Phương trình khuếch tán không cổ điển

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN DƯƠNG TOÀN PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————– * ——————— NGUYỄN DƯƠNG TỒN PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Cung Thế Anh HÀ NỘI - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Những kết viết chung với tác giả khác, trí đồng tác giả đưa vào luận án Những kết nêu luận án hoàn toàn trung thực chưa công bố cơng trình khoa học Nghiên cứu sinh Nguyễn Dương Toàn LỜI CẢM ƠN Luận án thực Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người dẫn dắt tác giả vào hướng nghiên cứu khó khăn, vất vả thực thú vị có ý nghĩa Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt PGS.TS Trần Đình Kế thầy giáo, cô giáo Bộ môn Giải tích ln giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Hải Phịng, Khoa Tốn, nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị NCS chuyên ngành Phương trình vi phân tích phân Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bạn bè lời cảm ơn chân thành tất giúp đỡ, động viên mà tác giả nhận suốt thời gian qua Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln bên chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Một số kí hiệu dùng luận án MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU 13 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 14 KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN 15 CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN 16 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 18 1.1 TẬP HÚT ĐỀU 18 1.2 TẬP HÚT LÙI 20 1.3 MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG 22 1.3.1 Các không gian hàm 22 1.3.2 Một số bất đẳng thức thường dùng 24 1.3.3 Một số bổ đề định lí quan trọng 26 Chương PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHÔNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV 28 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 28 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU 30 2.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU ( ) 2.3.1 Sự tồn tập H (RN ), L2 (RN ) -hút 36 2N 40 2.3.2 Sự tồn tập (H (RN ), L N −2 (RN ))-hút 44 2.3.3 Sự tồn tập (H (RN ), H (RN ))-hút 45 2.4 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 48 2.5 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU KHI NGOẠI LỰC DAO ĐỘNG 52 2.5.1 Đặt vấn đề 52 2.5.2 Tính bị chặn tập hút 53 2.5.3 Sự hội tụ tập hút 56 Chương PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHƠNG BỊ CHẶN VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU ĐA THỨC 61 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 61 3.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM YẾU 63 3.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP HÚT ĐỀU ( ) 3.3.1 Sự tồn tập H (RN ) ∩ Lp (RN ), L2 (RN ) -hút ( ) 3.3.2 Sự tồn tập H (RN ) ∩ Lp (RN ), Lp (RN ) -hút 68 70 74 3.3.3 Sự tồn tập (H (RN )∩Lp (RN ), H (RN )∩Lp (RN ))hút 78 3.4 TÍNH NỬA LIÊN TỤC TRÊN CỦA TẬP HÚT ĐỀU TẠI ε = 81 Chương PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN KHƠNG CỔ ĐIỂN TRONG MIỀN KHÔNG TRỤ VỚI SỐ HẠNG PHI TUYẾN TĂNG TRƯỞNG VÀ TIÊU HAO KIỂU SOBOLEV 85 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 85 4.