết x y hai đường thẳng chéo Hãy 57 dựng hình hộp cho đoạn thẳng AB CD hai đường chéo thuộc hai mặt phẳng song song hình hộp Lời giải Gọi I, J trung điểm AB CD Gọi O trung điểm đoạn IJ phép đối xứng qua O biến A → A , B → B , C → C , D → D Khi hình hộp gồm hai mặt phẳng song song chứa AB CD AD BC B CA D Bài toán 49 Cho nhị diện (P, Q) điểm O cố định nằm nhị diện Tìm tập hợp điểm M nằm mặt phẳng (P ) cho tồn (Q) điểm M mà O trung điểm đoạn M M Lời giải Gọi (Q ) ảnh (Q) qua phép biến đổi ĐO , M ảnh M qua phép biến ĐO Vậy M thuộc giao tuyến (x) hai nửa mặt phẳng (Q ) (P ) Tập hợp điểm M (x) hoăc tia thuộc (x) tập rỗng 2.5.3 Ứng dụng phép tịnh tiến giải toán Dạng Chứng minh tính chất hình học Bài tốn 50 Chứng minh hình đa diện lồi có khơng q tâm đối xứng Lời giải Trước hết ta thấy A tâm đối xứng hình đa diện lồi A điểm đa diện Thật với điểm X thuộc đa diện ln tìm đươc điểm X thuộc cho A trung điểm đoạn XX Do tính chất lồi đa diện, nên A nằm mặt đa diện Nếu B tâm đối xứng đa diện khác A, B điểm Vì đường thẳng AB phải cắt đa diện số giao điểm AB với đa diện ta xét giao điểm mà B thuộc đoạn nối chúng với A Giả sử M điểm cách A khoảng xa Ta xét phép biến đổi −→ biến M → M thuộc đa ZB ◦ ZA Phép biến đổi phép tịnh tiến T2− AB −−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ −→ diện ta có M M = 2AB ⇔ AM − AM = 2AB ⇔ AM = AM + 2AB (*) Đẳng thức (*) chứng tỏ M cách A khoảng xa M Mâu thuẫn chứng tỏ A B trùng 58 Bài toán 51 Cho hai mặt phẳng (P ), (Q) song song Chứng minh phép biến đổi T = S(Q) ◦ S(P ) phép tịnh tiến mà vectơ tịnh tiến − → − − 2→ u , T→ u biến (P ) thành (Q) giá u vng góc với (P ) Lời giải Với điểm M ta có S(P ) : M → M M M vng góc với (P ) trung điểm K , S(Q) : M → M M M vng góc với (Q) trung điểm H Ta xét −−−→ −−−→ −−−−→ MM = MM + M M −−→ −−−→ −−−→ −−−→ = M K + KM + M H + HM −−→ −−−→ −−→ = M K + HM + KH −−−→ −−−→ −−→ = KM + M H + KH −−→ = 2KH −→ : K → H Do Hiển nhiên KH vng góc với (P ) (Q) T− KH (P ) biến thành (Q) − Bài toán 52 Cho tứ diện T , phép tịnh tiến theo vectơ → u biến T thành T Chứng minh thể tích T T − Lời giải Ta có phép tịnh tiến theo vectơ → u biến đường cao T thành đường cao T đường cao nhau, biến đáy T thành đáy T hai đáy Vì thể tích hai khối đa diện T T Dạng Tốn quỹ tích dựng hình → − − Bài tốn 53 Cho mặt cầu (O, R), điểm A vectơ → u = Với điểm M thuộc mặt cầu ta gọi điểm M1 điểm đối xứng M − qua A M2 ảnh M1 qua phép tịnh tiến theo vectơ → u Tìm tập hợp điểm M2 M biến thiên mặt cầu − Lời giải Xét phép biến đổi T(→ u ) ◦ ZA biến M → M2 Vậy tập hợp M2 mặt cầu đối xứng với mặt cầu (O, R) qua phép đối xứng tâm Bài toán 54 Cho hai mặt cầu (O, R), (O , R ) không đồng tâm mặt phẳng (P ) Hãy dựng mặt phẳng (Q) song song với (P ) cắt đồng thời hai mặt cầu cho thành hai đường trịn có bán kính 59 Lời giải Gọi K K tâm hai đường tròn tạo (Q) cắt hai mặt cầu cho, OK O K vng góc với mặt phẳng (Q) −−→ Tịnh tiến mặt cầu (O) theo vectơ KK , ta mặt cầu (O1 ) qua đường tròn tâm K Do O1 O vng góc với (Q) K Mặt khác O1 nhìn đoạn OO góc vng, O1 điểm chung đường thẳng O K với mặt cầu đường kính OO Ứng dụng phép quay quanh trục giải toán Dạng Các tốn khảo sát tính chất phép quay 2.5.4 Bài toán 55 Chứng minh phép quay Q(d, ϕ) với 00 < ϕ ≤ 1800 , biến mặt phẳng (P ) thành (P ) ⊥ d Lời giải Ta có d cắt (P ) điểm O Thật d thuộc (P ) với điểm M ∈ (P ) không thuộc d ảnh M M thuộc (P ) Mà M M thuộc mặt phẳng (P ) vuông góc với d O M M thuộc giao tuyến (P ) (P ) M M đối xứng với qua O nên ϕ = 1800 điều trái với giả thiết Nếu d//(P ) , O khơng thuộc (P ) ta chọn M chân đường vng góc hạ từ O xuống (P ) Vì M khác M thuộc (P ), nên OM > OM điều trái với định nghĩa phép quay Như M M ảnh M phép quay, OM OM vng góc với d O Điều chứng tỏ (P ) ⊥ d Bài toán 56 Cho tứ diện ABCD cạnh AB = Chứng minh chu vi thiết diện tứ giác tứ diện không nhỏ Lời giải Giả sử M N KH thiết diện tứ diện, với M ∈ AB, N ∈ BC, K ∈ CD, H ∈ DA Ta ký hiệu D1 , D2 , D3 ảnh D qua phép quay quanh AB, BC, CA cho điểm nằm ngồi tam giác ABC Vì ABCD tứ diện đều, nên D1 D2 D3 tam giác mà A, B, C trung điểm D1 D2 , D2 D3 , D3 D1 Gọi H1 ảnh H 60 qua phép quay quanh AB , H1 ∈ AD1 , gọi H2 ảnh H qua phép quay quanh AC , H2 ∈ AD2 gọi K2 ảnh K qua phép quay đó, K2 ∈ CD2 Gọi K1 ảnh K qua phép quay quanh BC , K1 ∈ CD3 Ta có M N +M H+N K độ dài đường gấp khúc H1 M N K1 , KH = K2 H2 Phép đối xứng qua A biến tam giác AD2 C thành tam giác AD1 C đoạn H2 K2 thành đoạn H1 K ( K ∈ D1 C ) Vậy chu vi thiết diện độ dài đoạn gấp khúc K H1 M N K1 Vì K D1 = K2 D2 = K1 D3 K D1 //K1 D3 , nên K K1 = D1 D3 = Vì K K1 khơng lớn độ dài đường gấp khúc K H1 M N K1 nên ta có điều phải chứng minh Dạng Tốn quỹ tích cực trị Bài tốn 57 Trong khơng gian cho đường thẳng d hai điểm A, B khơng thuộc d Hãy tìm d điểm M cho 1) M A + M B nhỏ 2) |M A − M B| lớn Lời giải Gọi (P ) mặt phẳng xác định điểm A (d) Nếu B ∈ (P ), tốn giải hình học phẳng Nếu khơng thuộc mặt phẳng (P ) , ta dựng B1 , B2 thuộc (P ) ảnh B qua phép quay quanh (d) giả thiết B1 khác phía với A (d), ta có tốn hình học phẳng Bài tốn 58 Cho góc nhị diện (P, Q) = α(α < 900 ) điểm M nằm góc Tìm (P ) (Q) điểm A B cho điều kiện sau đồng thời thỏa mãn 1) Khoảng cách từ A B đến cạnh nhị diện 2) M A + M B nhỏ Lời giải Dựng mặt phẳng (R) vng góc với cạnh nhị diện Gọi A , B hình chiếu A B (R), A , B thuộc giao tuyến (R) với (P ) (Q) Khi khoảng cách từ A B đến cạnh nhị diện M A + M B M A + M B Ta tìm điểm A , B cho M A + M B