Hai tiếp cận cho mô hình cân bằng nash cournot

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ LÀNH HAI TIẾP CẬN CHO MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2014 i LỜI CẢM ƠN Lời khóa luận này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Trong trình học tập chương trình cao học trường Đại học khoa học, nhận giúp đỡ giảng dạy tận tình GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TS Trần Vũ Thiệu, PGS Nông Quốc Chinh, PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.TS Tạ Duy Phượng, TS Nguyễn Thị Thanh Thủy, nhiều thầy cô cơng tác Viện Tốn học Việt Nam, Trường Đại học Thăng Long, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy, cô Nhận dịp này, xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tơi suốt q tình học tập Đồng thời, tơi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, cảm ơn anh Lưu Đình Trung giúp đỡ tơi nhiều q trình hồn thành luận văn Thái Nguyên, ngày 21 tháng 06 năm 2014 Tác giả Đào Thị Lành ii Mục lục Mở đầu 1 Tiếp cận cân Nash cho mô hình kinh tế bán độc quyền Cournot 1.1 Kiến thức chuẩn bị Tập lồi, hàm lồi toán tử đơn điệu 1.1.2 Bài toán cân 1.2 Mơ hình cân với cước phí tuyến tính 1.2.1 Phát biểu mô hình Nash - Cournot 1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính 1.3 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 1.3.1 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 1.3.2 Sự tồn nghiệm mơ hình 1.1.1 15 15 17 21 21 22 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mơ hình kinh tế bán độc quyền Cournot Các kiến thức tối ưu vectơ 2.1.1 Bài toán tối ưu mục tiêu 2.1.2 Sự tồn nghiệm 2.1.3 Bài toán tối ưu đa mục tiêu 2.1.4 Định lý vơ hướng hóa 2.2 Bài tốn tối ưu vectơ cho mơ hình Cournot 2.2.1 Mơ hình Cournot 2.2.2 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mơ hình Cournot 2.1 25 25 25 25 26 28 30 30 31 i Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 MỞ ĐẦU Mơ hình cân thị trường độc quyền A Cournot đưa vào năm 1838 nhiều tác giả giới tập trung nghiên cứu Mơ hình Cournot có vai trị quan trọng thực tiễn sống, đặc biệt lĩnh vực kinh tế Một hướng nghiên cứu quan trọng mơ hình xây dựng cách tiếp cận cho mơ hình Cournot Hai cách tiếp cận quan trọng cho mơ hình Cournot tiếp cận cân tiếp cận tối ưu đa mục tiêu Nội dung luận văn này, trình bày cách tiếp cận cân cho mơ hình Cournot Bản luận văn gồm hai chương: Chương Tiếp cận cân Nash cho mơ hình kinh tế bán độc quyền Cournot Trong chương ta tìm hiểu kiến thức tập lồi, hàm lồi, toán tử đơn điệu toán cân Sau đó, trình bày mơ hình cân với cưới phí tuyến tính mơ hình cân với cước phí lõm Chương Tiếp cận tối ưu vectơ cho mơ hình bán độc quyền Cournot Chương hai gồm kiến thức tối ưu vectơ : Bài toán tối ưu mục tiêu, tồn nghiệm toán tối ưu đa mục tiêu, sau trình bày định lý vơ hướng hóa tiếp cận tối ưu vectơ cho mơ hình Cournot Tơi mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc Chương Tiếp cận cân Nash cho mơ hình kinh tế bán độc quyền Cournot Trong chương xét nội dung bao gồm: Một số kiến thức liên quan đến khơng gian Rn , giải tích lồi, bất đẳng thức biến phân Tiếp sau mơ hình Cournot theo tiếp cận mơ hình Nash Đồng thời trình bày mơ hình cân với cước phí tuyến tính mơ hình cân với cước phí lõm Các kiến thức chương lấy chủ yếu tài liệu [1], [2], [3], [4], [5] 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong luận văn kí hiệu Rn khơng gian Euclide thực n chiều Một phần tử x = (x1 , x2 , , xn )T ∈ Rn vectơ cột Rn Ta nhắc lại rằng, với hai vectơ x = (x1 , x2 , , xn ), y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , n x, y := xi yi i=1 gọi tích vô hướng hai vectơ Chuẩn Euclide phần tử x khoảng cách Euclide hai phần tử x, y định nghĩa tương ứng x := x, y , d(x, y) := x − y Ta gọi R = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} tập số thực mở rộng Trước hết ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi tốn tử đơn điệu 1.1.1 Tập lồi, hàm lồi toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.1 Một tập hợp C ⊂ Rn gọi lồi ∀x, y ∈ C, ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Các ví dụ tập lồi: Tập khơng gian Rn , siêu phẳng, hình vng, hình trịn Tuy nhiên đường trịn hay hình vành khăn khơng phải tập lồi ✬✩ y     x ✫✪   ❆ ❆ x ❆ ❍ ❍ ❅ ❆ ❍ ❆   ❍❅ ❍❅ ❆  ❍ y ❍ ❍ ❅ ❅ Các tập hợp không lồi ❅     ❅   ❅   x ❍ ❍❍ ❅ ❅   ❍ ❅   ❍❍y   ❅   ❅   ❅ ❅   Các tập hợp lồi Một số tính chất tập lồi a) Giao số tập lồi tập lồi b) Nếu tập hợp C D lồi C + D, αC (và C − D) lồi c) Bao đóng tập hợp lồi tập hợp lồi d) Tập hợp tất tổ hợp lồi số hữu hạn điểm Rn tập hợp lồi Tập hợp C ⊂ Rn gọi lồi chặt ∀x, y ∈ C, x = y , điểm λx + (1 − λ)y với < λ < điểm C Định nghĩa 1.2 (Xem [4], Định nghĩa 1.1.3) Hàm f : Rn → Rn \ {+∞} gọi (i) lồi C với λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), (ii) lồi chặt C với λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C, x = y ta có f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y), (iii) lồi mạnh C tồn τ ∈ R, τ > với λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C ta có f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)τ x−y , (iv) lõm C -f hàm lồi C Định nghĩa 1.3 Một hàm aphin hàm số có dạng f (x) = c, x + α c ∈ Rn , α ∈ R cho trước tùy ý Nếu f (x) hàm afin với x, y ∈ Rn số λ, µ cho λ + µ = ta có f (λx + µy) = λf (x) + µf (y) Một hàm afin f (x) = c, x + α không lấy giá trị âm phải đồng với số (vectơ c phải 0), c = ta có f (λc) = c, x + α → −∞ λ → −∞ Định nghĩa 1.4 ( Xem [4], Định nghĩa 1.1.1) Cho C tập lồi Rn , Q: C → Rn ánh xạ Ánh xạ Q gọi (i) Đơn điệu C cặp điểm u, v ∈ C , ta có Q(u) − Q(v), u − v ≥ (ii) Đơn điệu mạnh C với số τ > cặp u, v ∈ C , ta có Q(u) − Q(v), u − v ≥ τ u−v (iii) Đơn điệu ngặt C với u, v ∈ C , ta có Q(u) − Q(v), u − v > (iv) Giả đơn điệu C cặp điểm