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM BIẾN PHÂN 87 4.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP D-HÚT LÙI 99 KẾT LUẬN 104 KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC 104 ĐỀ XUẤT MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO 104 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH CƠNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO 107 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN R tập hợp số thực RN không gian vectơ Euclide N-chiều Ωr tập mở bị chặn RN với r ∈ R (·, ·), ∥ · ∥ tích vơ hướng chuẩn khơng gian L2 (RN ) Hr kí hiệu khơng gian L2 (Ωr ) có tích vơ hướng (., )r chuẩn |.|r , ứng với r ∈ R Vr kí hiệu khơng gian H01 (Ωr ) có tích vơ hướng ((., )) chuẩn ∥.∥r , ứng với r ∈ R Hr∗ đối ngẫu Hr ∥ · ∥Lp (RN ) chuẩn không gian Lp (RN ), với ≤ p ≤ ∞ ∥ · ∥H (RN ) chuẩn không gian H (RN ) ⟨·, ·⟩ đối ngẫu X X ′ Id ánh xạ đồng ⇀ hội tụ yếu Y X bao đóng Y X B(X) họ tập bị chặn X dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff hai tập A, B Pm phép chiếu lên không gian sinh m vectơ riêng toán tử A MỞ ĐẦU LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu lần đầu vào kỷ XVIII phát triển mạnh mẽ từ kỷ XIX Nó coi cầu nối toán học ứng dụng Rất nhiều phương trình đạo hàm riêng mơ hình tốn toán thực tế Đặc biệt lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến, lớp phương trình xuất nhiều trình vật lí, hóa học sinh học, chẳng hạn q trình truyền nhiệt, trình khuếch tán, trình truyền sóng học chất lỏng, mơ hình quần thể sinh học Vì vậy, nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Vấn đề đặt nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xét tính đặt toán (bởi V.P Maslov nhấn mạnh rằng, phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa thực tiễn chắn có nghiệm, vấn đề lớp nghiệm mà thôi), sau vấn đề quan trọng đặt nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian vô Đây việc làm có ý nghĩa thực tiễn, nghiệm phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái mơ hình thực tế Do đó, biết dáng điệu nghiệm, ta dự đốn xu phát triển hệ tương lai từ đưa đánh giá, điều chỉnh thích hợp Một lớp phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến quan trọng nghiên cứu nhiều năm gần lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển có dạng: ut − ε∆ut − ∆u + f (u) = g, với ε ∈ (0, 1], (1) f hàm phi tuyến g hàm ngoại lực Chú ý ε = 0, phương trình khuếch tán khơng cổ điển trở thành phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển quen thuộc Lớp phương trình khuếch tán không cổ điển giới thiệu [1] E.C Aifantis phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển khơng mơ tả hết khía cạnh tốn phản ứng-khuếch tán Nó bỏ qua tính nhớt, đàn hồi, áp suất mơi trường trình khuếch tán chất rắn Hơn nữa, E.C Aifantis rằng, lượng từ phương