Một tiếp cận cân bằng tách cho mô hình nash cournot với một ràng buộc chung

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÀNH HUẾ MỘT TIẾP CẬN CÂN BẰNG TÁCH CHO MƠ HÌNH NASH - COURNOT VỚI MỘT RÀNG BUỘC CHUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÀNH HUẾ MỘT TIẾP CẬN CÂN BẰNG TÁCH CHO MƠ HÌNH NASH - COURNOT VỚI MỘT RÀNG BUỘC CHUNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Lê Dũng Mưu THÁI NGUYÊN - 2019 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu (trường Đại học Thăng Long Hà Nội) Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả học tập nhiều kiến thức chun ngành bổ ích cho cơng tác nghiên cứu thân Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo, giáo tham gia giảng dạy lớp cao học Toán, nhà trường phòng chức trường, khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn anh chị em lớp cao học bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, 10 tháng năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Thành Huế ii Mục lục Lời cảm ơn i Bảng ký hiệu iii Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Tập lồi hàm lồi không gian Euclid hữu hạn chiều 1.2 Các bổ đề hỗ trợ 19 Chương Một tiếp cận cân tách cho mơ hình NashCournot với ràng buộc chung 2.1 Bài toán chấp nhận lồi tách 21 21 2.2 Một thuật toán giải mơ hình Nash–Cournot có ràng buộc chung 22 2.2.1.Thuật toán 24 2.2.2.Một mơ hình thực tế 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 iii Bảng ký hiệu Rn+ Góc khơng âm Rn (tập vectơ không âm) R Trục số thực R = R1 R Trục số thực mở rộng (R = R ∪ {−∞, +∞}) xi Tọa độ thứ i x xT Vectơ hàng (chuyển vị x ) ||x|| Chuẩn Euclid x riA Tập hợp điểm tương đối A reA Nón lùi xa (nón hướng vô hạn) A A∗ Đối cực A f Hàm bao đóng f domf Tập hữu dụng f f∗ Hàm liên hợp f epif Trên đồ thị f ∂f (x) Dưới vi phân f x ∂∈ f (x) ε -dưới vi phân f x ∇f (x) Hoặc đạo hàm f x f (x) Đạo hàm f x f (x, d) Đạo hàm theo hướng d f x Lời nói đầu Bài tốn chấp nhận tách tốn Tìm x∗ ∈ C cho Ax∗ ∈ Q, C tập lồi đóng khơng gian X, cịn Q tập lồi đóng khơng gian Y A tốn tử tuyến tính từ X vào Y Bài tốn coi mở rộng toán chấp nhận lồi, toán Toán ứng dụng Bài toán chấp nhận tách lần nghiên cứu không gian Euclid hữu hạn chiều Censor Elving năm 1994 tài liệu [2] Trong báo tác giả giới thiệu số ứng dụng toán chấp nhận tách không gian hữu hạn chiều, ứng dụng xạ trị khối u, xử lý tín hiệu v.v Sau cơng trình trên, tốn chấp nhận tách nhiều người quan tâm nghiên cứu, tính lý thú mặt tốn học, đặc biệt phạm vi ứng dụng rộng rãi toán Một hướng mở rộng quan tâm nhiều xét trường hợp tập C Q nghiệm toán khác, toán tối ưu lồi, bất đẳng thức biến phân đơn điệu, tập điểm bất động ánh xạ không giãn, tổng quát tập nghiệm toán cân có tính chất đơn điệu Mục đích luận văn trình bày lại cách có hệ thống kết mơ hình Nash–Cournot trường hợp mơ hình có thêm ràng buộc chung, theo cách tiếp cận dựa việc