Phương trình truyền nhiệt một chiều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỒN KHẮC THÀNH PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN KHẮC THÀNH PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN - 2014 Mục lục Mở đầu 1 Cơ sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt 1.1 Khái niệm nhiệt độ 1.2 Nhiệt năng-Nhiệt lượng 1.2.1 Nhiệt 1.2.2 Nhiệt lượng 1.2.3 Trao đổi nhiệt 1.3 Dòng nhiệt- Định luật Fourier 1.3.1 Dòng nhiệt 1.3.2 Định luật Fourier 1.4 Các nguyên lý nhiệt động lực học 1.4.1 Nguyên lý thứ 1.4.2 Nguyên lý thứ hai 1.4.3 Nguyên lý thứ ba 1.5 Phương trình truyền nhiệt tốn 1.5.1 Thành lập phương trình 1.5.2 Các điều kiện biên điều kiện đầu 1.5.3 Bài toán đặt chỉnh Chuỗi Fourier tốn Sturm-Liouville 2.1 Chuỗi Fourier thơng thường 2.1.1 Khái niệm chuỗi Fourier 2.1.2 Hội tụ chuỗi Fourier 2.2 Chuỗi Fourier - Cosin chuỗi Fourier- Sin 2.2.1 Khái niệm 2.2.2 Sự hội tụ 2.3 Hội tụ chuỗi Fourier L2 4 5 7 7 8 9 10 10 12 12 12 13 13 13 14 15 2.4 2.5 2.3.1 Dãy trực giao 2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval Khái niệm toán Sturm-Liouville 2.4.1 Khái niệm 2.4.2 Tính chất Một số ví dụ hàm riêng trị riêng cho toán hai khoảng hữu hạn 2.5.1 Các ví dụ đơn giản 2.5.2 Các ví dụ phức tạp tử vi phân cấp 15 16 19 19 21 22 22 25 Phương trình truyền nhiệt khoảng hữu hạn 3.1 Tích phân lượng tính nghiệm 3.1.1 Tích phân lượng 3.1.2 Tính nghiệm phương trình truyền nhiệt 3.2 Nguyên lý cực trị phương trình truyền nhiệt 3.2.1 Bài tốn Dirichlet cho phương trình truyền nhiệt 3.2.2 Nguyên lý cực trị phương trình truyền nhiệt 3.2.3 Một số kết khác liên quan đến nguyên lý cực trị phương trình truyền nhiệt 3.3 Phương trình (Truyền nhiệt hữu hạn) 3.4 Truyền nhiệt hình trụ trịn xoay 3.5 Nguyên lý Duhamel 3.5.1 Phương trình vi phân thường 3.5.2 Phương trình truyền nhiệt 3.6 Phương trình truyền nhiệt khơng khoảng hữu hạn với điều kiện biên 3.7 Trường hợp phương trình điều kiện biên khơng 3.8 Những thay đổi toán truyền nhiệt 3.8.1 Điều kiện biên 3.8.2 Giải toán truyền nhiệt với điều kiện biên không (độc lập thời gian) 30 30 30 31 31 31 32 34 37 43 45 45 46 46 52 54 54 56 Phương pháp biến đổi Fourier giải tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt 58 4.1 Định nghĩa biến đổi Fourier tính chất 58 4.2 4.3 4.4 4.1.1 Biến đổi Fourier L1 (R) 4.1.2 Các tính chất biến đổi Fourier 4.1.3 Biến đổi Fourier L2 (R) Tính nghiệm phương truyền nhiệt dài vô hạn Bài toán Cauchy cho phương truyền nhiệt dài vô hạn 4.3.1 Công thức Poisson 4.3.2 Nghiệm phương trình truyền nhiệt Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng 58 59 61 62 64 64 68 69 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ trực tiếp lý thuyết với toán vật lý Quá trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường gặp vật lý dẫn tới việc hình thành ngành giải tích, phương trình vật lý