trình phát trình khuếch tán chất rắn mơi trường khác có tính chất khác Ví dụ, lượng phát từ phương trình mơi trường truyền dẫn có áp suất có độ nhớt hay khơng có độ nhớt khác Do đó, ơng xây dựng mơ hình tốn học qua số ví dụ cụ thể, có chứa tính dẻo, đàn hồi, với áp lực trung bình đưa lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển Lớp phương trình thường sử dụng để mơ tả tượng vật lí dịng chảy khơng Newton, tượng học chất lỏng, học chất rắn tỏa nhiệt (xem [1, 22, 23, 29, 38, 39]) Gần đây, E.C Aifantis đưa thêm mơ hình tốn này, xin xem [2] Từ đời nay, tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển có dạng (1) nghiên cứu nhiều trường hợp khác (xin xem chi tiết phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu đây) Tuy nhiên, kết trường hợp miền không bị chặn miền không trụ, với ngoại lực phụ thuộc thời gian, tính phức tạp vấn đề khó khăn lớn xuất nghiên cứu Chúng tơi chọn vấn đề làm đề tài luận án tiến sĩ 98 Áp dụng Bổ đề 4.2 tn = T với n, ta thu được, u thỏa mãn phương trình lượng (τ, T ) Bước Chứng minh tính phụ thuộc liên tục nghiệm thỏa mãn phương trình lượng Cho u, u hai nghiệm biến phân (4.6) ứng với giá trị ban đầu uτ , uτ ∈ Vτ , thỏa mãn phương trình lượng hầu khắp nơi (τ, T ) Khi đó, ηu,T (t) = ηu,T (t) = với t ∈ (τ, T ) ∫ t 2 ∥u(r) − u(r)∥2T dr |u(t) − u(t)|T + ∥u(t) − u(t)∥T + τ ∫ t (f (u(r)) − f (u(r)), u(r) − u(r))T dr +2 τ ≤ |u(t) − u(t)|2T + ∥u(t) − u(t)∥2T ∫ t−h − lim sup h−1 (u(r + h) − u(r), u(r + h) − u(r))T dr h↓0 τ Lại có −1 ∫ t−h (u(r + h) − u(r), u(r + h) − u(r))T dr h τ ≤ ( −1 ∫ )( t−h |u(r + h) − u(r)| dr h −1 t−h ) |u(r + h) − u(r)| dr , τ ∫ t−h (u(r + h) − u(r), u(r + h) − u(r))T dr = lim h h↓0 ∫ h τ nên −1 τ Thay đánh giá giả thiết (4.2) vào (4.8), ta thu ∫ t 2 |u(t) − u(t)|T + ∥u(t) − u(t)∥T + ∥u(r) − u(r)∥2T dr τ ∫ t 2 ≤ |uτ − uτ |T + ∥uτ − uτ ∥T − (f (u(r)) − f (u(r)), u(r) − u(r))T dr τ ∫ t 2 ≤ |uτ − uτ |T + ∥uτ − uτ ∥T + 2ℓ |u(r) − u(r)|2T dr τ Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có ∫ t + ∥u(t) − +2 ∥u(r) − u(r)∥2T dr τ ( ≤ e2ℓ(t−τ ) |uτ − uτ |2T + ∥uτ − uτ ∥2T ) hầu khắp nơi t ∈ (τ, T ) |u(t) − u(t)|2T u(t)∥2T 99 Do đó, ta có điều cần chứng minh 4.3 SỰ TỒN TẠI CỦA TẬP D-HÚT LÙI Theo Định lí 4.1, với τ ∈ R uτ ∈ Vτ , tồn nghiệm biến phân u(·; τ, uτ ) tốn (4.1) thỏa mãn phương trình lượng hầu khắp nơi (τ, T ) với T > τ Định nghĩa U (t, τ )uτ := u(t; τ, uτ ), −∞ < τ ≤ t < +∞, uτ ∈ Vτ Dễ dàng kiểm tra họ ánh xạ {U (t, τ ) : t ≥ τ } q trình Mục đích phần chứng minh tồn tập hút lùi khơng gian HT q trình U (t, τ ) cách chứng minh tồn tập hấp thụ lùi bị chặn VT sử dụng tính compact phép nhúng VT → HT Chúng ta sử dụng bổ đề sau Bổ đề 4.3 [31] Cho X ⊂ Y không gian Banach, X không gian phản xạ phép nhúng X vào Y compact Giả sử {vn } dãy bị chặn L∞ (t0 , T ; X) cho ⇀ v hội tụ yếu Lp (t0 , T ; X) với p ∈ [1, +∞) v ∈ C ([t0 , T ]; Y ) Khi đó, v(t) ∈ X với t ∈ [t0 , T ] ∥v(t)∥X ≤ lim inf ∥vn ∥L∞ (t0 ,T ;X) , n→+∞ ∀t ∈ [t0 , T ] Mệnh đề 4.1 Giả sử giả thiết Định lí 4.1 thỏa mãn