Đề cương bài giảng môn Các phép toán tối ưu

Đề cương bài giảng môn Các phép toán tối ưu được biên soạn với các bài học bài toán tối ưu hóa và các vấn đề cơ sở; bài toán qui hoạch tuyến tính; lý thuyết đối ngẫu; bài toán vận tải; qui hoạch tham số.

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: CÁC PP TỐI ƯU Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Thời gian: Tuần Tiết 1-3 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng: 3, Bài tập: 0, Tự học :3 Vũ Anh Mỹ Chương Bài toán tối ưu hoá vấn đề sở 1.1 Bài toán TUH phân loại tốn Các mục 1.2 Một số mơ hình thực tế 1.3 Khơng gian Euclide n-chiều Mục đích - - Nắm ý nghĩa ứng dụng thực tiễn toán TUH yêu cầu - Nhắc lại bổ xung số kiến thức ĐSTT có liên quan NỘI DUNG I LÝ THUYẾT Chương BÀI TOÁN TỐI ƯU HÓA VÀ CÁC VẤN ĐỀ CƠ SỞ 1.1 BÀI TỐN TỐI ƯU HĨA VÀ PHÂN LOẠI BÀI TỐN 1.1.1 Bài toán tối ưu hoá tổng quát Min (hoặc Max) hàm f(x) với điều kiện g i (x) , ,  b i ; i=1,m  n xX  R ,  (1.1) (1.2) đó: - f(x) : Hàm mục tiêu với n biến - gi(x) , i  1, m : Các hàm ràng buộc Mỗi bất đẳng thức gọi ràng buộc - Tập D   x  X  R n | gi ( x )  ,  , bi ;i  1,m Miền ràng buộc (1.3) - x = (x1,x2, , xn)  D : Phương án hay lời giải chấp nhận - Phương án x* D làm cực đại (cực tiểu) hàm mục tiêu gọi phương án hay lời giải tối ưu Cụ thể là: f(x*)  f(x), x D toán max hay f(x*)  f(x), x D tốn Khi f* = f(x*) gọi giá trị tối ưu tốn 1.1.2 Phân loại tốn Để tìm thuật giải hiệu cho toán Tối ưu hoá cần phân loại toán: - Quy hạch tuyến tính (QHTT); - Quy hoach phi tuyến (QHPT); - Qui hoạch rời rạc ( QHRR); - Qui hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) 1.2 MỘT SỐ MƠ HÌNH THỰC TẾ 1.2.1 Bài toán lập kế hoạch sản xuất tối ưu Một công ty muốn sản xuất loại sản phẩm A B loại nguyên liệu I, II III Chi phí sản xuất cho đơn vị sản phẩm cho bảng sau: Sản phẩm A B II III Nguyên liệu I  I  Giả sử cơng ty có lương dự trữ nguyên liệu:  II  III (Đơn vị nguyên liệu) Tiền lãi cho đơn vị sản phẩm loại A B tương ứng là: (đơn vị tiền tệ) Cần lập kế hoạch sản xuất cho công ty thu lãi nhiều với điều kiện hạn chế nguyên liệu Kí hiệu x1 x2 tương ứng số lượng sản phẩm loại A B cần sản xuất Mơ hình tốn học tốn có dạng tốn QHTT: f(x) = 4x1 + x2  max  2x1  x   x1  2x   x2    x1 , x  với điều kiện Như vậy, toán lập kế hoạch sản xuất tổng quát có dạng: n f (x)   c jx j  max j1  n  a ij x j  bi ,i  1, m  j1  x  0, j  1, n j  đó: + xj : Số sản phẩm loại j ( j  1, n ) cần sản xuất ; + cj : Tiền lãi đơn vị sản phẩm loại j ; + aij : Suất chi phí nguyên liệu loại i( i  1, m ) cho đơn vị sản phẩm loại j ; + b i : lượng dự trữ nguyên liệu loại i 1.2.2 Bài tốn vận tải - Có m kho hàng chứa loại hàng hoá đánh số thứ tự i  1, m gọi điểm phát thứ i Lượng hàng chứa điểm phát thứ i ai; - Có n điểm tiêu thụ loại hàng hoá đánh số thứ tự j  1, n gọi điểm thu thứ j; Điểm thu thứ j có nhu cầu tiêu thụ hàng bj - Biết cij cước phí vận chuyển đơn vị hàng hoá từ điểm phát thứ i điển thu thứ j ( i  1, m ; j  1, n ) Hãy lập kế hoạch vận chuyển từ điểm phát đến điểm thu cho chi phí vận chuyển với điều kiện: Các điểm phát phải phát hết hàng điểm thu thoả mãn đủ nhu cầu Đặt xij lượng hàng cần vận chuyển từ điểm phát Ai đến điểm thu Bj ( i  1, m ; j  1, n ) Khi mơ hình tốn học tốn vận tải (BTVT) có dạng: m F(X) = n  c x ij ij  i 1 j1  n   x ij  a i i  1, m  