Lịch sử phát triển số nguyên tố

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NINH VĂN QUÝ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ NGUYÊN TỐ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH Hà Huy Khối Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy gia đình Tơi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Phòng đào tạo nghiên cứu khoa học quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Tỉnh Bắc Giang, Trường Trung học phổ thơng Bố Hạ, đặc biệt tổ Tốn Tin giúp đỡ tinh thần vật chất suốt trình học tập Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Số nguyên tố khái niệm xưa toán học, với học sinh, khái niệm số nguyên tố khái niệm biết đến đầu tiên.Tưởng biết tất điều cần biết số nguyên tố mà thực tế người biết số nguyên tố, việc nghiên cứu số nguyên tố khó dường câu hỏi đặt cho số nguyên tố câu hỏi vĩnh cửu toán học Mặc dù vậy, sau hàng kỷ biết đến vấn đề toán học lý thuyết, khoảng 30 năm trở lại đây, số nguyên tố tham gia vào ứng dụng thiết thực xã hội đại: vấn đề bảo mật thông tin Và đó, người ta nhận rằng, người chưa biết số nguyên tố! Luận văn gồm hai chương Chương 1, chúng tơi trình bày giai đoạn phát triển số nguyên tố Những định lý quan trọng liên quan đến số ngun tố Chương 2, chúng tơi trình bày số ứng dụng số nguyên tố xã hội đại Nhận thức lí thuyết số nguyên tố tảng số học, học số nguyên tố từ sớm, từ bậc học phổ thông sở, tài liệu viết số nguyên tố Bản luận văn cung cấp thêm tài liệu lịch sử nghiên cứu lí thuyết số nguyên tố trình tìm số nguyên tố lớn Chúng hy vọng luận văn đáp ứng phần lịng u thích nghiên cứu số ngun tố bạn đồng nghiệp, em học sinh Sau thời gian nghiên cứu luận văn hoàn thành Tuy nhiên khơng tránh khỏi nhiều sai sót Kính mong góp ý q thầy cơ, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Mục lục Chương Các giai đoạn phát triển lý thuyết số nguyên tố 1.1 Định nghĩa 1.2 Giai đoạn 1:(Trước công nguyên) 1.2.1 Định lý (Euclid, kỉ III trước công nguyên) 1.2.2 Sàng Eratosthenes 1.3 Giai đoạn 2(Trước kỷ 17) 10 1.4 Giai đoạn 3:(Sau kỷ 17) 10 1.4.1 Định lý 2(Fermat bé) 11 1.4.2 Định lý 3(Wilson) 11 1.4.3 Định lý 4(Định lý số học) 13 1.4.4 Định lý 14 1.4.5 Sự phân bố số nguyên tố: 14 1.4.6 Số nguyên tố Mersenne 17 1.4.7 Số nguyên tố Fermat 20 1.4.8 Một số số nguyên tố lớn biết đến 21 1.4.9 Một số vấn đề chưa giải 23 1.4.10 Số giả nguyên tố 24 1.4.11 Thuật toán đa thức kiểm tra tính ngun tố 26 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số ứng dụng số nguyên tố xã hội đại 28 2.1 Lý thuyết mật mã (Mã hóa thơng tin) 28 2.1.1 Hệ mã mũ 29 2.1.2 Các hệ mật mã khóa công khai 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các giai đoạn phát triển lý thuyết số nguyên tố 1.1 Định nghĩa Số nguyên tố số nguyên lớn 1, không chia hết cho số nguyên dương ngồi Số ngun lớn số nguyên tố gọi hợp số 1.2 Giai đoạn 1:(Trước công nguyên) Số nguyên tố tính chất lần nghiên cứu rộng rãi nhà toán học Hylạp cổ đại Các nhà toán học trường học Pythagoras (500 TCN đến 300 TCN) quan tâm đến tính chất số nguyên tố Họ quan tâm đến hoàn hảo thân thiện số Cho đến thời gian xuất "Nguyên lý" Euclid (Khoảng 300TCN), số kết quan trọng số nguyên tố chứng minh Trong sách Nguyên lý IX chứng minh có vơ hạn số nguyên tố Đây chứng biết từ sớm sử dụng phương pháp phản chứng 1.2.1 Định lý (Euclid, kỉ III trước công nguyên) Tập hợp số nguyên tố vô hạn Chứng minh:(Định lý 1) Giả tập hợp số nguyên tố hữu hạn Gọi p số nguyên tố lớn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét k tích tất số nguyên tố cộng thêm 1: k = · · · · · ·p + Số k khơng có ước nguyên tố chia cho số nguyên tố tùy ý ta phần dư Trong dễ thấy ước số bé m > số tự nhiên k số nguyên tố Mâu thuẫn chứng minh định lí Euclid đưa chứng Định lý số học số nguyên viết thành tích số nguyên tố Euclid cho thấy 2n − số nguyên tố 2n−1 · (2n − 1) số hoàn hảo Nhà toán học Euler(Năm 1747) tất số hồn hảo có dạng 1.2.2 Sàng Eratosthenes Trong khoảng 200 TCN Eratosthenes (Hylạp) nghĩ thuật tốn để tính số ngun tố, gọi sàng Eratosthenes: Trước tiên, ta viết dãy số tự nhiên từ đến n Trong dãy gạch số 1, khơng phải số nguyên tố Số nguyên tố dãy Tiếp theo ta gạch khỏi dãy tất số chia hết cho Số khơng chia hết cho 3: Đó số nguyên tố Ta lại gạch khỏi dãy lại số chia hết cho Tiếp tục thế, ta lại gạch khỏi dãy số chia hết cho số nguyên tố bé √ n Các số lại dãy tất số nguyên tố không vượt n Sàng Eratosthenes, mặc ta thuật toán xác định số nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tố không vượt số cho trước, sử dụng để xác định xem số cho có phải số nguyên tố hay khơng Ngun nhân thuật tốn có độ phức tạp lớn 1.3 Giai đoạn 2(Trước kỷ 17) Sau kết đạt việc nghiên cứu lý thuyết số nguyên tố nhà tốn học Hylạp (Trước cơng ngun) Thì sau khoảng cách dài lịch sử lý thuyết số nguyên tố không đạt thành tựu đáng kể, thường gọi thời kỳ đen tối 1.4 Giai đoạn 3:(Sau kỷ 17) Những phát triển quan trọng thực Fermat vào đầu kỷ 17 Ơng chứng minh suy đốn Albert Giard số nguyên tố có dạng 4n − viết theo cách dạng tổng bình phương Ơng nghĩ phương pháp để tìm thừa số số lớn khai triển số 2027651281 = 44021.46061 Ông lần đầu thông báo định lý thư đề ngày 18/10/1640 cho bạn ông Frénicle de Bessy Như thường lệ Fermat không chứng minh Euler lần công bố chứng minh vào 1736 báo, Leibniz có chứng minh với ý tưởng tương tự thảo không công bố vào khoảng trước năm 1683 Điều mà ngày biết đến Định lý Fermat bé (để phân biệt với định lý cuối Ơng) 10 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn STT Số nguyên tố 10 18912879.298395 − 112886032245.2108000 − 1124044292325.2107999 − 2540041185.2114729 − 7068555.2121301 − 33759183.2123458 − 137211941292195.2171960 − 48047305725.2171960 − 607095.2176311 − 620366307356565.2253824 − Chữ số Ai 29628 32523 32523 34547 36523 37173 51780 51910 53081 76424 p94 L99 L99 g294 L100 L527 x24 L99 L983 x24 Khi 2002 2006 2006 2003 2005 2009 2006 2007 2009 2009 Bình luận SophieGermain(p) SophieGermain(p) SophieGermain(p) SophieGermain(p) SophieGermain(p) SophieGermain(p) SophieGermain(p) SophieGermain(p) SophieGermain(p) SophieGermain(p) Các số giai thừa nguyên tố, nguyên tố giai thừa Số có dạng n! ± gọi giai thừa nguyên tố Danh sách số giai thừa nguyên tố biết STT 10 Số nguyên tố 974! − 1477! + 1963! − 3507! − 3610! − 6380! + 6917! − 21480! − 26951! + 34790! − Chữ số 2490 4042 5614 10912 11277 21507 23560 83727 107707 142891 Ai CD D CD C C gl gl p65 