g ∈ L2loc (RN +1 ) với ∫ t Cg,T = sup |g(r)|2T < +∞ t≤T t−1 Khi đó, với uτ ∈ Vτ cho trước, nghiệm biến phân u ứng với tốn (4.1) thỏa mãn phương trình lượng (τ, T ), đồng thời u thỏa mãn ( ) 2N ∥u(t)∥2T ≤ C e−σT (t−τ ) ∥u(τ )∥TN −2 + + Cg,T , ∀t ∈ [τ + 1, T ], − e−σT (4.19) với < σT < min{λ1,T /2, 1/2, 2κ}, λ1,T > giá trị riêng toán tử −∆ ΩT với điều kiện biên Dirichlet nhất, số C độc lập với t, τ 100 Chứng minh Giả sử uk,m xấp xỉ Galerkin uk xác định toán (4.7) Từ (4.17) (4.10), ta có ) d( |uk,m (t)|2T + 2∥uk,m (t)∥2T + u′k,m (t) T + ∥uk,m (t)∥2T + ∥u′k,m (t)∥2T dt + 2k((Pk (t)u′k,m (t), uk,m (t)))T + k((Pk (t)uk,m (t), uk,m (t)))T ( ) + k((Pk (t)u′k,m (t), u′k,m (t)))T + f (uk,m (t)), u′k,m (t) + uk,m (t) T ( ) = (g(t), uk,m (t))T + g(t), u′k,m (t) T Do d ((Pk (t)uk,m (t), uk,m (t)))T , dt ∫ ( ) d ′ f (uk,m (t)), uk,m (t) T = F (uk,m (t))dx, dt ΩT (g(t), uk,m (t))T ≤ |g(t)|2T + η1 |uk,m |2T , ∀η1 > 0, 4η1 ( ) g(t), u′k,m (t) T ≤ |g(t)|2T + η2 |u′km |2T , ∀η2 > 0, 4η2 ((Pk (t)u′k,m (t), uk,m (t)))T ≥ ta có ∫ ) d( 2 |uk,m (t)|T + 2∥uk,m (t)∥T + 2k((Pk (t)uk,m (t), uk,m (t)))T + F (uk,m (t))dx dt ΩT + |u′k,m (t)|2T + ∥uk,m (t)∥2T + ∥u′k,m (t)∥2T + k((Pk (t)u′k,m (t), uk,m (t)))T + k((Pk (t)uk,m (t), uk,m (t)))T + (f (uk,m (t)), uk,m (t))T 1 |g(t)|2T + η1 |uk,m (t)|2T + |g(t)|2T + η2 |u′km (t)|2T , ≤ 4η1 4η2 ∀η2 , η1 > Từ giả thiết (4.5), với δ > 0, tồn số dương Cδ thỏa mãn ∫ F (uk,m (t))dx + δ|uk,m (t)|2T + Cδ ≥ (4.20) ΩT Do ∥uk,m (t)∥2T ≥ λ1,T |uk,m (t)|2T chọn δ = λ1,T /4, ta ∫ F (uk,m (t))dx + ∥uk,m (t)∥2T + Cδ ≥ ΩT Từ giả thiết (4.4), với η > 0, tồn C > cho ∫ (f (uk,m (t)), uk,m (t))T = f (uk,m (t))uk,m (t)dx ΩT ∫ ≥κ F (uk,m (t))dx − η|uk,m (t)|2T − C ΩT 101 Từ đánh giá ta d( |uk,m (t)|2T + 2∥uk,m (t)∥2T + 2k((Pk (t)uk,m (t), uk,m (t)))T dt ∫ ) +2 F (uk,m (t))dx + 2Cδ + (1 − η2 )|u′k,m (t)|2T + ∥uk,m (t)∥2T ΩT ∫ λ1,T +( − η1 − η)|uk,m (t)|2T + ∥u′k,m (t)∥2T + κ F (uk,m (t))dx ΩT + k((Pk (t)u′k,m (t), uk,m (t)))T + k((Pk (t)uk,m (t), uk,m (t)))T + 2Cδ 1 + )|g(t)|2T + C|ΩT |, ∀η2 , η1 > ≤( 4η1 4η2 Kí hiệu yk,m (t) = |uk,m (t)|2T + 2∥uk,m (t)∥2T + 2k((Pk (t)uk,m (t), uk,m (t)))T ∫ +2 F (uk,m (t))dx + 2Cδ ΩT Chọn η2 < η, η1 đủ nhỏ cho σT < min{1/2, λ1,T − 2η1 − 2η, 2κ}, ta có d yk,m (t) + σT yk,m (t) ≤ C(1 + |g(t)|2T ) dt Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có yk,m (t) ≤ e −σT (t−τ ) −σT t ∫ t eσT s |g(t)|2T ds) yk,m (τ ) + C(1 + e (4.21) τ Sử dụng (4.20), ta thấy yk,m (t) ≥ ∥uk,m (t)∥2T (4.22) 2N Từ (4.3) phép nhúng VT ⊂ L N −2 (ΩT ), ta thu yk,m (τ ) = |uτm |2T + 2∥uτm ∥2T ∫ + 2k((Pk (τ )uτm , uτm ))T + F (uτm )dx ΩT ≤( + 2)∥uτm ∥2T + 2k((Pk (τ )uτm , uτm ))T ∫ +C (1 + |uτm |ρ+1 )dx + 2Cδ λ1,T ΩT 2N ≤ C∥uτm ∥2T + C∥uτm ∥TN −2 + 2k((Pk (τ )uτm , uτm ))T + C 2N ≤ C(∥uτm ∥TN −2 + 1) + 2k((Pk (τ )uτm , uτm ))T (4.23) 102 Vậy, từ (4.21)-(4.23), ta có ∫ 2N ( ∥uk,m (t)∥2T ≤ C e−σT (t−τ ) (∥uτm ∥TN −2 + 1) + + e−σT t + 2e −σT (t−τ ) t ) eσT s |g(t)|2T ds τ k((Pk (τ )uτm , uτm ))T , (4.24) với C không phụ thuộc vào t, τ k Do