toán vào kỷ XVIII Các phương pháp nghiên cứu giải toán cụ thể vật lý toán toán phương trình truyền nhiệt có ảnh hưởng lớn đến phát triển tổng quát phương trình đạo hàm riêng vào cuối kỷ XIX Điển hình phương pháp biến đổi Fourier để giải tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt nhà toán học nhà vật lý tiếng người Pháp Joseph Fourier (21/3/1768 - 16/5/1830) Bên cạnh đó, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ mật thiết với ngành tốn học khác giải tích hàm lý thuyết hàm, tơ pơ, đại số, giải tích phức Một mặt lý thuyết phương trình đạo hàm riêng sử dụng rộng rãi khái niệm bản, phương pháp lĩnh vực tốn học này, mặt khác ảnh hưởng lại vấn đề hướng nghiên cứu chúng Phương trình truyền nhiệt phương trình quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vật lý tốn Phương trình truyền nhiệt mô tả tượng truyền nhiệt vật, khuếch tán phân tử khơng khí, truyền tải tạp chất khí quyển, v.v , thuộc dạng parabolic Các tốn phương trình thuộc dạng parabolic thường khó với biến khơng gian cịn chứa biến thời gian, phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến Do tính phức tạp nói trên, nhiều tính chất quan trọng lý thú nghiệm phương trình truyền nhiệt chủ yếu phát phương trình truyền nhiệt cấp hai có số chiều thấp Một số tượng nhiệt có số chiều nghiên cứu cách tương tự trường hợp chiều Trong thực tế có nhiều tượng học vật lý mô tả dạng phương trình truyền nhiệt tuyến tính cấp hai chiều Do việc tìm hiểu sâu phương trình truyền nhiệt thơng qua phương trình truyền nhiệt cấp hai chiều cần thiết Đó đề tài học tập nghiên cứu luận văn Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu, giáo trình nước quốc tế liên quan đến phương trình truyền nhiệt phương pháp giải phương trình truyền nhiệt Mục đích luận văn Mục đích luận văn học tập, nghiên cứu sâu phương trình truyền nhiệt trình bày lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều với vấn đề liên quan như: Cơ sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt; chuỗi Fourier tốn Sturm-Liouville; phương trình truyền nhiệt khoảng hữu hạn phương pháp biến đổi Fourier giải toán Cauchy phương trình truyền nhiệt Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung chính, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Cơ sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt Chương trình bày khái niệm nhiệt độ, nhiệt năng, nguyên lý nhiệt động lực học; giới thiệu Định luật Fourier dòng nhiệt, sở thành lập phương trình truyền nhiệt; trình bày tốn biên-giá trị ban đầu phương trình truyền nhiệt Chương 2: Chuỗi Fourier tốn Sturm-Liouville Chương trình bày kiến thức bổ trợ cần thiết cho vấn đề như: Chuỗi Fourier khai triển chuỗi Fourier theo hàm riêng tốn Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng phương pháp tách biến giải toán biên phương trình đạo hàm riêng Chương 3: Phương trình truyền