Về mô hình kinh tế nash cournot

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————— ĐỖ HỒNG THÁI VỀ MƠ HÌNH KINH TẾ NASH - COURNOT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————— ĐỖ HỒNG THÁI VỀ MÔ HÌNH KINH TẾ NASH - COURNOT CHUN NGÀNH: TỐN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN QUÝ THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Chương 1.Bài toán cân toán liên quan 1.1.Một số khái niệm 1.2.Bài toán cân 11 1.3.Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp 15 1.4.Bài toán bất đẳng thức biến phân 18 1.5.Bài toán tối ưu hoá 20 1.6.Bài toán điểm bất động 23 Chương 2.Mô hình kinh tế Nash-Cournot 27 2.1.Mơ hình kinh tế Nash-Cournot 27 2.1.1 Phát biểu mơ hình 27 2.1.2 Mơ hình kinh tế Nash-Cournot với toán cân 28 2.2.Mơ hình kinh tế Nash-Cournot cho số trường hợp riêng 31 2.2.1 Hàm lợi nhuận có hệ số giảm giá hãng hàm chi phí tuyến tính 32 2.2.2 Hàm lợi nhuận có hệ số giảm giá hãng khác hàm chi phí tuyến tính 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3.Mơ hình cân kinh tế Nash-Cournot với hàm chi phí lõm 42 3.1.Mơ hình kinh tế Nash-Cournot với hàm chi phí lõm 42 3.2.Sự tồn nghiệm mơ hình 46 3.3.Một phương pháp phân rã giải mơ hình với hàm chi phí lõm tuyến tính khúc 49 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Văn Quý Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn tận tình suốt thời gian tác giả nghiên cứu hoàn thành luận văn Trong trình học tập chương trình cao học Đại học khoa học, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ giảng dạy tận tình GS Nguyễn Văn Mậu, GS Lê Dũng Mưu, GS Trần Vũ Thiệu, PGS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS Nông Quốc Chinh, PGS.Đỗ Văn Lưu, PGS Tạ Duy Phượng, TS Nguyễn Thị Thu Thuỷ, TS Vũ Mạnh Xuân, TS Vũ Vinh Quang, nhiều thầy, cô giáo công tác Viện Tốn Học Việt Nam, Viện Cơng Nghệ Thơng Tin, Trường đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới thầy, giáo Trường đại học khoa học- Đại học Thái Nguyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập nghiên cứu tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị, bạn học viên lớp cao học toán K3A (Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên), bạn bè, đồng nghiệp Đặc biệt cảm ơn bạn Trần Xuân Thiện giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2011 Tác giả Đỗ Hồng Thái Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Mơ hình cân thị trường độc quyền tập đoàn A Cournot đưa vào năm 1838 nhiều tác giả giới tập trung nghiên cứu Mơ hình mơ tả tốn cân Nash lý thuyết trị chơi khơng hợp tác gồm n người chơi Gần người ta quan tâm nhiều đến việc giải tốn ứng dụng vào thực tiễn sống đa dạng, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Một hướng nghiên cứu quan trọng mơ hình kinh tế Nash - Cournot việc xây dựng phương pháp giải mơ hình trường hợp cụ thể Nhiều tác giả giới gắn kết mơ hình kinh tế Nash – Cournot với toán quen thuộc như: toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, toán tối ưu, toán điểm bất động đưa phương pháp giải nhiều trường hợp cụ thể với giả thiết khác Nội dung luận văn trình bày cách khái quát tốn cân tốn có liên quan Sau mơ tả mơ hình kinh tế Nash - Cournot dạng toán cân đưa phương pháp giải mơ hình số trường hợp riêng Bản luận văn gồm chương • Chương Trình bày khái qt tốn cân tốn có liên quan toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, toán bất đẳng thức biến phân, tốn tối ưu hóa, tốn điểm bất động • Chương Giới thiệu mơ hình kinh tế Nash - Cournot việc đưa mơ hình kinh tế Nash - Cournot tốn cân mà cụ thể đưa mơ hình toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, sau nghiên cứu mơ hình trường hợp hàm lợi nhuận có hệ số giảm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn nhau, khác hàm chi phí tuyến tính • Chương Nghiên cứu mơ hình kinh tế Nash- Cournot trường hợp hàm chi phí lõm đưa phương pháp giải mơ hình trường hợp hàm chi phí lõm tuyến tính khúc Do thời gian thực luận văn có hạn, kiến thức tác giả hạn chế, sử dụng phần mềm soạn thảo text chưa thực thành thạo nên luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Tác giả mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 19 tháng 05 năm 2011 Tác giả Đỗ Hồng Thái Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Bài toán cân toán liên quan Trong chương này, sau đưa số khái niệm có liên qua đến nội dụng luận văn, giới thiệu số tốn có liên quan đến mơ hình kinh tế Nash - Cournot Đó toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, toán bất đẳng thức biến phân, toán tối ưu toán điểm bất động 1.1 Một số khái niệm Dưới ta trình bày số khái niệm bản, khái niệm có liên quan mật thiết với nội dung quan trọng chương Định nghĩa 1.1 (Hàm lồi, xem [10], định nghĩa 1.1.3) Cho W tập lồi, đóng, khác rỗng Rn , ϕ : W → R hàm Hàm ϕ gọi là: (i) Lồi W với cặp điểm u, v ∈ W ∀α ∈ [0, 1], ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) ≤ αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Lồi ngặt trên W với cặp điểm phân biệt u, v ∈ W ∀α ∈ (0, 1), ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) < αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v ) (iii) Lồi mạnh trên W với số r > với cặp điểm u, v ∈ W ∀α ∈ [0, 1], ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) ≤ αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v ) − 0, 5α(1 − α)r u − v (iv) Giả lồi W : với cặp u, v ∈ W ∀α ∈ [0; 1] ∇ϕ(v ), u − v ≥ ϕ(u) ≥ ϕ(v ) (v) Tựa lồi W với cặp u, v ∈ W ∀α ∈ [0, 1] ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) ≤ max {ϕ(u), ϕ(v )} (vi) Tựa lồi thực W ϕ tựa lồi W với cặp điểm phân biệt u, v ∈ W , ∀α ∈ (0, 1) ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) < max {ϕ(u), ϕ(v )} Định nghĩa 1.2 (Ánh xạ đơn điệu, xem [10], định nghĩa 1.1.1) Cho W tập lồi, đóng, khác rỗng Rn , Q : W → Rn ánh xạ, ánh xạ Q gọi là: (i) Đơn điệu W với cặp điểm u, v ∈ W , ta có: Q(u) − Q(v ), u − v ≥ (ii) Đơn điệu ngặt W với cặp điểm phân biệt u, v ∈ W ta có: Q(u) − Q(v ), u − v > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Mơ hình cân kinh tế Nash-Cournot với hàm chi phí lõm Trong chương tìm hiểu mơ hình kinh tế Nash- Cournot trường hợp hàm chi phí lõm, điều kiện có nghiệm mơ hình đồng thời đưa phương pháp giải mơ hình kinh tế Nash - Cournot trường hợp hàm chi phí lõm, tuyến tính khúc 3.1 Mơ hình kinh tế Nash-Cournot với hàm chi phí lõm Ở chương mô tả mô hình kinh tế Nash- Cournot trường hợp đặc biệt hàm chi phí hàm tuyến tính, đồng thời ta đưa phương pháp giải mơ hình trường hợp Tuy nhiên thực tế, sản lượng xi hãng i vượt qua giá trị hệ số chi phí đơn vị sản phẩm hãng giảm (sản xuất nhiều chi phí đơn vị sản phẩm giảm) Nói Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 cách xác