uk,m ⇀ uk *-yếu L∞ (τ, T ; VT ) m → +∞ nên từ (4.24) Bổ đề 4.3, ta kết luận ∫ t 2N ( −σT (t−τ ) ) N −2 −σT t ∥uk (t)∥T ≤ C e (∥uτ ∥T + 1) + + e eσT s |g(t)|2T ds τ + 2e −σT (t−τ ) k((Pk (τ )uτ , uτ ))T Cuối cùng, uk ⇀ u L2 (τ, T ; VT ) k → +∞ đánh giá ∫ t ∫ t ∫ t−1 −σT (t−s) −σT (t−s) e |g(t)|T ds ≤ e |g(t)|T ds + e−σT (t−s) |g(t)|2T ds + τ t−1 t−2 ≤ (1 + e−σT + e−2σT + )Cg,T = Cg,T , − e−σT ta thu bất đẳng thức (4.19), ∥u(t)∥2T ( ≤C e ( −σT (t−τ ) 2N N −2 (∥uτ ∥T 2N N −2 ≤ C e−σT (t−τ ) ∥uτ ∥T + 1) + + e −σT t ∫ t eσT s |g(t)|2T ds ) τ ) C +1+ g,T −σ 1−e T Giả sử R tập hợp tất r(t) cho lim etσt ∥r(t)∥2t = t→−∞ Kí hiệu D lớp tất họ D = {D(t) : D(t) ∈ Vt , D(t) ̸= ∅, t ∈ R} cho D(t) ⊂ B(r(t)) với r(t) ∈ R Với t ∈ R, định nghĩa r02 (t) = 2C(1 + Cg,t ), − e−σt xét họ hình cầu đóng B = {B(t) : t ∈ R}, với B(t) = {v ∈ Vt : ∥v∥t ≤ r0 (t)}, t ∈ R 103 Sau đó, sử dụng bất đẳng thức (4.19), ta kiểm tra B tập D-hấp thụ lùi trình U (., ) Hơn nữa, phép nhúng Vt vào Ht compact nên B(t) tập compact Ht với t ∈ R Khi đó, từ Định lí 1.2 suy Định lí 4.2 Giả sử điều kiện (F3) (G3) thỏa mãn Khi đó, q trình U (., ) liên kết tốn (4.1) có tập D-hút lùi A = {A(t) : t ∈ R} họ không gian {Ht } Chú ý Kết chương phát triển kết [20, 21] phương trình phản ứng-khuếch tán cổ điển, kết [5] phương trình khuếch tán khơng cổ điển với số hạng phi tuyến tăng trưởng tiêu hao kiểu đa thức KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương nghiên cứu phương trình khuếch tán khơng cổ điển miền không trụ với số hạng phi tuyến tăng trưởng tiêu hao kiểu Sobolev Các kết đạt bao gồm: 1) Chứng minh tồn nghiệm biến phân toán (Định lí 4.1) 2) Chứng minh tồn tập D-hút lùi A họ không gian {Ht } q trình sinh tốn (Định lí 4.2) KẾT LUẬN KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Trong luận án chúng tơi nghiên cứu lớp phương trình khuếch tán không cổ điển miền không bị chặn miền không trụ trường hợp không ôtônôm, tức ngoại lực g phụ thuộc vào biến không gian thời gian Luận án đạt kết sau: Chứng minh tồn tính nghiệm yếu, tồn tập hút đều, tính nửa liên tục tập hút ε = phương trình khuếch tán không cổ điển miền không bị chặn RN , hai trường hợp số hạng phi tuyến tăng trưởng tiêu hao kiểu Sobolev, số hạng phi tuyến tăng trưởng tiêu hao kiểu đa thức Chứng minh tính bị chặn hội tụ tập hút phương trình khuếch tán khơng cổ điển với số hạng phi tuyến tăng trưởng tiêu hao kiểu Sobolev ngoại lực dao động kì dị Chứng minh tồn nghiệm biến phân tồn tập hút lùi phương trình khuếch tán khơng cổ điển miền không trụ số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tiêu hao kiểu Sobolev ĐỀ XUẤT MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề khác cần tiếp tục nghiên cứu: 104 105 • Nghiên cứu tính trơn đánh giá số chiều fractal/Hausdorff tập hút tập hút lùi nhận luận án • Nghiên cứu tính đặt dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình khuếch tán khơng cổ điển với số hạng chứa nhớ miền không bị chặn Một vài kết miền bị chặn nhận gần [44, 46, 47] • Nghiên cứu tính