Về mô hình cân bằng Nash-Cournot cho thị trường sản xuất điện phân biệt

Trong bài báoviết này, tác giả nghiên cứu mô hình cân bằng Nash-Cournot cho thị trường sản xuất điện phân biệt (mở rộng của mô hình cân bằng Nash-Cournot cổ điển). Cụ thể, tác giả trình bày mô hình, nêu bài toán cân bằng của mô hình và đưa ra ý nghĩa thực tế của bài toán.

CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 VỀ MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CHO THỊ TRƯỜNG SẢN XUẤT ĐIỆN PHÂN BIỆT THE DIFFERENTIATED NASH-COURNOT EQUILIBRIUM MODEL FOR ELECTRICITY PRODUCTION MARKET VŨ TUẤN ANH Khoa Cơ sở Cơ bản, Trường Đại học Hàng hải Việt Nam Email liên hệ: anhvt246@vimaru.edu.vn Tóm tắt Trong báo này, tác giả nghiên cứu mơ hình cân Nash-Cournot cho thị trường sản xuất điện phân biệt (mở rộng mơ hình cân Nash-Cournot cổ điển) Cụ thể, tác giả trình bày mơ hình, nêu tốn cân mơ hình đưa ý nghĩa thực tế toán Đồng thời, tác giả giới thiệu cách đưa tốn cân mơ hình tốn quy hoạch lồi tồn phương thuật tốn giải tương ứng với ví dụ số minh họa Từ khóa: Mơ hình cân Nash-Cournot, thị trường sản xuất điện phân biệt, tốn cân bằng, điểm cân mơ hình, tốn quy hoạch lồi tồn phương Abstract This paper studies the differentiated Nash-Cournor equilibrium model for electricity production market (the expansion of the classic Nash-Cournot equilibrium model) Specifically, the author presents the model, the equilibrium problem of the model and its meaning In addition, the author proposes the way to convert the equilibrium problem of the model to a problem of convex quadratic program An algorithm for solving the latter problem and a numerical example are also discussed Keywords: Nash-Cournor equilibrium model, diferrentiated eletricity production market, equilbrium form of the model, convex quadratic program Đặt vấn đề Mơ hình cân Nash-Cournot cổ điển quen thuộc toán ứng dụng (chẳng hạn, xem [1], [4], [5]) Ta xét mơ hình thị trường sản xuất điện Ở đó, giả sử có n nhà máy sản xuất kinh doanh điện khác nhau, chẳng điện hạt nhân, điện lượng mặt trời, điện gió, thuỷ điện, nhiệt điện,… Ta giả thiết giá thành sản xuất đơn vị điện nhà máy thứ i cung cấp hàm affine cho bởi: p i ( x1 , , x n ) :   n  ik x k (1) k 1 với i  1, ,n;   giá ban đầu,  ik  hệ số giảm giá sản lượng tăng Hàm giá thành xuất loại điện khác nhau, người sử dụng thích loại điện sản xuất nhà máy nhà máy lại, ví dụ nhiều người sử dụng thích loại điện gió lượng mặt trời nhiệt điện lượng hạt nhân Chú ý  ik   với i k hàm giá thành trở thành hàm thơng thường (trong mơ hình cân NashCournot cổ điển) Lợi nhuận đạt cơng ty 𝑖 có dạng: (2) f i ( x) : pi ( x1 , , xn ) xi  ci ( xi ), ci ( xi ) chi phí (bao gồm phí cho việc gây ô nhiễm môi trường sản xuất) để sản xuất xi sản lượng Nói chung, ci ( xi ) hàm lồi tăng dần phụ thuộc vào mức sản xuất Tính lồi có nghĩa giá thành sản xuất đơn vị tăng lượng sản xuất lớn (chẳng hạn sản xuất nhiều bị đánh thuế cao gây ô nhiễm môi trường nên thực tế người tiêu dùng dùng nhiều điện phải mua với giá cao) Gọi Ki  R, ( i  1, ,n ) tập chiến lược sản phẩm nhà máy thứ i Như vậy, nhà máy thứ i lựa chọn phương án sản xuất thuộc tập Ki Mỗi nhà máy có chung mong muốn cực đại hàm lợi nhuận cách chọn sản lượng để sản xuất Khi đó, tập chiến lược mơ hình