mơ tả mơ hình dạng tốn cân tách Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày số khái niệm liên quan đến đề tài, tập lồi hàm lồi không gian Euclid hữu hạn chiều Chương giới thiệu toán chấp nhận lồi tách, giới thiệu mơ hình Nash–Cournot trình bày thuật tốn giải tốn mơ hình Nash– Cournot có ràng buộc chung theo tiếp cận cân tách Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm, tính chất giải tích lồi bổ đề hỗ trợ dùng Chương Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu tham khảo [1], [3] 1.1 Tập lồi hàm lồi không gian Euclid hữu hạn chiều Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ta nói x tổ hợp lồi điểm (vectơ) x1 , , xk k k j λj x , λj > ∀j = 1, , k x= j=1 λj = j=1 Tương tự, x tổ hợp aphin điểm (vectơ) x1 , , xk k k j x= λj x , j=1 λj = j=1 Tập hợp tổ hợp aphin x1 , , xk thường gọi bao aphin điểm Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức tập C lồi k k ∀k ∈ N, ∀λ1 , , λk > : k λj = 1, ∀x , , x ∈ C ⇒ j=1 λj xj ∈ C j=1 Chứng minh Điều kiện đủ hiển nhiên từ định nghĩa Ta chứng minh điều kiện cần quy nạp theo số điểm Với k = 2, điều cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k − điểm Ta cần chứng minh với k điểm Giả sử x tổ hợp lồi k điểm x1 , , xk ∈ C Tức k k j λj x , λj > ∀j = 1, , k x= j=1 λj = j=1 Đặt k−1 ξ= λj j=1 Khi < ξ < k−1 k−1 j x= k λj x + λk x = ξ j=1 j=1 k−1 j=1 Với λj ξ λj j x + λk x k ξ λj = ξ > với j = 1, , k − 1, nên theo giả thiết quy nạp, điểm k−1 y := j=1 λj j x ∈ C ξ Ta có x = ξy + λk xk Do ξ > 0, λk > k λj = 1, ξ + λk = j=1 nên x tổ hợp lồi hai điểm y xk thuộc C Vậy x ∈ C Định nghĩa 1.2 Một tập C gọi tập aphin chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Vậy tập aphin trường hợp riêng tập lồi Ví dụ điển hình tập aphin khơng gian con, siêu phẳng định nghĩa Định nghĩa 1.3 Siêu phẳng không gian Rn tập hợp điểm có đạng {x ∈ Rn |aT x = α}, a ∈ Rn vectơ khác α ∈ R Vectơ a thường gọi vectơ pháp tuyến siêu phẳng Một siêu phẳng chia không gian hai nửa không gian Nửa không gian định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4 Nửa khơng gian tập hợp có dạng {x|aT x ≥ α}, a = α ∈ R Đây nửa khơng gian đóng Tập {x| aT x > α} nửa không gian mở Định nghĩa 1.5 Các điểm x0 , x1 , , xk Rn gọi độc lập aphin, bao aphin chúng có thứ nguyên k Định nghĩa 1.6 Một tập hợp gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Theo định nghĩa, tập lồi đa diện tập hợp nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau: D := {x ∈ Rn | aj , x ≤ bj , j = 1, , m} 23 Giả thiết: (A1) Với x∈ K f (x, x) = f (x, ) lồi nửa liên tục K > x ∈ K bị chặn (A2) ∂2 f (x, x) khác rỗng với tập bị chặn C, ∂2 f (x, x) kí hiệu − vi phân hàm lồi f (x, ) có nghĩa ∂2 f (x, x) := {g ∈ H| g, y − x + f (x, x) ≤ f (x, y) + ∀y} (A3) f giả đơn điệu K theo lời giải toán (EP ), nghĩa f (x, x∗ ) ≤ với ∀x ∈ K, x∗ ∈ Sol(EP ), thỏa mãn điều kiện tiền đơn điệu x∗ ∈ Sol(EP ), y ∈ K, f (x∗ , y) = f (y, x∗ ) = ⇒ y ∈ Sol(EP ) (A4) Với x ∈ K, f (., x) nửa liên tục K Nhắc lại toán tử gần kề hàm g với tham số λ > định nghĩa proxλg (u) := argmin{g(v) + ||v − u||2 : v ∈ H2 } λ Với λ > cố định, ta đặt h(x) := (P(u)) (I − proxλg Ax Khi theo điều kiện cần đủ tối ưu ta có h(x) = Ax lời giải toán Hơn đạo hàm h(x) ∇h(x) = A∗ (I − proxλg )Ax Do h(x) = ∇h(x) = 24 2.2.1 Thuật toán Chọn tham số dương δ, ξ dãy có {ak } , {δk } , {βk } , { k } , {ρk } thỏa mãn điều kiện < a < ak < b < 1, < ξ ≤ ρk ≤ − ξ, ∀k ∈ N; δk > δ > 0, βk > 0, lim ak = ; k→+∞ ∞ k=1 ∞ k=1 k ≥ 0, ∀k ∈ N; (2.1) (2.2) (2.3) ∞ βk2 δ thỏa mãn chuẩn ||gk || ≤ L với k γk ||gk || = max 1, δk δk ≤ L δ Suy αk = βk δ βk ≥ γk L δk Do z nghiệm f giả đơn điệu nên ta có −f (xk , z) ≥ điều với < a < ak < b < kéo theo ∞ (1 − b) k=1 βk [−f (xk , z)] < +∞ δk 29 Nhưng từ ∞ βk k=1 δk = +∞ ta lại có lim sup f (xk , z) = 0, ∀z ∈ S k→+∞ Khẳng định 3: Với z ∈ S, giả sử {xkj } dãy dãy {xk } cho lim sup f (xk , z) = lim f (xkj , z), (2.14) j→+∞ k→+∞ giả sử x∗ điểm hội tụ xk Khi x∗ nghiệm tốn (EP ) Khơng làm tính tổng qt, giả sử xkj hội tụ tới x∗ j → ∞ Do f (., z) nửa liên tục nên theo Khẳng định ta f (x∗ , z) ≥ lim sup f (xkj , z) = j→+∞ Từ z ∈ S f giả đơn điệu, ta có f (x∗ , z) ≤ Do f (x∗ , z) = Nên f (x∗ , z) ≤ giả đơn điệu Vì f (x∗ , z) = f (z, x∗ ) = Theo điều kiện tiền đơn điệu (giả thiết (A3)), ta thấy x∗ nghiệm toán (EP ) Khẳng định 4: Mọi điểm tụ x¯ dãy {xk } thỏa mãn x¯ ∈ K A¯ x ∈ argmin g Đặt x¯ điểm tụ dãy {xk } {xkj } dãy {xk } hội tụ x¯ Vậy x¯ ∈ K Mặt khác, ta biết ||yk − xk || ≤ βk +∞ k=1 βk < +∞ Suy ra, lim ||yk − xk || = k→+∞ Do đó, {yk } hội tụ đến x¯ Từ Bổ đề 2.3, ∇h(yk ) = h2 (yk ) (1 − ak )ρk (4 − ρk ) ∇h(yk ≤ ||xk − z||2 − ||xk+1 − z||2 + Ak , ∇h(yk ) = ≤ ||xk − z||2 − ||xk+1 − z||2 + Ak 30 Đặt N1 := {k : ∇h(yk = 0} lấy tổng ta có h2 (yk ) (1 − ak )ρk (4 − ρk ) ∇h(yk k∈N1 ∞ 2 ≤ ||x0 − z|| + Ak < +∞ k=1 Kết hợp điều với giả thiết ξ ≤ ρk ≤ − ξ (với ξ > 0) < a < ak < b < 1, ta có khẳng định h2 (yk ) ∇h(yk k∈N1 ≤ +∞ (20) Hơn nữa, ∇h liên tục Lipschitz với số ||A||2 , ta thấy ||∇h(yk )||2 bị chặn Vậy h(yk ) −→ k ∈ N1 k −→ ∞ Lưu ý h(yk ) = với k ∈ / N1 Ta lim h(yk ) = (21) k→+∞ Theo tính nửa liên tục tính dương h ta có ≤ h(¯ x) ≤ lim inf h(ykj ) = lim h(yk ) = j→+∞ k→+∞ (22) Do kéo theo A¯ x điểm bất động toán tử gần kề g Vậy, A¯ x điểm cực tiểu g Định lý chứng minh Nhận xét 2.1 Ví dụ sau chứng tỏ tốn khơng có nghiệm dãy {xk } khơng bị chặn Lấy H1 = H2 = R2 , A toán tử đồng nhất; K= x = (u, v) ∈ R|2 u ≥ 1, v ≥ u ; Q = x = (u, v) ∈ R2 | u ≥ 1, v ≥ v = ; f (x, y) = iK (y) − iK (x), g(x) = iQ (x), iK iQ hàm tập K Q Tức IK (x) = x ∈ K +∞ x ∈ /K 31 Rõ ràng trường hợp tốn trở thành việc tìm điểm tập S := K ∩ Q Theo thuật toán, ta chọn k ∈ N 1 k = 0, βk = , δk = 1, ρk = 2, ak = k Do f (x, y) = iK (y)−iK (x), ta có (0, 0) ∈ ∂2 f (u, u) với x = (u, u) ∈ K Vậy, bước lặp k, ta lấy gk = (0, 0) xk = yk với k Từ K ∩ Q = ∅, ta có hk (yk ) = Lưu ý proxλg (x) = PQ (x) với λ > Một tính tốn đơn giản dựa vào yk = xk , zk = PK (yk − µk (I − proxλg )(yk )) = PK (PQ (xk )) Chọn xk := (uk ), vk ) Ta thấy limk→+∞ uk = +∞ Thật vậy, theo định nghĩa Q K hình chiếu xk = (uk , vk ) Q (uk , 0), hình chiếu (uk , 0) K nằm biên K Giả sử (ak , a1k ) hình chiếu (uk , 0) K Khi ak lời giải tối ưu tốn mina≥1 ϕk (a), ϕk (a) = (uk − a)2 + a2 hàm lồi mạnh [1, +∞) Do uk ≥ 1, Vậy có ϕk uk + 16 [uk ]3 ak ≥ uk + 0: cho trước β > 0: (nhỏ), hệ số giảm giá Chi phí sản xuất cho cơng ty thứ i cj (xj ) Vậy lợi nhuận công j∈Ii ty thứ i xj ) − fi (x) = p(s)( j∈Ii cj (xj ) j∈Ii (i = 1, 2, , n) Mỗi công ty xác định xem nhà máy cần sản xuất lượng điện để lợi nhuận cao Giả sử Kj = [0, 100] ∀j xj ∈ Ki (ví dụ Ki = tập chiến lược công ty thứ i Nghĩa j∈Ii [10, 1000]) Do lợi nhuận công ty phụ thuộc (thậm chí xung khắc nhau) nên người ta đề xuất việc tìm phương án cân (tức phương án cho công ty chấp nhận được) Đó phương án cân Nash Định nghĩa 2.1 Một điểm x∗ ∈ K = K1 × K2 × × Kn điểm cân mơ hình thỏa mãn: fi (x∗ ) ≥ fi (x∗ [xi ]) ∀xi ∈ Ki , ∀i = 1, 2, , n 33 x∗ [xi ] vec-to nhận từ x∗ cách thay tọa độ thứ i vectơ x xi Bằng cách lấy f (x, y) := ϕ(x, y) − ϕ(x, x) với n ϕ(x, y) := − fi (x [yi ]) i=1 tốn cân Nash mơ hình mơ tả dạng toán cân (EP) x∗ ∈ K : f (x∗ , x) ≥ ∀x ∈ K (EP) Khi sản xuất điện người ta phải dùng số nguyên vật liệu than, (dùng m loại nguyên vật liệu) Kí hiệu al,j lượng nguyên vật liệu thứ l để sản xuất đơn vị điện nhà máy thứ j Như vậy, Ax toàn lượng nguyên vật liệu để sản xuất lượng điện x Việc dùng ngun vật liệu làm nhiễm mơi trường, phải trả phí mơi trường Gọi g(Ax) tồn phí mơi trường để sản xuất lượng điện x Bài toán đặt phải tìm điểm cân Nash mơ hình cho phí mơi trường sản xuất điện thấp Có thể viết dạng tốn sau Tìm x∗ ∈ K :f (x∗ , x) ≥ ∀x ∈ K g(Ax∗ ) ≤ g(Ax) ∀x ∈ K (SEP) Với p(s) = α − βs tốn (SEP) viết dạng Tìm x∗ ∈ K : f (x∗ , x) := B1 x∗ − a ¯, x − x∗ + ϕ(x) − ϕ(x∗ ) ≥ ∀x ∈ K g(Ax∗ ) ≤ g(Ax) với ∀x ∈ K 34 với a ¯ := (α, α, , α)T  β  0  B1 :=     0   β2      0 βn  β1 β1 β1    β β β  2  B1 :=       βn βn βn ϕ(x) := xT B1 x + n Cj (xj ) Sau biến đổi ta tốn j=1 Tìm x∗ ∈ K : B1 x∗ − a ¯ + ∇ϕ(x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ K Ví dụ 2.1 Có hai cơng ty Cơng ty thứ có ba nhà máy, cơng ty thứ hai có nhà máy Điện công ty thứ x1 , x2 , x3 Điện công ty thứ hai x4 Khi giá điện p(x1 + x2 + x3 + x4 ) = α − 0, 1(x1 + x2 + x3 + x4 ) Chi phí cơng ty thứ nhất: C1 (x1 ), C2 (x2 ), C3 (x3 ) Chi phí cơng ty thứ hai: C4 (x4 ) Lợi nhuận công ty thứ nhất: f1 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = p(x1 +x2 +x3 +x4 )(x1 +x2 +x3 )−C1 (x1 )−C2 (x2 )−C3 (x3 ) Lợi nhuận công ty thứ hai f2 (x1 , x2 , x3 , x4 ) = p(x1 + x2 + x3 + x4 )x4 − C4 (x4 ) Giả sử