jm1    x ij  b j j  1, n  i 1  x ij  i =1,m ; j =1,n   với điều kiện: m Để tốn có lời giải, phải thoả mãn điều kiện cân thu phát: n a  b i i 1 j j1 1.3 KHÔNG GIAN EUCLIDE n-CHIỀU TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC 1.3.1 Tích vơ hướng vector - Tích vơ hướng khơng gian vector V hàm xác định VV thoả mãn: i) = x,y V ii) = < x,z> + x,y,z V iii) = =  x,y V , R iv)  ; =  x= - Nếu = ta nói vector x y trực giao với 1.3.2 Siêu phẳng nửa không gian Cho vector aRn số thực , siêu phẳng P không gian Rn tập   P  x  R n |  a,x   Nếu  = P không gian n-1 chiều Mỗi siêu phẳng P chia không gian Rn thành nửa không gian:  P2   x  R n |  a,x    P1  x  R n |  a,x   : Nửa khơng gian đóng : Nửa khơng gian mở 1.3.3 Đa tạp tuyến tính Định nghĩa 1.2 Giả sử A =(aij)mxn , bRm rank(A) = m tập: A   x  R n | Ax  b gọi đa tạp tuyến tính có thứ ngun r = n-m Nếu b=0 D khơng gian r chiều Như siêu phẳng đa tạp tuyến tính có thứ ngun n-1, đường thẳng đa tạp tuyến tính có thứ ngun 1, điểm đa tạp tuyến tính có thứ ngun khơng gian Rn đa tạp tuyến tính có n thứ nguyên Thứ nguyên tập hợp thứ nguyên đa tạp tuyến tính bé chứa II TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Đức Nghĩa, Tối ưu hoá, Nxb GD, 1999 Trần Vũ Thiệu-Bùi Thế Tâm, Tối ưu hoá , Nxb GTVT, 2000 Nguyễn Địch, Lý thuyết tối ưu hoá, Nxb ĐHQG Hà nội, 2003 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: CÁC PP TỐI ƯU Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Thời gian: Tuần Tiết 4-6 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng: 3, Bài tập: 0, Tự học :3 Vũ Anh Mỹ Chương Bài toán tối ưu hoá vấn đề sở 1.3 Không gian Euclide n-chiều Các mục 1.4 Cơ sở giải tích lồi Mục đích - - Nhắc lại bổ xung số kiến thức ĐSTT có liên quan yêu cầu - Nắm sở ý nghĩa hình học khái niệm toán học NỘI DUNG  LÝ THUYẾT 1.4 CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI 1.4.1 Đường thẳng qua điểm Cho điểm a bRn, đường thẳng qua a b tập :    x  R n | x  a  1    b,  R Chú ý: + 1   x  R n | x  a  1    b,  1 = [a, ): Nửa đường thẳng xuất phát từ a +    x  R n | x  a  1    b,  0 = [b, ): Nửa đường thẳng xuất phát từ b +    x  R n | x  a  1    b,0    1 = [a,b]: Đoạn thẳng nối a với b 1.4.2 Tập hợp lồi Định nghĩa 1.1 Tập C gọi tập lồi x, y  C   0 ,1 ,x  a  1    b  C ,x  bi  Nghĩa x,y C C chứa đoạn thẳng nối x y Thứ nguyên tập lồi thứ nguyên đa tạp tuyến tính nhỏ chứa Các tập lồi Các tập khơng lồi Định lí 1.1 Giao tập lồi tập lồi Chứng minh:… 1.4.3 Tổ hợp lồi Cho họ gồm m vector S = {a1 , a2 , a3, am } Rn Tổ hợp lồi họ S biểu thức: m x := m  x i i với i , i  1, m i 1   =1 i i 1 Tập tổ hợp lồi S gọi bao lồi (convex hull) S, kí hiệu conv(S) Từ định nghĩa ta thấy đoạn thẳng [a,b] bao lồi điểm a b tập lồi nhỏ chứa a b Định lý 1.2 Nếu X tập lồi chứa tổ hợp lồi số điểm Chứng minh: (Bằng phương pháp qui nạp theo m) Giả sử X tập lồi x1 ,x2 , x3, m m xm X Đặt x =  i x i với i 0, i  1, m i 1  i =1 Ta cần chứng minh xX i 1 Thật vậy: - Với m =2 ta có x = 1x1+ 2x2 với 1 ,2  1 + 2 =1 Suy x= 1 x1 + (1-1) x2 [x1, x2] Do x X m 1 - Giả sử định lý cho m-1 điểm, tức  x i i với i , i  1, m  i 1 m 1  m 1 i =1 Đặt  = i 1  m 1 i ta có i 1 i  m 1 m =1 m =1- 0 x = i 1  x i i 1 i =  i 1 i xi  +(1-)xm m 1 Do giả thiết qui nạp ta có i   xi  X , xm  X nên x X (đpcm) i 1 1.4.4 Cấu trúc tập lồi Định nghĩa 1.3 Cho X tập lồi