cân thị trường kinh tế tích Cartesian tập chiến lược nhà máy: K  K1   K n Một cách tiếp cận thường sử dụng cho mơ hình dựa khái niệm cân Nash tiếng Ta có định nghĩa sau: 92 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Định nghĩa 1: Một điểm x*  ( x1* , , xn* )  K gọi điểm cân Nash mô hình cân Nash-Cournot với i  1, ,n với yi  Ki ta có: fi ( x1* , , xi*1, yi , xi*1, , xn* )  fi ( x1* , , xn* ) (3)   Đặt fi ( x1 , , xi 1, yi , xi 1, , xn )  fi ( x yi ) (3) viết lại dạng: f i ( x* )  max f i ( x*  yi ) * * * * * y i K i (4) Về ý nghĩa kinh tế, điểm cân Nash lợi nhuận nhà máy cao nhất, nhà máy chọn phương án sản xuất khỏi điểm cân nhà máy lại giữ phương án sản xuất điểm cân lợi nhuận nhà máy thay đổi thiệt khơng thể tăng lên Do đó, tất nhà máy muốn sản lượng vị trí cân Với x  ( x1 , , xn )  K y  ( y1 , , yn )  K ta sử dụng hàm Nikaido-Isoda: f ( x, y )  n n i 1 i 1   f i ( x1 , , xn )  f i ( x1 , , xi1 , yi , xi1 , , xn )    f i ( x)  f i ( x[ yi ]) (5) Khi đó, tốn tìm điểm cân mơ hình cân Nash-Cournot tương đương với toán cân EP( f , K ) sau: Tìm x  K cho f ( x , y)  y  K (6) Định lý 1: Cho tập chiến lược K tập con, lồi, đóng, khác rỗng Rn hàm f ( x, y) * * xác định (5) Khi đó, điểm tốn cân EP( f , K ) x* K điểm cân Nash nghiệm Chứng minh: Giả sử x* phương án tối ưu mơ hình cân Nash-Cournot theo (4) ta có f i ( x* )  max f i ( x*  yi ) i  1, ,n Suy ra: y i K i   f ( x , , x  n * i  f i ( x1* , , xi*1 , y i , xi*1 , , x n* )  y  K * n) i 1 Kết hợp điều với (5), ta có f ( x* , y)  y  K Vậy x* nghiệm toán cân EP( f , K ) Ngược lại, x* K nghiệm toán EP( f , K ), ta có   f ( x , , x n Theo (5) ta có i * * n) f ( x* , y)   y  K   f i ( x1* , , xi*1 , y i , xi*1 , , x n* )  y  K i 1 Chọn y  ( y1, x2* , , xn* ) suy ra: f1( y1, x2* , , xn* )  f1( x1* , , xn* ) Mặt khác, với y  ( x1* , , xi*1, yi , xi*1, , xn* ) ta có: fi ( x1* , , xi*1, yi , xi*1, , xn* )  fi ( x1* , , xn* ) i  2,3, , n 1 Thay y  ( x1* , , xn*1, yn ) , ta f n ( x1* , , xn*1, yn )  f1( x1* , , xn* ) Vậy x* điểm cân Nash Trong thực tế, mức độ sản xuất nhà máy thường thoả mãn tỷ lệ định: lj  xj  u j ;  l j  u j ; j  1, , n n x h h j Tức sản lượng điện loại điện so với tổng sản lượng lại thị trường điện phải thỏa mãn giới hạn cho phép, ví dụ điện hạt nhân hay nhiệt điện nhiều nước bị hạn chế sản xuất gây ô nhiễm môi trường, chặt phá rừng Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 93 CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Đặt: D : {( x1 , , xn ) :  j ( x1 , , xn )  xj x xj  u j  0, j ( x1 , , xn )  l j  n  0,  j  1, ,n} n x h h j D h h j tập lồi đa diện Như vậy, toán cân EP( f , K ) với ràng buộc cân EP( f , K , D) : D phát biểu lại thành tốn Tìm x  K  D cho f ( x , y)   y  K Chuyển toán cân EP(f,K,D) toán quy hoạch lồi tồn phương * * Thay (1) vào (2) ta có f i ( x)  pi ( x1 , , xn ) xi  ci ( xi )  (  n  ik x k ) xi (7)  ci ( xi ) k 1 với   0, ik  Khi đó, theo (5): f ( x, y )  n   f ( x)  f ( x[ y ]) i i i i 1 n n   x   x  x  c ( x )  y   y  ik xk  xi ii yi   ii yi2  ci ( yi )  i i ik k i i i i i 1  k 1 k 1  n n    ( xi  yi )  ( yi  xi )  ik xk   ii yi ( yi  xi )  ci ( yi )  ci ( xi ) i 1  k 1  n n    ( yi  xi )(  ik xk   ii yi   )  ci ( yi )  ci ( xi ) i 1  k 1   n         Px  Qy   , y  x  ci ( yi )  ci ( xi )  (P  Q) x   , y  x  Q( y  x), y  x)  h( y)  h( x) với P : ( ij ) nn , Q : diag ( 11 , , nn ),  : ( , , ) , h( x) : T n  c ( x ) i i i 1 Vì Q( y  x, y  x)   x, y  Rn nên nghiệm toán cân EP( g , K ) nghiệm toán cân EP( f , K ) với: Giả sử h(x) hàm khả vi g ( x, y)  (P  Q) x   , y  x  h( y)  h( x) K Mệnh đề 1: Điểm x  K nghiệm toán cân EP( g, K ) x * nghiệm toán: * min{ x* ( y)  ( P  Q) x*   , y  x*  h( y)  h( x* ), y  K} Chứng minh: Giả sử  x* ( y)  y  K Ta lại có x * nghiệm toán cân  x* ( x * )  Vậy hàm (8) EP( g , K ), *  x* ( y ) đạt cực tiểu x Giả sử x * nghiệm (8),   x* ( x )  N K ( x ), * * N K ( x* ) : {w Rn : w, y  x*  y  K} nón pháp tuyến ngồi x * tập K , hay  x* ( x * ), y  x *  y  K Theo tính chất hàm lồi:  x* ( x* ), y  x*   x* ( y)   x* ( x* ) y  K Kết hợp với  x* ( x* )  ta  x * * ( y )  y  K Vậy x nghiệm toán cân EP( g , K ) 94 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Định lý 2: Điểm x *  K nghiệm toán cân EP( g, K ) x * nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (VIP) : Tìm x *  K : F ( x)  ( P  Q) x *    h( x * ), y  x *  y  K (9) Chứng minh: Giả sử x nghiệm toán EP( g , K ), theo Mệnh đề ta có x * * nghiệm toán min{ x* ( y)  ( P  Q) x *   , y  x *  h( y)  h( x * ), y  K} Do   x* ( x )  N K ( x ) hay [(P  Q) x *    h( x * )  N K ( x * )] * *  ( P  Q) x *    h( x * ), y  x *  y  K Vậy x * nghiệm (9) Để chứng minh điều ngược lại, ta viết ( P  Q) x*    h( x* ), y  x*  y  K dạng: ( P  Q) x*   , y  x*  h( x* ), y  x*  y  K Sử dụng tính chất hàm lồi ta có h( x* ), y  x*  h( y)  h( x* ) y  K Do đó, x * nghiệm (9) x * nghiệm tốn EP( g, K ) Định lý chứng minh hoàn toàn Định lý 3: Giả sử f : K  R hàm khả vi, lồi tập lồi K  Rn Khi điểm x *  K nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (9) x * nghiệm toán quy hoạch lồi CP( f , K ) : (10) min{ f ( x) : x  K} với F ( x) : f ( x) Chứng minh: Giả sử x * nghiệm toán (9), tức f ( x * ), y  x *  y  K Do f hàm lồi, khả vi nên f ( x * ), y  x *  f ( y)  f ( x * ) y  K Suy f ( y )  f ( x * ) y  K hay x * nghiệm (10) Giả sử x * nghiệm (10) Ta có f ( y)  f ( x * ) y  K Để chứng minh điều ngược lại, ta dùng phản chứng: f ( x * ), y  x *  y  K Khi đó, lấy   đủ nhỏ, K tập lồi nên: z  y  (1   ) x*  x*   ( y  x* )  K y  K sử dụng khai triển Taylor ta có:   f ( z )  f ( x * )   f ( x * ), y  x * )    ( y  x * )  f ( x * ) y  K , tức x * không nghiệm toán (10) Điều trái với giả thiết Giả sử P  ( ij ) nn ma trận đối xứng, nửa xác định dương Khi P  Q ma trận đối xứng, nửa xác định dương Áp dụng Định lý cho h(x) hàm tuyến tính lồi tồn phương toán cân (7) đưa toán quy hoạch lồi toàn phương CQP( f , K , D) : min{ x T ( P  Q) x   T x  h( x) : x  K  D} (11) Thuật toán giải tốn quy hoạch lồi tồn phương dạng (11) a) Bài toán: Cho hàm bậc hai lồi f : Rn  R hai tập lồi đa diện K, D  Rn với giả thiết K  D  Ø Xét toán tối ưu sau: x  K cho f ( x )   K : min{ f ( x) : x  K} với S : {x  K : f ( x)   K } tập nghiệm ( S tập lồi hàm f lồi K tập lồi) (Q) Tìm Khi đó, (11) viết lại thành tốn: (P) Tìm x *  S  D, tức tìm nghiệm tối ưu toán (Q) thỏa mãn thêm ràng buộc phụ cho tập lồi đa diện D b) Thuật toán giải: Để cho tiện, ta gọi Thuật toán A thuật toán hữu hạn biết mà giải tốn quy hoạch lồi tồn phương (chẳng hạn, thuật tốn đơn hình Beale, thuật