u, v ∈ C ta có Q(v), u − v ≥ Q(u), u − v ≥ Định nghĩa 1.5 Đồ thị (epiF), miền hữu hiệu (domF), miền ảnh (rgeF) ánh xạ đa trị F : X → 2Y định nghĩa tương ứng công thức sau epiF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}; domF = {x ∈ X : F (x) = 0}; rge = {y ∈ Y : ∃x ∈ X : y ∈ F (x)} Ví dụ 1.6 Cho toán tử T đơn trị xác định R sau T (x) = x, ∀x ∈ R Khi đó, T tốn tử đơn điệu ∀x, y ∈ R ta có: T (x) − T (y), x − y = x − y, x − y = (x − y)2 ≥ Định lý 1.7 Tốn tử tuyến tính A : Rn → Rn đơn điệu Az, z ≥ 0, ∀z ∈ Rn Chứng minh Hiển nhiên domA = Rn A toán tử đơn điệu Theo định nghĩa, A toán tử đơn điệu A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn , hay A(x − y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ Rn Đặt z = x − y ta có Az, z ≥ 0, ∀z ∈ Rn Định nghĩa 1.8 (Phép toán bảo tồn tính đơn điệu) Các tính chất sau ln n n (i) T : Rn → 2R đơn điệu T −1 : Rn → 2R đơn điệu n (ii) Nếu T1 , T2 toán tử đơn điệu từ Rn → 2R λ1 , λ2 ≥ λ1 T1 + λ2 T2 toán tử đơn điệu Nếu thêm điều kiện T1 T2 đơn điệu chặt λ1 T1 + λ2 T2 đơn điệu chặt n (iii) Nếu T : Rn → 2R toán tử đơn điệu A : Rn → Rn toán tử tuyến tính, A∗ tốn tử liên hợp A S(x) = A∗ T (Ax + b) tốn tử đơn điệu Ngồi A đơn ánh T toán tử đơn điệu chặt S tốn tử đơn điệu chặt Chứng minh (i) Theo định nghĩa toán tử T đơn điệu x − y, u − v ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, x = y, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y), hay x − y, u − v ≥ 0; ∀x, y ∈ domT −1 , x = y, ∀x ∈ T −1 (u), ∀y ∈ T −1 (v) Điều chứng tỏ T −1 toán tử đơn điệu (ii Hiển nhiên ta có dom(λ1 T1 + λ2 T2 ) = {z ∈ Rn : λ1 T1 (z) + λ2 T2 (z) = 0} = domT1 ∩ domT2 Giả sử x, y ∈ domT1 ∩ domT2 u ∈ (λ1 T1 + λ2 T2 )(x) = λ1 T1 (x) + λ2 T2 (x) v ∈ (λ1 T1 + λ2 T2 )(y) = λ1 T1 (y) + λ2 T2 (y) Lấy ui ∈ Ti (x), vi ∈ Ti (y), i = 1, cho u = λ1 u1 + λ2 u2 , v = λ1 v1 + λ2 v2 , T1 , T2 tốn tử đơn điệu nên ta có 27 (-) x = (x1 , x2 , , xn ) gọi biến định, (-) Y = f (X) gọi ảnh miền chấp nhận X qua ánh xạ f ,X gọi không gian định, Y gọi không gian giá trị Ví dụ 2.4 Xét tốn tối ưu tuyến tính hai mục tiêu tuyến tính Rn M in (3x  + x2 , −x1 − x2 )   3x − x2 ≤   s.t x2 ≤    x , x ≥ Khái niệm then chốt tối ưu đa mục tiêu khái niệm tối ưu Pareto Định nghĩa 2.5 Một phương án chấp nhận x ˆ ∈ X gọi nghiệm tối ưu Pareto tốn (V P ) khơng tồn x ∈ X cho fi (x) ≤ fi (ˆ x) với i f (x) = f (ˆ x) Nếu x1 , x2 ∈ X f (x1 ) ≤ f (x2 ), ta nói x1 trội x2 f (x1 ) trội f (x2 ) Ta kí hiệu (-)XE tập tất nghiệm tối ưu Pareto toán (V P ), (-) YN = {f (ˆ x) = yˆ ∈ Y : xˆ ∈ XE } miền giá trị tối ưu Pareto tốn(V P ) Ta chứng minh (i) x ˆ nghiệm tối ưu Pareto p f (X) ∩ f (ˆ x) − R≥ = {f (ˆ x)} , (ii) x ˆ nghiệm tối ưu Pareto không tồn f (x) ∈ f (X)\f (ˆ x) với p f (x) ∈ f (ˆ x) − R≥ Định nghĩa 2.6 (Tối ưu Pareto yếu) Một phương án chấp nhận xˆ ∈ X gọi nghiệm tối ưu Pareto yếu không tồn x ∈ X 28 cho f (x) < f (ˆ x) nghĩa fk (x) < fk (ˆ x), ∀k = 1, 2, , p Điểm yˆ = f (ˆ x) gọi giá trị tối ưu Pareto yếu Ta kí hiệu (-) XW E tập tất nghiệm tối ưu Pareto yếu toán (V P ), (-) YW E tập Pareto yếu Từ định nghĩa ta suy rằng: Một phương án chấp nhận x ˆ ∈ X tối ưu Pareto yếu thỏa mãn hai điều kiện sau: p p (i) Không tồn (f (ˆ x) − f (x)) ∈ intR≥ = R> , p (ii) (f (ˆ x) − R> ) ∩ Y = ∅ 2.1.4 Định lý vô hướng hóa Xét tốn tối ưu vectơ đa mục tiêu M in {F (x) : x ∈ D ⊆ Rn } , (V P (1)) F = (f1 , , fp ) : Rn → Rn ( với p− mục tiêu) Định lý 2.7 (Xem [6]) Cho λ > ∈ Rp Khi với nghiệm tối ưu tồn cục tốn mục tiêu M in λT F (x) : x ∈ D (V P (λ)) điểm tối ưu Pareto toàn cục (V P (1)) Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm toán (V P (λ)) khơng nghiệm tốn (V P (1)) Theo định nghĩa Pareto tồn x cho F (x) ≤ F (x∗ ) F (x) = F (x∗ ) Vì λ > nên λT F (x) ≤ λT F (x∗ ) Suy λT F (x) < λT F (x∗ ) 29 Do x∗ khơng nghiệm tốn (V P (λ)) Mâu thuẫn với điều giả sử Vậy, x∗ nghiệm toán (V P (1)) Định lý 2.8 (Xem [6]) Giả sử (V P ) tốn lồi ( có nghĩa F D lồi) Khi với điểm Pareto tối ưu u toán (V P (1)) tồn = λ ≥ cho u ∈ arg λT F (x) : x ∈ D Chứng minh Đặt K := {y ∈ Rn : y = F (x) − F (u), x ∈ D} p Cho C = coK (bao lồi) Ta thấy C ∩ R− = (tập vectơ không âm) C = 0, ∈ K Cho y ∈ C , tồn y , , y r ∈ K cho r r j tj y , tj > 0, ∀j; y= j=1 tj = j=1 Với y j ∈ K , ta có: xj ∈ D cho y j = F (xj ) − F (u) với j Có x= r j j=1 tj x Do F hàm lồi ta có r tj F (xj ) − F (u) = F (x) − F (u) ≤ j=1 r r tj F (xj ) − F (u) = j=1 tj y j j=1 Vì u Pareto, nên y ≤ Suy y = Do C ∩ p R− = Theo định lý Tách có λ = cho p λT y ≤ 0, ∀y ∈ R− (1) λT y ≥ 0, ∀y ∈ K (2) p j=1 λj p j=1 λj = Từ (1) ta thấy λ ≥ từ (2) định nghĩa K λT y (F (x) − F (u)) ≥ 0, ∀x ∈ D Bằng cách chia ta giả sử Có nghĩa u điểm tối ưu toán (P (λ)) 30 2.2 2.2.1 Bài toán tối ưu vectơ cho mơ hình Cournot Mơ hình Cournot Mơ hình Cournot mơ hình kinh tế Trong mơ hình cổ điển, người ta giả sử có n− cơng ty sản xuất loại hàng hóa Mỗi cơng ty có tập chiến lược Ui ⊂ R+ hàm lợi nhuận Cho xi ∈ Ui biểu thị mức độ sản xuất công ty thứ i Trên thực tế, công ty tìm cách tối đa hóa lợi nhuận cách lựa chọn mức độ sản xuất tương ứng theo giả định sản xuất công ty khác đầu vào tham số Một cách tiếp cận thường sử dụng cho mơ hình dựa khái niệm cân Nash tiếng Trong mơ hình Cournot tuyến tính, lợi nhuận công ty thứ i cho bởi: n fi (x) = α−β xi xi − hi (x), (i = 1, , n), i=1 α, β > hàm chi phí hi hàm số afin phụ thuộc vào số lượng xi công ty thứ i Do cách tiếp cận cân số trường hợp gặp khó khăn nên vấn đề đặt muốn tìm cách tiếp cận tối ưu hóa vectơ cách tiếp cận cân với mô n j=1 fj (x), (f1 (x), f2 (x), , fn (x))T hình Cournot tuyến tính Dựa thực tế tổng lợi nhuận x điểm Pareto hàm f (x) := tập chiến lược nói chung lớn so với x điểm cân Nash Hơn nữa, số trường hợp mơ hình thực tế, tổng lợi nhuận hàng hóa n j=1 xj phải hạn ngạch m0 > Chúng ta đề xuất thuật tốn dựa quy hoạch tuyến tính cho việc tìm kiếm điểm Pareto cho mơ hình với giả định quan trọng mà tập chiến lược công ty độc lập với Giả định làm cho mơ hình dễ dàng để xử lý 31 2.2.2 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình Cournot Trong phần này, ta xét mơ hình Cournot tuyến tính với tập chiến lược độc lập cách sử dụng cách tiếp cận tối ưu hóa vectơ Trong thực tế, phương pháp sử dụng ta quan tâm đến tổng lợi nhuận trọng lượng tất công ty lợi nhuận công ty cách tiếp cận cân Nash Trên thực tế, trường hợp thường xảy việc sản xuất xi , i = 1, 2, , n công ty có liên quan đến chủ đề thị trường yếu tố kỹ thuật Cụ thể, ta giả sử tập chiến lược mơ hình tập đa diện lồi cho  x ∈ U := U × U × U , n D := Ax ≤ b, với  x ∈ R : ≤ x ≤ d > 0(i = 1, , p ≤ n), i i i Ui := x ∈ R : ≤ x (i = p + 1, , n), i i (2.1) di (i = 1, , p) số thực, Với x ∈ D, đặt  y ∈ U , i i Di (x) := Axyi ≤ b, D(x) := D1 (x) × D2 (x) × × Dn (x), C(x) := D(x) ∩ D, với xyi := (x1 , , xi−1 , yi , xi+1 , , xn )T ∈ Rn Khi điểm x∗ = (x∗1 , , x∗n ) ∈ D gọi điểm cân Nash fi (x∗1 , x∗2 , , x∗i−1 , yi , x∗i+1 , , x∗n ) ≤ fi (x∗1 , , x∗n ), ∀yi ∈ Di (x∗ ), ∀i = 1, , n.(2.2) Rõ ràng, C(.) ánh xạ đa giá trị từ D → D, x ∈ C(x) {(x1 , , xi−1 , yi , xi+1 , , xn ) : y ∈ Di (x)} ⊆ C(x), ∀x ∈ D Trong trường hợp này, (1.5) (1.6) nên tốn tìm điểm cân mơ hình chuyển tốn cân có dạng 32 Tìm điểm x∗ ∈ C(x∗ ) cho Φ(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C(x∗ ) (QEP ) Theo định nghĩa, với x ∈ D ta có x ∈ C(x) Giả sử x∗ ∈ C(x∗ ) điểm cân Chọn điểm y ∈ C(x∗ ), theo định nghĩa yi ∈ Di (x∗ ) với i = 1, , n Kết hợp (2.2) định nghĩa Φ(., ) ta có Φ(x∗ , y) ≥ Vì x∗ điểm cân bằng, nên Φ(x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C(x∗ ) Khi với điểm i = 1, , n cố định ta có {(x∗ )yi = (x∗1 , , x∗i−1 , yi , x∗i+1 , , x∗n ) : yi ∈ Di (x∗ )} ⊂ C (x∗ ) Φ (x∗ , (x∗ )yi ) = fi (x∗1 , , x∗i−1 , yi , x∗i+1 , , x∗n ) − fi (x∗1 , , x∗n ) ≥ Do fi (x∗1 , , x∗i−1 , yi , x∗i+1 , , x∗n ) ≤ fi (x∗1 , , x∗n ) , ∀yi ∈ Di (x∗ ) , ∀i = 1, , n Tiếp cận tối ưu Pareto Cho hai vectơ xT = (x1 , , xn ) ; y T = (y1 , , yn ) ∈ Rn , ta viết x ≥ y xi ≥ yi với i = 1, , n; x = y Trong mơ hình Cournot phần này, ta giả sử tham giá hàm chi phí tất cơng ty affine cho   n n xj , αi ≥ 0, βi ≥ (i = 1, 2, , n) xj  = αi − βi pi (σ) := pi  j=1 j=1 hi (xi ) = µi xi + ξi , µi ≥ 0, ξi ≥ (i = 1, , n) Khi hàm lợi nhuận công ty thứ i, (i = 1, , n) fi (x) = xi pi (x)−hi (xi ) = −xT C i x+(αi − µi ) xi −ξi , (2.3) 33 với    C i :=    βi 0 βi βi       Đặt f (x) := (f1 (x) , f2 (x) , , fn (x)) , f (.) ánh xạ từ Rn → Rn Do đó, tốn tối ưu hóa vectơ cho mơ hình Cournot viết sau max {f (x) = (f1 (x) , f2 (x) , , fn (x))} x∈D (V P (2)) Với x∗ ∈ D điểm tối ưu Pareto (V P (2)), x ∈ D fi (x) ≥ fi (x∗ ) với i = 1, , n fi (x) = fi (x∗ ) , ∀i Trong phần ta quan tâm đến việc tìm kiếm giải