Tối ưu véctơ tuyến tính và ứng dụng vào mô hình kinh tế

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN HOÀNG TUẤN ANH TỐI ƢU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG VÀO MƠ HÌNH KINH TẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN HOÀNG TUẤN ANH TỐI ƢU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG VÀO MƠ HÌNH KINH TẾ Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN VĂN QUÝ THÁI NGUYÊN – NĂM 2013 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN v Mở đầu Chƣơng 1: Một số khái niệm 1.1 Tập affine 1.2 Tập lồi 1.3 Tập lồi đa diện 1.4 Nón pháp tuyến tập lồi đa diện 1.5 Tập số pháp tuyến 1.6 Nón pháp tuyến âm, số pháp tuyến âm 11 1.7 Kết luận 13 Chƣơng 2: Phƣơng pháp nón pháp tuyến giải tốn quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 14 2.1 Điểm hữu hiệu 14 2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 15 2.3 Thuật tốn nón pháp tuyến giải tốn quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 17 2.3.1 Diện hữu hiệu (t.ư., hữu hiệu yếu) 18 2.3.2 Lược đồ tính tốn 19 2.3.3 Thuật toán EFFI xác định diện hữu hiệu toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu 21 2.3.3.1 Xác định đỉnh hữu hiệu 22 2.3.3.2 Xác định đỉnh hữu hiệu cạnh hữu hiệu kề đỉnh hữu hiệu cho trước 23 2.3.3.3 Xác định diện hữu hiệu số chiều lớn kề đỉnh hữu hiệu cho trước 28 2.3.4 Thuật toán WEFFI xác định diện hữu hiệu yếu toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3.4.1 Tìm nghiệm hữu hiệu yếu 31 2.3.4.2 Xác định cạnh hữu hiệu yếu đỉnh hữu hiệu yếu kề đỉnh hữu hiệu yếu cho trước 31 2.5 Kết luận 33 Chƣơng 3: Tiếp cận tối ƣu véctơ vào mơ hình kinh tế Nash - Cournot 34 3.1 Giới thiệu mơ hình cân thị trƣờng Nash - Cournot 34 3.2 Tiếp cận tối ƣu vectơ với mơ hình Nash - Cournot 39 3.2.1 Mơ hình tối ưu vectơ Cournot 39 3.2.2 Tìm nghiệm hữu hiệu Pareto cho mơ hình 43 3.3 Kết luận 55 KẾT LUẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Tiến sĩ Nguyễn Văn Quý Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong q trình học tập làm luận văn, thơng qua giảng, tác giả quan tâm giúp đỡ Giáo sư công tác Viện Tốn học Việt Nam, thầy giáo Đại học Thái Ngun Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên tơi vượt qua khó khăn sống để tơi có điều kiên tốt nghiên cứu Tác giả Nguyễn Hồng Tuấn Anh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Từ xa xưa, xuất phát từ nhu cầu thực tế việc xây dựng, đo đạc diện tích đất trồng, biển, tính tốn bn bán,… người quan tâm tới tốn tìm giá trị lớn (cực đại) hay nhỏ (cực tiểu), tức tìm phương án tốt để đạt mục tiêu mong muốn điều kiện hoàn cảnh Về mặt lý thuyết, tốn tối ưu đời từ sớm với đóng góp to lớn nhà toán học tiếng như: P Fermat (1601-1665), L Euler (17071783), P Dirichlet (1805-1859),… Nhưng phải đến năm 30 40 kỷ 20, Qui hoạch tốn học, hay cịn gọi Tốn tối ưu hình thành với tư cách lý thuyết độc lập với nghiên cứu khác nhau: Qui hoạch tuyến tính, tiếp Qui hoạch lồi, Qui hoạch toàn cục Lý thuyết điều khiển tối ưu Các môn phát triển mạnh mẽ ứng dụng rộng rãi để giải toán thực tế nảy sinh nhiều lĩnh vực sản xuất, kinh tế, kỹ thuật,…Nét đặc trưng môn qui việc