nhỏ Bài tốn giải hình học phẳng 61 Bài toán 59 Cho hai mặt phẳng (P ), (Q) hợp với góc 450 x đường thẳng cố định Với mặt phẳng (R) qua (x) ta xác định mặt phẳng (R1 ), (R2 ) ảnh (R) phép đối xứng qua (P ) (Q) Chứng minh (R1 ) cắt (R2 ) tìm tập hợp giao tuyến hai mặt phẳng đó, (R) quay quanh (x) Lời giải Phép đối xứng qua (P ) biến (x) thành (x1 ) thuộc (R1 ) phép đối xứng qua (Q) biến (x) thành (x2 ) thuộc (R2 ) Các đường thẳng (x1 ), (x2 ) cố định Ta xem tích hai phép đối xứng qua (P ) (Q) biến (R1 ) thành (R2 ), (x1 ) thành (x2 ) Theo tính chất hai phép đối xứng qua mặt phẳng, tích phép quay quanh giao tuyến (P ) (Q) với góc quay 900 , biến (R1 ) thành (R2 ) Vì (R1 ) ⊥ (R2 ) hai mặt phẳng phải cắt Nếu (x1 )//(x2 ) tập hợp giao tuyến hai mặt phẳng (R1 ), (R2 ) mặt trụ trịn xoay Nếu (x1 ), (x2 ) chéo tập giao tuyến mặt trụ trịn xoay 2.5.5 Ứng dụng phép đối xứng qua mặt phẳng giải tốn Dạng Chứng minh tính chất hình học Bài tốn 60 Cho tứ diện ABCD 1) Chứng minh mặt phẳng trung trực cạnh AB mặt phẳng đối xứng hình tứ diện 2) Ta lấy điểm K tam giác ACD gọi E giao điểm BK với mặt đối xứng Chứng minh EA + EK ≥ AB Lời giải 1) Gọi M trung điểm cạnh AB Ta có mặt phẳng qua CD M mặt phẳng trung trực AB Mặt phẳng biến A thành B , biến C D thành điểm Vậy mặt phẳng trung trực AB mặt phẳng đối xứng hình tứ diện 62 2) Ta có EB = EA, nên EA + EK = EB + EK = BK ≥ BH với H chân đường cao tứ diện hạ từ B Mà BH = AB Do EA + EK ≥ AB Bài toán 61 Cho hai phép đối xứng Đ(d) S(P ) Chứng minh S(P ) ◦ Đ(d) = Đ(d) ◦ S(P ) , (d) ⊥ (P ) Lời giải Với điểm M ta có S(P ) : M → M1 , M M1 vng góc với (P ) H Đ(d) : M1 → M M1 M vng góc với (d) K Ta xét Đ(d) : M → M2 ,khi M M2 vng góc với (d) I S(P ) : M2 → M M2 M vng góc với (P ) J Như S(P ) : M → M1 M2 → M , nên M M2 → M1 M I → K Điều chứng tỏ IK ⊥ (P ) Vì I K thuộc (d), nên ta suy điều phải chứng minh Bài toán 62 Cho hai mặt phẳng (P ) (Q) cắt khơng vng góc với Gọi (R) ảnh (Q) qua phép biến đổi S(P ) Chứng minh S(P ) ◦ S(Q) ◦ S(P ) = S(R) Lời giải Đặt S = S(P ) ◦ S(Q) ◦ S(P ) Ta có mặt phẳng (R) bất động S Thật với điểm X thuộc (R), ta có SP : X → X ∈ (Q), SQ : X → X , SP : X → X Vậy (R) mặt phẳng bất động phép biến đổi S Với điểm M không thuộc (P ) ta có S(P ) : M → M1 M M1 vng góc với (P ) I ; S(Q) : M1 → M2 , M1 M2 vng góc với (Q) K ; S(P ) : M2 → M , M2 M vng góc với (P ) H Vậy ta có S(P ) : M1 → M, M2 → M , M1 M2 → M M K → K trung điểm M M Vì K ∈ (Q), nên K ∈ (R) Hơn M1 M2 vuông góc với (Q), M M vng góc với (R) Như (R) mặt phẳng trung trực đoạn M M S phép đối xứng qua (R) Dạng Toán cực trị Bài toán 63 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D Hãy tìm điểm M thuộc mặt phẳng A B C D cho M A + M B + M C + M D nhỏ 63 Lời