p65 p85 Khi 1992 1984 1992 1992 1993 1998 1998 2001 2002 2002 Bình luận Factorial Factorial Factorial Factorial Factorial Factorial Factorial Factorial Factorial Factorial Số nguyên tố giai thừa số nguyên tố có dạng 2.3.5.p + Danh sách số nguyên tố giai thừa biết: 22 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn STT 10 Số nguyên tố 13033 − 13649 + 15877 − 18523 + 23801 + 24029 + 42209 + 15877 + 366439 + 392113 + Chữ số 5610 5862 6845 8002 10273 10387 18241 63142 158936 169966 Ai CD D CD D C C p8 p21 p16 p16 Khi 1992 1987 1992 1989 1993 1993 1999 2000 2001 2001 Bình luận Primorial Primorial Primorial Primorial Primorial Primorial Primorial Primorial Primorial Primorial Vẫn nhiều câu hỏi mở (một số số có niên đại hàng trăm năm) liên quan đến số nguyên tố 1.4.9 Một số vấn đề chưa giải Có vơ hạn số ngun tố sinh đơi? Phỏng đốn Goldbach (phát biểu thư Goldbach gửi Euler vào năm 1742) số nguyên lớn viết tổng hai số ngun tố? Có vơ hạn số ngun tố dạng n2 + ? Ln ln có số nguyên tố n2 (n + 1)2 ? Có vơ hạn số ngun tố Fermat? Có nhiều vơ hạn ba số ngun tố liên tiếp cấp số cộng? n2 − n + 41 số nguyên tố với ≤ n ≤ 40 Có vơ hạn số ngun tố có dạng này? Có vơ hạn số ngun tố có dạng n + ? (ở n tích tất số ngun tố ≤ n) 10 Có vơ hạn số nguyên tố có dạng n − 1? 11 Có vơ hạn số ngun tố có dạng n! + 1? 12 Có vơ hạn số ngun tố có dạng n! − 1? 23 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Nếu p số ngun tố 2p − ln ln khơng có ước phương khác (squarefree?) 14 Các dãy Fibonacci chứa số lượng vô hạn số nguyên tố? 1.4.10 Số giả nguyên tố Theo Định lý Fermat, n số nguyên tố b số nguyên tùy ý, bn ≡ b (mod n), tồn số b cho bn ≡ b (mod n), n hợp số Trong nhiều ứng dụng, lại cần đến thuật toán để số n số nguyên tố Trong trường hợp này, ta dùng Định lý Fermat bé, định lý ngược không Tuy nhiên, số nguyên thỏa mãn giả thuyết Định lý Fermat bé " có nhiều khả năng" số nguyên tố ! ta có định nghĩa sau đây: Định nghĩa : Giả sử b số nguyên dương Nếu n hợp số nguyên dương bn ≡ b (mod n), n gọi số giả nguyên tố sở b Trong trường hợp (a, b) = , ta thường dùng định nghĩa tương đương bn−1 ≡ (mod n) Ví dụ : Số nguyên 561 = 3.11.17 số giả nguyên tố sở Thật vậy, áp dụng Định lý Fermat bé, ta có : 2560 = (22 )280 ≡ (mod 3) 2560 = (210 )56 ≡ (mod 11) 24 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2560 = (216 )35 ≡ (mod 17) Từ suy 2560 ≡ (mod 561) Nói chung số giả nguyên tố "ít nhiều" so với số nguyên tố Chẳng hạn , có tất 455052512 số nguyên tố bé 1010 , có 14884 số giả nguyên tố sở khoảng Định lý: Có vơ số số giả ngun tố sở Chứng minh: Giả sử n số giả nguyên tố sở 2, ta chứng tỏ m = 2n − số giả nguyên tố sở Theo giả thuyết n hợp số, chẳng hạn n = d.t , với (1 < d, t < n), 2n−1 ≡ (mod n) Dễ thấy m hợp số, (2d − 1)(2n − 1) = m Do n giả nguyên tố, tồn k cho 2n − = k.n Ta có 2m−1 = 2kn, m = (2n − 1)/(2nk − 1) = 2m−1 − Tức 2m−1 ≡ (mod m) Vậy m giả nguyên tố sở Như vậy, để kiểm tra số có phải nguyên tố hay khơng trước tiên ta xem có giả ngun tố sở hay khơng, sau tiếp tục kiểm tra sở khác Tuy nhiên, tồn số giả nguyên tố sở, số Carmichael 25 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.4.11 Thuật toán đa thức kiểm tra tính nguyên tố Tháng năm 