Phương pháp điểm gần kề giải mô hình cân bằng nash cournot

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --- NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2013... TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2013

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG LAN

PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM GẦN KỀ GIẢI MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH - COURNOT

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

THÁI NGUYÊN - 2013

Mục lục

1 MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHÍ

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 4

1.1.1 Toán tử trong không gian Hilbert 4

1.1.2 Tập lồi và hàm lồi 10

1.1.3 Toán tử đơn điệu 14

1.1.4 Bất đẳng thức biến phân 18

1.2 Mô hình cân bằng Nash-Cournot cổ điển 22

1.2.1 Phát biểu mô hình Nash-Cournot 22

1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính 25

2 MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PHI LÕM 30 2.1 Mô hình cân bằng Nash-Cournot 30

2.2 Phương pháp giải theo thuật toán điểm gần kề 32

2.3 Thuật toán tìm điểm dừng 35

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

Mở đầu

Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ rất hữu hiệu để nghiêncứu và giải các bài toán ứng dụng như bài toán cân bằng trong kinh tế,tài chính, vận tải, lý thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng Trong

đó có mô hình cân bằng bán độc quyền Nash-Cournot Mô hình cân bằngthị trường bán độc quyền được Cournot đưa ra vào năm 1838 và được rấtnhiều tác giả trên thế giới tập trung nghiên cứu Sau nay nó được mô tảnhư một trường hợp đặc biệt của mô hình cân bằng Nash trong lý thuyếttrò chơi không hợp tác gồm n người chơi, vì vậy nó được gọi là mô hìnhcân bằng thị trường Nash-Cournot Gần đây người ta quan tâm nhiều đếnviệc giải quyết bài toán trên vì những ứng dụng của nó vào thực tiễn cuộcsống là rất đa dạng, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế

Mục đích chính của luận văn là trình bày về mô hình cân bằng Cournot cho cước phí tuyến tính và đặc biệt là trường hợp cước phí lõm.Khi cước phí lõm, mô hình cân bằng Nash-Cournot được mô tả dưới dạngbài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC Luận văn đã mô tả thuậttoán lặp dựa trên ý tưởng của phương pháp điểm gần kề để tính điểm dừngcủa bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp lõm Ngoài phần mở đầu,kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả nghiên cứu trong luận vănnày được trình bày thành hai chương với tiêu đề sau:

Nash-Chương 1: Mô hình cân bằng Nash-Cournot cước phí tuyến tính Nash-Chươngnày nhắc lại một số kiến thức cơ sở về không gian Hilbert thực, giải tíchlồi và một số khái niệm về ánh xạ đơn điệu, toán tử đơn điệu cùng với một

số kết quả liên quan đến tính đơn điệu của toán tử đơn điệu trong khônggian Hilbert Đồng thời giới thiệu về bài toán bất đẳng thức biến phân hỗnhợp và mô hình cân bằng Nash-Cournot với cước phí tuyến tính

Chương 2: Mô hình cân bằng Nash-Cournot cước phí lõm Chương nàygiới thiệu về mô hình cân bằng thị trường Nash-Cournot với cước phí lõm

và giới thiệu phương pháp giải mô hình trong trường hợp hàm chi phí làhàm lõm bằng phương pháp tìm điểm dừng theo thuật toán điểm gần kề.

Để hoàn thành được luận văn này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắctới GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học vàCông nghệ Việt Nam), người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em trongsuốt quá tình học tập và nghiên cứu để em có thể hoàn thiện luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy cô giáo giảngdạy tại Đại học Thái Nguyên và tại Viện Toán học đã mang đến cho emnhiều kiến thức bổ ích không chỉ trong khoa học mà còn cả trong cuộcsống

Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thờigian học tập tại Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thành luậnvăn này

Cuối cùng, con xin cảm ơn bố mẹ Nhờ có bố mẹ không quản gian khó,vất vả sớm khuya nhưng vẫn tạo mọi điều kiện tốt nhất để con có đượcthành quả ngày hôm nay

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học TháiNguyên dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS TSKH Lê Dũng Mưu Mặc

dù, em đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề được nghiên cứu là phức tạp

và mới mẻ, lại do thời gian có hạn và kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chếnên khó tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận được sự góp ý của quý thầy

cô và các bạn

Thái Nguyên, tháng 9 - 2013

Người viết Luận vănNguyễn Thị Phương Lan

Định nghĩa 1.1 Cho không gian véctơ X trên trường số K(K = R) Mộtánh xạ từ X × X → K được gọi là tích vô hướng trên X nếu nó thỏa mãncác điều kiện sau:

(i) hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ X, hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

(ii) hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X;

(iii) hx + x′, yi = hx, yi + hx′, yi, ∀x, x′, y ∈ X;

(iv) hλx, yi = λhx, yi, ∀x, y ∈ X, λ ∈ K;

Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x, y

Chú ý 1.1 Từ định nghĩa tích vô hướng và các điều kiện (ii) và (iv) tasuy ra:

-) hx, y + y′i = hx, yi + hx, y′i, ∀x, y, y′ ∈ X,

-) hx, λyi = λhx, yi, ∀x, y ∈ X, λ ∈ K

Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian tuyến tính thực, X được gọi làkhông gian tiền Hilbert nếu với mọi x, y ∈ X xác định một số thực được kíhiệu là hx, yi là tích vô hướng của x,y thỏa mãn các tính chất sau:

(i) hx, xi ≥ 0, nếu x 6= 0; hx, xi = 0, nếu x = 0;

(ii) hx, yi = hy, xi;

(iii) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi;

(iv) hαx, yi = αhx, yi, ∀α ∈R

Định lý 1.1 Trong không gian tiền Hilbert X, với mỗi x, y ∈ X ta luôn

có bất đẳng thức sau:

|hx, yi|2 ≤ hx, yi.hy, yiđược gọi là bất đẳng thức Schwarz

Chứng minh

Với y = 0 bất đẳng thức luôn đúng

Giả sử y 6= 0, ∀λ ∈ R ta có:

hx + λy, x + λyi ≥ 0hay

với kí hiệu này bất đẳng thức Schwarz được viết thành |hx, yi| ≤ kxk kyk.Chứng minh

Từ (i) trong định nghĩa tích vô hướng ta suy ra:

Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là kxn− xmk → 0, kéo theo sự

∃x0 ∈ X sao cho xn → x0 thì X được gọi là không gian đủ

Định nghĩa 1.4 Nếu X là không gian tiền Hilbert và đầy đủ thì X đượcgọi là không gian Hilbert

Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một không gian Hilbertthực

Định lý 1.4 Giả sử {xn}, {yn} là hai dãy trong không gian Hilbert H saocho xn → x0, yn → y0 Lúc đó

Định nghĩa 1.5 Hai véctơ x, y ∈ H được gọi là hai véctơ trực giao vớinhau kí hiệu là x⊥y nếu hx, yi = 0.

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra các tính chất đơn giản sau đây:

Với mỗi véctơ a cố định thuộc không gian Hilbert H, hệ thức:

f(x) = ha, xi, (1.1)xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian H, với:

kf k = kak (1.2)Ngược lại, bất kỳ phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) nào trên không gianHilbert H cũng đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng (1.1)trong đó a là một véctơ của H thỏa mãn (1.2)

Chứng minh

Phần thứ nhất của định lý, ta dễ dàng chứng minh được vì f(x) = ha, xi,

rõ ràng là một phiếm hàm tuyến tính và do

|f (x)| = |ha, xi| ≤ kak × kxk ; (1.3)

|f (a)| = |ha, ai| ≤ kak × kak , (1.4)nên phiếm hàm đó giới nội và thỏa mãn (1.2) Để chứng minh phần ngượclại, ta xét một phiếm hàm tuyến tính liên tục f(x) trên không gian Hilbert

H Tập hợp

M = {x ∈ H : f (x) = 0} ,

rõ ràng là một không gian con đóng của H

Nếu M⊥ = {0} thì dựa vào cách phân tích x = y +z với y ∈ M, z ∈ M⊥,

ta thấy rằng z = 0, cho nên f(x) = f(y) = 0, ∀x ∈ H, do đó f(x) = h0, xi,nghĩa là ta có cách biểu diễn (1.1) với a = 0 Vậy chỉ còn phải xét trườnghợp M⊥ 6= {0} Ta có f (x0) 6= 0, nên véctơ

Cho A là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H Vớimỗi y ∈ H cố định, ta xét phiếm hàm f : H →R được xác định như sau:

f(x) = hAx, yi, x ∈ H

Ta thấy f là phiếm hàm tuyến tính liên tục, tồn tại duy nhất y∗ ∈ H để

hAx, yi = hx, y∗i, ∀x ∈ H

Định nghĩa 1.7 Cho A là một toán tử tuyến tính liên tục trong khônggian Hilbert H, ánh xạ A∗ : H → H xác định như sau:

∀y ∈ H, A∗y = y∗,thỏa mãn hAx, yi = hx, A∗yi = hx, y∗i

Khi đó A∗ được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A

1.1.2 Tập lồi và hàm lồi

Định nghĩa 1.8 Tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu với mọi x, y ∈ C vớimọi λ ∈ [0, 1] sao cho:

λx+ (1 − λ) y ∈ C

Nhận xét 1.1 Theo định nghĩa tập ∅ được xem là tập lồi

Định nghĩa 1.9 (i) Tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu vớimọi x ∈ C, với mọi λ > 0 ta có λx ∈ C;

(ii) Tập C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0;(iii) Nón C có đỉnh tại x0 được gọi là nón lồi nếu C là tập lồi nghĩa là:

C∗ := {w ∈ H : hw, xi ≤ 0, ∀x ∈ C} ;(iii) Nón đối ngẫu của C, kí hiệu là C+ được định nghĩa như sau:

C+ := {w ∈ H : hw, xi ≥ 0, ∀x ∈ C} Cho C ⊆ H là tập lồi khác rỗng và hàm f : C → R∪ {+∞}, ta có cácđịnh nghĩa về các loại hàm lồi sau:

Định nghĩa 1.11 Hàm f được gọi là

(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C ta có:

Định nghĩa 1.12 (i) Trên đồ thị (epigraph) của hàm f, kí hiệu là epifđược định nghĩa như sau:

epif := {(x, r) ∈ C ×R : f (x) ≤ r} (ii) Miền hữu hiệu (effective domain) của f, kí hiệu là domf được địnhnghĩa như sau:

domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} (iii) Hàm f được gọi là chính thường (proper) nếu domf 6= ∅ và với mọi

x∈ C, f(x) > −∞

(iv) Hàm f được gọi là đóng nếu epif là tập đóng trong H ×R

Nhận xét 1.2 (-) f là hàm lồi ngặt hay lồi mạnh thì f là hàm lồi

(-) f lồi trên C khi và chỉ khi epif là tập lồi trong H ×R

(-) f lồi suy ra domf lồi

Tiếp theo ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của dưới vi phânhàm lồi

Định nghĩa 1.13 (i) Với f (x) < +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục dướitại x nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho:

f(x) − ε ≤ f (y), ∀y ∈ U

(ii) Với f (x) = +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu với mọi

N > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho:

f(y) ≥ N, ∀y ∈ U

Định nghĩa 1.14 Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên H nếu f nửaliên tục dưới tại mọi x ∈ H.

Định nghĩa 1.15 (i) Với f (x) < +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục trêntại x nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho:

f(x) + ε ≥ f (y), ∀y ∈ U

(ii) Với f (x) = +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục trên tại x nếu với mọi

N > 0 , tồn tại lân cận U của x sao cho:

Định nghĩa 1.18 Cho hàm f xác định trên một lân cận của x ∈ H, hàm

f được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại x∗ ∈ Hsao cho:

lim

z→x

f(z) − f (x) − hx∗, z − xi

kz − xk = 0,hàm f được gọi là hàm khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ H

Nhận xét 1.3 Điểm x∗ nếu tồn tại sẽ là duy nhất và được gọi là đạo hàmcủa hàm f tại x, thường kí hiệu là ∇f(x) hoặc f′(x)

Định nghĩa 1.19 Giả sử f : H → R ∪ {∞} là hàm lồi, phiếm hàm

x∗ ∈ H∗ được gọi là dưới đạo hàm (subgradient) của hàm f tại ¯x ∈ H nếu:

Mệnh đề 1.1 Giả sử f là hàm lồi chính thường trên H, ¯x ∈ domf Khi

đó, ∂f(¯x) 6= ∅ khi và chỉ khi f′(¯x, ) nửa liên tục dưới tại 0, trong đó f′(¯x, )

là đạo hàm tại x theo phương bất kì của hàm f

Định nghĩa 1.20 Cho hàm f xác định trên tập Q ⊂ H, xét bài toán:

min {f (x) : x ∈ Q} (P )(i) Điểm x ∈ Q được gọi là điểm chấp nhận được của bài toán (P)

(ii) Điểm ¯x ∈ Q được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P),nếu tồn tại lân cận U của ¯x sao cho:

(ii) Giả sử trong bài toán (P) ta có Q = H và f là một hàm lồi, để ¯x

là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) thì điều kiện cần và đủ là