nhiệt khoảng hữu hạn Trong chương trình bày phương trình truyền nhiệt cấp hai chiều không Những vấn đề đề cập tích phân lượng ứng dụng vào chứng minh tính nghiệm phương trình truyền nhiệt, nguyên lý cực trị ứng dụng Nội dung chương trình bày phương pháp tách biến giải toán biên phương trình truyền nhiệt khơng khoảng hữu hạn Nội dung chương trình bày nhiều ví dụ cụ thể để minh họa Chương 4: Phương pháp biến đổi Fourier giải tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt Chương trình bày lý thuyết tóm lược biến đổi Fourier không gian L1 (R) L2 (R) Nội dung chương vận dụng biến đổi Fourier giải tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt mà mấu chốt cơng thức Poisson Tiếp trình bày cơng thức nghiệm tính trơn nghiệm tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt không Nội dung luận văn hình thành chủ yếu từ tài liệu [1] - [7] hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy! Em xin chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, Phòng đào tạo trường Đại học Khoa học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ chúng em q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn này! Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2014 Tác giả Đoàn Khắc Thành Chương Cơ sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt Chương trình bày sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt Các kiến thức chương chủ yếu trích từ tài liệu [5] 1.1 Khái niệm nhiệt độ Nhiệt phát sinh từ nhiều nguồn, thí dụ như, lửa, ánh sáng, điện hay va chạm, cọ xát vật Nhiệt độ khái niệm vật lý dùng để mô tả cảm nhận nhiệt vật tiếp xúc với nguồn nhiệt, dùng để đo mức độ nhiệt Thí dụ, buổi trưa ta cảm thấy ấm thể hấp thụ lượng nhiệt từ ánh sáng mặt trời Nhiệt độ đơn vị đo lường cho biết mức độ nhiệt đo đơn vị độ (o ) Có ba hệ thống đo lường nhiệt độ: nhiệt độ C(Celsius), nhiệt độ K (Kelvin) nhiệt độ F (Farenheit) Các hệ thống nhiệt độ chuyển đổi sau: 1K = 1o C, K =o C + 273, o F =o C ì 1, + 32 ã Vo năm 1742, nhà thiên văn học người Thụy Điển Anders Celsius đề xuất thang nhiệt độ, băng tan Oo nước sôi 100o Người ta gọi thang nhiệt độ thang bách phân có 100 độ chia hai điểm cố định nói Nhiệt độ thang độ o C Nhược điểm thang nhiệt Celsius nhiệt độ thấp nhiệt độ đóng băng lý thuyết nước có giá trị âm • Độ Fahrenheit nghĩ vào đầu Thế kỷ XVIII Trên thang đo này, điểm băng 32o điểm nước 212o Thang đo Farenheit sử dụng tin thời tiết Mĩ, khoa học thuộc lịch sử • Vào năm 1846, William Thomson (sau huân tước Kelvin, nước Anh) đề xuất thang đo nhiệt độ bắt đầu nhiệt độ thấp có lý thuyết, độ không tuyêt đối Thang đo nhiệt gọi nhiệt giai tuyệt đối, hay nhiệt giai Kelvin Các độ chia thang đo gọi Kelvin ký hiệu K (không phải o K ) Một độ chia Kelvin cỡ với độ chia Celsius, tức K =o C 1.2 1.2.1 Nhiệt năng-Nhiệt lượng Nhiệt Nhiệt năng, hay gọi nhiệt, dạng lượng dự