2002, ba tác giả Manindra Agrawal, Meeraj Kayal Nitin Saxena (Viện cơng nghệ Kanpur-Ấn độ) cơng bố thuật tốn kiểm tra tính nguyên tố với độ phức tạp đa thức (thường gọi thuật toán AKS) Tuy nhiên, với bậc đa thức cao(khoảng O(log 12 n)) , thuật toán chưa chứng tỏ tính hiệu rõ rệt tính tốn thực tiễn(cho đến nay) Về mặt lý thuyết thuật tốn có ý nghĩa lớn vấn đề thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều người thời gian dài Thuật toán AKS sử dụng kiến thức sơ cấp với ý tưởng mạnh lạc, rõ ràng Thuật toán xuất phát từ ý tưởng sau đây: Số nguyên p số nguyên tố đẳng thức sau với số nguyên a nguyên tố với p: (x − a)p ≡ xp − a (mod p) Nhưng việc kiểm tra đẳng thức đơn giản (khi p đủ lớn), người ta cho rút gọn hai vế đẳng thức theo modulo đa thức xr − (với r số ngun tố có tính chất "đặc biệt" mơ tả thuật tốn) sau lại rút gọn hệ số kết thu (hai đa thức) theo modulo p Tức có hệ thức sau: (x − a)p ≡ xp − a (mod xr − 1, p) Biểu thức xảy số trường hợp p hợp số, người ta chứng minh khơng có hợp số p thỏa mãn với √ a nằm vùng :1 < a < r.logp Như việc kiểm tra biểu thức cho số a nằm vùng tương đương với việc kiểm tra tính ngun tố p có độ 26 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn phức tạp đa thức THUẬT TOÁN In put n > Bước 1: Nếu n có dạng ab với b > kết thúc thơng báo " hợp số", khơng cho r := Bước 2: Kiểm tra r < n, thực tiếp bước Bước 3: Kiểm tra gcd(n,r) khác kết thúc cho in "hợp số", ta kiểm tra tính nguyên tố r, r nguyên tố ta thực tiếp bước 4, không ta tăng r lên đơn vị quay trở lại bước Bước 4: Gọi q ước nguyên tố lớn r − , tiến hành kiểm √ r−1 tra q ≥ r.logn n ≡ (mod r) thực tiếp bước Ngược lại ta tăng r lên đơn vị quay trở lại bước √ Bước 5: Kiểm tra a ≤ r.logn, ta thực bước 6, sai ta kết thúc cho in "nguyên tố" Bước 6: Nếu (x − a)n ≡ xn − a (mod xr − 1, n), ta kết thúc in "hợp số", ngược lại ta tăng a lên đơn vị quay trở lại bước Người ta chứng minh số nguyên tố r cần cho thuật toán (thỏa mãn điều kiện bước 4) tồn tại, có cỡ (O(log n)), thuật tốn hữu hạn Dễ dàng kiểm tra n ngun tố thuật tốn có câu trả lời "ngun tố", cịn việc chứng minh n hợp số, thuật toán phải cho câu trả lời "hợp số" dài (nhưng khơng khó) 27 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số ứng dụng số nguyên tố xã hội đại 2.1 Lý thuyết mật mã (Mã hóa thơng tin) Hơn hết mà xã hội đại vấn đề bảo mật thông tin trở lên cấp thiết, mối quan tâm khơng cấp quốc gia mà cịn mang tính tồn cầu Mã hóa thơng tin xuất từ sớm từ thời cổ đại Người ta cho người áp dụng mật mã cách có hệ thống để bảo đảm bí mật thơng tin quân nhà quân thiên tài La mã cổ đại, Julius Caesar Để bảo mật thông tin, người ta chuyển thơng tin thành dạng mật mã (được gọi mã hóa) Việc chuyển thơng tin mã hóa dạng ban đầu (được gọi giải mã) Muốn giải mã thông tin mã hóa địi hỏi phải biết khóa lập mã (bí mật) ta gọi thám mã Cho đến khoảng cuối năm 70, người ta xem việc nghiên cứu số nguyên tố ngành lí thuyết túy tốn học, khơng có ứng dụng thực tiễn Quan niệm thay đổi hẳn sau số nguyên tố áp dụng để xây dựng hệ mật mã khóa cơng khai Các lý thuyết số học, đặc biệt số học thuật tốn, tìm thấy ứng dụng trực tiếp vào thực tiễn Vì chúng tơi trình bày điểm lý thuyết mật mã tìm hiểu vài