đóng khơng gian Rn Tập F X gọi diện F F lồi đoạn thẳng nhận điểm x F làm điểm đoạn thẳng nằm F - Diện có thứ nguyên gọi đỉnh hay điểm cực biên X Nếu x điểm cực biên X khơng có đoạn thẳng X nhận x làm điểm Tập điểm cực biên X gọi viền X kí hiệu V(X) - Diện có thứ nguyên gọi cạnh X Định lý 1.4 Giả sử X tập lồi đóng , giới nội x0X Khi x0 tổ hợp lồi số hữu hạn điểm cực biên X Chứng minh: 1.4.5 Tập lồi đa diện đa diện lồi Định nghĩa 1.4 + Tập lồi đa diện (hay khúc lồi) giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng + Đa diện lồi tập lồi đa diện giới nội Giả sử tập lồi đa diện D giao m nửa khơng gian đóng cho bất phương trình: ,x  bi với i  1, m ,   ai1 , , ,ain   R n Khi m bất phương trình viết lại dạng ma trận Ax  b tập   D  x  R n | Ax  bi ;i  1,m  , với: A =(aij)mxn  x1  x  x =   Rn b =    xn  x0 Thí dụ 1.2  b1   b2  m   R    bm  A P1 B P2 d1 d3 d2 Tập lồi đa diện đỉnh, cạnh C Tập lồi đa diện đỉnh, cạnh D Đa diện lồi đỉnh, cạnh diện thứ nguyên Định lý 1.5 Nếu x0 đỉnh tập lồi đa diện D, D chứa nón G có đỉnh x0 có cạnh sinh cạnh D kề với x0 Chứng minh:  KIỂM TRA LÝ THUYẾT - Kiến thức giải tích lồi ý nghĩa hình học - Biểu diễn tốn học đa diện lồi ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: CÁC PP TỐI ƯU Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Thời gian: Tuần Tiết 7-9 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng: 3, Bài tập: 0, Tự học :3 Vũ Anh Mỹ Chương Bài tốn Qui hoạch tuyến tính 2.1 Bài tốn thực tế ý nghĩa hình học Các mục 2.2 Bài tốn qui hoạch tuyến tính dạng tắc 2.3 Thuật tốn đơn hình (Simplex) Mục đích - - Giới thiệu vài mơ hình thực tiễn dẫn đến qui hoạch tuyến tính u cầu - Học viên nắm Thuật tốn đơn hình sở tốn học NỘI DUNG I LÝ THUYẾT Chương BÀI TOÁN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.1 BÀI TỐN THỰC TẾ VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC 2.1.1 Bài tốn lập kế hoạch sản xuất tối ưu n Bài tốn có dạng: F(x)   c jx j  max (2.1) j1 n a x ij j  bi ,i  1, m (2.2) j1 (2.3) x j  0, j  1, n Hay dạng ma trận: F  x    c,x    max  Ax  b , x  Bài tốn (2.1)-(2.3) có hàm mục tiêu ràng buộc hàm bậc biến xj nên toán QHTT Vector xRn thoả mãn điều kiện (2.2)-(2.3) gọi phương án chấp nhận được, nói gọn phương án Tập tất phương án D   x  R n | Ax  b, x  0 gọi miền chấp nhận Dễ thấy D tập lồi đa diện Nếu D giới nội D đa diện lồi Các tốn thực tế ln ln giả thiết D giới nội người ta thêm vào ràng buộc có dạng: x1  x2   xn   L   với L số dương đủ lớn 2.1.2 Thí dụ thực tế ý nghĩa hình học Xét tốn lập kế hoạch sản xuất sau: F(x) = 4x1+ 5x2  max  2x1  x   x1  2x   x 3   x1  0, x  2.2 BÀI TỐN QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH DẠNG CHÍNH TẮC 2.2.1 Mơ hình tốn học Phần ta nghiên cứu tốn QHTT có dạng sau: n F ( x)   c j x j  (2.4) j 1 n a x ij j  bi , i  1,m (2.5) j 1 (2.6) x j  0, j  1,n hay viết dạng ma trận: F  x   c,x    min  Ax  b , x  Khơng làm tính tổng qt ta thêm giả thiết: b  , rank(A)=m < n Khi tập phương án chấp nhận D={xRn | Ax =b, x  0} đa diện có thứ nguyên n-m 2.2.2 Các định lý Định lý 2.1 Nếu hàm F(x) đạt cực tiểu điểm x*, x* phải đỉnh D Chứng minh… Định lý 2.2 Nếu hàm F(x) đạt cực tiểu vector x* điểm [a,b] D F(x) đạt cực tiểu điểm đoạn thẳng Chứng minh… Hệ Nếu tốn QHTT có phương án tới ưu tập D có đỉnh F(x) đạt giá trị tối ưu đỉnh D Định lý 2.2 hệ quan