tối ưu hàm mục tiêu điều kiện định, nhiên thực tế, lúc người ta phải theo đuổi nhiều mục tiêu khác Chẳng hạn sản xuất việc nâng cao suất lao động, người ta quan tâm tới đa dạng hóa sản phẩm, đảm bảo chất lượng hàng hóa, hạ giá thành sản phẩm,… Khi mua hàng, ta vừa muốn hàng rẻ, vừa muốn hàng đạt chất lượng cao, hình thức đẹp,… đó, qui hoạch đa mục tiêu (hay gọi tối ưu véctơ) cung cấp công cụ giúp giải vấn đề Một phận quan trọng qui hoạch đa mục tiêu qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu Đối tượng nghiên cứu lớp toán qui hoạch đa mục tiêu với hàm mục tiêu tuyến tính tập ràng buộc M  R n tập lồi đa diện Đây lớp tốn có ý nghĩa ứng dụng đặc biệt quan trọng thực tế Qui hoạch đa mục tiêu có nhiều ứng dụng, đặc biệt lý thuyết định, quản lý, công nghiệp, hành chính,… Mục đích tốn qui Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn hoạch tuyến tính đa mục tiêu tối ưu đồng thời nhiều hàm mục tiêu độc lập với miền chấp nhận khác rỗng M  R n Do không gian giá trị thứ tự toàn phần nên khái niệm nghiệm tối ưu thơng thường khơng cịn thích hợp Vì vậy, thay vào đó, với khái niệm thứ tự phần người ta đưa khái niệm nghiệm hữu hiệu Đây tảng tối ưu véctơ Việc xây dựng thuật toán xác định phần tồn tập nghiệm hữu hiệu tốn quan tâm nhiều tác giả như: Armand, Benson, Evans,… Các thuật toán đưa thường sử dụng phương pháp đơn hình đa mục tiêu, phương pháp tham số, phương pháp vơ hướng hóa ( xem [15], [16] tài liệu trích dẫn kèm theo) Sử dụng khái niệm nón pháp tuyến tập lồi đa diện, tác giả Đinh Thế Lục Nguyễn Thị Bạch Kim đưa phương pháp nón pháp tuyến để giải tốn tối ưu véctơ tuyến tính (xem [12],[13] ) Một ứng dụng tối ưu véctơ kinh tế tiếp cận tối ưu véctơ mơ hình kinh tế tiếng có nhiều ứng dụng thực tiễn mơ hình cân thị trường độc quyền tập đoàn Nash – Cournot (xem [7]) Luận văn gồm chương: Chương 1: Trình bày số khái niệm tập lồi đa diện Chương 2: Trình bày phương pháp nón pháp tuyến giải tốn quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Chương 3: Trình bày cách tiếp cận tối ưu véc tơ với mơ hình kinh tế Nash – cournot Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng Một số khái niệm Chương trình bày số kết giải tích lồi thường hay sử dụng lý thuyết tối ưu Nội dung chương chủ yếu dựa tài liệu [1], [3] [4] 1.1 Tập affine Định nghĩa 1.1 Đường thẳng qua điểm a, b  Rn tập hợp tất điểm x  R n có dạng: x   a  (1   )b,   R Định nghĩa 1.2 Tập hợp M Rn chứa đường thẳng qua điểm gọi tập affine Định nghĩa 1.3 Đoạn thẳng qua điểm a, b  R n kí hiệu [a,b] tập hợp có dạng: x  R n : x   a  (1   )b,    1 Định nghĩa 1.4 Cho tập hợp C Rn , tập affine nhỏ chứa C gọi bao affine C kí hiệu aff C Định nghĩa 1.5 Tập hợp tất điểm x  ( x1, x2 , , xn )  Rn thỏa mãn bất phương trình tuyến tính: a, x   , a  R n \ 0 ,   R gọi nửa khơng gian đóng Nửa không gian cho bởi: a, x   , a  R n \ 0 ,   R gọi nửa không gian mở 1.2 Tập lồi Định nghĩa 1.6 Một tập M không gian Rn gọi tập lồi thỏa mãn điều kiện: a, b  M ,  0,1 x  a  1    b  M Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Từ định nghĩa dễ dàng nhận thấy, M tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm n n i 1 i 1 n n Định nghĩa 1.7 Cho x , x , , x  R Nếu x   i xi , i  0,  i  x gọi tổ hợp lồi x1 , x , , x n Mệnh đề 1 Tập M  R n lồi chứa tất tổ hợp lồi phần tử thuộc M Định nghĩa 1.8 Tập M  Rn gọi nón với đỉnh nếu: x  M ,   thì: x  a   ( x  a)  M Nếu M nón có đỉnh a M lại tập lồi M gọi nón lồi Định lý 1.1 Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với số phép lấy tổ hợp tuyến tính Nói cách khác, A B tập lồi Rn tập sau lồi: (i) A  B : x : x  A, x  B (ii)  A   B : x  a   b : a  A, b  B,  ,   R Một cách tổng quát có: giao họ tập lồi tập lồi Định nghĩa 1.9 Giao tất tập lồi chứa tập S  Rn gọi bao lồi tập S kí hiệu convS Định lý 1.2 Bao lồi tập S  Rn chứa tất tổ hợp lồi phần tử 1.3 Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.10 Một tập lồi đa diện Rn giao số hữu hạn nửa không gian đóng Nói cách khác, tập lồi đa diện M tập nghiệm hệ hữu hạn bất đẳng thức tuyến tính: a i , x  bi , i  1, , m Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn a1 , , a m vectơ hàng n-chiều, x vectơ cột n-chiều b1 , , bm số thực Định nghĩa 1.11 (i) Một tập lồi khác rỗng F  M gọi diện M đoạn thẳng nằm M có điểm tương đối x  F nằm trọn F Nghĩa là: x  F , x   y  1    z,    1, y, z  M  y  F , z  F (ii) Số chiều (hay thứ nguyên) diện F, ký hiệu dimF, định nghĩa số chiều đa tạp tuyến tính nhỏ chứa (iii) Diện - chiều gọi đỉnh (iv) Diện 1- chiều gọi cạnh Một đỉnh (hay cạnh) diện M đỉnh (hay cạnh) M Mệnh đề 1.2 Tập khác rỗng F  M diện M tồn tập số I  1, , m cho F tập nghiệm hệ: , x  bi , i  I (1.2) a , x  b j , j 1, , m \ I , i   đồng thời ta có: dim F  n  rank : i  I Ở đây, rank a i : i  I  số vectơ độc lập tuyến tính cực đại   vectơ : i  I Định nghĩa 1.12 Nón lùi xa tập lồi đa diện P ký hiệu định nghĩa bởi: Re cP : v  R n : x  tv  M với x  M t   Mệnh đề 1.3 i) Nón lùi xa RecM tập lồi đa diện M tập nghiệm hệ , x  0, i  1, , m; (1.3) ii) Re cM  0 M bị chặn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Với x(t)D(t), đặt: J  ( x(t )) : J active R ( x(t )) \ {jx(t)}; J  ( x(t )) : J active L ( x(t )) \ {jx(t)} Dưới định lý suy trực tiếp từ kết quen thuộc lý thuyết quy hoạch tuyến tính Định lý 3.2 Với t 0 cố định, có điểm tối ưu hóa x*(t) cho tốn (LSVP(t)), x*(t) V(D(t)) Để xây dựng tiêu chuẩn tối ưu cho x(t)V(D(t)), định nghĩa :  j (t ) : c jx ( t ) (t )  c j (t ) ( j  1, , n, j  jx (t ) ) (3.10) c j (t ) :  j ( jt   j   j ), j  1, , n Định lý 3.3 Giả sử t  cố định Nếu x*(t) V(D(t)) thỏa mãn điều kiện sau:  j (t )  0, j  J  ( x(t )),     j (t )  0, j  J ( x(t )) x* nghiệm tối ưu cho toán (LSVP(t)) Chứng minh Vì n n x ( t )  x ( t ) t ,   i  i i  * i nên có: * x  x ( t ) ( b  x ( t ) )  x ( t )  j j i i i * * x ( t ) x ( t )  * i  J ( x ( t ) )  * i  J ( x ( t ) )  Với định nghĩa hàm F ( , t , x) (3.10) * F ( , t , x ( x ) )  F ( , t , x ( t ) )   ( b  x ( t ) )   x ( t )   i i i i i  * i  J ( x ( t ) )  * i  J ( x ( t ) ) Rõ ràng là: * bx t )  ,  i  Jx (( t ) ) , i i( * x t )  ,  i  Jx (( t ) ) i( Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Vì từ giả thiết ta có:   * F ( , t , x ( t ) )(  F , t , x ( t ) ) ,(  x tD )(  t ) , □ có nghĩa x*(t) nghiệm