trữ vật chất nhờ vào chuyển động hỗn loạn hạt vật chất cấu tạo nên vật Trong vật chất, phân tử chuyển động hỗn loạn khơng ngừng, chúng có động Động bao gồm động chuyển động khối tâm phân tử, cộng với động dao động nguyên tử cấu tạo nên phân tử quanh khối tâm chúng Nhiệt có quan hệ chặt chẽ với nhiệt độ Nhiệt độ vật cao phân tử cấu tạo nên vật chuyển động nhanh, nên nhiệt vật lớn Nhiệt trao đổi vật, hay hệ thống khác biệt nhiệt độ Nhiệt giống công, gắn liền với q trình biến đổi Vì coi nhiệt đại lượng trình, khác với đại lượng trạng thái 1.2.2 Nhiệt lượng Nhiệt tạo thay đổi Lượng nhiệt dự trữ hay chuyển tải vật gọi nhiệt lượng thường ký hiệu tính tốn chữ Q Nhiệt lượng truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp Giả sử vật đồng chất có nhiệt độ To , hấp thụ nhiệt, nhiệt độ vật T Thay đổi nhiệt độ vật ∆T = T − To Nếu khối lượng vật m(kg), nhiệt dung riêng chất làm vật c(J/kgK) Khi vật hấp thụ nhiệt lượng là: Q = cm∆T (J) (1.1) Dạng vi phân nhiệt lượng dQ = cmdT (1.2) 60 Chứng minh Ta có fˆ bị chặn ∞ fˆ (λ) ≤ |f (x)| dx −∞ Trường hợp f hàm đặc trưng [a, b] b fˆ (λ) = √ 2π e−iλa − e−iλb , e−iλx dx = √ iλ 2π a hàm liên tục tiến |λ| → ∞ Nếu f hàm bậc thang f tổ hợp tuyến tính hàm đặc trưng Từ đó, tính tuyến tính phép biến đổi Fourier, ta có fˆ liên tục tiến |λ| → ∞ Sau cùng, f ∈ L1 (R), tập hợp hàm bậc thang trù mật L1 (R), ta tìm dãy hàm bậc thang fˆn n=1,2, hội tụ L1 (R) f Sử dụng tính chất (4), dãy fˆn n=1,2, hội tụ f R, suy fˆ liên tục tiến |λ| → ∞ Tính chất 4.4 Cho f ∈ L1 (R) thỏa mãn tính chấtf ∈ L1 (R) f liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn Khi f ∧ = −iλfˆ Chứng minh Vì f liên tục tuyệt đối khoảng hữu hạn nên ∞ f (x) = f (0) + f (t) dt Hơn nữa, f ∈ L1 (R) nên vế phải đẳng thức có giới hạn x → ±∞ Ngồi giới hạn phải f ∈ L1 (R) Vậy ∞ ∧ f (λ) = √ 2π ∞ f (x) eiλx dx = √ 2π ∞ ∞ ∞  = √ eiλx f (x)|∞ −∞ − iλ 2π −∞ = −iλfˆ (λ) eiλx df (x)  f (x) eiλx dx 61 Tính chất 4.5 Với f, g ∈ L1 (R) Tích chập hai hàm f g xác định theo công thức ∞ (f ∗ g) (x) = f (x − t) g (t) dt −∞ Khi đó, ta có (f ∗ g)∧ = 2π fˆ.ˆ g Chứng minh Theo định lý Fubini ∞ ∞ (f ∗ g) (x) eiλx dx = ∞  ∞ f (t) g (x − t) dt eiλx dx  −∞ ∞ =  −∞  ∞ f (t)  −∞ ∞ = g (x − t) eiλx dx dt −∞ ∞  f (t)  −∞   g (u) eiλu du eiλt dt −∞ = 2π fˆ (λ) gˆ (λ) Định lý 4.2 (Định lý Plancherel) Nếu u ∈ L1 (R) ∩ L2 (R), uˆ, u˘ ∈ L2 (R) ||ˆ u||2 = ||˘ u||2 = ||u||2 4.1.3 (4.4) Biến đổi Fourier L2 (R) Đối với hàm f ∈ L1 (R), nghĩa ∞ |f (x)|dx < ∞ −∞ biến đổi Fourier F [f ] xác định theo cơng thức (4.1) Nếu f ∈ L2 (R) tích phân (4.1) khơng hội tụ Trong mục trình bày định nghĩa biến đổi Fourier hàm thuộc L2 (R) 62 Định nghĩa 4.3 Giả sử f ∈ L2 (R) Xấp xỉ hàm f dãy hàm {fk }, cho fk ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) ||fk − f ||L2 → 0, k → +∞ Khi đó, theo Định lý 4.2, ||fˆk − fˆj ||L2 = ||fk − fj ||L2 → 