trọng xây dựng thuật toán giải QHTT Do khẳng định tốn có lời giải tối ưu thỉ phải có lời giải tối ưu đỉnh đa diện ràng buộc D, mặt khác D tập lồi đa diện nên có số hữu hạn đỉnh nên ta tập trung vào việc tìm phương án tối ưu toán đỉnh đa diện 2.3 THUẬT TỐN ĐƠN HÌNH (Simplex Algorithm) 2.3.1 Đường lối chung Thuật tốn đơn hình bao gồm bước sau: Bước Tìm phương án cực biên xuất phát Kết bước hai khả năng: - Phát tốn khơng có phương án - Tìm phương án cực biên x0D Bước Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu phương án tìm Có hai khả xảy ra: - Nếu x0 thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu : Dừng thuật toán, đặt x* = x0 tính F* =F(x*) - Nếu x0 khơng thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu , chuyển sang bước Bước Cải tiến phương án - Tìm phương án cực biên x1 tốt phương án x0 , tức F(x1) < F(x0) - Lặp lại bước Do D tập lồi đa diện nên có số hữu hạn đỉnh Vì thuật tốn kết thúc sau số bước lặp, kết tìm phương án tối ưu x* phát tốn khơng có phương án tối ưu 2.3.2 Cơ sở thuật toán Xét toán QHTT dạng tắc: F  x   c,x    min  x  D   x  R n | Ax  b, x  0 với giả thiết b rank(A)=m < n Bước Tìm phương án cực biên xuất phát x0D Do x0 phương án cực biên nên phải thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính Do x0 phương án nên x0 thỏa m phương trình ràng buộc Ax=b, nên cịn phải thỏa mãn chặt thêm n-m ràng buộc dạng xj = Khơng làm tính tổng quát, giả sử : xm0 1  xm0    xn0  (2.7) Khi hệ phương trình để xác định m thành phần cịn lại x là:  a11 x1  a12 x2  a x a x  21 22    am1 x1  am x2  a1m xm  a2 m xm      amm xm  bm b1 b2 (2.8) Ký hiệu J ={1,2,3,…m}: Tập số sở x0;  a1j    a2j  Aj =   j=1,n : Cột thứ j ma trận A, vector sở;    a mj    B=(A1,A2,…,Am) =(Aj)jJ: Ma trận sở xJ = ( xj) jJ ; Các biến xj với j J: Gọi biến sở ; xj với j J : Gọi biến phi sở Khi hệ phương trình (2.8) viết thành BxJ = b Do giả thiết rank(B) = rank(A) = m nên x 0J nghiệm hệ (5.8) : x 0J =B-1b 0 x0 = ( x10 , x 02 , x30 , , x 0m , 0,0.0, ,0) Nếu x 0j  với j  J x0 gọi phương án cực biên khơng suy biến (khơng thối hóa); Ngược lại jJ x 0j  x0 gọi phương án cực biên suy biến Từ phân tích ta có nhận xét sau: Giả sử ta tìm tập J  {1,2,3,…,n} cho ||J|| = m B=(Aj)jJ ma trận khơng suy biến Khi đó: - Nếu B-1b 0 B gọi sở chấp nhận tốn QHTT, xác định phương án cực biên; - Nếu điều kiện B-1b  khơng thỏa mãn B khơng phải sở chấp nhận tốn, ta phải chọn lại m cột độc lập tuyến tính khác A…cứ ta tìm sở chấp nhận Cách làm mang nhiều tính may rủi, tốn công sức Bước Kiểm tra tiêu chuẩn tối ưu Giả sử ta tìm phương án cực biên x0 tương ứng với sở B=(Aj)jJ Khi x 0j  j  J x 0k  k  J Do (Aj)jJ họ m vector độc lập tuyến tính khơng gian Rm, nên tạo thành sở khơng gian Rm Ta phân tích vector Ak với k  J theo sở này: Ak =  v jk A j k J (2.9) jJ  k   v jk c j  ck Đặt k=1,2,…: Các số kiểm tra (2.10) jJ Định lý 2.3 (Công thức số gia hàm mục tiêu) Nếu x0 phương án cực biên tương ứng với sở B=(Aj)jJ , xD ta có: xj = x 0j   v jk x k jJ (2.11) kJ F(x) = F(x )    k x k (2.12) kJ  Ý nghĩa công thức (2.11) (2.12) Đặt xj = x j  x 0j    v jk x k , jJ : Số gia biến xj kJ F(x)= F(x) - F(x )     k x k : Số gia hàm mục tiêu kJ Từ đó: Các biến sở số gia hàm mục tiêu hàm tuyến tính biến phi sở Định lý 2.4 (Tiêu chuẩn tối ưu) Nếu x0 phương án cực biên tương ứng với sở B=(Aj)jJ , điều