λx+ (1 − λ)¯x ∈ U

Từ đó

f(¯x) ≤ f (λx + (1 − λ)¯x) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (¯x),hay

λf(¯x) ≤ λf (x) ⇒ f (¯x) ≤ f (x),chứng tỏ ¯x là nghiệm tối ưu toàn cục

(ii) ¯x là nghiệm tối ưu toàn cục của (P)

1.1.3 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.21 Cho tập X, Y thuộc không gian Hilbert H,

(i) Ánh xạ F : X → Y là đơn trị nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X, xác địnhduy nhất một phần tử F (x) = y ∈ Y và ta thường kí hiệu là F : X → YÁnh xạ ngược F−1 : Y → X được định nghĩa như sau:

F−1(y) = {x ∈ X : F (x) = y} (ii) Ánh xạ F : X → Y là đa trị nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X, thì F (x)

là một con của không gian Y (có thể là tập rỗng) và ta thường kí hiệu là

F : X → 2Y hay F : X → π(y)

Ánh xạ ngược F−1 : Y → X được định nghĩa như sau:

F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ Y ∩ F (x)} Định nghĩa 1.22 Đồ thị (gphF), miền hữu hiệu (domF), miền ảnh (rgeF)của ánh xạ đa trị F : X → 2Y được định nghĩa tương ứng bằng các côngthức sau:

gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ;domF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} ;rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}

Định nghĩa 1.23 Cho H là không gian Hilbert với tích vô hướng h·, ·i(i) Toán tử đơn trị T : H → H∗(H = H∗) được gọi là toán tử đơn điệunếu:

(v) Toán tử đơn trị T được gọi là đồng bức với hệ số σ > 0 (viết tắt làσ-đồng bức) trên H nếu:

hT (x) − T (y), x − yi ≥ σ kT (x) − T (y)k2,∀x, y ∈ H

Ví dụ 1.1 Cho toán tử T đơn trị xác định trên R như sau:

T(x) = x, ∀x ∈ R.Khi đó T là toán tử đơn điệu vì ∀x, y ∈ R ta có:

hT (x) − T (y), x − yi = hx − y, x − yi = (x − y)2

≥ 0

Nhận xét 1.5 Nếu T là toán tử không giãn trên không gian Hilbert H thì

A= I − T là toán tử đơn điệu, trong đó I là toán tử đồng nhất

Định nghĩa 1.24 H là không gian Hilbert với tích vô hướng h·, ·i

(i) Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu nếu:

hu − v, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y)

(ii) Toán tử đa trị T được gọi là toán tử đơn điệu ngặt nếu:

hu − v, x − yi > 0, ∀x, y ∈ domT, x 6= y, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y)

(iii) Toán tử đa trị T được gọi là toán tử đơn điệu mạnh nếu với hằng số

α ∈ R, α > 0 ta có:

hx − y, u − vi ≥ αkx − yk2,∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y).(iv) Toán tử đa trị được gọi là toán tử đơn điệu cực đại nếu đồ thị của nókhông phải là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một toán tử đơn điệunào khác

(v) Toán tử đa trị T được gọi là đồng bức với hệ số σ > 0 (viết tắt làσ-đồng bức) trên H nếu:

hu − v, x − yi ≥ σku − vk2,∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y)

Ví dụ 1.2 Xét toán tử đa trị trong R:

hu − v, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y),

nên T là toán tử đơn điệu

Khi đó toán tử ngược T−1 : H → 2H được xác định như sau:

T−1(y) = {x ∈ H : y ∈ T (x), ∀y ∈ H} Định lý 1.7 Toán tử tuyến tính A : H → H là đơn điệu khi và chỉ khi

hAz, zi ≥ 0, ∀z ∈ H

Chứng minh

Hiển nhiên domA = H và A là toán tử đơn điệu, theo định nghĩa A là toán

tử đơn điệu khi và chỉ khi

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H,

(i) T : H → 2H đơn điệu khi và chỉ khi T−1 : H → 2H là đơn điệu;

(ii) Nếu T1, T2 là các toán tử đơn điệu từ H → 2H và nếu λ1, λ2 ≥ 0 thì

λ1T1+ λ2T2 cũng là toán tử đơn điệu;

Nếu thêm điều kiện T1, T2 là đơn điệu ngặt và λ1 > 0, λ2 > 0, thì λ1T1+λ2T2

(i) Theo định nghĩa toán tử T là đơn điệu khi và chỉ khi

hx − y, u − vi ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y),

hay

hx − y, u − vi ≥ 0, ∀x, y ∈ domT−1,∀x ∈ T−1(u), ∀y ∈ T−1(v)