0, k, j → +∞ Do đó, {fˆk } dãy Cauchy không gian L2 (R) (đầy đủ), hội tụ đến g ∈ L2 (R) Ta định nghĩa F [f ] = g, fˆ = g Biến đổi Fourier ngược định nghĩa hoàn tồn tương tự Một số tính chất biến đổi Fourier L2 • Đẳng thức Parseval ∞ ∞ u(x)v(x)dx = ∞ uˆ(ξ)ˆ v (ξ)dξ, ∀u, v ∈ L2 (R) ∞ • Biến đổi Fourier đạo hàm ∂xαkk u(ξ) = (−iξk )αk uˆ(ξ) • Biến đổi Fourier tích chập u ∗ v(ξ) = (2π)1/2 uˆ(ξ) • Biến đổi Fourier ngược biến đổi Fourier u˘ˆ = u 4.2 Tính nghiệm phương truyền nhiệt dài vơ hạn Bài tốn truyền nhiệt dài vô hạn đồng chất, bề mặt cách nhiệt với mơi trường bên ngồi mặt tốn học phát biểu sau: 63 0, −∞ < x < ∞), thõa mãn phương trình Tìm hàm bị chặn u(x, t) (t ∂ 2u ∂u = a2 ∂t ∂x (t > 0, −∞ < x < ∞) (4.5) (−∞ < x < ∞) (4.6) điều kiện ban đầu u t=0 = ϕ(x) ϕ(x) hàm liên tục bị chặn Chúng ta tính nghiệm toán (4.5) - (4.6) Định lý 4.3 Bài tốn Cauchy (4.5) - (4.6) khơng thể có nhiều nghiệm bị chặn Chứng minh Giả sử |u(x, t)| M 0, −∞ < x < ∞) (t Giả sử u1 , u2 hai nghiệm tốn Khi w(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t) thỏa mãn phương trình (4.5) điều kiện w t=0 = 0, |w(x, t)| |u1 (x, t)| + |u2 (x, t)| 2M Chúng ta vận dụng nguyên lý cực trị miền vô hạn (t 0, −∞ < x < ∞) hàm w(x, t) khơng đạt cực trị đâu Để vận dụng nguyên lý cực trị cho miền vô hạn, ta xét miền hữu hạn sau đây: |x| L, xét hàm số v(x, t) = t (4.7) T 4M x2 + a2 t L2 Dễ thấy v(x, t) nghiệm phương trình (4.5), ngồi v(x, 0) v(±L, t) w(x, 0) = 2M |w(±L, t)| Vận dụng nguyên lý cực trị cho hàm v(x, t) ± w(x, t) miền (4.7), ta có v(x, t) − w(x, t) 0, v(x, t) + w(x, t) suy −v(x, t) w(x, t) v(x, t), 0, 64 |w(x, t)| v(x, t) = 4M x2 + a2 t L2 Cố định (x, t) cho L → ∞, ta có kết w(x, t) ≡ Định lý (4.3) chứng minh 4.3 4.3.1 Bài toán Cauchy cho phương truyền nhiệt dài vô hạn Công thức Poisson Trong mục 4.2, ta chứng minh tính nghiệm phương trình truyền nhiệt dài vô hạn thông qua Định lý 4.3 cách vận dụng nguyên lý cực trị để xét miền hữu hạn tương ứng Trong mục này, ta sử dụng phương pháp biến đổi Fourier để chứng minh Định lý 4.3 đưa cơng thức nghiệm tốn cơng thức Poisson Chứng minh Sử dụng phương pháp biến đổi Fourier theo biến số x hai vế phương trình (4.5), ta phương trình vi phân thường theo biến t: Ut (λ, t) = −a2 λ2 U (λ, t), U (λ, t) = Fx [u(x, t)](λ) Từ ta tìm 2 U (λ, t) = A(λ)e−a λ t (4.8) , A(λ) hàm Lấy biến đổi Fourier ngược hai vế (4.8), ta ∞ u(x, t) = 2π 2 A(λ)e−a λ t ixλ e dλ −∞ Trong (4.9) cho t = 0, sử dụng (4.6), ta có ∞ ϕ(x) = u(x, 0) = 2π A(ξ)eixξ dλ −∞ (4.9) 65 Từ suy ∞ ϕ(ξ)e−iξλ dξ A(λ) = (4.10) −∞ Thay (4.10) vào (4.9), ta ∞ ∞ u(x, t) = 2π 2 ϕ(ξ)e−iλξ dξ e−a −∞ λ t ixλ e dλ −∞ Để thuận tiện biến đổi biểu thức dạng: ∞ u(x, t) = 2π ∞ −∞ ∞ = 2 ϕ(ξ)e−a dλ π λ t cos λ(ξ − x) dξ −∞ ∞ 2 ϕ(ξ)e−a dλ λ t cos λ(ξ − x) dξ −∞ Đổi thứ tự lấy tích phân vế phải biểu thức ta có ∞ u(x, t) = π ∞ 2 e−a ϕ(ξ) dξ −∞ λ t