2 MƠ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT CƯỚC PH
2.2 Phương pháp giải theo thuật tốn điểm gần kề
Trong phần này, đầu tiên ta nghiên cứu các tính chất liên quan đến nghiệm tồn cục và nghiệm địa phương cho bài tốn MVIP trong đĩ ϕ là một hàm DC. Tiếp theo ta mở rộng phương pháp điểm gần kề để tìm điểm dừng của bài tốn này. Cuối cùng, ta chứng minh kết quả hội tụ khi ϕ là lồi và F là đơn điệu mạnh.
Định nghĩa 2.1. Phương pháp điểm gần kề của Rockafellar để giải bao hàm thức:
0 ∈ T(z) (P∗)
trong đĩ T là ánh xạ đơn điệu cực đại.
Phương pháp này là một phương pháp lặp tức là xây dựng một dãy lặp xk như sau:
(-) Xuất phát từ x0
∈ H
(-) Tại bước thứ k điểm lặp là
xk+1 = (I +cT)−1
(xk), ở đây I là tốn tử đồng nhất (tức là Ix = x)
Rockafellar đã chứng minh rằng dãy {xk} hội tụ yếu đến một nghiệm z của bài tốn(P∗). Ta sẽ sử dụng lược đồ của phương pháp điểm gần kề để giải bài tốn mơ hình cân bằng Nash-Cournot với cước phí lõm.
Cho ∅ 6= C ⊆Rn là tập con lồi đĩng, F : C → Rn là ánh xạ liên tục, và ϕ là hàm giá trị thực liên tục (khơng cần lồi) được định nghĩa trên Rn. Ta xét bài tốn về bất đẳng thức biến phân hỗn hợp sau (MVIP):
Điểm x∗ này được gọi là nghiệm tồn cục vớix∗ ∈ C. Điểm x∗ ∈ C được gọi là nghiệm địa phương nếu tồn tại một lân cận U của x∗ thỏa mãn:
F(x∗)T (y −x∗) +ϕ(y)−ϕ(x∗) ≥ 0,∀y ∈ U ∩C. (2.6) Chú ý rằng, khi ϕ lồi trên C thì nghiệm địa phương cũng là nghiệm tồn cục, khi ϕ khơng lồi, nghiệm địa phương cĩ thể khơng là nghiệm tồn cục.
Ta gọi C là miền cho phép, F là tốn tử chi phí và ϕ là hàm chi phí. KhiC là tập lồi đĩng, dễ dàng thấy rằng với bất kì nghiệm địa phương của (2.5) là nghiệm tồn cục nếu ϕ là lồi trên C. Ta gọi tên bài tốn (2.5) là bất đẳng thức biến phân hỗn hợp lồi khi ϕ là lồi, ngược lại bất đẳng thức biến phân hỗn hợp khơng lồi khi hàm chi phí là khơng lồi.
Ta kí hiệu
ℵC :=
(x, U) : x ∈ C, U là lân cận mở của x .
Tiếp đĩ ta đi định nghĩa ánh xạ S : ℵC → 2C và hàm m : ℵC → R bằng cách lấy lần lượt:
S(x, U) := argminnF(x)T(y −x) +ϕ(y) : y ∈ C ∩Uo, (2.7) m(x, U) := minnF(x)T(y−x) +ϕ(y)−ϕ(x) : y ∈ C ∩ Uo, (2.8) trong đĩ hàm m(x, U) như là hàm khoảng cách của bài tốn (2.5).
Mệnh đề 2.1. Giả sử rằng S(x, U) 6= ∅ với mọi (x, U) ∈ ℵC. Khi đĩ những phát biểu sau là tương đương:
(a) x∗ là một nghiệm địa phương của (2.5) ; (b) x∗ ∈ C và x∗ ∈ S(x∗, U) ;
(c) x∗ ∈ C và m(x∗, U) = 0.