đặt dáng điệu tiệm cận nghiệm tốn với phương trình khuếch tán khơng cổ điển với trễ vô hạn Một vài kết trường hợp trễ hữu hạn nhận gần [9, 19] DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN C.T Anh and N.D Toan, Existence and upper semicontinuity of uniform attractors in H (RN ) for non-autonomous nonclassical diffusion equations, Annales Polonici Mathematici 113 (2014), no 3, 271-295 C.T Anh and N.D Toan, Nonclassical diffusion equations on RN with singular oscillating external forces, Applied Mathematics Letters 38 (2014), 20-26 C.T Anh and N.D Toan, Uniform attractors for non-autonomous nonclassical diffusion equations on RN , Bulletin of the Korean Mathematical Society 51 (2014), no 5, 1299-1324 N.D Toan, Existence and long-time behavior of variational solutions to a class of nonclassical diffusion equations in non-cylindrical domains, Acta Mathematica Vietnamica (2015), (DOI) 10.1007/s40306-015-0120-5 106 Tài liệu tham khảo [1] E.C Aifantis (1980), On the problem of diffusion in solids, Acta Mech 37, 265-296 [2] E.C Aifantis (2011), Gradient nanomechanics: applications to deformation, fracture, and diffusion in nanopolycrystals, Metallurgical and Materials Transactions A, vol 42, no 10, 2985-2998, [3] C.T Anh and T.Q Bao (2010), Pullback attractors for a class of nonautonomous nonclassical diffusion equations, Nonlinear Anal 73, 399-412 [4] C.T Anh and T.Q Bao (2012), Dynamics of non-autonomous nonclassical diffusion equations on RN , Comm Pure Appl Anal 11, 1231-1252 [5] C.T Anh and N.D Toan (2012), Pullback attractors for nonclassical diffusion equations in non-cylindrical domains, Int J Math Math Sci., Article ID 875913, 30 p [6] T.Q Bao (2012), Existence and upper semi-continuity of uniform attractors for non-autonomous reaction diffusion equations on RN , Electron J Differential Equations 2012, no 203, 18 pp [7] M.L Bernardi, G.A Pozzi and G Savaré (2001), Variational equations of Schrodinger-type in a non-cylindrical domain, J Differential Equations 171, 63-87 [8] T Caraballo, G Lukasiewicz and J Real (2006), Pullback attractors for asymptotically compact non-autonomous dynamical systems, Nonlinear Anal 64, 484-498 107 108 [9] T Caraballo and A.M Márquez-Durán, Existence, uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a nonclassical diffusion equation with delay, Dyn Partial Differ Equ 10 (2013), 267-281 [10] A Carvalho, J.A Langa and J.C Robinson (2013), Attractors for InfiniteDimensional Non-Autonomous Dynamical Systems, Appl Math Sci 182 Berlin: Springer, 409 p [11] D.N Cheban, P.E Kloeden and B Schmalfuß, The relationship between pullback, forward and global attractors of nonautonomous dynamical systems, Nonlinear Dyn Syst Theory (2002), 125-144 [12] G Chen and C.K Zhong (2008), Uniform attractors for non-autonomous p-Laplacian equation, Nonlinear Anal 68, 3349-3363 [13] V.V Chepyzhov (2013), Uniform attractors of dynamical processes and non-autonomous equations of mathematical physics, Russ Math Surv 