hàm chi phí hi (i = 1, 2, , n) thường hàm lõm Chúng ta xét mơ hình kinh tế Nash- Cournot trường hợp sau: Giả thiết H3 : n pi (σ ) = αi −βi σ ≥ 0, αi ≥ 0, βi > 0, σ = xi , i=1 hi (xi ) hàm lõm (i = 1, 2, , n) Trong βi hệ số giảm giá sản lượng tăng Theo kết có chương 2, x điểm cân mơ hình nghiệm toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) Với giả thiết H3 h(x) = n i=1 hi (xi ), (i = 1, 2, , n) hàm lõm Do B ma trận đối xứng xác định dương nên xT Bx dạng toàn phương lồi mạnh và: ϕ(x) = xT Bx + h(x) hàm d.c (hiệu hàm lồi) Trong trường hợp này, nhìn chung tốn cân (EP) hay tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) khơng thể biến đổi tương đương toán tối ưu trường hợp affine trình bày chương Một dạng hàm chi phí hi sát với thực tiễn dạng hàm lõm tuyến tính khúc Một cách cụ thể, giả sử tập chiến lược hãng i(i = 1, 2, , n) Ui := η0i , ηni i phân hoạch thành ni đoạn: ≤ η0i < η1i < < ηni i < +∞ (ni ≥ 1) Trên đoạn nhỏ hi hàm affine, cụ thể có dạng sau:   ai0 xi + bio ηoi ≤ xi ≤ η1i     x + bi η1i ≤ xi ≤ η2i i hi (xi ) =      i ani −1 xi + bini −1 ηni i −1 ≤ xi ≤ ηni i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.1) http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 đó: < ai0 < ai1 < < aini < +∞; αi ≥ aij , ∀j = 0, , ni , i = 1, , n (3.2) Giả thiết tự nhiên lẽ trình bày trên, sản lượng xi hãng i vượt qua giá trị định hệ số chi phí biến đổi aij , ∀j = 0, , ni , i = 1, , n giảm Lưu ý ni = hi affine tồn đoạn Ui Một cách tổng quát hi (i = 1, 2, , n) đựơc viết dạng: aij x + bij hi (xi ) = 0≤j≤ni Dễ dàng kiểm tra thấy ni > (3.1) viết lại là: ni −1 hi (xi ) = ai0 xi +bi0 − max 0, aij−1 − aij xi − aij−1 − aij ηji (3.3) j=1 Với số thực α ∈ R hiển nhiên ta có: max {a, 0} = a + |a| Sử dụng điều kết hợp với (3.3) thu được: hi (xi ) = = ai0 − ni −1 aij−1 − aij xi +bi0 + ni −1 j=1 aij−1 − j=1 aij ηji − ni −1 aij−1 − aij j=1 ni −1 dij xi − ηji = δi + γi xi − (3.4) j=1 đó: δi = bi0 + ni −1 ni −1 aij−1 − aij j=1 dij xi − ηji > 0; = j=1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 xi − ηji λi = ai0 − ni −1 aij−1 − aij = j=1 dij = 2 ai0 + aini −1 > 0; (3.5) aij−1 − aij Từ (3.3), hàm ϕ xác định (2.9) (2.12) chương trở thành: n ϕ(x) = ϕi (xi ) (3.6) i=1 đó: ni −1 ϕi (xi ) = βi x2i dij xi − ηji + γi xi + δi − (3.7) j=1 Với giả thiết H3 , hàm chi phí hi (i = 1, 2, , n) xác định (3.1) (3.2) viết lại toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) sau:  Tìm điểm x∗ ∈ U cho ∼ Φ (x∗ , y ) = B x∗ − α, y − x∗ + ϕ(y ) − ϕ(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ U (M V I ) ∼ Trong ma trận B xác định (2.11) hàm ϕ xác định (3.6) (3.7) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 3.2 Sự tồn nghiệm mơ hình Ở chương trình bày mơ hình kinh tế Nash - Cournot với giả thiết hàm chi phí hàm affine mơ hình biến đổi tương đương toán tối ưu tập chiến lược U (là tập lồi, compact), mà tốn tối ưu ln có nghiệm, dẫn đến mơ hình ln tồn điểm cân Trong trường hợp hàm chi phí hi , (i = 1, 2, , n) khơng phải hàm affine trình bày trên, mơ hình cân đưa dạng toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI’) với hàm Φ hàm d.c Trường hợp mơ hình khơng tương đương với tốn tối ưu, tồn nghiệm mơ hình nhìn chung chưa khẳng định Sau số ví dụ minh hoạ: Ví dụ 3.1 Cho U = [−1, 1] ⊂ R Tìm x ∈ U cho: 2x, y − x + y − |y| − (x2 − |x|) ≥ 0, ∀y ∈ U (3.8) Trong