tối ưu cho toán (LSVP) Từ định nghĩa trên, với t  cố định số  j  n xi(t) = xi(t) = bi, i  1, , n, i  j j gọi số x(t) Với  j  n cố định, định nghĩa tập:  j n  V :  { x  ( x , , x , xx , , )  R } ,  j j  11 j  n đó: xi 0, bi  (1  i  j  p), xi  ( p   i  j  n) Với x - j V j , định nghĩa vectơ x j (t ) Rn tương ứng, mà  xi j ,  i  j  1;  n  xij (t )  t   k  j xk j , i  j;  j j   i  n  xi , (3.11) Rõ ràng, với t  cố định, x j (t )  D(t ) x j (t ) V ( D(t )) Vì vậy, với x  j V j , đặt:  j T ( x ) :  t  :( x t )  D ( t )   , T * ( x j ) : {t T ( x j ): x j (t) nghiệm tối ưu cho toán (LSVP(t))} V*j : {x  j V j : T * ( x  j )  } Chú ý rằng, tập T ( x j ), T * ( x j ) V*j tập rỗng Từ mệnh đề 3.1, dễ dàng chứng minh tồn số sở j 1, , n mà V*j   Giả sử V*j   ( j 1, , n cố định) với x j V*j cố định, định nghĩa toán phụ với biến t: j f x : min{F( , t , x j (t )) : t  T * ( x  j )} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.12) http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 3.2 Với số  j  n mà V*j   , giả sử thỏa mãn hai điều kiện sau: (i ) j  (ii )  n i j i i   j (  j   j )  Thì tốn phụ (3.12) có nghiệm tối ưu Chứng minh Theo (3.11) xij (t )  xij (t )  bi , i  1, , n, i  j (3.13) j x ( t )  t x t ) :  t   i( (3.14) n j j i  j Theo (3.13)  khơng phụ thuộc vào biến t Từ cơng thức tốn (LSVP) (3.14), tính tốn trực tiếp ta có: F ( , t , x(t ))   j (  jt   j   j ) x j (t )   i  j i ( i  i   i ) xi n        t  [  (  ) ] t + ,  j j j j i  jii n đó: n   [i ( i   i )   j (  j   j )]xi i j Chú ý theo (3.13)  độc lập với t Vì F ( , t , x (t )) thể hàm t Mặt khác, dễ dàng thấy T * ( x j ) khoảng đóng R n Vì theo định nghĩa T * ( x j ) ta thừa nhận tối thiểu điểm t T *( x j ) □ Rõ ràng, t x j nghiệm tối ưu cho tốn phụ (3.12) x j (t x  j ) nghiệm tối ưu Bài toán (LSVP( t x j )) với giá trị tối thiểu f x j Với  j  n cố định, ta đặt: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn  j  j * fj:m  i n { fx : x  V }  j giả sử giá trị tối thiểu đạt x* j với t *j tương ứng nghiệm tối ưu cho toán phụ 3.12 Theo định nghĩa x  j (t *j ) nghiệm tối ưu tương ứng cho toán (LSVP(t)) Như thường lệ, lấy f j   V j*   Hệ 3.2 Đặt: f* :m i n {: fj  j n } Giả sử f *  f j0   (giá trị tối thiểu đạt j  j0 ) x* t *j0 nghiệm j  tối ưu tương ứng cho tốn (LSVP( t *j0 )) Khi t *j0 , x* nghiệm tối ưu toàn cầu cho toán (LSVP) x* j j0 t  * j0  t  nghiệm tối ưu * j0 tồn cục cho tốn vơ hướng hóa (SVP) Chứng minh: Với t  cố định, giả sử x(t) nghiệm tối ưu cho tốn tuyến tính (LSVP(t)) giả sử f t tương ứng giá trị tối ưu Theo định nghĩa, tồn số mũ jt (1  jt  n) mà jt số x(t ) Rõ ràng x  jt (t ) V*jt f t  f jt  f *  f j0 (3.15) Giả sử f * biểu diễn giá trị tối thiểu toán (LSVP) Theo cơng thức tốn (LSVP), tốn (LSVP(t)) (3.15), có: f  m i n ft: t  fj0 * j0 Mặt khác, (t *j0 , x* (t *j0 )) nghiệm chấp nhận tốn (LSVP) nên có: f j0  f* j0 j0 Do đó, (t *j0 , x* (t *j0 )) nghiệm tối ưu tốn (LSVP) x* nghiệm tối ưu cho toán (SVP) Điều phải chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn □ Giờ mơ tả chi tiết thuật tốn: Thuật tốn 3.1 Đặt j : 1; f * : ; x* : Bƣớc lặp j: Đặt f j : ; x* : j Bước Chọn