1.3.1 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõmTrong mô hình cân bằng kinh tế Nash - Cournot cổ điển, hàm cước Trong mô hình cân bằng kinh tế Nash - Cournot cổ điển, hàm cước phí đã được giả thiết là hàm tăng, afin theo số lượng sản suất. Tuy nhiên trong thực tế, chi phí để sản xuất một đơn vị hàng hóa thường là giảm khi số lượng sản phẩm sản xuất tăng. Hơn nữa, giá sản xuất của mỗi hãng là không giống nhau. Do đó trong phần này ta xét mô hình cân bằng Nash - Cournot với chi phí sản xuất là hàm lõm và giá thành sản xuất của mỗi hãng là khác nhau. Cụ thể ta cho hàm giá pi(σ) có công thức
pi(σ) = pi( n X i=1 xi) = αi −βi( n X i=1 xi);αi ≥ 0, βi > 0, i = 1,2, ..., n và hàm chi phí của hãng thứ i là hi(xi) là một hàm lõm. Khi đó ta có Φ(x, y) = Ψ(x, y)−Ψ(x, x) = n P i=1 fi(x)− n P i=1 fi(x[yi]) = n P i=1 ( xipi n P i=1 xi−h(x)−yipi n P j6=i,j=1 xj[yi] +h(y) ) = n P i=1 ( xiαi−βi n P i=1 xi−h(x)−yiαi−βi n P i6=j,j=1 (xj[yi]) +h(y) ) = n P i=1 ( (yi −xi)(βi n P i=1 xi −αi) + βi n P i=1 yi2 −βi n P i=1 xi+h(y)−h(x) )
= hAe−α, y −xi +yTAy −xTAx+h(y)−h(x), trong đó A = β1 0 0 · · · 0 0 β2 0 · · · 0 · · · · 0 0 0 · · · βn ;Ae= 0 β1 β1 · · · β1 β2 0 β2 · · · β2 · · · · βn βn βn · · · 0 và h(x) = n P i=1 hi(xi) với hi, i = 1,2, ..., n là hàm lõm. Ta thấy A là ma trận xác định dương. Đặt F(x) =Ae−α, ϕ(x) = xTAx+h(x),
thì bài toán cân bằng trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Tìm điểm x∗ ∈ V thỏa mãn
Φ(x∗, y) = hF(x∗), y −x∗i+ ϕ(y)−ϕ(x) ≥ 0,∀y ∈ V,
trong đó F(.) là toán tử affin.
1.3.2 Sự tồn tại nghiệm của mô hình
Ví dụ dưới đây cho thấy mô hình không có điểm cân bằng mặc dù tập chiến lược là tập compact.
Ví dụ 1.25. Cho V = [−1; 1] ⊂ R. Tìm x ∈ V sao cho
h2x, y −xi+y2 − |y| −(x2 − |x|) ≥ 0,∀y ∈ V. (1.7)
Ở Ví dụ này, F(x) = 2x là một ánh xạ đơn điệu mạnh và ϕ(x) =x2− |x|
2x∗y −2(x∗)2 + y2 − |y| −(x∗)2 − |x∗| ≥0 ⇔ −3(x∗)2 + 2x∗y +|x∗| − |y|+y2 ≥ 0 ⇔ 3(x∗)2 −2x∗y − |x∗|+ |y| −y2 ≤ 0. (1.8) Với y = 1, từ (1.8) ta có 3(x∗)2 −2x∗ − |x∗| ≤ 0. Suy ra 0 ≤x∗ ≤ 1. Với y = −1, từ (1.8) ta có 3(x∗)2 + 2x∗ − |x∗| ≤ 0. Từ đó suy ra 1 ≤x∗ ≤ 0.
Do đó x∗ = 0. Nhưng ta dễ ràng thử lại để thấy x∗ = 0 không phải là nghiệm của (1.7). Vậy (1.7) không có nghiệm.
Qua ví dụ trên ta thấy rằng các bài toán bất đẳng thức biến phân
(M V I) có thể không có nghiệm, dù chúng được xét trên tập lồi, compact với F là ánh xạ đơn điệu mạnh và ϕ là hàm khả vi liên tục. Trong khi đó, với một bất đẳng thức biến phân thông thường trong không gian hữu hạn chiều, nếu xét trên một tập lồi, compact và F là ánh xạ liên tục thì chúng luôn tồn tại nghiệm.
Kĩ thuật hàm đánh giá (hàm gap, merit) được coi là một trong những công cụ hữu ích cho nghiên cứu và phát triển các phương pháp bất đẳng thức biến phân. Để phục vụ cho việc xây dựng phương pháp giải và chứng minh sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân (M V I) ta sử dụng
hàm đánh giá bằng định nghĩa
θ(x) = min
y∈V {Φ(x, y) =hF(x), y−xi+ϕ(y)−ϕ(x)},∀y ∈ V. (1.9)
Mệnh đề sau đây cho ta tính chất và tập nghiệm của mô hình trong trường hợp cước phí lõm.
Mệnh đề 1.26. Cho V là tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn. Khi đó ta có: (i) θ(x) ≥ 0,∀x∈ V,
(ii) x∗ ∈ V là nghiệm của bài toán (M V I) khi và chỉ khi θ(x∗) = 0.
Chứng minh.
(i) Hiển nhiên Φ(x, x) = 0,∀x ∈ V. Kết hợp với (1.9) ta suy ra
θ(x) ≤0,∀x ∈ V.
(ii) Giả sử x∗ ∈ V là nghiệm của bài toán (M V I), theo định nghĩa ta có hF(x∗), y−x∗i+ϕ(y)−ϕ(x∗) ≥ 0,∀y ∈ V.
Điều đó chứng tỏ θ(x∗) ≥ 0, kết hợp với (i) ta suy ra θ(x∗) = 0. Ngược lại, giả sử θ(x∗) = 0,
điều này và (1.9) ta suy ra
Φ(x∗, y) ≥ 0,∀y ∈ V.
Theo định nghĩa của hàm Φ ta suy ra
hF(x∗), y−x∗i+ϕ(y)−ϕ(x∗) ≥ 0,∀y ∈ V.
Chương 2
Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình kinh tế bán độc quyền Cournot
2.1 Các kiến thức cơ bản về tối ưu vectơ
2.1.1 Bài toán tối ưu một mục tiêuXét bài toán Xét bài toán
M in{f(x) : x ∈ C}, (P)
với C ⊆ X (một không gian, thường là X ≡ Rn), f : C → R và C là miền chấp nhận được, f là hàm mục tiêu.
Định nghĩa 2.1. (Xem [8]). Điểmx∗ được gọi là nghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P) nếu tồn tại một lân cận U của x∗ sao cho
f(x∗) ≤ f(x),∀x∈ U ∩C.
Nếu f(x∗) ≤ f(x),∀x ∈ C, thì x∗ được gọi là một nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P).
2.1.2 Sự tồn tại nghiệmXét bài toán Xét bài toán
Có bốn trường hợp cho sự tồn tại của nghiệm tối ưu toàn cục (-) C = ∅ ( không có phương án chấp nhận được ),
(-) f bị chặn dưới trên C, tức là infx∈Cf(x) < ∞ nhưng không đạt cực tiểu trên C,
(-) f không bị chặn dưới trên C,
(-)Tồn tại x∗ ∈ C sao cho f(x∗) = infx∈Cf(x).
Định lý 2.2. (Xem [6]). Điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P) là: F+(C) := {t ∈ R;f(x) ≤ t, x ∈ C} đóng và bị chặn dưới.
Chứng minh.
Nếu x∗ là nghiệm tối ưu thì F+(C) = [f(x∗),+∞] đóng và bị chặn dưới. Ngược lại, nếu F+(C) bị chặn dưới thì t∗ = inf F+(C) > −∞. Từ F+(C)
là đóng, t∗ ∈ F+(C) có nghĩa là tồn tại x∗ ∈ C sao cho f(x∗) = t∗.
Định lý 2.3. (Weierstrass) (Xem [6]). Nếu C là compact và f là nửa liên tục dưới trên C, thì bài toán (P) có nghiệm tối ưu.
2.1.3 Bài toán tối ưu đa mục tiêu
Trong các bài toán kinh tế, khoa học công nghệ,... nảy sinh từ thực tế, chúng ta phải xem xét tối ưu hóa đồng thời nhiều mục tiêu. Việc làm tốt hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu đi một số mục tiêu khác ( nghĩa là không có lời giải nào tối ưu theo mọi mục tiêu ). Như vậy, chúng ta cần phải tối ưu hóa không phải chỉ là một mục tiêu nào đó, mà là đồng thời tất cả các mục tiêu tương thích với nhau. Do đó người ta dùng khái niệm tối ưu Pareto, sẽ được giới thiệu dưới đây.
Trong luận văn này ta xét mô hình bài toán tối ưu đa mục tiêu tổng quát dạng
M inx∈X{f1(x), f2(x), ..., fk(x)}, (V P)
trong đó
(-) x = (x1, x2, ..., xn) được gọi là biến quyết định,
(-) Y = f(X) được gọi là ảnh của miền chấp nhận được X qua ánh xạ
f,X gọi là không gian quyết định, Y gọi là không gian giá trị.
Ví dụ 2.4. Xét bài toán tối ưu tuyến tính hai mục tiêu tuyến tính trên Rn M in(3x1 +x2,−x1 −x2) s.t. 3x1 −x2 ≤6 x2 ≤3 x1, x2 ≥ 0
Khái niệm then chốt trong tối ưu đa mục tiêu là khái niệm tối ưu Pareto.
Định nghĩa 2.5. Một phương án chấp nhận được xˆ ∈ X được gọi là nghiệm tối ưu Pareto của bài toán (V P) nếu không tồn tại x ∈ X sao cho
fi(x) ≤ fi(ˆx) với mọi i và f(x) 6= f(ˆx).
Nếu x1, x2 ∈ X và f(x1) ≤ f(x2), ta nói x1 trội hơn x2 và f(x1) trội hơn f(x2).
Ta kí hiệu
(-)XE là tập tất cả các nghiệm tối ưu Pareto của bài toán (V P),
(-) YN = {f(ˆx) = ˆy ∈ Y : ˆx ∈ XE} là miền giá trị tối ưu Pareto của bài toán(V P).
Ta có thể chứng minh được rằng (i) xˆ là nghiệm tối ưu Pareto nếu
f(X)∩ f(ˆx)−Rp≥ = {f(ˆx)},
(ii) xˆ là nghiệm tối ưu Pareto nếu không tồn tại f(x) ∈ f(X)\f(ˆx) với
f(x) ∈ f(ˆx)−Rp≥.
Định nghĩa 2.6 (Tối ưu Pareto yếu). Một phương án chấp nhận được
ˆ
cho f(x) < f(ˆx) nghĩa là fk(x) < fk(ˆx),∀k = 1,2, ..., p. Điểm yˆ = f(ˆx)
được gọi là giá trị tối ưu Pareto yếu.
Ta kí hiệu
(-) XW E là tập tất cả các nghiệm tối ưu Pareto yếu của bài toán (V P), (-) YW E là tập Pareto yếu.
Từ định nghĩa ta suy ra rằng: Một phương án chấp nhận được xˆ ∈ X là tối ưu Pareto yếu khi và chỉ khi thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: (i) Không tồn tại (f(ˆx)−f(x)) ∈ intRp≥ = Rp>,
(ii) (f(ˆx)−Rp>)∩Y = ∅.
2.1.4 Định lý vô hướng hóaXét bài toán tối ưu vectơ đa mục tiêu Xét bài toán tối ưu vectơ đa mục tiêu
M in{F(x) : x ∈ D ⊆ Rn}, (V P(1))
trong đó F = (f1, ..., fp) : Rn →Rn ( với p− mục tiêu).
Định lý 2.7. (Xem [6]). Cho λ > 0 ∈ Rp. Khi đó với mọi nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán một mục tiêu
M inλTF(x) : x ∈ D (V P(λ))
là một điểm tối ưu Pareto toàn cục của (V P(1)).
Chứng minh.
Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (V P(λ)) nhưng không là nghiệm của bài toán (V P(1)). Theo định nghĩa của Pareto sẽ tồn tại x sao cho F(x) ≤
F(x∗) và F(x) 6= F(x∗). Vì λ > 0 nên
λTF(x) ≤ λTF(x∗).
Suy ra
Do đó x∗ không là nghiệm của bài toán (V P(λ)). Mâu thuẫn với điều giả sử ở trên.
Vậy, x∗ là nghiệm của bài toán (V P(1)).
Định lý 2.8. (Xem [6]). Giả sử (V P) là một bài toán lồi ( có nghĩa là F
và D là lồi). Khi đó với điểm Pareto tối ưu u của bài toán (V P(1)) tồn tại một 06= λ ≥ 0 sao cho
u ∈ arg minλTF(x) : x ∈ D .
Chứng minh.
Đặt
K := {y ∈ Rn : y = F(x)−F(u), x ∈ D}.
Cho C = coK (bao lồi). Ta thấy C ∩R−p = 0 (tập các vectơ không âm).
C 6= 0,0∈ K.Cho y ∈ C, khi đó tồn tại y1, ..., yr ∈ K sao cho
y = r X j=1 tjyj, tj > 0,∀j; r X j=1 tj = 1.
Với yj ∈ K, ta có: xj ∈ D sao cho yj = F(xj) − F(u) với mọi j. Có
x = Pr j=1tjxj. Do F là hàm lồi ta có F(x)−F(u) ≤ r P j=1 tjF(xj)−F(u) = r P j=1 tj F(xj)−F(u) = r P j=1 tjyj.
Vì u là Pareto, nên y ≤ 0. Suy ra y = 0. Do C ∩Rp− = 0. Theo định lý Tách có λ 6= 0 sao cho
λTy ≤ 0,∀y ∈ R−p (1)
λTy ≥0,∀y ∈ K (2)
Bằng cách chia Ppj=1λj ta có thể giả sử rằng Ppj=1λj = 1.
Từ (1) ta có thể thấy rằng λ ≥ 0trong khi đó từ (2) và định nghĩa của K
thì
λTy(F(x)−F(u)) ≥ 0,∀x ∈ D.
2.2 Bài toán tối ưu vectơ cho mô hình Cournot
2.2.1 Mô hình Cournot
Mô hình Cournot là một trong những mô hình cơ bản trong kinh tế. Trong các mô hình cổ điển, người ta giả sử có n− công ty sản xuất cùng một loại hàng hóa. Mỗi công ty có một tập chiến lược Ui ⊂ R+ và một hàm lợi nhuận. Cho xi ∈ Ui biểu thị một mức độ sản xuất của công ty thứ i. Trên thực tế, mỗi công ty tìm cách tối đa hóa lợi nhuận của mình bằng cách lựa chọn một mức độ sản xuất tương ứng theo giả định rằng sản xuất của các công ty khác nhau là đầu vào tham số. Một cách tiếp cận thường được sử dụng cho mô hình này là dựa trên những khái niệm cân bằng Nash nổi tiếng. Trong mô hình Cournot tuyến tính, lợi nhuận của công ty thứ i được cho bởi:
fi(x) = α −β n X i=1 xi ! xi−hi(x),(i = 1, .., n),
trong đó α, β > 0 và hàm chi phí hi là một hàm số afin chỉ phụ thuộc vào số lượng xi của công ty thứ i. Do cách tiếp cận cân bằng trong một số trường hợp gặp khó khăn nên vấn đề đặt ra là muốn tìm một cách tiếp cận tối ưu hóa vectơ chứ không phải là cách tiếp cận cân bằng với mô hình Cournot tuyến tính. Dựa trên thực tế là tổng lợi nhuận Pn
j=1fj(x), trong đó x là một điểm Pareto của hàm f(x) := (f1(x), f2(x), ..., fn(x))T
trên các tập chiến lược nói chung là lớn hơn so với khi x là một điểm cân bằng Nash . Hơn nữa, trong một số trường hợp các mô hình thực tế, tổng lợi nhuận của hàng hóa Pn
j=1xj phải bằng hạn ngạch m0 > 0. Chúng ta đề xuất một thuật toán dựa trên quy hoạch tuyến tính cho việc tìm kiếm một điểm Pareto cho mô hình với giả định quan trọng mà tập chiến lược của mỗi công ty độc lập với nhau. Giả định này làm cho các mô hình dễ dàng hơn để xử lý.
2.2.2 Tiếp cận tối ưu vectơ cho mô hình Cournot
Trong phần này, ta xét mô hình Cournot tuyến tính với tập chiến lược độc lập bằng cách sử dụng một cách tiếp cận tối ưu hóa vectơ. Trong thực tế, phương pháp này có thể được sử dụng khi ta quan tâm đến tổng lợi nhuận và trọng lượng của tất cả các công ty chứ không phải lợi nhuận của mỗi công ty như trong cách tiếp cận cân bằng Nash. Trên thực tế, trường hợp này thường xảy ra khi việc sản xuất xi, i = 1,2, ..., n của các công ty có liên quan đến các chủ đề như thị trường hoặc các yếu tố kỹ thuật. Cụ thể, ta giả sử tập chiến lược của mô hình là một tập đa diện lồi cho bởi D := x ∈ U := U1 ×U2...×Un, Ax≤ b, với Ui := xi ∈ R : 0 ≤xi ≤ di > 0(i = 1, ..., p ≤ n), xi ∈ R : 0 ≤xi(i = p+ 1, ..., n), (2.1) di(i = 1, .., p) là các số thực, Với mỗi x ∈ D, đặt Di(x) := yi ∈ Ui, Axyi ≤ b, D(x) := D1(x)×D2(x)×....×Dn(x), C(x) := D(x)∩D, với xyi := (x1, ..., xi−1, yi, xi+1, ..., xn)T ∈ Rn.
Khi đó điểm x∗ = (x∗1, ..., x∗n) ∈ D được gọi là điểm cân bằng Nash nếu
fi(x∗1, x∗2, ..., x∗i−1, yi, x∗i+1, ..., x∗n) ≤ fi(x∗1, ..., x∗n),∀yi ∈ Di(x∗),∀i = 1, ..., n.(2.2)
Rõ ràng, C(.) là một ánh xạ đa giá trị từ D →D, x ∈ C(x) và {(x1, ..., xi−1, yi, xi+1, ..., xn) : y ∈ Di(x)} ⊆ C(x),∀x ∈ D.
Trong trường hợp này, do (1.5) và (1.6) nên bài toán tìm một điểm cân bằng của mô hình có thể được chuyển về như bài toán cân bằng có dạng
Tìm điểm x∗ ∈ C(x∗) sao cho Φ(x∗, y) ≥ 0,∀y ∈ C(x∗). (QEP)
Theo định nghĩa, với mỗi x ∈ D ta có x ∈ C(x). Giả sử x∗ ∈ C(x∗)
là một điểm cân bằng. Chọn bất kỳ điểm y ∈ C(x∗), theo định nghĩa
yi ∈ Di(x∗) với mọi i = 1, .., n. Kết hợp (2.2) và định nghĩa của Φ(., .) ta có
Φ(x∗, y) ≥ 0.
Vì x∗ là một điểm cân bằng, nên
Φ(x∗, y) ≥ 0,∀y ∈ C(x∗).
Khi đó với mỗi điểm i = 1, .., n cố định ta có
{(x∗)yi = (x∗1, ..., x∗i−1, yi, xi∗+1, ..., x∗n) : yi ∈ Di(x∗)} ⊂ C(x∗)
và
Φ (x∗,(x∗)yi) = fi(x∗1, ..., x∗i−1, yi, x∗i+1, ..., x∗n)−fi(x∗1, ..., x∗n) ≥0.