Chứng minh
*) Ta chứng minh (a) tương đương (b)
Giả sử x∗ ∈ C và x∗ ∈ S(x∗, U). Thì ∀y ∈ C ∩U
Vì thế x∗ là nghiệm địa phương của bài tốn (2.5). Ngược lại, nếu
F(x∗)T(y −x∗) +ϕ(y)−ϕ(x∗) ≥0,∀y ∈ C ∩U, (2.9) thì rõ ràng x∗ ∈ S(x∗, U).
Ta thấy rằngm(x, U) ≤ 0,∀x ∈ C∩U. Do đĩx∗ ∈ C∩U vàm(x∗, U) = 0
nếu và chỉ nếu F(x∗)T(y−x∗) +ϕ(y)−ϕ(x∗) ≥0,∀y ∈ C ∩U cĩ nghĩa là
(a) và (c) là tương đương.
Gọi ΓC là tập hợp tất cả các hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C. Do g và h là hàm lồi thuộc ΓC. Nên khi cộng vào hoặc trừ đi một hàm lồi mạnh h(x), ta cĩ thể kết luận là cả hai hàm g và h đều lồi mạnh trên C. Khi đĩ x là nghiệm của (2.5) nếu và chỉ nếu x thỏa mãn bài tốn tối ưu hĩa sau:
minnF(x)T(y −x) +g(y)−h(y),∀y ∈ C o
.
Định nghĩa 2.2. Một điểm x ∈ C được gọi là điểm dừng của bài tốn
(2.5) nếu
0∈ F(x) +∂g(x)−∂h(x) +NC(x), (2.10)
trong đĩ
NC(x) :=
w : wT(y −x) ≤ 0,∀y ∈ C
là nĩn pháp tuyến ngồi của C tại x ∈ C và ∂g(x) và ∂h(x) lần lượt là dưới vi phân tại x của hàm lồi g và h.
Vì NC(x) là nĩn lồi, với mọi c > 0, (2.10) tương đương với
0∈ c{F(x) +∂g(x)−∂h(x)}+NC(x). (2.11) Ta đặtg1(x) := g(x) +δC(x),trong đĩ ∂δC(x) được gọi là dưới vi phân của hàm chỉ δC của C tại x. Theo định lý Moreau-Rockafellar,
∂g1(x) = ∂g(x) + ∂δC(x). Do đĩ theo định nghĩa x là điểm dừng nếu và chỉ nếu
0 ∈ c{F(x) +∂g(x)−∂h(x)}+∂δC(x), (2.12) trong đĩ c > 0 là tham số hiệu chỉnh.
Từ Mệnh đề 2.1 ta suy ra mọi nghiệm địa phương của bài tốn (2.5) là điểm dừng. Cho g1(x) = g(x) +δC(x), vì cả g và δC là lồi và đĩng chính thường nên hàm g1 cũng lồi đĩng. Suy ra, ∂g1(x) = ∂g(x) +NC(x) với mọi x∈ C.
Mệnh đề 2.2. Điều kiện cần và đủ cho x là điểm dừng của bài tốn (2.5)
là
x ∈ (I +c∂g1)−1(x−cF(x) + c∂h(x)), (2.13)
trong đĩ c > 0 và I là ánh xạ đồng nhất.
Chứng minh
Vì g1 lồi, đĩng chính thường nên ánh xạ (I +∂g1)−1 là đơn trị tại mọi điểm. Hơn nữa, x thỏa mãn điều kiện (2.13) khi và chỉ khi
x−cF(x) +cv(x) ∈ (I +c∂g1) (x),∀v(x)∈ ∂h(x). Vì NC(x) là nĩn và
∂g1(x) = ∂g(x) +∂δC(x) = ∂g(x) +NC(x), nên
x−cF(x) +cv(x) ∈ (I +c∂g1) (x). Tương đương với
0∈ F(x) +∂g(x)−∂h(x) +NC(x). là điều phải chứng minh.