kiện để x0 phương án tối ưu là: k  với  k  J (2.13) Chứng minh… Nều x0 thỏa mãn tiêu chuẩn (2.13) x0 phương án tối ưu tốn QHTT Cịn khơng thỏa mãn tiêu chuẩn (2.13)  k  J k >0, ta cần cải tiến phương án Tuy nhiên định lý sau giúp ta nhận biết tốn khơng có phương án tối ưu 10 Bảng B 80 A 70 50 -3 65 ui -1 65 -3 45 15 30 -1 -3 50 40 10 -2 -1 40 40 vj  65 -6 0  , F* = 685 40 10  Phương án tối ưu X* =  15 30 0  II CHỮA BÀI TẬP Cho toán toán vận tải với liệu: Lượng phát a = (70, 80, 90, 65); Lượng thu b = (55, 60, 75, 85) 10 4 Ma trận chi phí C=   2 3 7 10   10  Tìm phương án xuất phát theo phương pháp góc tây bắc.Giải toán phương pháp vị  0 70    50 0 Đs X* =  15 75    15   40 10 F* = 1195 Cho toán toán vận tải với liệu: Lượng phát a = (80, 65, 95, 70); Lượng thu b = (60, 55, 75,90) Ma trận chi phí 9 6 C=  10  10 9  5  6 Tìm phương án xuất phát theo phương pháp góc tây bắc.Giải toán phương pháp vị 50   45   10 55 0  X= 0 90     0 70  * Đs F* = 1485 Cho toán vận tải với liệu: Lượng phát a = (80, 75, 90, 80); Lượng thu b = (40, 90, 75, 95) Ma trận chi phí  10    4 C=  5 6   7 4 Giải toán phương pháp vị theo phương án xuất phát sau đây:  0 80   40 35 0  X=  15 75     40 15   0 80   0 75  Đs X*=    40 25 0   65 15  F* = 1120 Cho toán toán vận tải với liệu: Lượng phát a = (17,14, 21,43); Lượng thu b = (19, 22, 23,17,14)  12 11 27 17  25 12 Ma trận chi phí C=  13 28 15   32 27 21  14  21   25  Tìm phương án xuất phát theo phương pháp góc tây bắc.Giải toán phương pháp vị  Đs 17 0 0   0 14  X* =  2 14     20 23 0  F* = 859 Giải toán toán vận tải với liệu: Lượng phát a = (70, 80, 90, 65) , Lượng thu b = (55, 60, 75, 85) 4 4 Ma trận chi phí C=  2 3 6 7 3 7  4 Tìm phương án xuất phát theo phương pháp góc tây bắc.Giải tốn phương pháp vị  Đs  0 70   60 0  X*=  15 75     40 0 15  F* = 1230 51 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: CÁC PP TỐI ƯU Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 13 Tiết 37-39 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng: 2, Bài tập:1, Tự học :3 Vũ Anh Mỹ Chương Qui hoạch tham số Các mục 5.1 Đặt toán 5.2 Bài toán thứ nhất: Hàm mục tiêu phụ thuộc tham số Mục đích - Giới thiệu ý nghĩa QHTS yêu cầu - Trình bày phương pháp giải toán QHTS thứ - Luyện tập giải toán QHTS thứ NỘI DUNG I LÝ THUYẾT Chương QUI HOẠCH THAM SỐ 5.1 ĐẶT VẤN ĐỀ Xét toán QHTT: F  x  c,x  min  Ax  b , x  Dữ liệu toán ma trận A, vector b vector c có q trình nghiên cứu, đo đạc tính tốn Sau giải tốn ta tìm phương án tối ưu x*, áp dụng vào thực tế ta phát thấy liệu toán bị thay đổi Liệu phương án tối ưu x* phù hợp với mơ hình hay khơng Trong chương ta xét trường hợp đơn giản hơn: Các vector b c thay đổi đến mức độ x* phương án tối ưu tốn 5.2 BÀI TỐN THỨ I : HÀM MỤC TIÊU PHỤ THUỘC BẬC NHẤT MỘT THAM SỐ Xét toán QHTT: (5.1) F  x,   c  c',x  min   Ax  b, x  (5.2) đó: c, c '  R n ; b  R m ; A  (aij )mn ,  tham số thực Rõ ràng tập ràng buộc toán D   Ax  b, x  0 không phụ thuộc vào tham số  Giả thiết D   Khi với giá trị tham số   R toán (5.1)-(5.2) tốn QHTT dạng tắc Giả sử với    cụ thể tốn (5.1)-(5.2) có lời giải tối ưu x1 Khi  thay đổi nhỏ xung quanh , F(x, ) liên tục nên x1 phương án tối ưu Như ta cần tìm khoảng số thực T1 R cho x1 phương án tối ưu với   T1 Khi  thay đổi lớn, khỏi khoảng T1, x1 khơng cịn phương án tối ưu Khi cần phải tìm