hai tiếp cận cho mô hình cân bằng nash - cournot

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO THỊ LÀNH HAI TIẾP CẬN CHO MÔ HÌNH CÂN BẰNG NASH-COURNOT Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU Thái Nguyên - Năm 2014 i LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của khóa luận này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn GS.TSKH. Lê Dũng Mưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Trong quá trình học tập chương trình cao học tại trường Đại học khoa học, tôi đã nhận được sự giúp đỡ và sự giảng dạy tận tình của GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TS. Trần Vũ Thiệu, PGS. Nông Quốc Chinh, PGS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS.TS. Tạ Duy Phượng, TS. Nguyễn Thị Thanh Thủy, cùng rất nhiều thầy cô công tác tại Viện Toán học Việt Nam, Trường Đại học Thăng Long, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, các cô. Nhận dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá tình học tập. Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn tốt nghiệp. Đặc biệt, cảm ơn anh Lưu Đình Trung đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, ngày 21 tháng 06 năm 2014 Tác giả Đào Thị Lành ii Mục lục Mở đầu 1 1 Tiếp cận cân bằng Nash cho mô hình kinh tế bán độc quyền Cournot. 2 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Tập lồi, hàm lồi và toán tử đơn điệu . . . . . . . . 3 1.1.2 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Mô hình cân bằng với cước phí tuyến tính . . . . . . . . . . 15 1.2.1 Phát biểu mô hình Nash - Cournot . . . . . . . . . 15 1.2.2 Trường hợp cước phí tuyến tính . . . . . . . . . . . 17 1.3 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm . . . . . 21 1.3.1 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm 21 1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình . . . . . . . . . . . 22 2 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình kinh tế bán độc quyền Cournot 25 2.1 Các kiến thức cơ bản về tối ưu vectơ . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Bài toán tối ưu một mục tiêu . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2 Sự tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.3 Bài toán tối ưu đa mục tiêu . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.4 Định lý vô hướng hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Bài toán tối ưu vectơ cho mô hình Cournot . . . . . . . . . 30 2.2.1 Mô hình Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.2 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình Cournot . . . . 31 i Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 1 MỞ ĐẦU Mô hình cân bằng thị trường độc quyền do A. Cournot đưa ra vào năm 1838 và đã được rất nhiều tác giả trên thế giới tập trung nghiên cứu. Mô hình Cournot có vai trò rất quan trọng trong thực tiễn cuộc sống, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của mô hình này là xây dựng cách tiếp cận cho mô hình Cournot. Hai cách tiếp cận quan trọng cho mô hình Cournot đó là tiếp cận cân bằng và tiếp cận tối ưu đa mục tiêu. Nội dung của luận văn này, trình bày về cách tiếp cận cân bằng cho mô hình Cournot. Bản luận văn gồm hai chương: Chương 1. Tiếp cận cân bằng Nash cho mô hình kinh tế bán độc quyền Cournot. Trong chương này ta tìm hiểu các kiến thức về tập lồi, hàm lồi, toán tử đơn điệu và bài toán cân bằng. Sau đó, trình bày về mô hình cân bằng với cưới phí tuyến tính và mô hình cân bằng với cước phí lõm. Chương 2. Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình bán độc quyền Cournot Chương hai gồm các kiến thức về tối ưu vectơ như : Bài toán tối ưu một mục tiêu, sự tồn tại nghiệm và bài toán tối ưu đa mục tiêu, sau đó trình bày về định lý vô hướng hóa và tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình Cournot. Tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng toàn thể bạn đọc. 2 Chương 1 Tiếp cận cân bằng Nash cho mô hình kinh tế bán độc quyền Cournot. Trong chương này chúng ta xét nội dung bao gồm: Một số kiến thức liên quan đến không gian R n , giải tích lồi, bất đẳng thức biến phân Tiếp sau đó là mô hình Cournot theo tiếp cận mô hình Nash. Đồng thời trình bày về mô hình cân bằng với cước phí tuyến tính và mô hình cân bằng với cước phí lõm. Các kiến thức trong chương này được lấy chủ yếu ở các tài liệu [1], [2], [3], [4], [5]. 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong luận văn này chúng ta kí hiệu R n là không gian Euclide thực n chiều. Một phần tử x = (x 1 , x 2 , , x n ) T ∈ R n là một vectơ cột R n . Ta nhắc lại rằng, với hai vectơ x = (x 1 , x 2 , , x n ), y = (y 1 , y 2 , , y n ) ∈ R n , x, y := n  i=1 x i y i 3 được gọi là tích vô hướng của hai vectơ. Chuẩn Euclide của phần tử x và khoảng cách Euclide giữa hai phần tử x, y được định nghĩa tương ứng bởi  x :=  x, y, d(x, y) := x − y  . Ta gọi R = [−∞, +∞] = R ∪ {−∞} ∪ {+∞} là tập số thực mở rộng. Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồi và toán tử đơn điệu. 1.1.1 Tập lồi, hàm lồi và toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.1. Một tập hợp C ⊂ R n được gọi là lồi nếu ∀x, y ∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C. Các ví dụ về tập lồi: Tập không gian R n , siêu phẳng, hình vuông, hình tròn Tuy nhiên đường tròn hay hình vành khăn không phải tập lồi.      ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❅      ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ y x ✫✪ ✬✩ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆ ❆    ❅ ❅ ❅ ❅ ❅ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ ❍ x y Các tập hợp lồi Các tập hợp không lồi    x y ✫✪ ✬✩ 4 Một số tính chất cơ bản của tập lồi a) Giao của một số bất kì các tập lồi là một tập lồi. b) Nếu tập hợp C và D là lồi thì C + D, αC (và do đó cả C − D) cũng lồi. c) Bao đóng của một tập hợp lồi là tập hợp lồi. d) Tập hợp tất cả các tổ hợp lồi của một số hữu hạn các điểm trong R n là một tập hợp lồi. Tập hợp C ⊂ R n được gọi là lồi chặt nếu ∀x, y ∈ C, x = y, mọi điểm λx + (1 − λ)y với 0 < λ < 1 đều là điểm trong của C. Định nghĩa 1.2 (Xem [4], Định nghĩa 1.1.3). Hàm f : R n → R n \ {+∞} được gọi là (i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C ta có f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), (ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C, x = y ta có f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y), (iii) lồi mạnh trên C nếu tồn tại τ ∈ R, τ > 0 với mọi λ ∈ (0, 1), ∀x, y ∈ C ta có f(λx + (1 − λ)y) < λf(x) + (1 − λ)f(y) − 1 2 λ(1 − λ)τ  x − y  2 , (iv) lõm trên C nếu -f là hàm lồi trên C. Định nghĩa 1.3. Một hàm aphin là hàm số có dạng f(x) = c, x + α trong đó c ∈ R n , α ∈ R cho trước tùy ý. Nếu f(x) là hàm afin thì với mỗi x, y ∈ R n và mọi số λ, µ sao cho λ + µ = 1 ta có f(λx + µy) = λf(x) + µf(y). Một hàm afin f(x) = c, x +α không lấy giá trị âm thì phải đồng nhất với một hằng số (vectơ c phải bằng 0), vì nếu c = 0 thì ta sẽ có f(λc) = c, x + α → −∞ khi λ → −∞. 