pháp hữu hiệu Pareto cho tốn tối ưu hóa vectơ Một kỹ thuật hữu hiệu thường sử dụng cho việc tìm kiếm nghiệm hữu hiệu Pareto cho tốn tối ưu hóa vectơ (V P (2)) dựa kĩ thuật vơ hướng hóa n G (λ, x) := λi fi (x) (2.4) i=1 λi > (i = 1, , n) trọng số Theo định lý vơ hướng hóa, λi > (i = 1, , n), với nghiệm tối ưu tốn vơ hướng hóa max {G (λ, x) : x ∈ D} (V P (3)) điểm tối ưu Pareto f D Đặc biệt, λi = 1, ∀i = 1, , n G (λ, x) := ni=1 fi (x) Do nghiệm tối ưu hàm ni=1 fi (x) D tổng tổng lợi nhuận mơ hình Để phù hợp với cách trình bày tốn tối ưu vectơ phần trên, ta đặt F (λ, x) = −G (λ, x) 34 Khi thay tốn (V P (3)), ta xét toán M in {F (λ, x) : x ∈ D} (SV P ) Do tập nghiệm hai tốn trùng Từ (2.3) (2.4) , ta có: F (λ, x) = xT Qx + (µ − α)T x + ξ, với n T T α = (α1 , , αn ) , µ = (µ1 , , µn ) , ξ = ξi ; i=1  β1 λ1 β1 λ1   β2 λ2 β2 λ2 Q :=    βn λn βn λn  β1 λ1  β2 λ2     βn λn Do tốn (SV P ) quy hoạch toàn phương Lưu ý rằng, ma trận Q khơng phải nửa xác định dương, nên tốn (SV P ) khơng phải tốn lồi, việc tìm kiếm nghiệm tối ưu tồn cục cho tốn vơ hướng hóa nhiệm vụ khó khăn số lượng biến lớn Tuy nhiên, nhờ vào cấu trúc cụ thể ma trận Q, giải toán (SV P ) cách xây dựng tốn song tuyến tính Với mục đích này, ta đặt t := n i=1 xi , fi (x) = (αi − βi t) xi − µi xi − ξi , hàm vơ hướng hóa trở thành n λi (βi t + µi − αi )xi + ξ F (λ, t, x) := i=1 Do tốn vơ hướng hóa (SV P ) viết lại sau n λi (βi t + µi − αi ) xi M in F (λ, t, x) := i=1 (LSV P ) 35  x1 + x2 + + xn = t;        Ax ≤ b; với ràng buộc ≤ xj ≤ dj , j = 1, , p;     xj ≥ 0, j = p + 1, , n;    t ≥ Trong toán này, (t, x) biến λi > (i = 1, , n) trọng số Dễ thấy, (t∗ , x∗ ) nghiệm tối ưu toán (LSV P ) x∗ nghiệm tối ưu toán (SV P ) Đối với t ≥ cố định, toán (LSV P ) quy hoạch tuyến tính biến x viết lại sau n λi (βi t + µi − αi ) xi M in F (λ, t, x) := (LSV P (t)) i=1   x1 + x2 + + xn = t;     Ax ≤ b; với ràng buộc  ≤ xj ≤ dj , j = 1, , p;     x ≥ 0, j = p + 1, , n j Ví dụ 2.9 Ta gọi U1 = [0; 10] tập chiến lược công ty 1; U2 = [0; 10] tập chiến lược công ty 2, đặt D := {x = (x1 , x2 ) : x1 ∈ U1 , x2 ∈ U2 ; x1 + x2 ≤ 15} Chọn α = 10; β = 21 , ta có: p (σ) = 10 − 12 σ Giả sử - Chi phí cơng ty thứ sản xuất x1 đơn vị hàng hóa h1 (x1 ) = x1 + 3, - Chi phí cơng ty thứ sản xuất x2 đơn vị hàng hóa h2 (x2 ) = 2x2 + Ta lấy trọng số λ1 = 1; λ2 = 2, suy F1 (λ1 , t, x1 ) = (λ1 β1 t + µ1 − α1 ) x1 + = F2 (λ2 , t, x2 ) = (λ2 β2 t + µ2 − α2 ) x2 + = Do tốn vơ hướng hóa viết dạng 2t 2t − 9x1 x1 + 3, , − 8x2 x2 + 36 λi (βi t + µi − αi ) xi , M in F (λ, t, x) := i=1   x1 + x2 = t       x1 + x2 ≤ 15 với ràng buộc ≤ x1 ≤ 10    ≤ x2 ≤ 10     t ≥ Định lý 2.10 ( Xem [ 7]) (i) Đối với t > cố định, toán (LSV P (t)) có nghiệm chấp nhận có nghiệm tối ưu (ii) Nếu βi > Ui bị chặn với i = p + 1, , n, tốn (LSV P ) có nghiệm chấp nhận được, có nghiệm tối ưu, U cho (2.2) Chứng minh (i) Rõ ràng, tập chấp