phương án tối ưu khác x2 khoảng số thực T2 tương ứng với nó…Từ dẫn đến việc cần tìm phân hoạch T1, T2 , , Tk R lời giải tối ưu x1, x , , xk tương ứng cho xi phương án tối ưu toán (5.1)-(5.2) với   Ti 52  Giải thuật Giả sử rank(A)= m Chọn    giải tốn (5.1)-(5.2) Có hai trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Với    tốn có phương án tối ưu x1 sở tối ưu tương ứng B1=(Aj)j  J , || J1 || = m Khi đó, x1J = B11b  k    v jk c j  c'j  ck   ck' j J     v jk c j  ck      v jk c 'j  ck'   jJ1   jJ1    k  k  với k  1, n Nếu k =  k ≤ 0, k     k    k   k     Đặt 1    k   k   k  Đặt 1  max   k k k <    k k k  với k đặt 1 = –∞ k  với k đặt 1 = +∞ Rõ ràng với   T1 = [1, 1 ] x1 cịn phương án tối ưu toán   T1 x1 khơng cịn phương án tối ưu Ta cần phải tiếp tục giải toán (5.1)-(5.2) với  > 1 1 –∞, gọi phát triển toán sang trái A Phát triển toán sang phải Giả sử 1   Khi   1 x1 B1 khơng cịn phương án sở tối ưu, ta cần tìm x2 sở B2 tương ứng Áp dụng giải thuật đơn hình, ta tìm sở B2 cho khác B1 vector, nghĩa B2  B1 \  Aq    Aq  a Tìm Aq, đưa vào sở theo tiêu chuẩn:    q         k     1 ,  tăng q  k   k  vượt qua 1 ∆q số kiểm tra tăng qua Xét cột Aq: + Nếu j  J , v jq  tốn khơng có phương án tối ưu với   > 1 nên ta kết thúc phát triển toán sang phải; + Nếu j  J , v jq    chuyển sang chọn Ap b Chọn Ap đưa khỏi B1 theo tiêu chuẩn: x p1 v pq  v jq 0 x1j v jq (FF đơn hình) Định lý 5.1 i x2 phương án tối ưu với  =  1; ii Nếu x2 phương án tối ưu với   T2 = [ , ]  = 1 Chứng minh… B Phát triển toán sang trái Giả sử 1   Khi   1 x1 B1 khơng cịn phương án sở tối ưu, ta cần tìm x0 sở B0 tương ứng Áp dụng giải thuật đơn hình, ta tìm sở B0 cho khác B1 vector, nghĩa B0  B1 \  Aq    Aq  53 a Tìm Aq, đưa vào sở theo tiêu chuẩn:    q     m ax    k q  k   k      1 ,   giảm vượt qua 1 ∆q số kiểm tra tăng qua Xét cột Aq: + Nếu j  J , v jq  tốn khơng có phương án tối ưu với   < 1 nên ta kết thúc phát triển toán sang phải; + Nếu j  J , v jq    chuyển sang chọn Ap b Chọn Ap đưa khỏi B1 theo tiêu chuẩn: x p1 v pq  v jq 0 x1j v jq (FF đơn hình) Định lý 5.2 i x0 phương án tối ưu với  = 1 ; ii Nếu x0 phương án tối ưu với   T0 = [0 , ]   1 Chứng minh… Trường hợp 2: Với  = γ tốn khơng có phương án tối ưu Khi q  J ,  q  j  J , v jq  a Nếu q  từ  q   q   q  suy    q q Do    tốn khơng có phương án tối ưu Ta cần phải xét toán với    q q q q  * Giải toán với    * Nếu tốn có phương án tối ưu (trường hợp 1) ta tiếp tục phát triển sang trái Nếu khơng có phương án tối ưu (trường hợp 2) ta tìm γ* giải toán với  = γ*… b Nếu q  từ  q   q   q  suy    q q Do    khơng có phương án tối ưu Ta cần phải xét toán với    q q q q toán  * Giải toán với    * Nếu tốn có phương án tối ưu (trường hợp 1) ta tiếp tục phát triển sang phảii Nếu khơng có phương án tối ưu (trường hợp 2) ta phải tìm γ* giải tốn với  = γ*… Thí dụ 5.1 Giải tốn Qui hoạch tham số: F(x,)= (6+) x1 +(1-2)x2 - x3 - 4x4   x1 3 x  x     x2  x3  x4 7 4 x2 2 x2 4 x3  x3  x4  x4  15 1 x j  0, j  1, 4;   R 54 Giải Đầu tiên đưa tốn dạng QHTT dạng tắc: F(x,)= (6+) x1 +(1-2)x2 - x3 - 4x4   x1  3 x   x     x2  x3  x4 x2 2 x2 4 x3  x3  x4  x4  x5   x6  15  x7  x j  0, j  1, 7;   R Ta có bảng đơn hình sau xuất phát B CJ xJ A5 A6 A7 0 15   16   -/ k A5 A6 A4 0 -4 k A2 A6 A4 1-2 -4 k A2 A7 A4 1-2 -4 k A2 A7 A3 1-2 - k 12   -/ 22/5 36/5 13/5   -/ 43/8 81/8 