5 Định nghĩa 1.4 ( Xem [4], Định nghĩa 1.1.1). Cho C là tập lồi trong R n , Q: C → R n là một ánh xạ. Ánh xạ Q được gọi là (i) Đơn điệu trên C nếu mỗi cặp điểm u, v ∈ C, ta có Q(u) − Q(v), u − v ≥ 0. (ii) Đơn điệu mạnh trên C với mỗi hằng số τ > 0 nếu mỗi cặp u, v ∈ C, ta có Q(u) − Q(v), u − v ≥ τ  u − v  2 . (iii) Đơn điệu ngặt trên C nếu với mọi u, v ∈ C, ta có Q(u) − Q(v), u − v > 0. (iv) Giả đơn điệu trên C nếu mỗi cặp điểm u, v ∈ C ta có nếu Q(v), u − v ≥ 0. thì Q(u), u − v ≥ 0. Định nghĩa 1.5. Đồ thị (epiF), miền hữu hiệu (domF), miền ảnh (rgeF) của ánh xạ đa trị F : X → 2 Y được định nghĩa tương ứng bằng công thức sau epiF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)}; domF = {x ∈ X : F (x) = 0}; rge = {y ∈ Y : ∃x ∈ X : y ∈ F (x)}. Ví dụ 1.6. Cho toán tử T đơn trị xác định trên R như sau T (x) = x, ∀x ∈ R. Khi đó, T là toán tử đơn điệu vì ∀x, y ∈ R ta có: T (x) − T (y), x − y = x − y, x − y = (x − y) 2 ≥ 0 Định lý 1.7. Toán tử tuyến tính A : R n → R n là đơn điệu khi và chỉ khi Az, z ≥ 0, ∀z ∈ R n . Chứng minh. Hiển nhiên domA = R n và A là toán tử đơn điệu. Theo định nghĩa, A là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ R n , 6 hay A(x − y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ R n . Đặt z = x − y ta có Az, z ≥ 0, ∀z ∈ R n . Định nghĩa 1.8 (Phép toán bảo toàn tính đơn điệu). Các tính chất sau luôn đúng (i) T : R n → 2 R n đơn điệu khi và chỉ khi T −1 : R n → 2 R n là đơn điệu. (ii) Nếu T 1 , T 2 là toán tử đơn điệu từ R n → 2 R n và nếu λ 1 , λ 2 ≥ 0 thì λ 1 T 1 + λ 2 T 2 cũng là toán tử đơn điệu. Nếu thêm điều kiện T 1 hoặc T 2 là đơn điệu chặt thì λ 1 T 1 + λ 2 T 2 là đơn điệu chặt. (iii) Nếu T : R n → 2 R n là toán tử đơn điệu và A : R n → R n là toán tử tuyến tính, A ∗ là toán tử liên hợp của A thì S(x) = A ∗ T (Ax + b) cũng là toán tử đơn điệu. Ngoài ra nếu A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu chặt thì S là toán tử đơn điệu chặt. Chứng minh. (i) Theo định nghĩa toán tử T là đơn điệu khi và chỉ khi x − y, u − v ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, x = y, ∀u ∈ T(x), ∀v ∈ T(y), hay x − y, u − v ≥ 0; ∀x, y ∈ domT −1 , x = y, ∀x ∈ T −1 (u), ∀y ∈ T −1 (v). Điều này chứng tỏ T −1 là toán tử đơn điệu. (ii Hiển nhiên ta có dom(λ 1 T 1 +λ 2 T 2 ) = {z ∈ R n : λ 1 T 1 (z)+λ 2 T 2 (z) = 0} = domT 1 ∩domT 2 . Giả sử x, y ∈ domT 1 ∩ domT 2 và u ∈ (λ 1 T 1 + λ 2 T 2 )(x) = λ 1 T 1 (x) + λ 2 T 2 (x). v ∈ (λ 1 T 1 + λ 2 T 2 )(y) = λ 1 T 1 (y) + λ 2 T 2 (y). Lấy u i ∈ T i (x), v i ∈ T i (y), i = 1, 2 sao cho u = λ 1 u 1 + λ 2 u 2 , v = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 , do T 1 , T 2 là toán tử đơn điệu nên ta có [...]... x1 − 27 = 0 ⇔ x1 = 18 ∈ [0, 10] 2 3 2 x − 26x2 4 2 52 3 ∈ [0, 15] / = 0 ⇔ x2 − 26 = 0 ⇔ x2 = 2 3 Do đó điểm cân bằng Nash của bài toán này là (10, 15) 1.3 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm 1.3.1 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm Trong mô hình cân bằng kinh tế Nash - Cournot cổ điển, hàm cước phí đã được giả thiết là hàm tăng, afin theo số lượng sản suất Tuy nhiên trong thực... Ψ(x, y) − Ψ(x, x) (1.6) Mệnh đề dưới đây nói rằng, bài toán tìm điểm cân bằng của mô hình Nash - Cournot tương đương bài toán cân bằng sau Tìm x∗ ∈ V sao cho Φ(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ V Mệnh đề 1.23 Điểm x∗ ∈ V là một điểm cân bằng khi và chỉ khi x∗ là một nghiệm của bài toán cân bằng (EP) Chứng minh Giả sử x∗ ∈ V là điểm cân bằng của mô hình Khi đó fi (x∗ [yi ]) ≤ fi (x∗ ), ∀i = 1, 2, , n, ∀yi ∈ Vi , suy... xj phải bằng hạn ngạch m0 > 0 Chúng ta đề xuất một thuật toán dựa trên quy hoạch tuyến tính cho việc tìm kiếm một điểm Pareto cho mô hình với giả định quan trọng mà tập chiến lược của mỗi công ty độc lập với nhau Giả định này làm cho các mô hình dễ dàng hơn để xử lý 31 2.2.2 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình Cournot Trong phần này, ta xét mô hình Cournot tuyến tính với tập chiến lược độc lập bằng cách... đầu vào