giải Gọi A1 B1 đoạn thẳng đối xứng với đoạn AB qua A B C D , A1 B1 //AB Vì AB//CD AB = CD nên A1 B1 //CD A1 B1 = CD Mặt phẳng A1 B1 CD cắt mặt phẳng A B C D theo giao tuyến qua giao điểm đường chéo hình chữ nhật A B C D Hiển nhiên M A + M C = M A1 + M C ≥ A1 C, M B1 + M D ≥ B1 D Độ dài đoạn A1 C B1 D trùng với giao điểm đường chéo hình chữ nhật A B C D Điểm M cần tìm giao đường chéo Bài tốn 64 Cho mặt phẳng (P ) hai đường thẳng (x), (y) nằm phía với (P ) song song với đường thẳng thuộc (P ) Hãy tìm điểm M thuộc (P ) cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng đạt giá trị nhỏ Lời giải Gọi (x ) ảnh (x) qua phép biến đổi SP , (x )//(y) Gọi (z) giao tuyến mặt phẳng qua (x ) (y) điểm M thuộc (z) điểm cần tìm Bài tốn 65 1)Cho mặt phẳng (P ) hai điểm A, B nằm phía với (P ) Tìm (P ) điểm M M A + M B nhỏ 2) Cho mặt phẳng (P ) hai điểm A, B nằm khác phía với (P ) Hãy tìm (P ) điểm M cho |M A − M B| đạt giá trị lớn Lời giải 1) Gọi B điểm đối xứng B qua (P ) Giao điểm M AB với (P ) điểm cần tim 2) Gọi B điểm đối xứng B qua (P ) Giao điểm AB với (P ), có, điểm cần tìm 64 Kết luận Luận văn trình bày đạt số kết sau Trình bày số kiến thức phép dời hình mặt phẳng khơng gian Giới thiệu số dạng tập sử dụng phép dời hình để sử lý tốn Trình bày tốn hay khó số kỳ thi ĐHCĐ, kỳ thi học sinh giỏi có sử dung phép dời hình để giải 4.Ngồi ra, luận văn cịn trình bày số định hướng giải bắt gặp tập tương tự nêu luận văn Hướng phát triển luận văn tiếp tục nghiên cứu ứng dụng phép dời hình việc giải tốn hình hoc phẳng, hình học khơng gian 65 Tài liệu tham khảo [1] Trần Việt Cường, Nguyễn Danh Nam (2013), Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Mộng Hy (2003), Các phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Đăng Phất, Đỗ Thanh Sơn (2008), Hình học số vấn đề liên quan, NXB Giáo dục [4] Đỗ Thanh Sơn (2004), Phép biến hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [5] Đỗ Thanh Sơn (2005), Phép biến hình khơng gian, NXB Giáo dục [6] Đào Tam (2004), Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Đại học Sư phạm [7] S.V.Duzhin, B D Tchebotarevsky (2002), Transformaion Group for Beginners, American Mathematical Society 66 ... tính chất nó, sau ta sử dụng kiến thức phép dời hình để giải tốn hình học 10 1.5 1.5.1 Vận dụng phép dời hình vào việc giải số dạng tốn hình học Một số tốn sử dụng phép quay Dạng 1: Chứng minh,... định dạng tắc phép dời hình Vận dụng phép dời hình vào việc giải số dạng tốn hình học 4 4 6 10 11 11 1.5.1 Một số toán sử dụng phép quay 1.5.2 Một số toán. .. giải toán Ứng dụng phép đối xứng tâm giải toán Ứng dụng phép tịnh tiến giải toán Ứng dụng phép quay quanh trục giải toán Ứng dụng phép đối xứng qua mặt phẳng giải toán