13/8   -/ + A1 -3 -6 -1 -2 -10 -1 -10 1-2 A2 -2 -1 -2 -7/2 - A3 -4 1 -3 -4 -4 A4 -1 0 0 \ A5 0 0 0 0 \ A6 0 0 0 \ Phát triển sang phải từ Bảng 0 1/3 0 -3 -2/3 1 2/3 0 -4 -7/3 0 -2/3 \ \ \ -7/2 -3/5 1/5 1/5 -9/5 -2/5 3/5 4/5 -1/5 8/5 -7 -3 11/5 -2/5 -2/5 \ -15/2 5/2 35/11 \ 3/8 1/2 1/8 0 9/8 1/2 3/8 5/8 1/2 -1/8 0 35/8 1/2 1/8 0 -3/2 -1/8 11/8 -47/17 \ \ 35/11 1/3 -2 -10 -1 -10 -2/5 -6/5 7/5 -12 -1/5 -60 1/8 3/8 7/8 -47/8 -17/8 A7 0 0 -1 1 -4 \ -1/3 5/3 1/3 -5/3 2/3 5/2 0 \ 0 hJ T= [  ,  ] 7/1 1/1 6/3  =-10 16/2  = -7/2 T0 = [-10,-7/2] 36/5 15  =-7/2  = 5/2 T1 = [-7/2,5/2]  = 5/2  = 35/11 T2 = [5/2,35/11]  = 35/11  = + T3 = [35/11,+) \  Phát triển sang trái từ Bảng 55 A5 A6 A4 0 -4 16  k  -/ A5 A6 18 A1 6+  k  -/ -2 -10 -1 -10 0 0 \ -3 -4 -1 -3 -2 -7/2 -2 -2 -13 \ 0 0 \ 10 -10 0 0 \ 0 0 \ 0 \ 0 \ -1 1 -4 \ -1 -6  =-10  = -7/2 T0 = [-10,7/2]  =-  =-10 T-1= (-, -10]  Tổng hợp kết quả:  B* - -10 -7/2 5/2 35/11 + (A5, A6, A1) (A5, A6, A4) (A2, A6, A4) (A2, A7, A4) (A2, A7, A3) x5 = x5 = x2 = x2 =22/5 x2 =43/8 * x6 =18 x6 =16 x6 =12 x7 =36/5 x7 =81/8 xJ x1 = x4 = x4 = x4 =13/5 x3 =13/8 -4 F(x*,) 6+ -18-4 -6-44/5 43/8 -99/8 Thí dụ 5.2 Giải toán Qui hoạch tham số: F(x,)) = (1-)x1 +(2+)x2 + (3-)x3 + (4+)x4   x1 x   x     x2  x2  x3 2 x3 2 x4  x4    x2 3 x3  x4  10 x j  0, j  1, Giải Đưa dạng tắc Lập bảng đơn hình xuất phát: B CJ xJ A5 A6 A7 0 10   -/ 16   -/ k A1 A6 A7 1- 0 k 1- A1 1 -1 -1 1 0 0 \ 2+ A2 -1 -2 -1 -2 -3 -3 3- A3 -2 -3 -3 -2 \ 4+ A4 -1 -4 -1 -4 -1 -2 -3 -2/3 A5 0 0 \ -1 1 -1 A6 0 \ 0 \ A7 0 0 \ 0 0 \ hJ T = [  ,  ] 6/1 8/1  =-2 = T0= [-2,1]  =1  = + T1=[1,+) 56  Phát triển sang trái A5 A6 A7 0 10  k  -/ A2 2+ A6 11 A7  k  -/ 1 -1 -1 1 1/2 3/2 -2 3/2 -2 -3 1/2 -3/2 -2 3/2 4/3 -1 -2 -1 -2 0 0 / -1 -4 -1 -4 -3 -2 / 0 0 / 1/2 1/2 -1 1/2 -2 0 / 0 / 0 0 / 0 0 / 6/2  =-2 =1 10/2 T = 2,1]  =-  = -2 T-1= (-,-2]  Tổng hợp kết quả:  B* - -2 (A2, A6, A1) x2 = * x6 =11 xJ x7= F(x*,) + 3 + (A1, A6, A7) x1 = x6 =2 x7= 16 - 6 (A5, A6, A4) x5 = x6 =8 x7 = 10 II CHỮA BÀI TẬP Giải toán qui hoạch tham số sau: F(x) =(3-2)x1 +(-4+) x2 +(-1-) x3 + (-8+2) x4 + (4+2)x5 + (1+)x6   x1   x     x2 x2 2 x4  x6  x3 3 x4  x6  x3 3 x4 2 x5 2 x6 x j  0, j  1, 6;   R  9  10  15 Tổng hợp kết quả:  B* x *J - -1/4 F(x)- F(x*,) 3/2 A1, A2, A6 A3, A2, A6 + A4, A2, A6 (1,18,8) -61 + 24 (1,16,7) -58+22 (1, 13, 6) -54+21 Giải toán qui hoạch tham số sau: F(x) = (3+2)x1 + (4-2)x2 + (2+)x3 + (1+3)x4 + (5-)x5   x1  x   x     x2  x3  x4  x5  3 3 x2  x2  x3 2 x3  x4 2 x4  x5 3 x  2  x j  0, j  1,5;   R 57 [-  Tổng hợp kết quả:  B* - x *J -3/4 A3, A7, A8 A2, A7, A8 F(x)- F(x*,) (3,1,10) + 3 (3/2, 5/2, 5/2) - 3 17/7 A2, A7, A6 (4, 10, 5) 16 - 8 + F(x)- Giải toán qui hoạch tham số sau: F(x) = (1+)x1 +(-2-3)x2 + x3 +(-5+3)x4 +(-4-)x5   x1  x  x      3x2 - 2x3  x4  x5  + x2  x2 + x3 - x4  x4 2 x5 3 x5  20  32 35 x j  0, j  1,5;   R Tổng hợp kết quả:  B* - A1, A4, A3 1/6 + A1, A2, A3 x *J (27,5,12) (27, 5, 2) F(x*,) 14 + 42 19 + 12 58 ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Học phần: CÁC PP TỐI ƯU Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Thời gian: Tuần 14 Tiết 40-42 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng: 2, Bài tập:1, Tự học :3 Vũ Anh Mỹ Chương Qui hoạch tham số Các mục 5.3 Bài toán thứ hai: Vế phải phụ thuộc tham số Mục đích - Trình bày phương pháp