68, 349-382 [14] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (1994), Attractors for non-autonomous dynamical systems and their dimension, J Math Pures Appl 73, 279 333 [15] V.V Chepyzhov and M.I Vishik (2002), Attractors for Equations of Mathematical Physics, Amer Math Soc Colloq Publ., Vol 49, Amer Math Soc., Providence, RI [16] V.V Chepyzhov, V Pata and M.I Vishik (2009), Averaging of 2D NavierStokes equations with singularly oscillating force, Nonlinearity 22, 351370 [17] M Conti, E.M Marchini and V Pata (2014), Nonclassical diffusion with memory, Math Meth Appl Sci doi: 10.1002/mma.3120 109 [18] M Conti, V Pata and R Temam (2013), Attractors for processes on time-dependent spaces Applications to wave equations, J Differential Equations 255, 1254-1277 [19] Z Hu and Y Wang (2012), Pullback attractors for a nonautonomous nonclassical diffusion equation with variable delay, J Math Phys 53, 072702 [20] P.E Kloeden, P Marin-Rubio and J Real (2008), Pullback attractors for a semilinear heat equation in a non-cylindrical domain, J Differential Equations 244, 2062-2090 [21] P.E Kloeden, J Real and C Sun (2009), Pullback attractors for a semilinear heat equation in time-varying domains, J Differential Equations 246, 4702-4720 [22] K Kuttler and E C Aifantis (1987), Existence and uniqueness in nonclassical diffusion, Quart Appl Math 45, 549-560 [23] K Kuttler and E Aifantis (1988), Quasilinear evolution equations in nonclassical diffusion, SIAM J Math Anal 19, 110-120 [24] D Li, Z X Wang and Z Wang (1998), Global existence, uniqueness and long-time behaviour for a class of nonclassical diffusion equations, Acta Math Appl Sinica 21, 267-276 [25] J.L Lions, Quelques Méthodes de Résolution des Problèmes aux Limites non Linéaires, Dunod, Paris, 1969 [26] Y Liu (2014), Time-dependent global attractors for the nonclassical diffusion equations, Applicable Analysis: An International Journal http://dx.doi.org/10.1080/00036811.2014.933475 110 [27] Y Liu and Q Ma (2009), Exponential attractors for a nonclassical diffusion equation, Electron J Differ Equa Vol 2009, No 9, 1-7 [28] Q Ma, Y Liu and F Zhang (2012), Global attractors in H (RN ) for nonclassical diffusion equations, Discrete Dyn Nat Soc 2012, Art ID 672762, 16 pp [29] J.C Peter and M.E Gurtin (1968), On a theory of heat conduction involving two temperatures, Z Angew Math Phys 19, 614-627 [30] F Rivero (2013), Time dependent perturbation in a non-autonomous nonclassical parabolic equation, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 18, 209-221 [31] J.C Robinson (2001), Infinite-Dimensional Dynamical Systems, Cambridge University Press [32] H Song, S Ma and C.K Zhong (2009), Attractors of non-autonomous reaction-diffusion equations, Nonlinearity 22, 667-682 [33] H Song and C.K Zhong (2008), Attractors of non-autonomous reactiondiffusion equations in Lp , Nonlinear Anal 68, 1890-1897 [34] C Sun, S Wang and C Zhong (2007), Global attractors for a nonclassical diffusion