tốn Hildreth-D'Esopo,…) Ta giải (P) thuật toán sau đây, gọi tắt thuật tốn hai pha: Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 95 CHÀO MỪNG KỶ NIỆM NGÀY NHÀ GIÁO VIỆT NAM 20/11 Pha 1: Dùng Thuật toán A giải toán (Q) nhận x  K f ( x )   K Hai khả xảy ra: + Khả 1: x  D x  x lời giải cần tìm tốn (P) Dừng q trình giải + Khả 2: x  D chuyển sang Pha II Pha 2: Dùng Thuật toán A giải toán quy hoạch min{ f ( x) : x  K  D}, nhận lời giải * xˆ  K  D Rõ ràng f ( xˆ)   K (do K  K  D) Hai khả xảy ra: + Khả 1: f ( xˆ )   K x *  xˆ lời giải cần tìm tốn (P) Dừng q trình giải + Khả 2: f ( xˆ )   K tốn (P) vơ nghiệm Dừng q trình giải Ví dụ số minh họa Xét mơ hình cân Nash-Cournot thị trường sản xuất điện với số liệu: 2 1  0     n  3, K  0,   0,   0, ,   10 10 10 , P   , Q   ;  1 2  0 2     T f ( x)  (10  x1  x  x3 ) x1  x12 , f ( x)  (10  x1  3x  x3 ) x  x 22 , f ( x)  (10  x1  x  x3 ) x3  x32 ; x3 x1 x2 1 1   1,   ,   } 10 x  x3 10 x1  x3 10 x1  x 2  {( x1 , x , x3 ) : 10 x1  x  x3  0, x1  10 x  x3  0, x1  x  10 x3  0, D  {( x1 , x , x3 ) : x1  x  x3  0,  x1  x  x3  0,  x1  x  x3  0} Khi tốn quy hoạch lồi tồn phương (11) có dạng: min{ f ( x1 , x2, , x3 )  3x12  5x22  5x32  x1 x2  x2 x3  x1 x3  10 x1  10 x2  10 x3 : x  K  D} Dùng thuật toán Hildreth-D'Esopo (hoặc phần mềm Maple, Matlab) giải tốn (Q) tương ứng, tác giả giải phần mềm Maple 17 thu nghiệm: x  (1, 40625;0,78125;0,78125) Dễ dàng kiểm tra x  D Vậy điểm cân mơ hình mức lợi nhuận tối ưu tương ứng nhà máy cần tìm là: x*  (1, 40625;0,78125;0,78125),f1 (x1* )  5,93262,f (x*2 )  3,05176,f3 (x*3 )  3,05176 Kết luận Trong báo này, tác giả giới thiệu cách đưa toán cân mơ hình Nash-Cournot cho thị trường sản xuất điện phân biệt tốn quy hoạch lồi tồn phương đề xuất thuật toán giải tương ứng để tìm điểm cân mơ hình Kết báo công cụ hiệu để nghiên cứu giải mơ hình Nash-Cournot lĩnh vực kinh tế, tài chính, vận tải, cân mạng,… TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu Nguyễn Hữu Điển, Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 [2] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [3] Trần Vũ Thiệu, Giáo trình tối ưu phi tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2011 [4] Le.D Muu, V.H Nguyen, N.V Quy, On Nash-Cournot oligopolistic market equilibrium models with concave cost functions, J of Global Optimization 41, pp 351-364, 2008 [5] T.D Quoc, Le.D Muu, Splitting proximal point method for Nash-Cournot equilibrium models involving nonconvex cost functions, J Nonlinear and Convex Analysis 12, pp 519-533, 2011 Ngày nhận bài: 25/03/2019 Ngày nhận sửa: 05/04/2019 Ngày duyệt đăng: 10/04/2019 96 Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Hàng hải Số 60 - 11/2019 ... giới thiệu cách đưa tốn cân mơ hình Nash-Cournot cho thị trường sản xuất điện phân biệt toán quy hoạch lồi toàn phương đề xuất thuật tốn giải tương ứng để tìm điểm cân mơ hình Kết báo cơng cụ hiệu... điểm cân Nash Trong thực tế, mức độ sản xuất nhà máy thường thoả mãn tỷ lệ định: lj  xj  u j ;  l j  u j ; j  1, , n n x h h j Tức sản lượng điện loại điện so với tổng sản lượng lại thị trường. .. ( xˆ )   K tốn (P) vơ nghiệm Dừng q trình giải Ví dụ số minh họa Xét mơ hình cân Nash-Cournot thị trường sản xuất điện với số liệu: 2 1  0     n  3, K  0,   0,   0, ,