cos λ(ξ − x) dλ (4.11) Tích phân bên vế phải (4.11) tính Thật vậy, đổi biến √ dz ξ−x aλ t = z, λ(ξ − x) = µz, dλ = √ , µ = √ a t a t Vì ∞ ∞ 2 e−a λ t cos λ(ξ − x) dξ = √ a t e−z cos µz dz = √ J(µ) a t Lấy đạo hàm J(µ) theo µ, ta ∞ e−z z sin µz dz J (µ) = − Việc lấy đạo hàm hồn tồn phép tích phân hội tụ Tích phân phần, ta ∞ µ J (µ) = − 2 µ e−z cos µz dz = − J(µ) 66 Suy µ2 J(µ) = Ce − Ta có ∞ √ −z C = J(0) = e dz = π Do µ2 π − e J(µ) = √ Thay giá trị vào (4.11), ta (ξ − x)2 4a2 t dξ ϕ(ξ)e ∞ u(x, t) = √ 2a tπ − (4.12) −∞ Công thức (4.12) gọi cơng thức Poisson, cịn hàm E(x, t) = √ 2a πt (ξ − x)2 4a2 t e − gọi nghiệm phương trình truyền nhiệt (4.5) Tiếp theo, chứng minh với hàm liên tục bị chặn ϕ(x), hàm u(x, t) xác định theo công thức (4.12) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt (4.5) với điều kiện đầu (4.6) Để chứng minh, ta cần chứng tỏ tích phân (4.12) tích phân nhận cách đạo hàm hình thức dấu tích phân hội tụ hình chữ nhật [−l ≤ x ≤ l, t0 ≤ t ≤ T ], t0 > Thật vậy, đạo hàm (4.12) theo t theo x số lần, ta nhận tổng tích phân dạng ∞ I= k t (ξ − x)2 4a2 t dξ ϕ(ξ)(ξ − x)m e − (4.13) −∞ Trong (4.13) thực đổi biến α= ta I = (2a) m+1 ξ−x √ , (t > 0), 2a t m+1 −k t ∞ −∞ √ ϕ(x + 2aα t)αm e−α dα (4.14) 67 Dễ thấy tích phân hội tụ t ≥ t0 > 0, √ 2 |ϕ(x + 2aα t)e−α αm | ≤ M |α|m e−α hàm khả tích (−∞, ∞) Vì hàm dấu tích phân (4.12) nghiệm E(x, t) phương trình truyền nhiệt, nên hàm u(x, t) xác định tích phân(4.12) thỏa mãn phương trình (4.5) Chúng ta chứng tỏ hàm (4.12) thỏa mãn (4.6) theo nghĩa lim u(x, t) = ϕ(x), −∞ < x < ∞ t→0+ Bằng phép đổi biến (4.14) ta biến đổi (4.12) dạng ∞ u(x, t) = √ π √ ϕ(x + 2aα t)e−α dα (4.15) −∞ Ta có ∞ |u(x, t)| ≤ √ π ∞ √ |ϕ(x + 2aα t)|e−α M dα ≤ √ π −∞ e−α dα = M −∞ Vì ∞ 1= √ π e−α dα (4.16) −∞ Nhân hai vế (4.16) với ϕ(x), trừ theo vế (4.15) cho đẳng thức nói ta ∞ u(x, t) − ϕ(x) = √ π √ [ϕ(x + 2aα t) − ϕ(x)]e−α dα (4.17) −∞ Do tính bị chặn ϕ(x), ta có √ |ϕ(x + 2aα t) − ϕ(x)| ≤ 2M, ∀(x, t) Giả sử ε số dương nhỏ tùy ý Ta tìm số N đủ lớn, cho −N 2M √ π ∞ e−α −∞ ε 2M dα ≤ , √ π ε e−α dα ≤ N (4.18) 68 Do tính liên tục ϕ(x) nên với t đủ nhỏ (t → 0) |α| ≤ N , √ ε |ϕ(x + 2aα t) − ϕ(x)| < (4.19) Từ (4.17)-(4.19), suy N 2ε ε + √ |u(x, t) − ϕ(x)| < 3 π e−α dα < 2ε ε + =ε 3 −N với t > đủ nhỏ Từ suy điều phải chứng minh Vì tốn (4.5)-(4.6) theo định lý (4.3) khơng thể có q nghiệm bị chặn, nên tích phân (4.12) cho cơng thức nghiệm toán Như chứng minh định lý sau: Định lý 4.4 Nếu ϕ(x) hàm liên tục bị chặn (−∞, ∞), tốn (4.5)(4.6) lớp hàm bị chặn có nghiệm nghiệm cho công thức ∞ u(x, t) = √ 2a tπ (ξ − x)2 4a2 t dξ ϕ(ξ)e − (4.20) −∞ Công thức (4.20) gọi công thức Poisson phương trình truyền nhiệt 4.3.2 Nghiệm phương trình truyền nhiệt Ta ký hiệu   −x2 /4a2 t , e E(x, t) = (4πa2 t)1/2 0, t < Hàm E(x, t) có tính chất sau Et − a2 Exx = 0, x ∈ R, t > E(x, t) > với x ∈ R, t > E(x, t) ∈ C ∞ (R × (0, +∞)) E(x, t)dx = với t > R t > 0, (4.21) 69 Hàm E(x, t) gọi hàm phương trình truyền nhiệt (4.5) Ngồi nghiệm u(x, t) tốn Cauchy (4.5)-(4.6) xác định theo công thức (xem công thức (4.20)) E(x − y, t)ϕ(y)dy u(x, t) = (4.22) R 4.4 Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng Xét tốn khơng ut − a2 uxx = f (x, t), u(x, 0) = φ(x) x ∈ R, t > 0, (4.23) Trong mục trước biết rằng, nghiệm toán cho phương trình ut − a2 uxx = 0, u(x, 0) = φ(x) x ∈ R, t > 0, (4.24) cho công thức (4.22) Nghĩa là, có tốn tử giải E(x − y, t)φ(y)dy S(t)φ(x) = R Do đó, theo nguyên lý Duhamel, nghiệm tốn khơng (4.23) cho cơng thức t S(t − s)f (x, s)ds, u(x, t) = S(T )Φ(x) + t E(x − y, t)φ(y)dy + = E(x − y, t − s)f (y, s)dyds, R (4.25) R E(x, t) nghiệm phương trình truyền nhiệt, xác định công thức (4.21) Ký hiệu u = uh + up , E(x − y, t)φ(y)dy, uh (x, t) = (4.26) R t E(x − y, t − s)f (y, s)dyds up (x, t) = R (4.27) 70 Nhận xét rằng, uh (x, t) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt với điều kiện ban đầu không nhất, cịn hàm up (x, t) thỏa mãn phương trình truyền nhiệt khơng với điều kiện ban đầu Định lý 4.5 Giả sử f ∈ C12 (R × (0, ∞)) (nghĩa f hàm hai lần khả vi liên tục theo biến không gian x lần khả vi liên tục theo biến thời gian t) có giá compcat Ký hiệu v = up (4.27) Khi v ∈ C12 (R × (0, ∞)) (4.28) vt (x, t) − a2 vxx (x, t) = f (x, t) với x ∈ R, t > 0, (4.29) với xo ∈ R lim v(xo , t) = 0, t→+0 (4.30) Chứng minh Vì nghiệm E có kỳ dị (0, 0), khơng thể chuyển qua giới hạn dấu tích phân suy rộng Thực đổi biến y˜ = x − y, s˜ = t − s, ta có t t E(x − y, t − s)f (y, s)dyds = E(˜ y , s˜)f (x − y˜, t − s˜)d˜ y d˜ s R R Để đơn giản công thức y˜ s˜ viết x, y tương ứng Ta có t t E(y, s)f (x − y, t − s)dyds = ∂t E(y, s)∂t f (x − y, t − s)dyds R R E(y, s)f (x − y, 0)dy + R t t E(y, s)f (x − y, t − s)dyds = ∂xx E(y, s)∂xx f (x − y, t − s)dyds R R Do v(x, t) ∈ C12 (R × (0, ∞)) Chúng ta cần tính vt − a2 vxx Sử dụng cách đổi biến trên, ta có t [∂t − a2 ∂xx ] E(x − y, t − s)f (y, s)dyds R t E(y, s)[∂t − a2 ∂xx ]f (x − y, t − s)dyds + = t R E(y, s)f (x − y, 0)dy R E(y, s)[−∂s − a2 ∂yy ]f (x − y, t − s)dyds + = R E(y, s)f (x − y, 0)dy R 71 Bây lấy tích phân phần để sử dụng tính chất E(y, s) nghiệm phương Tuy nhiện, E(y, s) lại có kỳ dị s = Để khắc phục điều ta phân tích phân [0, t] thành tổng tích phân [0, ε] [ε, t] Ta có t E(y, s)[−∂s − a2 ∂yy ]f (x − y, t − s)dyds [∂t − a ∂xx ]v = ε R ε E(y, s)[−∂s − a2 ∂yy ]f (x − y, t − s)dyds + R E(y, s)f (x − y, 0)dy = Iε + Jε + K + R Trước hết, xét Jε Ta có ε E(y, s)[−∂s − a2 ∂yy ]f (x − y, t − s)dyds |Jε | = R ε ||ft ||L∞ + a2 ||fxx ||L∞ E(y, s)dyds εC R E(y, t)dy = Cε R Đối với Iε , sử dụng giả thiết f có giá compact, tích phân phần sau t E(y, s)[−∂s − a2 ∂yy ]f (x − y, t − s)dyds ε R t [∂s − a2 ∂yy ]E(y, s)f (x − y, t − s)dyds = ε R s=t E(y, s)f (x − y), t − s)dy − s=ε R =0+ E(y, ε)f (x − y), t − ε)dy − E(y, t)f (x − y, 0)dy R = E(y, ε)f (x − y), t − ε)dy − K Do Iε + K = E(y, ε)f (x − y), t − ε)dy Suy vt − a2 vxx = lim [Iε + Jε + K] ε→+0 72 E(y, ε)f (x − y, t − ε)dy = lim ε→+0 ε→+0 (4πa2 ε)1/2 e−y = lim /4a2 ε f (x − y, t − ε)dy = f (x, t), R sử dụng kỹ thuật kiểm tra thỏa mãn điều kiện biên chứng minh Định lý 4.3 Để chứng minh limt→+0 v(xo , t) = sử dụng đánh giá t |v(x, t)| = E(y, s)f (x − y, t − s)dyds R t ||f ||L∞ (R×[0,t] E(y, s)dyds Ct R Do t → +0, v(x, t) → 0, nghĩa hàm up (x, t) = v(x, t) nghiệm tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt không nhất, với điều kiện đầu Định lý chứng minh 73 Kết luận Luận văn trình bày đầy đủ hệ thống sở nhiệt hoc; phương trình truyền nhiệt cấp hai tuyến tính chiều khơng Trình bày tốn phương trình truyền nhiệt bao gồm: tốn Cauchy, toán biên Dirichlet, Neumann toán hỗn hợp khoảng hữu hạn Kết chủ yếu luận văn trình bày phương pháp tách biến giải tốn biên phương trình truyền nhiệt khoảng hữu hạn Cơ sở lý thuyết phương pháp bao gồm chuỗi Fourier toán Sturm-Liouville nội dung chương hai Chứng minh tính nghiệm nguyên lý cực trị cho phương trình truyền nhiệt Vận dụng biến đổi Fourier giải toán Cauchy cho phương trình khơng Đã giới thiệu công thức Poisson, công thức nghiệm Đã chứng minh định lý tính trơn nghiệm tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng Luận văn trình bày nhiều ví dụ minh họa cho vấn đề lý thuyết đề cập luận văn Luận văn làm tài liệu tham khảo phục vụ công việc giảng dạy học tập phương trình đạo hàm riêng trường đại học cao đẳng 74 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Ánh, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến đổi tích phân, NXB GD, Tp Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Qc gia Hà Nội [3] Trần Đức Vân (2000), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, Tập 1, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Mathew Jame Hancock (2006), The 1-D Heat Equation [5] Internet: thuvienvatly.com, alibook.vn/ebook/giaoduc, vi.wikipedia.org [6] Erwin Kreyszig (1999), Advanced Engineering Mathematics, 8th ed, Wiley [7] Tyn Myint-U and Lokenath Debnath (2007), Linear Partial Differential Equations for Scientists anf Enginners, Boston.Basel.Berlin ... đến phương trình truyền nhiệt phương pháp giải phương trình truyền nhiệt Mục đích luận văn Mục đích luận văn học tập, nghiên cứu sâu phương trình truyền nhiệt trình bày lý thuyết phương trình truyền. .. cực trị phương trình truyền nhiệt 3.2.1 Bài tốn Dirichlet cho phương trình truyền nhiệt 3.2.2 Nguyên lý cực trị phương trình truyền nhiệt 3.2.3 Một số... niệm nhiệt độ, nhiệt năng, nguyên lý nhiệt động lực học; giới thiệu Định luật Fourier dòng nhiệt, sở thành lập phương trình truyền nhiệt; trình bày tốn biên-giá trị ban đầu phương trình truyền nhiệt