ví dụ này, F (x) = 2x ánh xạ đơn điệu mạnh ϕ(x) = x2 − |x| hàm d.c Giả sử (3.8) có nghiệm x∗ Từ định nghĩa ta suy ra: 3(x∗ )2 − 2x∗ y − |x∗ | + |y| − y ≤ 0, ∀y ∈ [−1, 1] (3.9) Với y = 1, từ (3.9) có: 3(x∗ )2 − 2x∗ − |x∗ | ≤ Điều suy ra: ≤ x∗ ≤ Với y = −1, từ (3.9) có: 3(x∗ )2 + 2x∗ − |x∗ | ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Điều suy ra: −1 ≤ x∗ ≤ Do ta có: x∗ = Tuy nhiên, ta dễ dàng thử lại để thấy x∗ = nghiệm (3.8) Vậy (3.8) khơng có nghiệm Ví dụ 3.2 Cho U = [−1, 1] ⊂ R  Tìm điểm x ∈ U cho  x, y − x + x2 − y ≥ 0, ∀y ∈ U (3.10) Trong ví dụ này, F (x) = x ánh xạ đơn điệu mạnh ϕ(x) = −x2 hàm lõm khả vi liên tục Cũng cách thử với y = y = −1 ví dụ trên, dễ dàng chứng tỏ (3.10) khơng có nghiệm Các ví dụ tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) với ϕ hàm d.c, khơng có nghiệm, cho dù chúng xét tập lồi, compact với F ánh xạ đơn điệu mạnh ϕ hàm khả vi liên tục Trong đó, với bất đẳng thức biến phân chuẩn không gian hữu hạn chiều, xét tập lồi, compact F ánh xạ liên tục chúng ln tồn nghiệm Kỹ thuật hàm đánh giá (hàm gap, merit) coi cơng cụ hữu ích cho việc nghiên cứu phát triển phương pháp giải bất đẳng thức biến phân Để phục vụ cho việc xây dựng phương pháp giải chứng tỏ tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI), sử dụng hàm đánh giá việc định nghĩa: θ(x) := {Φ(x, y ) := F (x), y − x + ϕ(y ) − ϕ(x)} , ∀x ∈ U y∈U Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.11) http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Mệnh đề sau cho ta điều kiện có nghiệm mơ hình trường hợp hàm chi phí lõm Mệnh đề 3.1 (Xem [11], bổ đề 3.1) Cho U tập lồi, đóng, khác rỗng Rn Khi ta có: (i) θ(x) ≤ 0, ∀x ∈ U (ii) x∗ ∈ U nghiệm toán (MVI) θ(x∗ ) = Chứng minh (i) Hiển nhiên Φ(x, x) = 0, ∀x ∈ U Từ kết hợp với (3.11) ta suy θ(x) ≤ 0, ∀x ∈ U (ii) Giả sử x∗ ∈ U nghiệm toán (MVI), theo định nghĩa ta có x∗ ∈ U và: F (x∗ ), y − x∗ + ϕ(y ) − ϕ(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ U Điều chứng tỏ θ(x∗ ) ≥ Kết hợp với (i) ta suy ra: θ(x∗ ) = Ngược lại, giả sử θ(x∗ ) = Điều từ (3.11) ta suy ra: Φ(x∗ , y ) ≥ 0, ∀y ∈ U Theo định nghĩa hàm Φ ta suy ra: F (x∗ ), y − x∗ + ϕ(y ) − ϕ(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ U Điều chứng tỏ x∗ nghiệm tốn (P) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 3.3 Một phương pháp phân rã giải mô hình với hàm chi phí lõm tuyến tính khúc Trong mục giới thiệu phương pháp phân rã tìm điểm cân cho mơ hình cân thị trường độc quyền tập đoàn Nash-Cournot với hàm chi phí lõm tuyến tính khúc Như trình bày trên, mơ hình mơ tả dạng toàn cân (EP) biến đổi tương đương thành toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI’) Một số cách tiếp cận việc giải toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp nghiên cứu phát triển Theo hiểu biết chúng tôi, tất phương pháp có sử dụng cho trường hợp hàm chi phí hi (i=1, ,n) lồi dẫn đến hàm ϕ toán (MVI) lồi Trường hợp mà xem xét có tồn hàm chi phí hi lõm, tuyến tính khúc, dẫn đến hàm ϕ tốn (MVI) hay cụ thể toán (MVI’) d.c, nên phương pháp có khơng áp dụng Phương pháp mà chuẩn bị đưa dựa tư tưởng là: Chia tập chiến lược sản phẩm hãng hình hộp thành hình hộp con, hình hộp thi hàm ϕ affine Chúng ta tìm nghiệm tốn (MVI’) hạn chế hình hộp Dựa vào cấu trúc đặc biệt, toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI’) hình hộp giải nhờ vào việc cực tiểu hàm tồn phương lồi mạnh hình hộp Tại bước lặp, nhờ vào việc ước lượng giá trị hàm đánh giá θ đề xuất tiêu chuẩn dừng cho bước lặp thời Bằng cách tránh việc phải tìm kiếm nghiệm tốn (MVI’) tồn hình hộp sinh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Như giả thiết phần trên, tập chiến lược sản phẩm hãng i Ui = η0i , ηni i với i = 1, , n, tập chiến lược sản phẩm tất hãng có dạng: U = η01 , ηn1 × η02 , ηn2 × × η0n , ηnnn Đặt Γi họ gồm tất đoạn đoạn Ui (i = 1, , n) mà hàm chi phí hi affine, nghĩa là: Γi = i ηj−1 , ηji : j = 1, , ni Ký hiệu Ij đoạn thứ j họ Γi , theo định nghĩa, ta có: Ui = Ij Ij∈ Γi Đặt: Σ := {I|I1 × × In : Ii ∈ Γi , i = 1, , n} Khi đó: U= I I∈Σ Với hộp I ∈ Σ, giải toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI’) hạn chế I, nghĩa tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp có dạng:  Tìm điểm xI ∈ I cho Φ(xI , y ) := F (xI ), y − xI + ϕ(y ) − ϕ(xI ) ≥ 0, ∀y ∈ I (P I ) Mệnh đề 3.2 (Xem [11],mệnh đề 4.1 ) (i) Với I ∈ Σ, toán phụ (PI ) có nghiệm (ii) Bài tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI’) có nghiệm tồn hộp I∗ ∈ Σ cho θ(xI∗ ) = 0, θ định nghĩa (3.11) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Chứng minh Giả sử I = I1 × × In với: Ii = ηjii −1 , ηjii (i = 1, , n) (i) Từ biểu thức hàm ϕi xác định (3.7), hạn chế đoạn Ii , tính tốn trực tiếp ta có: ϕi (xi ) = βi x2i + i (xi ), ∀xi ∈ Ii , đó: ji −1 i (xi ) = aiji −1 xi + bi0 dik ηki +2 k=1 hàm affine Bài toán phụ (P I ) chuyển qua tốn:  Tìm điểm xI ∈ I cho  BxI − α, y − xI + y T By + (y ) − (xI T BxI + (xI )) ≥ 0, ∀y ∈ I Vì: n (x) = i (xi ) i=1 affine B đối xứng xác định dương, nên y T By + (y ) hàm lồi mạnh Vậy toán (3.12) có nghiệm (xem [10] Mệnh đề 2.1.18) (ii) Giả sử tồn xI∗ ∈ U cho θ(xI∗ ) = Theo mệnh đề 3.1 xI∗ nghiệm toán ( MVI’) Ngược lại, giả sử x∗ ∈ U nghiệm toán ( MVI’).Với U= I, I∈Σ nên tồn hộp I∗ ∈ Σ cho x∗ ∈ I∗ Theo phần (i), x∗ phải nghiệm toán phụ (P I∗ ), nghĩa x∗ = xI∗ Lại theo mệnh đề 3.1 có θ(x∗ ) = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 (3.12) Mệnh đề 3.3 (Xem [11], bổ đề 4.2) Bài toán phụ (PI ) tương đương với tốn quy hoạch tồn phương lồi mạnh: x∈I T x Cx + cT x (QP I ) đó:  1   C=   1       ma trận đối xứng xác định dương, cT = (c1 , , cn ) với ci = qi /βi (i = 1, , n) qi = aiji −1 − αi Chứng minh Qua chứng minh mệnh đề 3.2 ta có: I I I Φ(x , y ) = Bx − α, y − x T + y By + (y ) − (x B ma trận đối xứng xác định dương I T BxI + (xI )), hàm affine, nên Φ hàm lồi theo biến y Theo mệnh đề 1.7, toán (PI ) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân:  Tìm điểm xI ∈ I cho  J (xI ), y − xI ≥ 0, ∀y ∈ I đó: (3.13) n (aiji −1 − αi )xi J (x) = (2B + B )x + i=1 Bài tốn (3.13) viết lại là:  Tìm điểm xI ∈ I cho  QxI + aI − α, y − xI ≥ 0, ∀y ∈ I Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (V IP I ) http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 đó:  2β1 β1 β1 β1     β2 2β2 β2 β2  I n T  Q = 2B + B =    , a := (aji −1 , , ajn −1 )   βn βn βn 2βn Theo Mệnh đề 2.2, ta có (VIPI ) tương đương với toán (PI ) Trong thuật toán mà mô tả đây, với I ∈ Σ phải giải quy hoạch toàn phương lồi mạnh (QP I ) Giả sử: I = I1 × × In với: Ii := ηjii −1 , ηjii (i = 1, , n) Để tính véc tơ c = (c1 , , cn )T hàm mục tiêu toán (QP I ) trước hết cần xác định véc tơ hệ số chi phí biến đổi hãng aI = (a1ji −1 , , anjn −1 ) Sau lấy ci = (aiji −1 − αi )(i = 1, , n) βi Đặt xI nghiệm tối ưu toán (QP I ) Sử dụng nghiệm thu xI tính θ(xI ) giá trị tối ưu toán: BxI − α, y − xI + ϕ(y ) − ϕ(xI ) yi ∈Ui (OP I ) hàm ϕ cho (3.5)-(3.7) Lưu ý rằng, từ cấu trúc ma trận B tính tách biến hàm ϕ có: n I Bx − α, y − x I I + ϕ(y ) − ϕ(x ) = f i ( yi ) i=1 đó: n fi (yi ) = (βi xIj − αi )(yi − xIi ) + ϕi (yi ) − ϕi (xi ) j=i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Cụ thể hơn: n fi (yi ) := βi yi + (βi xIj ni −1 + γi − αi )yi − j=1 j=i n − βi dij yi − ηji − xIj + γi − αi xIi − βi xIi + ni −1 dij xIj − ηji , (i = 1, 2, , n), j=1 j=i (3.14) Nghĩa hàm mục tiêu toán (OP I ) tách biến Vậy toán rút gọn thành n tốn tối ưu biến, tốn có dạng sau: fi∗ := {fi (yi )} (i = 1, , n) yi ∈Ui (3.15) fi (i = 1, , n) xác định (3.14) Dưới nội dung cụ thể thuật toán Thuật toán Chọn sai số ε > phù hợp Bước 1: Chọn hình hộp I ∈ Σ Bước 2: Giải tốn quy hoạch tồn phương lồi mạnh (QP I ) nhận nghiệm lồi tối ưu xI Bước 3: Giải n toán tối ưu chiều (3.15) nhận đượcfi∗ (i = 1, , n) Lấy: n fi∗ I θ (x ) = i=1 (i) Nếu θ(xI ) ≥ −ε dừng, lấy xI điểm ε−cân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 (ii) Nếu θ(xI ) < −ε Σ = ∅ dừng Trường hợp mơ hình khơng có điểm cân Ngược lại, thay Σ (Σ\ {I}) quay lại bước Tính hiệu thuật tốn khẳng định mệnh đề 3.2 Vì Σ tập hữu hạn nên thuật toán phải kết thúc trường hợp a) trường hợp b) Trong trường hợp xấu nhất, thuật tốn phải tìm kiếm tồn số hộp có Σ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 KẾT LUẬN Mơ hình kinh tế Nash- Cournot vấn đề quan trọng toán học ứng dụng phạm vi ứng dụng rộng rãi Bản luận văn nhằm mục đích giới thiệu mơ hình kinh tế Nash- Cournot việc giải tốn kinh tế mơ hình số trường hợp cụ thể cách đưa toán mơ hình tốn cân bằng, tốn bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Cụ thể chương tìm hiểu nội dung vấn đề tồn nghiệm toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân, toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, toán tối ưu, tốn điểm bất động Đây tốn có liên hệ chặt chẽ với nội dung mơ hình kinh tế Nash-Cournot luận văn Trong chương tìm hiểu mơ hình kinh tế Nash-Cournot cổ điển, mối liên hệ toán kinh tế mơ hình với tốn cân bằng, đồng thời giải tốn mơ hình trường hợp đặc biệt hàm chi phí tuyến tính Chương mơ tả mơ hình trường hợp hàm chi phí lõm, vấn đề tồn nghiệm đề xuất phương pháp giải mô hình trường hợp hàm chi phí lõm tuyến tính khúc Tuy nhiên thời gian thực luận văn không nhiều, điều kiện tài liệu tham khảo cịn hạn chế nên tác giả cịn có thiếu sót Tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q báu q thầy, bạn đọc Xin chân thành cảm ơn ! Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 ... phương pháp giải mơ hình kinh tế Nash - Cournot trường hợp hàm chi phí lõm, tuyến tính khúc 3.1 Mơ hình kinh tế Nash- Cournot với hàm chi phí lõm Ở chương mô tả mô hình kinh tế Nash- Cournot trường... lĩnh vực kinh tế Một hướng nghiên cứu quan trọng mơ hình kinh tế Nash - Cournot việc xây dựng phương pháp giải mô hình trường hợp cụ thể Nhiều tác giả giới gắn kết mơ hình kinh tế Nash – Cournot. .. Chương Giới thiệu mơ hình kinh tế Nash - Cournot việc đưa mơ hình kinh tế Nash - Cournot toán cân mà cụ thể đưa mơ hình tốn bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, sau nghiên cứu mơ hình trường hợp hàm