giải toán QHTS thứ hai yêu cầu - Luyện tập giải toán QHTT tham số NỘI DUNG I LÝ THUYẾT Chương QUI HOẠCH THAM SỐ 5.3 BÀI TOÁN THỨ II : VẾ PHẢI PHỤ THUỘC THAM SỐ Xét toán QHTT: F(x,) = → (5.3) (5.4) Ax  b  b ', x  đó: c  R n ; b, b '  R m , A  (aij )mn ,  tham số thực Khi miền ràng buộc:   D     x | Ax  b  b’ ,x  ,  R phụ thuộc vào tham số   Giải thuật: Giả sử rank(A)= m Chọn    giải tốn (5.3)-(5.4) Có ba trường hợp xảy ra: Trường hợp 1: Với    tốn có phương án tối ưu x1 sở tối ưu tương ứng B1=(Aj)jJ, ||J||=m Khi ∆k ≤ với  k x1J = B11 (b  b ')  Hay x1j   j +  j  với j  J x1j  với j  J Vì vậy: + Nếu j  J mà βj = αj ≥ + Nếu j  J mà βj >    + Nếu j  J mà βj <    j j j j ;    j  1  max   (5.5)   , βj ≤  j  J1 đặt 1 = –∞,  j    j     j      (5.6)    , βj   j  J1 đặt 1 = +∞  j    j  Rõ ràng với   T1 = [1, 1 ] x1 cịn phương án tối ưu toán   T1 x1 khơng cịn phương án tối ưu Ta cần phải tiếp tục giải toán Đặt (5.3)-(5.4) với  > 1 1 –∞, gọi phát triển toán sang trái 59  Phát triển toán sang phải Giả sử 1 < +∞ Khi  > 1 x1 B1 khơng phương án sở tối ưu, ta cần tìm x2 B2 Áp dụng giải thuật đơn hình đối ngẫu, ta tìm sở B2 cho khác B1 vector: B2 = B1\{Aq {Aq} a Tìm Ap đưa khỏi sở B1, theo tiêu chuẩn:    p    j      p  j    j      1 ,   tăng vượt qua 1 x1p thành phần x1 trở thành âm Xét hàng Ap: + Nếu vpk  với k tốn khơng có phương án (D() =  ) với   > 1 nên ta kết thúc phát triển toán sang phải; + Nếu  k vpk < chuyển sang chọn Aq b Chọn Aq đưa vào B2 theo tiêu chuẩn: Nếu q v pq k đưa Aq vào sở B2 v pk  v pk  Định lý 5.3 i B2 sở tối ưu với  =  1; ii Nếu B2 sở với    T2 = [ , ]  = 1 Chứng minh…  Phát triển toán sang trái Giả sử 1 > -∞ Khi  < 1 x1 B1 khơng cịn phương án sở tối ưu, ta cần tìm x0 B0 Áp dụng giải thuật đơn hình đối ngẫu, ta tìm sở B0 cho khác B1 vector: B0= B1\{Aq {Aq} a Tìm Ap đưa khỏi sở B1, theo tiêu chuẩn:    p    j  m ax     p  j    j     1 ,   giảm vượt 1 x1p thành phần x1 trở thành âm Xét hàng Ap: + Nếu vpk  với k tốn khơng có phương án (D() =  ) với  < 1 nên ta kết thúc phát triển toán sang phải; + Nếu  k vpk < chuyển sang chọn Aq b Chọn Aq đưa vào B0 theo tiêu chuẩn: Nếu q v pq k đưa Aq vào sở B2 v pk  v pk  Định lý 5.4 i B0 sở tối ưu với  = 1 ; ii Nếu B0 sở với    T0 = [0 , ]   1 Chứng minh… Trường hợp 2: Với  = γ, D() =  Khi p  J1 cho x1p   p    p  với k ,v pk  Do đó: + Nếu βp =  p  , D() =  với  60 p + Nếu βp >    p   * Vì   < * D() = , phải xét [*,+∞) Nếu chọn  = *, giải tốn có ba trường hợp xảy ra: - Nếu tốn có phương án tối ưu: Trường hợp 1; - Nếu tốn khơng có phương án tối ưu: Trường hợp - Nếu D() =  toán trở trường hợp Ta cần xác định * thay *cũ + Nếu βp < D() =  với   > * Do cịn phải xét  = (–∞, *] Khi chọn  = * xảy ba trường hợp Trường hợp 3: Với  = γ tốn (5.3)-(5.4) khơng có phương án tối ưu Khi tốn cho khơng có phương án tối ưu tốn đối ngẫu khơng có phương án, nghĩa D   Xét toán đối ngẫu: G  y   b  b', y  max   x  D  y  R m | AT y  c Ta thấy tập phương án D tốn đối ngẫu khơng phụ thuộc vào  Do với   R D   Vì   R tốn gốc khơng có phương án tối ưu khơng có phương án Thí dụ 5.3 Giải toán qui hoạch tham số F(x) = x1 + 2x2 + 4x3 +3x4   x1 3 x2  x3  x4   2   x1  x2  x3 2 x4   2 x  x2 2 x3  x4     x j  0; j  1, 4;   R  Giải Đưa tốn dạng tắc Lập bảng xuất phát phát triển sang phải B CJ A5 A6 A7 0 A5 A1 A7 xJ J J 2 -2 -1 k k/vpk , vpk