equation, Acta Math Appl Sin Engl Ser 23, 1271-1280 [35] C Sun and M Yang (2009), Dynamics of the nonclassical diffusion equations, Asymptotic Anal 59, 51-81 [36] R Temam (1995), Navier-Stokes Equations and Nonlinear Functional Analysis, 2nd edition, Philadelphia [37] R Temam (1997), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York 111 [38] T.W Ting (1963), Certain non-steady flows of second-order fluids, Arch Ration Mech Anal 14, 1-26 [39] C Truesdell and W Noll (1995), The Nonlinear Field Theories of Mechanics, in: Encyclopedia of Physics, Springer, Berlin [40] B Wang (1999), Attractors for reaction-diffusion equations in unbounded domains, Physica D 179, 41-52 [41] Y Wang (2013), On the upper semicontinuity of pullback attractors for multi-valued processes, Quart Appl Math 71, 369-399 [42] S Wang, D Li and C Zhong (2006), On the dynamic of a class of nonclassical parabolic equations, J Math Anal Appl 317, 565-582 [43] Y Wang and Y Qin (2010), Upper semicontinuity of pullback attractors for nonclassical diffusion equations, J Math Phys 51, 022701, 12 p [44] Y Wang and L Wang (2013), Trajectory attractors for nonclassical diffusion equations with fading memory, Acta Math Sci Ser B Engl Ed 33, 721-737 [45] L Wang, Y Wang and Y Qin (2014), Upper semicontinuity of attractors for nonclassical diffusion equations in H (R3 ), Appl Math Comp 240, 51-61 [46] X Wang, L Yang and C.K Zhong (2010), Attractors for the nonclassical diffusion equations with fading memory, J Math Anal Appl 362, 327337 [47] X Wang and C.K Zhong (2009), Attractors for the non-autonomous nonclassical diffusion equations with fading memory, Nonlinear Anal 71, 5733-5746 112 [48] H Wu and Z Zhang (2011), Asymptotic regularity for the nonclassical diffusion equation with lower regular forcing term, Dyn Syst 26, 391-400 [49] Y Xiao (2002), Attractors for a nonclassical diffusion equation, Acta Math Appl Sin Engl Ser 18, 273-276 [50] F Zhang (2014), Time-dependent global attractor for a class of nonclassical parabolic equations, J Appl Math., Vol 2014, p [51] Y.J Zhang and Q.Z Ma (2014), Exponential attractors of the nonclassical diffusion equations with lower regular forcing term, Int J Modern Nonlinear Theory and Appl 3, 15-22 [52] F Zhang and Y Liu (2014), Pullback attractors in H (RN ) for nonautonomous nonclassical diffusion equations, Dyn Syst 29, 106-118 ... trở thành phương trình phản ứng -khuếch tán cổ điển quen thuộc Lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển giới thiệu [1] E.C Aifantis phương trình phản ứng -khuếch tán cổ điển không mô tả hết khía... khác biệt chất phương trình khuếch tán khơng cổ điển phương trình phản ứng -khuếch tán cổ điển (nhận cho ε = (1)) số hạng −ε∆ut Số hạng làm phương trình 10 khuếch tán khơng cổ điển hiệu ứng trơn... nghiệm phương trình khuếch tán khơng cổ điển so với nghiên cứu phương trình phản ứng -khuếch tán cổ điển Từ đời nay, tồn dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình khuếch tán khơng cổ điển có