tham số Một cách tiếp cận thường được sử dụng cho mô hình này là dựa trên những khái niệm cân bằng Nash nổi tiếng Trong mô hình Cournot tuyến tính, lợi nhuận của công ty thứ i được cho bởi: n fi (x) = α−β xi xi − hi (x), (i = 1, , n), i=1 trong đó α, β > 0 và hàm chi phí hi là một hàm số afin chỉ phụ thuộc vào số lượng xi của công ty thứ i Do cách tiếp cận cân bằng trong một số trường hợp gặp... đây ta sẽ trình bày bài toán cân bằng và một số tính chất của bài toán cân bằng 8 Định nghĩa 1.11 (Bài toán cân bằng, Xem [4], Định nghĩa 2.1.4) Cho U là tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn , Φ : U × U → R ∪ {+∞} là một song hàm cân bằng trên U Bài toán cân bằng là bài toán Tìm u∗ ∈ U sao cho Φ(u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ U (EP ) Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán cân bằng (EP) là SOL-EP(Φ, U) Định nghĩa 1.12 (Bài... bài toán này có duy nhất một nghiệm tối ưu và nó cũng là điểm cân bằng duy nhất của mô hình cân bằng thị trường kinh tế Nash - Cournot Rõ ràng lời giải tối ưu cho bài toán quy hoạch lồi cũng viết được thành bài toán sau, theo nghĩa hai tập hợp nghiệm của chúng trùng nhau 1 max αT x − µT x − xT P x x∈V 2 Điều đó có nghĩa là điểm cân bằng Nash là điểm có tổng lợi ích của hãng là lớn nhất với ma trận... đặt ra là muốn tìm một cách tiếp cận tối ưu hóa vectơ chứ không phải là cách tiếp cận cân bằng với mô n j=1 fj (x), (f1 (x), f2 (x), , fn (x))T hình Cournot tuyến tính Dựa trên thực tế là tổng lợi nhuận trong đó x là một điểm Pareto của hàm f (x) := trên các tập chiến lược nói chung là lớn hơn so với khi x là một điểm cân bằng Nash Hơn nữa, trong một số trường hợp các mô hình thực tế, tổng lợi nhuận... có λ = 0 sao cho p λT y ≤ 0, ∀y ∈ R− (1) λT y ≥ 0, ∀y ∈ K (2) p j=1 λj p j=1 λj = 1 Từ (1) ta có thể thấy rằng λ ≥ 0 trong khi đó từ (2) và định nghĩa của K thì λT y (F (x) − F (u)) ≥ 0, ∀x ∈ D Bằng cách chia ta có thể giả sử rằng Có nghĩa u là một điểm tối ưu của bài toán (P (λ)) 30 2.2 2.2.1 Bài toán tối ưu vectơ cho mô hình Cournot Mô hình Cournot Mô hình Cournot là một trong những mô hình cơ bản... toán cân bằng, Xem [4]) Cho U là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn , Φ : U × U → R ∪ {+∞} là một song hàm cân bằng trên U Bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng (EP) là bài toán Tìm v ∗ ∈ U sao cho Φ(u, v ∗ ) ≤ 0, ∀v ∈ U (DP ) Ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng là (EP) là SOL-DP(Φ, U) Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu về sự tồn tại nghiệm và tính chất của bài toán cân bằng. .. xuất x Bài toán đặt ra là hãy tìm một phương án sản xuất chấp nhận đước sao cho ứng với phương án này có một chi phí là thấp nhất Bài toán này có thể được mô ta dưới bài toán bất đẳng thức biến phân sau Tìm x∗ ∈ C sao cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C 15 1.2 1.2.1 Mô hình cân bằng với cước phí tuyến tính Phát biểu mô hình Nash - Cournot Giả sử trong nền kinh tế thị trường có n hãng tham gia sản xuất cùng . nghiên cứu quan trọng của mô hình này là xây dựng cách tiếp cận cho mô hình Cournot. Hai cách tiếp cận quan trọng cho mô hình Cournot đó là tiếp cận cân bằng và tiếp cận tối ưu đa mục tiêu. Nội. 17 1.3 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm . . . . . 21 1.3.1 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm 21 1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình . . . . . . . . . . . 22 2 Tiếp cận. luận văn này, trình bày về cách tiếp cận cân bằng cho mô hình Cournot. Bản luận văn gồm hai chương: Chương 1. Tiếp cận cân bằng Nash cho mô hình kinh tế bán độc quyền Cournot. Trong chương này ta