sản xuất điện, công ty phải dùng loại nguyên liệu (ví dụ: than) Gọi a1,j lượng than để sản xuất đơn vị điện nhà 35 máy thứ j Khi a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 tổng lượng than để sản xuất (x1 +x2 +x3 +x4 ) đơn vị điện Khi dùng than để sản xuất điện, nhà máy làm ô nhiễm môi trường Giả sử g(a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 +a14 x4 ) tiền phí phải trả làm nhiễm môi trường dùng lượng than t := a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 Ví dụ: g(t) = 12 t2 Vậy tốn (SEP ) ví dụ có f (x∗ , x) = B1 x∗ − α ¯ , x − x∗ + ϕ(x) − ϕ(x∗ ) ≥      0, 0, 0, x∗1 α x1 − x∗1      0, 0, 0, 1 x∗  α x − x∗    2   2 =  lấy α = 10   ∗ −   , 0, 0, 0, 1 x3  α x3 − x∗3      0, 0, 0, x∗4 α x4 − x∗4     ∗ ∗ ∗ 0, (x2 + x3 + x4 ) x1 − x∗1     0, (x∗ + x∗ + x∗ ) 1 0 x − x∗     =  − , ∗ ∗ ∗ 0, (x1 + x2 + x4 ) 1 0 x3 − x∗3     ∗ ∗ ∗ 0, (x1 + x2 + x3 ) x4 − x∗4     ∗ ∗ ∗ ∗ 0, (x2 + x3 + x4 ) − 10 x1 − x1     0, (x∗ + x∗ + x∗ ) − 10 x − x∗ 0     =  ≥   ∀x ∈ K ,  0, (x∗1 + x∗2 + x∗4 ) − 10 x3 − x∗3 0     ∗ ∗ ∗ ∗ 0, (x1 + x2 + x3 ) − 10 x4 − x4 Với K chọn là: K = K1 × K2 × K3 × K4 Trong Ki = [0, 100] g(Ax∗ ) ≤ g(Ax), ∀x ∈ K g(Ax) = g(a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 ) = (a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 )2 36 Kết luận Bản luận văn đề cập đến vấn đề sau: Tổng hợp lại kiến thức tập lồi, hàm lồi Giới thiệu số bổ đề liên quan đến hình chiếu tích vơ hướng Giới thiệu mơ hình Nash - Cournot có thêm ràng buộc tách Cụ thể: Trình bày thuật toán giải toán cân tách liên quan đến mơ hình Trình bày chi tiết định lý hội tụ chứng minh định lý Trình bày mơ hình thực tế sản xuất điện với chi phí mơi trường thấp nhất, số ví dụ cụ thể đưa để minh họa cho mơ hình thực tế 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền, Nguyễn Hữu Điển (2001), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Censor Y, Elving T (1994) "A multiprojections algorithm using Bregman projections in a product spaces" Numer Algorithms 8:221-239 [3] Hoàng Tụy, Convex Analysis and Global Optimization, Springer, 2016 [4] Le Thi Hai Yen, Le Dung Muu, Nguyen Thi Thanh Huyen (2016), "An algorithm for a class of split feasibility problems; application to a model in electricity production", Math Meth Oper Res 84:549:565 ... Chương Một tiếp cận cân tách cho mơ hình NashCournot với ràng buộc chung 2.1 Bài toán chấp nhận lồi tách 21 21 2.2 Một thuật tốn giải mơ hình Nash? ? ?Cournot có ràng buộc chung. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THÀNH HUẾ MỘT TIẾP CẬN CÂN BẰNG TÁCH CHO MƠ HÌNH NASH - COURNOT VỚI MỘT RÀNG BUỘC CHUNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN... H cho lim sup vk ≤ c, lim sup wk ≤ c, k→+∞ k→+∞ lim k→+∞ ak vk + (1 − ak )wk = c, với c >0 Khi đó, limk→+∞ vk − wk = 21 Chương Một tiếp cận cân tách cho mơ hình Nash- Cournot với ràng buộc chung