Do đó
fi(x∗1, ..., x∗i−1, yi, x∗i+1, ..., x∗n) ≤ fi(x∗1, ..., x∗n),∀yi ∈ Di(x∗),∀i = 1, .., n.
Tiếp cận tối ưu Pareto
Cho hai vectơ xT = (x1, ..., xn) ;yT = (y1, ..., yn) ∈ Rn, ta viết x ≥ y
khi và chỉ khi xi ≥ yi với mọi i = 1, ..., n;x 6= y.
Trong mô hình Cournot ở phần này, ta giả sử tham giá và các hàm chi phí của tất cả các công ty là affine được cho lần lượt bởi
pi(σ) := pi n X j=1 xj = αi−βi n X j=1 xj, αi ≥0, βi ≥ 0 (i = 1,2, ..., n) và hi(xi) = µixi+ξi, µi ≥ 0, ξi ≥ 0 (i = 1, ..., n).
Khi đó các hàm lợi nhuận của công ty thứ i,(i = 1, ..., n) sẽ là
với Ci := 0 0 ... 0 ... ... ... ... βi βi ... βi 0 0 ... 0 . Đặt f (x) := (f1(x), f2(x), ..., fn(x)),
trong đó f(.) là một ánh xạ đi từ Rn → Rn. Do đó, bài toán tối ưu hóa vectơ cho mô hình Cournot có thể được viết như sau
max
x∈D {f (x) = (f1(x), f2(x), ..., fn(x))}. (V P (2))
Với x∗ ∈ D là một điểm tối ưu Pareto (V P (2)), nếu x ∈ D và
fi(x) ≥ fi(x∗) với mọi i = 1, .., n thì fi(x) =fi(x∗),∀i.
Trong phần tiếp theo ta quan tâm đến việc tìm kiếm một giải pháp hữu hiệu Pareto cho bài toán tối ưu hóa vectơ. Một trong những kỹ thuật hữu hiệu và thường được sử dụng cho việc tìm kiếm nghiệm hữu hiệu Pareto cho bài toán tối ưu hóa vectơ (V P (2)) là dựa trên kĩ thuật vô hướng hóa
G(λ, x) :=
n
X
i=1
λifi(x). (2.4)
trong đó λi > 0 (i = 1, ..., n) là trọng số. Theo định lý vô hướng hóa, nếu
λi > 0 (i = 1, ..., n), thì với bất kỳ nghiệm tối ưu của bài toán vô hướng hóa
max{G(λ, x) : x ∈ D} (V P (3))
đều là một điểm tối ưu Pareto của f trên D. Đặc biệt, nếu λi = 1,∀i = 1, ..., nthìG(λ, x) := Pn
i=1fi(x).Do đó nghiệm tối ưu của hàmPn
i=1fi(x)
trên D chính là tổng của tổng lợi nhuận của mô hình.
Để phù hợp với cách trình bày bài toán tối ưu vectơ ở phần trên, ta đặt
Khi đó thay vì bài toán (V P (3)), ta xét các bài toán
M in{F (λ, x) : x∈ D} (SV P)
Do đó tập nghiệm của hai bài toán trùng nhau. Từ (2.3) và (2.4), ta có:
F (λ, x) =xTQx+ (µ−α)Tx+ξ, với αT = (α1, ..., αn), µT = (µ1, ..., µn), ξ = n X i=1 ξi; Q := β1λ1 β1λ1 ... β1λ1 β2λ2 β2λ2 ... β2λ2 ... ... ... ... βnλn βnλn ... βnλn
Do đó bài toán (SV P) là quy hoạch toàn phương. Lưu ý rằng, do ma trận Q có thể không phải là nửa xác định dương, nên bài toán (SV P)
không phải là một bài toán lồi, và do đó việc tìm kiếm một nghiệm tối