véctơ x  j   x1 , , x j 1 , x j 1 , , xn  V j , đó:  xi  hoac xi  bi (i  1, , p, i  j ),   xi  0(i  p  1, , n, i  j ), (3.16) * j Bước 2: Tính tốn tập T (x ) việc giải bất phương trình sau theo ẩn số t : 0  x j  t   b j nêu  j  p,   x j  t   nêu p   j  n,   k  t  : c j  t   ck  t   0, k  1, , n, k  j , xk  0,  k  t  : c j  t   ck  t   0, k  1, , p, k  j , xk  bk ,  (3.17)    t  t   ,  i  , , n  t x c     xt  i i i i j i j ivà i Bước Nếu T *  x  j    gán V j : V j \ {x  j } đến Bước Trái   j lại, tính tốn f x , t x j , x j t x j nhờ giải toán phụ 3.12 tương ứng với x  j  V j j Bước Nếu f j  f x thì: j f j : f x ; t*j : tx j ; x* : x j (tx j ); j gán V j : V j \ {x  j } Trái lại gán V j : V j \ {x  j } Bước Nếu V j   quay lại Bước Trái lại, kiểm tra f *  f i * *  x cập nhật f*:fi,x j Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bước Tăng j : j  Nếu j  n quay lại phép lặp j Rõ ràng Thuật tốn 3.1 kết thúc x* , f * nghiệm tối ưu cho toán (LSVP) Từ cách miêu tả nội dung thuật toán thấy hiệu Thuật toán 3.1 phụ thuộc vào số phần tử x  j V j Con số đạt tối đa p1 với j  1, , p p j  p  1, , n Vì vậy, Thuật tốn 3.1 hiệu p (số lượng hàng mà lượng hàng hóa có giới hạn) khơng q lớn Quan sát gợi ý lập thêm thuật toán nới lỏng cho phép tránh việc tính tốn với tất phần tử V j Giả sử S tập (có thể tập rỗng) {1,…,p} Chúng ta xét toán nới lỏng sau: n min{F ( , t , x) :  i  it  i   i x i } (LSVP1) i 1 x1  x2   xn t; 0 x b , j S;  j j Với điều kiện  xj 0, j S;  t 0 Giả sử x* nghiệm tối ưu toán (LSVP1) Rõ ràng x* nghiệm chấp nhận cho tốn (LSVP) x* nghiệm tối ưu cho tốn (LSVP) Thuật tốn mơ tả sau: Thuật toán 3.2 Chọn tập S {1, ,p}, thơng thường lúc đầu lấy S :  Pha 1: Đặt C :  , sử dụng Thuật toán 3.1 để giải toán nới lỏng (LSVP1) để tìm nghiệm tối ưu x* Với tốn nới lỏng (3.18) Bước Thuật toán 3.1 trở thành:  xi  hoac xi  bi  i  S , i  j  ,   xi   i  S , i  j  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.18’) http://www.lrc-tnu.edu.vn Pha 2: Với  i  p, i  S , xi*  bi gán C : C  {i} Nếu C   gán S : S  C quay trở lại Pha Trái lại, C   hay x*  bi ,   i  p, i  S kết thúc thuật tốn Rõ ràng, Thuật toán 3.2 kết thúc sau số hữu hạn lần lặp trường hợp xấu kết thúc với S={1, 2, , p} Ví dụ 3.1: Xem xét mơ hình Cournot với hãng (n = 3) Hàm giá, hàm chi phí tập chiến lược cho hãng cho sau:  p x :   x  x  x , h x :  x , U :  [ , ] ;       1 1 1  p x :   x  x  x , h x :  x , U :  [ , ] ;        2 2 22  p x :   x  x  x , h x :  x , U :  [ ,   ) ;      3 3 33  Trong mơ hình này, số lượng hãng mà có mức sản lượng bị giới hạn (p=2) Giả sử ta lấy  :  500,200,300 véctơ có trọng lượng Trong  trường hợp này, Bài tốn (LSVP(t)) có dạng: m i n { F ( , t , x )  t  x  t  x  t  x }        x1  x  x3  t ;   x  30;  Với điều kiện   x  40; x    t  Bây mô tả cách giải chi tiết toán theo Thuật toán 3.2 Đặt S :  Pha 1: (Giải toán nới lỏng (LSVP1) với S :  Thuật toán 3.1) Trong  trường hợp này, Bài toán nới lỏng viết sau: m i n { F ( , t , x )  t  x  t  x  t  x }       x1x2x3t;  Với điều kiện x10,x2 0,x30; t0  Đặt: C :  ; j : 1; f *  ; x* :  0,0,0  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn *    ;x :(  ,0 ,0 ) Bƣớc lập j  Đặt f1: Bước 1: Chọn:  x  ,  V  ,        Bước 2: Tính: T *  x 1    0, 195 Bước 3: Tính:   f x  28125; t x1  75; x1 t x1   75,0,0  1 Bước 4: Tính:   f : f x  28125; t1* : t x1  75; x* : x1 t x1   75,0,0  ; 1 V1 : V1 \  x 1   Bước 5: Tính: f *  f  28125; x* : x*   75,0,0  Bước 6: Gán j : Bƣớc lặp j  : Đặt f : ; x* : (0,0,0) Bước 1: Chọn:  x  ,  V  ,        Bước 2: Tính: T*x2 Bước 3: Đặt -2 V  V x}  2: 2\{ Bước 5: Kiểm tra: V2   Bước 6: Đặt j : Bƣớc lặp j  Đặt f : ; x* : (0,0,0) Bước 1: Chọn:  x  ,  V  ,        Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bước 2: Tính: *  Tx ,     3 Bước 3: Tính:   f x  43875; t x3  195; x1 t x3   0,0,195 3 Bước 4: Tính:   f : f x  43875; t3* : t x3  195; x* : x1 t x3   0,0,195 ; 3 V3 : V3 \  x 3   Bước 5: Tính: f * : f  28125; x* : x*   75,0,0  Bước 6: Đặt j : Pha Cập nhật: C : 1; S : S  C  1 Thực Pha Pha 1: (Giải toán nới lỏng (LSVP1) với S : 1 Thuật toán 3.1.) Trong  trường hợp này, Bài tốn nới lỏng viết lại sau: m i n { F ( , t , x )  t  x  t  x  t  x }        x1  x2  x3  t 0  x  30  Với điều kiện   x2  0, x3   t  Đặt: C :  ; j : 1; f * : ; x* :  0,0,0  Bƣớc lặp j  Đặt f : ; x* : (0,0,0) Bước 1: Chọn:  x  ,  V  ,        Bước 2: Tính: T *  x 1    0, 30 Bước 3: Tính: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   f x  18000; t x1  30; x1 t x1   30,0,0 1 Bước 4: Tính:   f : f x  18000; t1* : t x1  30; x* : x1 t x1   30,0,0  ; 1 V1 : V1 \  x 1   Bước 5: Tính: f *  f  18000; x* : x*   30,0,0  Bước 6: Đặt j : Bƣớc lặp j  Đặt f : ; x* : (0, 0, 0) Bước 1: Chọn: x 21   0,0  V2   0,0  ;  0,30  Bước 2: Tính: T*x21 Bước 3: Đặt V2 : V2 \ {x -21}=  0, 30  Bước 5: Kiểm tra: V2   0,30  Quay trở lại Bước Bước 1: Chọn:  2 x  ,  V  ,        Bước 2: Tính: T*x22 Bước 3: Đặt 2 V :  V { x} =    2\ Bước 4: Kiểm tra: V2 :  Bước 5: Đặt j : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Bƣớc lặp j  Đặt f : ; x* : (0,0,0) Bước 1: Chọn:  x  ,  V  , , ,        Bước 2: Tính: *  Tx ,     31 Bước 3: Tính:   f x  43875; t x31  195; x31 t x31   0,0,195 31 Bước 4: Tính:   f : f x  43875; t3* : t x31  195; x* : x31 t x31   0,0,195  ; 31 V3 : V3 \  x 31   30,0  Bước 5: Kiểm tra V2   30,0    Quay trở lại Bước Bước 1: Chọn:  x  ,  V  ,        Bước 2: Tính: T *  x 32   30, 195 Bước 3: Tính: fx 32    19200; t x32  50; x 32 t x32   30, 0, 20  Bước 4: Tính: f : f x 32    19200; t3* : t x32  50; x* : x32 t x32   30,0,20  ; V3 : V3 \  x 32    Bước 5: Kiểm tra: V2 :  Cập nhật f * : f  19200; x* : x*   30,0,20  Bước 6: Đặt j : Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Pha Kiểm tra C   nên kết thúc Kết luận: x*   30,0,20  nghiệm tối ưu cho toán (SVP) mà nghiệm tối ưu (Pareto) mơ hình Từ tính tổng lợi nhuận hãng 44 3.3 Kết luận Bài tốn tìm nghiệm tối ưu Pareto cho mơ hình thị trường độc quyền tập đồn Nash - Cournot biến đổi thành toán qui hoạch tồn phương khơng lồi Sử dụng kỹ thuật qui hoạch tuyến tính tham số, phát triển thuật toán nới lỏng để giải toán Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn KẾT LUẬN Đề tài đề cập đến vấn đề sau:  Tập lồi đa diện R n  Nón pháp tuyến, nón pháp tuyến âm, âm yếu tập lồi đa diện R n  Điểm hữu hiệu, hữu hiệu yếu  Bài toán tối ưu véctơ  Phương pháp nón pháp tuyến giải tốn tối ưu véc tơ tuyến tính  Mơ hình kinh tế Nash – Cournot  Tiếp cận tối ưu véc tơ với mơ hình kinh tế Nash – Cournot  Phương pháp qui hoạch tuyến tính tham số tìm điểm tối ưu véc tơ cho mơ hình kinh tế Nash – Cournot Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt Phan Huy Khải – Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình phương pháp tối ưu, lý thuyết thuật toán, Nhà xuất Bách khoa – Hà Nội Nguyễn Thị Bạch Kim (2000), Phương pháp nón pháp tuyến tốn qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu, Luận án tiến sĩ toán học, Thư viện Quốc gia Việt Nam Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội Lê Quang Thủy (2011), Các phương pháp tối ưu véctơ ứng dụng, Luận án tiến sĩ toán học, Thư viện Quốc gia Việt Nam Tài liệu tiếng Anh Muu L D and Nguyen V Q., A Global Optimization method for solving convex quadratic bilevel programming problem., J of Global optimization 26 (2003) (199-299) Le D Muu, V H Nguyen, N V Quy, On Nash – Cournot Oligoplistic Market Equilibrium Models with Concave Cost funtions, J of Global Optimization 41(2007) 351 - 264 Nguyen Van Hien, An Introdution to Variational Inequality and Related Problems V H Nguyen (2003), Variatinal Inequalities Elementary and Beyond, Fundp Namur – Belgium 10 H.B Beson (1981), Complete efficiency and the initialization of algorithms for multiple objective programming Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 D T Luc (1989) Theory of Vector Optimization, Springer – Verlag, Berlin, Germany 12.N.T.B.Kim and D.T Luc(2000), Normal cones to a polyhedral convex set and generating efficient faces in linear multiobjective programming, Acta Math Vietnam 25(1),pp 101-124 13.N.T.B.Kim and D.T Luc, Normal cones method in solving linear multiobjective prblems , Tạp chí J Statis Math Systrem 14 Evans J.P Steuer, R.E.(1973), Generating effcient extreme points in linear mutiple ojective programming: Two algorithms and computing experence, Mutiple Criteria Decision Making J.L Coochrane and M Zeleny, Ed., Univ of South Carolina Press Columbia, pp 349 – 365 15 Steuer, R E (1986), Multiple critea optimization: Theory, Computation and Application, John Wiley and Sons, New York 16 H.B Beson (1981), Finding an initial affcient extreme point for a linear multiple objective program, J Oper Recear Soc., 32(6), pp 495 – 498 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... pháp nón pháp tuyến để giải tốn tối ưu véctơ tuyến tính (xem [12],[13] ) Một ứng dụng tối ưu véctơ kinh tế tiếp cận tối ưu véctơ mô hình kinh tế tiếng có nhiều ứng dụng thực tiễn mơ hình cân thị... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN HOÀNG TUẤN ANH TỐI ƢU VÉCTƠ TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG VÀO MƠ HÌNH KINH TẾ Chun ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... cận tối ƣu véctơ vào mơ hình kinh tế Nash - Cournot 34 3.1 Giới thiệu mơ hình cân thị trƣờng Nash - Cournot 34 3.2 Tiếp cận tối ƣu vectơ với mơ hình Nash - Cournot 39 3.2.1 Mơ hình tối ưu