hệ mật mã xây dựng sở sử dụng số nguyên tố lớn 28 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.1.1 Hệ mã mũ Hệ mã mũ (chưa phải mã khóa cơng khai) Pohig Hellman đưa năm 1978 Mục tiêu hệ khắc phục nhược điểm lớn hệ mã có trước đó: lộ số văn bị lộ khóa Đối với hệ mã mũ, việc lộ bí mật số (có thể nhiều) văn không làm ảnh hưởng đến tính bảo mật tồn hệ thống Sau nguyên lý chung xây dựng hệ mã mũ Giả sử p số nguyên tố lẻ, giả sử e số nguyên dương cho (e, p − 1) = Khi cặp e, p dùng làm khóa lập mã Để nhằm mục đích này, số nguyên tố p chọn phải số nguyên tố đủ lớn (khoảng 200 chữ số) Khi mã hóa khối P văn bản, ta lập khối C tương ứng văn mật theo công thức sau: C ≡ Pe (mod p), ≤ P < p Số p chọn đủ lớn cho văn mật chứa khối chữ số số nguyên nhỏ p Để giải mã khối C văn mật, ta cần biết khóa giải mã d Đó số d thỏa mãn de ≡ (mod p) − 1, có nghĩa d nghịch đảo e modulo p − Nghịch đảo tồn giả thiết (e, p − 1) = Để tìm lại khối C văn bản, ta việc nâng khối C lên lũy thừa d modulo p Thật vậy, C d ≡ (P e )d ≡ P de ≡ P k(p−1)+1 ≡ P (mod p), 29 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn de = k(p − 1) + số nguyên k đó, de ≡ (mod p − 1) Ta xem xét độ phức tạp hệ mã mũ Với khối P văn bản, mã hóa cách tính P e (mod p), số phép tính bít cần thiết O(log2 p)3 Để giải mã trước hết ta cần phải tìm nghịch đảo d e modulo p − 1, điều thực với O(log p) phép tính bít, cần làm lần Tiếp theo đó, để tìm lại khối P văn từ khối C văn mật, ta cần tính thặng dư nguyên dương bé C d modulop : số phép tính bít địi hỏi O(log2 p)3 Như vậy, thuật toán lập mã giải mã thực tương đối nhanh máy tính Tuy nhiên ta chứng tỏ rằng, việc giải mã văn mật mã hóa mã mũ nói chung khơng thể làm khơng biết khóa e Thật vậy, giả sử ta biết số nguyên tố p dùng làm khóa lập mã, nữa, giả sử biết số khối C văn mật tương ứng với số khối P văn bản, tức ta biết số đồng dư thức C ≡ P e (mod p) Vấn đề lại xác định e từ công thức Số e thỏa mãn điều kiện được gọi logarit số P C modulo p Có nhiều thuật tốn khác để tìm logarit số cho modulo số nguyên tố Thuật √ toán nhanh biết địi hỏi khoảng exp( logplogplogp) phép tính bít Để tìm logarit modulo số ngun tố có n chữ số thập phân, thuật tốn nhanh địi hỏi số phép tính bít xấp xỉ số phép tính bít cần dùng phân tích số nguyên n chữ số thành thừa số Như vậy, làm việc với máy tính có tốc độ triệu phép tính giây, p có khoảng 100 chữ số thập phân, việc tìm logarit modulo p cần khoảng 74 năm, cịn trường hợp p có khoảng 200 chữ số, thời gian cần thiết 3,8 tỷ năm! 30 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cần phải lưu ý rằng, có trường hợp việc tìm logarit modulo p thực thuật toán nhanh nhiều Chẳng hạn p − có ước nguyên tố nhỏ, tồn thuật toán đặc biệt cho phép tính logarit modulo p với O(log2 p) phép tính bít Rõ ràng số nguyên tố khơng thể dùng để lập mã Trong trường hợp đó, ta lấy q với p = 2q + 1, số q số nguyên tố (khi q − khơng thể có ước ngun tố nhỏ) 2.1.2 Các hệ mật mã khóa cơng khai a Nguyên lý chung Trong hệ mật mã trình bày đây, khóa lập mã phải giữ bí mật, khóa lập mã bị lộ người ta tìm khóa giải mã thời gian tương đối ngắn Như hệ thống có nhiều cặp cá thể nhiều nhóm cá thể cần trao đổi thơng tin mật với nhau, số khóa mật mã chung cần giữ bí mật lớn, vậy, khó đảm bảo Hệ mã mà nghiên cứu lập theo nguyên tắc hoàn toàn mới, việc biết khóa lập mã khơng cho phép tìm khóa giải mã thời gian chấp nhận Vì thế, cá thể cần giữ bí mật khóa giải mã riêng mình, khóa lập mã thơng báo cơng khai Trong trường hợp cá thể bị lộ khóa giải mã mình, bí mật cá thể cịn lại khơng bị ảnh hưởng Lý việc xây dựng hệ mã điều ta nói đến xét hệ mã mũ: độ phức tạp thuật tốn tìm logarit modulo p lớn Trước hết, ta nói sơ qua ngun tắc hệ mã khóa cơng khai Giả sử hệ thống xét có n cá thể trao đổi thông tin mật Mỗi thể chọn cho khóa lập mã k cơng thức mã hóa E(k), thơng báo cơng khai Như có n khóa lập mã cơng khai E(k1 ), E(k2 ), , E(kn ) Khi cá thể thứ i muốn gửi thông báo cho cá 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn thể thứ j, chữ thông báo chuyển thành số, nhóm thành khối với độ dài Sau đó, khối P văn mã hóa khóa lập mã E(kj ) cá thể thứ j (đã thông báo công khai), gửi dạng C = E(kj )(P ) Để giải mã thông báo này, cá thể thứ j cần dùng khóa giải mã (bí mật riêng cho mình) Dkj Dkj (C) = Dkj , Ekj (P ) = P, Dkj Ekj khóa giải mã lập mã cá thể thứ j Các cá thể hệ thống, nhận văn mật, giải mã, việc biết khóa lập mã Ekj khơng cho phép tìm khóa giải mã Dkj Để cụ thể hóa ngun tắc vừa trình bày, ta xét ví dụ hệ mã khóa cơng khai xây dựng năm 1978 Rivest, Shamir Adleman (xem[RSA]) (thường gọi hệ mã RSA) b Hệ mã RSA Hệ RSA xây dựng sở mã mũ, khóa lập mã cặp (e, n) gồm số mũ e modun n Số n dùng tích hai số nguyên tố lớn đó, n = pq, e chọn cho (e, φ(n)) = 1, φ(n) hàm Euler (trong trường hợp φ(n) = (p−1)(q −1)) Để mã hóa thơng báo, trước tiên ta chuyển chữ thành số tương ứng nhóm thành khối với độ dài đủ lớn (tùy thuộc khả tính tốn khơng vượt q số n) với số chẵn chữ số Để mã hóa khối P văn bản, ta lập khối C văn mật công thức: E(P ) ≡ C ≡ P e (mod n), < C < n Q trình giải mã địi hỏi phải biết nghịch đảo d e modulo φ(n) Nghịch đảo tồn theo điều kiện (e, φ(n)) = Muốn giải mã khối C văn mật, ta tính 32 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn D(C) ≡ C d ≡ P ed ≡ P kφ(n)+1 ≡ (P φ(n) )k P ≡ P (mod n), ed = kφ(n) + số ngun k đó, ed ≡ 1( (mod φ(n))), định lí Euler ta có: P φ(n) ≡ (mod p), (P, n) = (chú ý rằng, xác suất để P n không nguyên tố nhỏ, điều xảy P có ước p q) Cặp (d, n) gọi khóa giải mã Bây ta , hệ mã RSA thỏa mãn nguyên tắc hệ mã khóa cơng khai nói Trước tiên, ta ý rằng, cá thể phải chọn hai số nguyên tố lớn p q, cỡ chừng 100 chữ số thập phân Điều thực giây nhờ máy tính Khi số nguyên tố p q chọn, số mũ dùng để mã hóa e lấy cho (e, φ(qp)) = Nói chung nên chọn e số nguyên tố tùy ý lớn p q Số e chọn thiết phải thỏa mãn 2e > n = pq Nếu điều kiện không thỏa mãn, ta có C = P e < n, để tìm P , ta việc tính bậc e C Khi điều kiện 2e > n thỏa mãn, khối P khác mã hóa cách nâng lên lũy thừa lấy đồng dư theo modulo n Ta cần phải chứng tỏ rằng, việc biết khóa lập mã (cơng khai) (e, n) khơng dẫn đến việc tìm khóa giải mã (d, n) Chú ý rằng, để tìm nghịch đảo d e modulo φ(n), trước tiên phải tìm φ(n) Việc tìm φ(n) khơng dễ so với phân tích n, vì, biết φ(n) n, ta phân tích n = pq Thật vậy, ta có: p + q = n − φ(n) + 1, p−q = (p + q)2 − 4pq = (p + q)2 − 4n Từ công thức ta tìm p q 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu ta chọn số p q khoảng 100 chữ số thập phân, n có khoảng 200 chữ số thập phân Để phân tích số nguyên cỡ lớn thế, với thuật toán nhanh với máy tính đại nhất, ta hàng tỷ năm! Có điều cần lưu ý chọn số p q để tránh rơi vào trường hợp tích pq bị phân tích nhanh nhờ thuật toán đặc biệt: p q cần chọn cho p − q − phải có thừa số nguyên tố lớn, ước chung lớn (p − 1, q − 1) phải nhỏ, q p phải có số chữ số khai triển thập phân khác không nhiều Thực tế triển khai chứng tỏ hệ mã RSA an tồn, có nhược điểm tốc độ mã hóa chậm (bằng phần ngàn hệ đối xứng có cấp độ bảo mật nay), thường dùng để mã hóa tin ngắn, giao thức trao đổi chìa khóa hệ mã đối xứng Trên hệ mật mã công khai xuất Từ đến nay, có nhiều hệ mật mã khóa cơng khai đời Tuy vậy, ngun tắc chung hệ mã sử dụng "thuật toán chiều", tức thuật toán cho phép tìm đại lượng tương đối nhanh, việc tìm "nghịch đảo" (theo nghĩa đó) địi hỏi thời gian q lớn Độc giả quan tâm đến vấn đề tìm đọc tài liệu chuyên lý thuyết mật mã Vì số ngun tố lớn có nhiều ứng dụng quan trọng, nên thu hút nhiều quan tâm nhà toán học Nhưng số nguyên tố lớn tìm thường số nguyên tố Mersenne, cần tìm câu trả lời 34 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Luận văn nhằm trình bày số điều thú vị số nguyên tố Các kết viết dạng báo cáo nhiều tác giả Do q trình thực luận văn này, chúng tơi chủ yếu thực việc đọc hiểu trình bầy lại kết có cách chi tiết hệ thống, đồng thời bổ xung thêm số vấn đề cho phong phú Luận văn đạt kết sau: - Trình bày giai đoạn phát triển lý thuyết số nguyên tố định lý quan trọng liên quan đến số nguyên tố, danh sách số nguyên tố lớn biết đến số vấn đề chưa giải - Trình bày số ứng dụng số nguyên tố xã hội đại : Đó bảo mật thơng tin 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Hà Huy Khoái - Phạm Huy Điển - Số học thuật toán - Nxb Khoa học , Hà Nội, năm 1996 [2] Nguyễn Văn Mậu - Một số vấn đề toán học chọn lọc, NXB Giáo dục, tháng 10, 2008 [3] Nguyễn Thành Quang - Luận án tiến sĩ toán học - Trường Đại học sư phạm vinh 1998 [4] Andrew Granville anh Thomas J Tucker, It’s As Easy As abc, Vol 49 Number 10, Notices of the AMS, November 2002 [5] Alin Bostan and Philippe Dumas, Bodu09 wronskians and Linear indenpendence, Algorithms Project, Inria Rocquencourt, France [6] Frits Beukers, The genneralzed Fermat equatino, January 20, 2006 [7] Henri Cohen, Number Theory, Vol 2, Analytic and mondern tool, Springer, 2007 [8] Mason, Equations over function fields, Oxford Unierssity Press, 1990 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... 1.4.6 Số nguyên tố Mersenne Định nghĩa: Giả sử m số nguyên dương, Mm = 2m − gọi số Mersenne thứ m Nếu p số nguyên tố Mp số nguyên tố, Mp gọi số nguyên tố Mersenne Ví dụ: M2 , M3 , M5 , M7 số nguyên. .. Một số số nguyên tố lớn biết đến Các số nguyên tố sinh đôi Số nguyên tố sinh đôi số nguyên tố có dạng p p + chúng khác đơn vị Ngày 28.9.2002 Daniel Papp phát số ngun tố sinh đơi có 51090 chữ số. .. thấy M13 số nguyên tố Có nhiều thuật toán đặc biệt để kiểm tra nguyên tố số Mersenne nhờ đó, người ta phát số nguyên tố lớn Mỗi lần có số nguyên tố Mersenne ta lại số hoàn hảo, số nguyên tố Mersenne