nhận toán (LSV P (t)) đa diện bị chặn ˜ tập nghiệm chấp nhận cho toán (LSV P ) (ii) Ký hiệu D ˜ đa diện lồi khác rỗng Rn+1 Giả sử ngược lại toán Giả sử D (LSV P ) khơng có nghiệm tối ưu, có tồn dãy cho lim F λ, tk xk = −∞ tk , xk k→∞ Theo định nghĩa F, có tồn số i0 cho p + ≤ i0 ≤ n, lim λi0 (βi0 tk + µi0 − αi0 ) xki0 = −∞ k→∞ Với λi > 0, giả sử tồn k0 ∈ N βi tk + µi0 − αi0 < 0, ∀k > k0 lim xki0 = +∞ k→∞ ˜ ⊂D 37 Đây mâu thuẫn, lim xki0 = +∞ βi0 > 0, k→∞ lim tk = +∞ k→∞ lim λi0 (βi0 tk + µi0 − αi0 ) = +∞ k→∞ 38 KẾT LUẬN Mơ hình kinh tế Nash - Cournot vấn đề quan trọng toán học ứng dụng phạm vi ứng dụng rộng rãi Bản luận văn nhằm mục đích giới thiệu mơ hình kinh tế Nash - Cournot hai cách tiếp cận dựa cân Nash dựa tối ưu đa mục tiêu Cụ thể Chương tìm hiểu nội dung vấn đề toán cân bằng, toán bất đẳng thức biến phân đa trị, toán điểm bất động, đồng thời tìm hiểu mơ hình Nash - Cournot cổ điển giải tốn mơ hình theo cách tiếp cận cân với cước phí tuyến tính cước phí lõm Ngồi ta xét đến tồn nghiệm mơ hình Chương ta tìm hiểu tốn tối ưu đa mục tiêu, tốn quy hoạch lồi, định lý vơ hướng hóa tiếp cận tối ưu cho mơ hình Cournot Bản luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót, nên tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb KH KT, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb KH KT, Hà Nội [3] Hoàng Xuân Phú (1997), Lý thuyết toán cực trị, Viện Toán, Hà Nội Tiếng Anh [4] I Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer [5] L D Muu and T D Quoc One step from DC optimization to DC mixed Variational inequalities, Optimization, 59 , 63 - 76, 2010 [6].L D Muu V H Nguyen N V Quy On Nash - Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions, J Of Global Optimization 41 (2007) 251 - 264 40 [7] Nguyen Van Quy A Jointly Constrained Bilinear Progeanming Method for Cournot Oligopolistic Market Models under Vector Optimization Approach (submitted) [8] Hoang Tuy (2003), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Pulishers 41 Luận văn với đề tài: "Hai tiếp cận cho mơ hình cân Nash Cournot" học viên Đào Thị Lành chỉnh sửa theo ý kiến Hội đồng chấm luận văn họp Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên ngày 21 tháng 06 năm 2014 Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU ... mơ hình xây dựng cách tiếp cận cho mơ hình Cournot Hai cách tiếp cận quan trọng cho mơ hình Cournot tiếp cận cân tiếp cận tối ưu đa mục tiêu Nội dung luận văn này, trình bày cách tiếp cận cân cho. .. 26 = ⇔ x2 = Do điểm cân Nash tốn (10, 15) 1.3 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm 1.3.1 Mơ hình cân Nash - Cournot với cước phí lõm Trong mơ hình cân kinh tế Nash - Cournot cổ điển, hàm... định lý vơ hướng hóa tiếp cận tối ưu vectơ cho mơ hình Cournot Tơi mong đóng góp ý kiến thầy tồn thể bạn đọc 2 Chương Tiếp cận cân Nash cho mơ hình kinh tế bán độc quyền Cournot Trong chương