điều này cho thấy T−1 là toán tử đơn điệu

(ii) Hiển nhiên ta có:

dom(λ1T1 + λ2T2) = {z ∈ H : λ1T1(z) + λ2T2(z) 6= ∅}

=domT1 ∩ domT2.Giả sử x, y ∈ domT1 ∩ domT2 và

u ∈ (λ1T1 + λ2T2) (x) = λ1T1(x) + λ2T2(x)

v ∈ (λ1T1 + λ2T2) (y) = λ1T1(y) + λ2T2(y)

Lấy ui ∈ Ti(x), vi ∈ Ti(x), i = 1, 2, sao cho

Điều này chứng tỏ λ1T1+ λ2T2 là toán tử đơn điệu

Khẳng định sau đây được suy ra ngay từ định nghĩa của đơn điệu ngặt:Nếu T1, T2 là đơn điệu ngặt và λ1 > 0, λ2 > 0, thì λ1T1 + λ2T2 là đơn điệungặt

(iii) Lấy x, y ∈ domT, u ∈ S(x) = A∗T (Ax + b) , v ∈ S(y) = A∗T (Ay + b)chọn u1 ∈ T (Ax + b) và v1 ∈ T (Ay + b) sao cho u = A∗u1, v = A∗v1

Do tính đơn điệu của T ta có:

hv − u, y − xi = hA∗v1 − A∗u1, y− xi

= hv1 − u1,(Ay + b) − (Ax + b)i ≥ 0

Từ đó chứng tỏ S là toán tử đơn điệu

Giả sử A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu ngặt, khi đó nếu x 6= ythì Ax 6= Ay kéo theo Ax + b 6= Ay + b

Giả sử u, v, u1, v1 được lấy như trên, vì T là toán tử đơn điệu ngặt nên

hv1 − u1,(Ay + b) − (Ax + b)i ≥ 0

Định nghĩa 1.25 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H và ánh xạ

F : C → H là liên tục Bài toán bất đẳng thức biến phân được định nghĩanhư sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho : hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

Bài toán bất đẳng thức biến phân được kí hiệu là VIP(C;F).

Tập tất cả các nghiệm của VIP(C;F) kí hiệu là SOL - VIP(C;F)

Định nghĩa 1.26 (Bài toán bù)

Cho C là một nón lồi trong H và ánh xạ F : C → Rn Bài toán bù phituyến được kí hiệu là NCP(C;F), được định nghĩa như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho : F (x∗) ∈ C∗ và hF (x∗), x∗i = 0,trong đó C∗ là nón đối ngẫu của C, tức là:

hF (x∗), x − x∗i = hF (x∗), xi − hF (x∗), x∗i

= hF (x∗), xi ≥ 0, ∀x ∈ C

Suy ra x∗ ∈ SOL − V IP (C; F )



Định nghĩa 1.27 Hàm g : C → R∪ {+∞} được gọi là hàm đánh giá củabài toán bất đẳng thức biến phân nếu nó thỏa mãn các tính chất sau:i) g(x) ≥ 0, ∀x ∈ C;

ii) g(x) = 0 ⇔ x ∈ SOL − V IP (C; F )

Định nghĩa 1.28 (Hàm đánh giá Auslender)

Hàm đánh giá Auslender của VIP(C;F) được kí hiệu là gA(x) và được chobởi công thức:

gA(x) := max

y∈ChF (x), x − yi, ∀x ∈ CĐịnh nghĩa 1.29 Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con lồi đóngkhác rỗng của H, F : C → H là ánh xạ đơn điệu và ϕ là hàm lồi chínhthường của H Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát sau (cònđược gọi là bất đẳng thức biến phân hỗn hợp):

Tìm x∗ ∈ C sao cho : hF (x∗), x − x∗i + ϕ(x) − ϕ(x∗) ≥ 0, ∀x ∈ C (1.5)trong đó h·, ·i là tích vô hướng trong H

Chuẩn của tích vô hướng được định nghĩa bằng k·k

Nhận xét rằng khi ϕ là hàm khả vi liên tục trên C, bất đẳng thức (1.5)tương đương với:

Tìm x∗ ∈ C sao cho : hF (x∗) + ∇ϕ(x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.6)Với bài toán (1.5) ta xét hàm đánh giá sau:

Trong trường hợp ϕ là khả vi ta thu được hàm đánh giá: