Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ––––––––––––––––– TRẦN ĐẠI DƢƠNG TÌM HIỂU LICH SỬ PHÁT TRIỂN TÍCH PHÂN Chun ngành: Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MỤC LỤC LỜI NĨI ĐẦU………………………………………….…………….……….1 CHƢƠNG TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƢỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ 1.1 Diện tích, số khái niệm giới hạn thời cổ đại 1.1.1 Hình học Babilon Hình học Ai cập 1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại 1.1.3 Đoạn thẳng vơ ƣớc Phƣơng pháp hình học giải tốn đại số 1.1.4 Eudoxus Phƣơng pháp vét cạn 1.2 Những đóng góp Archimedes hình thành khái niệm tích phân 11 1.2.1 Đo hình tròn 12 1.2.2 Cầu phƣơng parabola 13 1.2.3 Archimedes calculus 16 1.3 Tính khơng chia nhỏ đƣợc kĩ thuật vô bé 17 1.3.1 Kĩ thuật vô bé Johannes Kepler 17 1.3.2 Tính khơng chia nhỏ đƣợc Bonavetura Cavalieri 18 1.3.3 Cầu phƣơng số học (Arithmetical Quadratures) 19 1.4 Tiếp tuyến 21 1.4.1 Phƣơng pháp giả phương trình Fermat 21 1.4.2 Quan hệ tiếp tuyến cầu phƣơng 23 CHƢƠNG TÌM HIỂU LỊCH SỬ HỒN CHỈNH KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN SAU NEWTON VÀLEIBNIZ…….…………….……… …26 2.1 Phát triển tích phân Asaac Newton 26 2.1.1 Khái niệm vi phân đạo hàm Newton 26 2.1.2 Nguyên lí phép tính tích phân 28 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1.3 Quy tắc xích phép lấy tích phân phép 29 2.2 Phát triển tích phân Gottfriend Wilhelm Leibniz 34 2.2.1 Khởi đầu: Tổng Sai phân 34 2.2.2 Tam giác đặc trƣng 35 2.2.3 Sự phát minh calculus giải tích 38 2.2.4 Các kết Newton Leibniz 40 2.3 Thời đại Euler 41 2.3.1 Khái niệm hàm số 41 2.3.2 Tính vi phân hàm Euler 43 2.4 Hồn thiện tích phân Cauchy Riemann 44 2.4.1 Đóng góp Cauchy hồn thiện khái niệm tích phân 47 2.4.2 Đóng góp Riemann hồn thiện khái niệm tích phân …51 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI NĨI ĐẦU Trong chƣơng trình Tốn Trung học Phổ thông, sách giáo khoa hành thƣờng giới thiệu sơ lƣợc nhà toán học số kiến thức lịch sử toán học liên quan đến nội dung học Tìm hiểu kiến thức lịch sử tốn nói chung, kiến thức lịch sử tích phân liên quan đến chƣơng trình tốn Trung học Phổ thơng nói riêng, theo tơi, cần thiết Hơn nữa, giảng dạy tốn học thơng qua lịch sử tốn học có lẽ vấn đề thú vị đáng quan tâm Với mong muốn tìm hiểu trang bị cho số kiến thức lịch sử tích phân liên quan đến chƣơng trình Trung học Phổ thông số biện pháp để cung cấp kiến thức cho học sinh Trung học Phổ thông, nhằm nâng cao chất lƣợng giảng dạy môn tốn cá nhân trƣờng Trung học, tơi chọn đề tài Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân làm Luận văn Cao học Luận văn có mục đích tìm hiểu trình hình thành, phát triển định hình khái niệm tích phân, nội dung tính tốn tích phân ứng dụng tích phân Chúng cố gắng sử dụng hiểu biết lịch sử tích phân dạy học tốn trƣờng Trung học Phổ thông Luận văn gồm hai chƣơng: Chƣơng 1: Tìm hiểu lịch sử phát triển khái niệm tích phân trƣớc Newton Leibniz Chƣơng 2: Tìm hiểu lịch sử hồn chỉnh lí thuyết tích phân sau Newton Leibniz Luận văn đƣợc hoàn thành trƣờng Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên dƣới hƣớng dẫn PGS TS Tạ Duy Phƣợng (Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam) Trong suốt q trình làm luận văn, tơi nhận đƣợc hƣớng dẫn tỉ mỉ, nghiêm túc Thầy Một số Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nội dung Luận văn đƣợc tham khảo từ dịch Thầy hƣớng dẫn Tôi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tơi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy Cao học Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Xin chân thành cảm ơn Trƣờng Trung học Phổ thông Kim Sơn C, Ninh Bình, nơi tơi cơng tác, tạo điều kiện cho tơi hồn thành nhiệm vụ Xin chân thành cảm ơn bạn đồng môn giúp đỡ thời gian học tập Đại học Thái Nguyên q trình hồn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin đƣợc cảm ơn mẹ ngƣời vợ yêu dấu, ngƣời thân gia đình ln ln ủng hộ động viên để tác giả hoàn thành luận văn cách tốt Thái Nguyên, tháng 5- 2013 Ngƣời viết Luận văn Trần Đại Dƣơng Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ CHƢƠNG TÌM HIỂU LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN TRƢỚC NEWTON VÀ LEIBNIZ Toán học thực đƣợc hình thành, phát triển có ứng dụng thực tế khoảng kỷ thứ V trƣớc Công nguyên, vào thời đại văn minh cổ đại: Nền văn minh Ai Cập, Babylone, văn minh Hy Lạp, Ngay thành tựu tốn học thời kì có mầm mống phép tốn vi phân tích phân (calculus) Chƣơng trình bày ý tƣởng sơ khai hình thành khái niệm tích phân đóng góp Archimedes, sau trình bày phát triển khái niệm tích phân thời kì trƣớc Newton Leibniz 1.1 Diện tích, số khái niệm giới hạn thời cổ đại 1.1.1 Hình học Babilon Hình học Ai cập Lịch sử phát triển toán học nằm gắn liền với lịch sử phát triển văn minh nhân loại Toán học thời sơ khai phát triển góp phần giải tốn thực tế xã hội đặt dựa khái niệm số hình Hai lĩnh vực phát triển độc lập, nhƣng nói chung liên quan mật thiết với Thí dụ, hình học phải sử dụng số để biểu diễn đại lƣợng (diện tích, thể tích,…), phƣơng trình đại số đƣợc giải phƣơng pháp hình học Hình học Ai Cập Những thành tựu hình học toán học Ai Cập Hy Lạp sở cho phát triển nhiều ngành toán học đại, có calculus (phép tính vi phân tích phân) Nói chung nhà nghiên cứu lịch sử thống hình học có nguồn gốc từ Ai Cập Thí dụ, nhà Lịch sử Hy Lạp Herodotus (thế kỉ trƣớc công nguyên) viết rằng, việc thu thuế ruộng cánh đồng dọc theo sơng Nile đƣợc tính theo diện tích, nhƣng hàng năm nhà quản lí phải biết số diện tích ruộng bị lấp phù sa Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ sơng Nile bồi đắp, để trừ thuế Rõ ràng, điều đòi hỏi phát triển kĩ thuật đo đạc tính tốn diện tích Những bảng đất sét ngƣời Hy Lạp cổ đại sau đƣợc giải mã, cho biết nhiều thơng tin hiểu biết hình học ngƣời xƣa Thí dụ, bảng đất sét Rhind Papyrus chứa số toán lời giải, có khoảng 20 tốn tính diện tích cánh đồng thể tích kho thóc Mỗi tốn đƣợc phát biểu dƣới ngôn ngữ số cụ thể, chữ, lời giải chúng đƣợc viết dƣới dạng đơn thuốc (in recipe fashion), mà không rõ công thức tổng quát phƣơng pháp chung Diện tích hình chữ nhật tích đáy nhân chiều cao coi nhƣ biết Diện tích hình bình hành đƣợc tính cách đƣa hình chữ nhật nhờ cắt dán tam giác Diện tích tam giác đƣợc tính cách nhân nửa cạnh đáy với chiều cao, nửa diện tích hình bình hành (hình bình hành hai tam giác ghép lại) Bài tốn tính diện tích hình thang cân có đáy 4, chiều cao 20 đƣợc tính nhƣ nửa tổng hai đáy “giống nhƣ hình chữ nhật” nhân với chiều cao, kết đƣợc đáp số 100 (Hình 1.1) Bài tốn toán tƣơng tự cho phép giả thiết cách tính diện tích ngƣời Ai Cập dựa phương pháp cắt (elementary dissection method), hay kĩ thuật cắt hình (đa giác) thành tam giác dán tam giác lại để đƣợc hình chữ nhật (Hình 1.1) h h b b b2 h b b1 Hình 1.1 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ngƣời Ai Cập biết gần số  Một bảng đất sét mô tả cách tính diện tích hình trịn bình phƣơng đƣờng kính nhƣ sau: Chia cạnh hình vng ngoại tiếp đƣờng trịn đƣờng kính d làm ba phần cắt bốn tam giác bốn góc (Hình 1.2) Khi diện tích bát giác (xấp xỉ diện tích hình trịn) 63 8  A  d2  d2   d  81 9  Vì diện tích hình tròn  r , ta suy   3.16 Hình 1.2 Tốn học Babilon Ngƣời Babilon biết đặt giải toán đại số nhƣ số phƣơng trình hệ phƣơng trình bậc hai Ví dụ, họ giải đƣợc tốn sau đây: “Tìm chiều dài cạnh hình vng cho biết diện tích trừ chiều dài cạnh 870” Ngày ta dễ dàng đặt phƣơng trình x – x  870 , tìm thấy đáp số 30 Neugebauer phát sƣu tập Louvre tài liệu từ thời vua Nabuchodonosor (vua Babilon 605 - 562 trƣớc CN), có ghi hai chuỗi số:   22  23  29  29  29 – 1;  1    22  32   102  1   10    55  385     3 Một câu hỏi chƣa có câu trả lời là: Khi tìm cơng thức trên, ngƣời Babilon biết cơng thức tính tổng số hạng cấp số nhân tổng bình phƣơng số tự nhiên liên tiếp dƣới chƣa? s n1 s  ;  s 1 i 0 n i n j j 1  n(n  1)(2n  1) ; n j j 1  2n   n       j   3   j 1  Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ngày nay, nghiên cứu thành tựu đại số ngƣời Babilon, ngƣời ta cho họ đạt đƣợc thành tựu nhƣ họ biết dựa vào hệ đếm số 60 Thí dụ, họ tính gần giá trị (chỉ sai khác 0.000001 đơn vị): 1 24 51 10    1.414213 60 602 603 Về mặt hình học, ngƣời Babilon biết tính xác diện tích tam giác hình thang, thể tích hình trụ hình lăng trụ (bằng diện tích đáy nhân với chiều cao) 1.1.2 Hình học Hy Lạp thời cổ đại Khoảng 2500 trƣớc, ngƣời Hy Lạp tiếp thu đƣợc kiến thức tốn học, đặc biệt hình học, ngƣời Ai Cập ngƣời Babilon Những kiến thức lần đƣợc ứng dụng cách hiệu để đo diện tích mảnh đất Tiếng Hy Lạp chữ “hình học” nghĩa “đo đất” Các nhà toán học Hy Lạp, tiêu biểu Thales (nửa đầu kỉ trƣớc công nguyên) Pythagoras (500 năm trƣớc cơng ngun), có đóng góp lớn hình học Trƣờng phái Pythagoras đƣa vào khái niệm tỉ số (ratios) tỉ lệ (proportion) đại lƣợng (có thể số đại lƣợng hình học), có ứng dụng thiết thực tính tốn số học bn bán Khái niệm tỉ số tỉ lệ số đƣợc mở rộng áp dụng cho tỉ số độ dài, diện tích Thí dụ, Hyppocrates (khoảng năm 430 trƣớc công nguyên) chứng minh tỉ số diện tích hai hình trịn bình phƣơng tỉ số đƣờng kính (hoặc bán kính) chúng Ông suy kết cách vẽ hai đa giác đồng dạng nội tiếp hai đƣờng trịn cho diện tích hình trịn nhận đƣợc cách tăng vô hạn số cạnh đa giác nội tiếp Nhƣ vậy, Hyppocrates có cảm nhận khái niệm giới hạn (limit) Số hóa trung tâm học liệu Leibniz dùng ký hiệu  http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (cách ngữ điệu hoá từ “ S ” đƣợc viết vào thời đó) để tổng vô hạn Điều liên hệ gần gũi với mà ơng gọi “tích phân” tổng vơ hạn vơ bé Tích phân loại đƣợc biết đến tích phân bất định hay nguyên hàm mối liên hệ ngƣợc đƣợc tìm Leibniz Đó đạo hàm tích phân bất định hàm số hàm số Ngày ta thƣờng viết là: (  f ( x)dx)  f ( x) Leibniz phát triển hệ thống kí hiệu tích phân xác định nhƣ sau: b  f ( x)dx  A(b)  A(a), a A hàm diện tích đƣợc sinh nguyên hàm Ký hiệu  ydx Leibniz đề xuất thời gian đầu đƣợc dùng để tích phân xác định với cận đƣợc diễn đạt lời Sau Fourier (1768b 1830) đƣa ký hiệu  f ( x)dx, ký hiệu  f ( x)dx đƣợc dùng để a nguyên hàm f ( x) Phép tính nguyên hàm can thiệp mạnh mẽ giải phƣơng trình vi phân Trong số trƣờng hợp, phép tính nguyên hàm hiệu phép tính tích phân Sự tồn nguyên hàm (nghiệm phƣơng trình y  f ( x) phƣơng pháp đƣờng gấp khúc Euler dễ xấp xỉ hàm liên tục hàm bậc thang Ngƣợc lại, tồn hàm số khơng có ngun hàm sơ cấp nhƣng tính đƣợc tích phân đoạn mà hàm số liên tục, ví dụ hàm số y  sin x Nhƣ thế, phép tính nguyên hàm x phép tính tích phân không đồng nhất, bất chấp công thức Newton39 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ b Leibniz  f ( x)dx  F (b)  F (a) mà Cauchy ngƣời chứng minh a 2.2.4 Các kết Newton Leibniz Cả hai nhà tốn học Newton Leibniz đóng góp để hồn thành ba quy luật việc phát triển phép tính vi tích phân (calculus) Thứ nhất: Với kỹ thuật tính vi phân tích phân đƣợc nghiên cứu trƣớc đó, họ ngƣời giải thích quy trình thực hành tính tốn (algorithmic process) cho phép tính Thứ hai: Mặc dù thực chất vi phân tích phân đƣợc khám phá Fermat, nhƣng Newton Leibniz nhận ích lợi chúng nhƣ giải pháp chung để giải nhiều dạng toán Trƣớc Newton Leibniz, toán tiếp tuyến diện tích đƣợc coi nhƣ lời giải riêng biệt cho tốn Khơng trƣớc Newton Leibniz nhận hữu dụng phép tính vi tích phân nhƣ cơng cụ toán học tổng quát Thứ ba: Mặc dù phép tính tích phân tiến trình ngƣợc phép tính đạo hàm nghiên cứu trƣớc đó, Newton Leibniz ngƣời phát biểu rõ ràng chứng minh việc cách chặt chẽ Nhƣ vậy, Cavalieri thiết lập đƣợc tỉ số tính diện tích phần nằm dƣới đƣờng thẳng đƣờng cong, dựa vào kỹ thuật Wallis tính trình bày cách tổng quát cách tính đạo hàm hàm diện tích cho số hàm đa thức Fermat dùng chuỗi để diễn tả cách tính diện tích phần nằm bên dƣới đƣờng cong Cuối Newton Leibniz hoàn chỉnh kết Hai Ông chứng minh đạo hàm hàm diện tích biểu thức hàm số cho, đặt tên cho kết nguyên hàm Hai Ông tạo phép tính gọi phép tính vi tích phân Điểm khác bật cơng trình nghiên cứu hai Ơng chỗ Newton sử dụng tỉ số biến thiên để tích phân bất định, diện tích thể tích 40 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ cịn Leibniz dùng tổng vô bé (các vi phân) để thực So với cơng trình trƣớc Fermat hay Pascal tính diện tích nói phƣơng pháp Leibniz tỏ rõ ràng tổng quát nhiều Khác với Newton, Leibniz cho việc tìm tiếp tuyến với đƣờng cong phụ thuộc vào tỷ số hiệu tung độ hiệu hoành độ hiệu trở thành vơ bé Ơng cho việc tính diện tích phụ thuộc vào tổng hình chữ nhật vơ bé dựng khoảng vơ bé trục hồnh Với nghiên cứu năm 1673, năm nghiên cứu tốn học sâu sắc Leibniz, Ơng nhận đƣợc nhiều kết chƣa đƣợc phát nhà tốn học trƣớc Sau năm 1673, Leibniz đồng toán ngƣợc tiếp tuyến với tốn diện tích Ơng xây dựng phƣơng pháp tính dựa khái niệm vi phân (khơng hoàn toàn giống khái niệm vi phân đại) Trái với Newton ln xét tích phân bất định tính diện tích, thể tích từ tỷ số biến thiên, Leibniz đƣa vào khái niệm tích phân xác định Năm 1673, ơng tìm đƣợc định lí biến đổi tích phân cho phép thực phép cầu phƣơng đƣờng cong thông qua đƣờng cong phụ 2.3 Thời đại Leonard Euler 2.3.1 Khái niệm hàm số Trong Introductio, lần khái niệm hàm số đóng vai trị trung tâm trực tiếp Hàm số, thay cho đƣờng cong, trở thành đối tƣợng nghiên cứu trực tiếp Điều cho phép số học hóa hình học, hệ tách giải tích vơ bé khỏi hình học Trong Chƣơng VI Introductio, Euler định nghĩa logarithm x với số a, log a x (Euler viết đơn giản lx ) nhƣ số y cho a y  x Lần logarithm đƣợc mô tả thông qua hàm mũ 41 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ở đầu Chƣơng VII Introductio, sau nhận xét a  1, Ông biểu diễn a    k với  số vơ bé Ơng kí hiệu N  a a x N  a   1  k   N x  số vô lớn Khi N N x kx k x k x3   1  k       (2.3.1) N 1! 2! 3!  Cho x  1, ta có quan hệ a k : a 1 k k2 k3    1! 2! 3! Euler đƣa vào số e tiếng Ông nhƣ giá trị a k  1: e 1 1    1! 2! 3! Ông đồng số e nhƣ số logarithm tự nhiên tính gần số e đến 23 chữ số: e 1 1     2.71828182845904523536028 1! 2! 3! x  Phƣơng trình (2.3.1) cho e  1   N  N x n mà ta hiểu nhƣ n x   1 e  lim 1   Do e  lim 1   n  n  n  n x Với k  1, phƣơng trình (2.3.1) cuối trở thành x x x3 e      1! 2! 3! x Trở với lôgarithm, Euler viết:  y  a x  a N    a    1  k  N N 1 1  Vì loga (1  y)  N nên  k  1  y  N hay    1  y  N  1 k  Suy 42 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ N  N log a (1  y )  N    1  y   1 k  Thay a e (nghĩa k  ) y x, ta nhận đƣợc 1     log(1  x)  N  1  x  N  1 hay log(1  x)  lim n  1  x  n  1 n     Khai triển theo nhị thức Newton ta có 11 11       2     1 1  x  N   x  N  N  x  N  N  N  x3  N 2! 3! 1 N   N  1 N  1 1 x  x  x  N 2! N 3! N3 Vì N đại lƣợng lớn, từ ta có   N   N  1 N  1 N log(1  x)  N  (1  x)  1  x  x  x  2 N 3! N   Suy x x3 log(1  x)  x    2! 3! (2.3.2) 2.3.2 Tính vi phân hàm Euler Một điểm đặc biệt thú vị nghiên cứu Euler hàm siêu việt sơ cấp Introductio Ông nhận đƣợc khai triển chuỗi vô hạn chúng mà khơng cần dùng đến phép tính vi phân tích phân Trong Calculi Differentialis Ơng dùng khai triển để nhận đƣợc công thức Leibniz tính vi phân hàm (tính vi phân theo Eulerà la Euler) Đơn giản Euler bỏ đại lƣợng vô bé bậc cao biểu thức vi phân dy hàm số y  f ( x ) Thí dụ, y  xn khai triển nhị thức cho 43 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ dy   x  dx   x n  ( x n  nx n1dx  n  nx n1dx  n(n  1) n2 x dx  )  x n n(n  1) n2 x dx  , Vậy dy  nxn1dx Qui tắc vi phân tích dễ dàng tính đƣợc: d  pq    p  dp  q  dq   pq  pdq  qdp  dpdq Bỏ lũy thừa bậc cao vi phân, ta có: d  pq   pdq  qdp Ta tính đƣợc vi phân thƣơng  p  qdp  pdq d  q q   Để tính vi phân hàm logarithm, Euler viết dx3  dx  dx dx d  log x   log( x  dx)  log x  log 1       x  x x 3x3  Bỏ lũy thừa bậc cao vi phân, ta có d  log x   dx x 2.4 Hồn thiện tích phân Cauchy Riemann 2.4.1 Đóng góp Cauchy hồn thiện khái niệm tích phân Trong suốt kỷ thứ XVIII, tích phân thƣờng đƣợc coi đơn giản phép toán ngƣợc đạo hàm (antidifferentiation) Hàm f(x) lấy đƣợc tích phân cách tìm nguyên hàm hàm F(x) cho F’(x) = f(x) Tích phân xác định f(x) đoạn [a,b] sau đƣợc đƣa ra, công thức b  f ( x)dx  F (b)  F (a) a đƣợc chứng minh Đồng thời, ý tƣởng tích phân nhƣ giới hạn tổng, nhƣ diện tích đƣờng cong, trở nên quen thuộc 44 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tuy nhiên, dựa vào tính tốn xấp xỉ tích phân khó đƣa cơng thức tính tốn Nhiều hàm số khơng thể tìm ngun hàm (biểu diễn đƣợc qua hàm bản), nguyên hàm tồn tại, khơng đủ sở cần thiết để áp dụng định lí giải tích Đặc biệt, khái niệm diện tích cịn hồn tồn trực quan, đƣợc coi khái niệm hiển nhiên, chƣa có định nghĩa xác, chí chƣa nhận thức đƣợc cần có định nghĩa xác Sử dụng cơng thức tính tốn tích phân Newton Leibniz đƣợc coi đủ thực tế, hàm thƣờng gặp liên tục Trong năm đầu kỷ XIX, nghiên cứu Fourier đƣa ánh sáng cần thiết phải lấy tích phân cho hàm khơng liên tục Các hàm nhƣ xuất tự nhiên toán thực tế, hệ số chuỗi Fourier đƣợc thể nhƣ tích phân mà khơng phù hợp với mơ hình phân tích hạn hẹp tích phân kỷ XVIII Cauchy ngƣời đề cập đến cần thiết phải chứng minh tồn tích phân nguyên hàm trước biết đến tính chất chúng Chính Cauchy ngƣời cung cấp định nghĩa chung định lí tồn tích phân cho lớp hàm, mà sau đƣợc thảo luận sơi nhờ tích phân tính chất có sở lí thuyết vững Trong tỏc phm Resume des leỗons donnees a V Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitesimal (Tóm tắt giảng Trƣờng Bách khoa Hồng gia V tính tốn đại lƣợng vơ bé) năm 1823, Ơng xây dựng định nghĩa tích phân (sau đƣợc Riemann hoàn thiện) Định nghĩa sở để xây dựng phƣơng pháp tính tích phân Cauchy xét hàm  x0 , X , f(x) liên tục (theo nghĩa đại) đoạn chia nhỏ đoạn n phần điểm 45 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ x0 , x1, , xn Với phép chia nhỏ diện tích phần hình phẳng giới hạn hàm y  f ( x) trục hoành đoạn  x0 , X  đƣợc xấp xỉ tổng n S   f ( xi 1 )( xi  xi 1 ) (2.4.1) i 1 Tổng nhận đƣợc cách cộng diện tích hình chữ nhật có đáy X  xi1, xi  chiều cao f ( xi1 ) Để xác định tích phân  f ( x)dx nhƣ giới x0 hạn tổng (2.4.1), Ông cho độ dài xi  xi –1 lớn đoạn tiến dần tới Tất nhiên tồn giới hạn phải đƣợc chứng minh Để chứng minh điều này, ông áp dụng kết số học sau từ Cours d’Analyse: 1, , , n số dƣơng, a1, a2 , , an số tùy ý, đó: n  a i 1 i i  a 1      n  , (2.4.2) a trung bình cộng số a1, a2 , , an , nghĩa là, a nằm số lớn nhỏ chúng Với i  xi  xi 1  f ( xi1 ) , hệ thức (2.4.2) cho ta S  f  x0   ( X  x0 )  ( X  x0 ) (2.4.3) với   (0,1), theo định lí giá trị trung bình Bây Cauchy làm mịn P' phần P, có nghĩa là, khoảng phần P' nằm khoảng P Sau đó, tổng S' (2.4.1) liên quan đến phần đƣợc viết nhƣ S   S1  S2   Sn với Si tổng số hạng S  tƣơng ứng với đoạn P’ nằm khoảng P Sau áp dụng khoảng thứ i này, ta tính đƣợc: 46 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Si  f  xi1  i ( xi  xi1 )  ( xi  xi1 ),   i  (0,1) i  1, n , n S    f  xi 1  i (xi  xi 1 )  (xi  xi 1 ) (2.4.5)  i  f  xi 1  i (xi  xi 1 )  (xi  xi 1) (2.4.6) i 1 Nếu ta viết với i  1, , n Khi so sánh (2.4.1) (2.4.5), ta đƣợc: n S   S    i ( xi  xi 1 )   ( X  x0 ) (2.4.7) i 1 với  1, ,  n Từ (2.4.7), Cauchy kết luận "ngƣời ta không làm thay đổi rõ rệt giá trị S tính chế độ phân chia [phân vùng] phần tử [các đoạn con] phân biệt X  x0 có giá trị số nhỏ, chúng qua chế độ thứ hai, thành phần đƣợc chia thành nhiều cách khác" Từ Ông nhận thấy cần thiết phải chứng minh hàm liên tục xét phải liên tục tuyệt đối  x0  X , nghĩa là, với   tồn   cho f ( x)  f ( x)   với hai điểm x, x  x0 , X , mà x  x   Cho P1, P2 hai khoảng tùy ý  x0 , X  cho P’ hợp đoạn P1 P2 Nếu S1, S2, S’ tiến đến tổng xấp xỉ, (2.4.7) cho ta: S   S1  1 ( X  x0 ) S   S2   ( X  x0 ) S1  S2  (  1 )( X  x0 ) 2.4.2 Đóng góp Riemann hồn thiện khái niệm tích phân Vào năm 1829, Dirichlet cho đăng báo rằng, hàm số f ( x ) tuần hoàn với chu ki 2 a) liên tục khoảng chu kì 2 ; 47 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ b) có hữu hạn điểm cực đại địa phƣơng   , , chuỗi Fourier hội tụ theo điểm tới  f ( x  0)  f ( x  0), trung bình giới hạn trái giới hạn phải (giả sử giới hạn trái giới hạn phải tồn tất điểm) Lấy dãy cho giá trị x1, x2 , , xn nằm a b để ngắn gọn ta ký hiệu 1  x1  a,  x2  x1, , n  b  xn1  i số dƣơng phân biệt Khi đó, giá trị tổng S  1 f  a  11    f  x1   2     n f  xn1   n n  phụ thuộc vào việc chọn đoạn  i số dƣơng  i Nếu  i  i chọn cho tổng tiến tới giới hạn cố định A với  i nhỏ, a a b b  f ( x)dx Nếu khơng có tính chất  f ( x)dx giá trị đƣợc gọi là không tồn Vì vậy, Riemann chọn điểm tùy ý  xi1, xi  với i  1,2, , n a  b  xi  xi1  i với đoạn thứ i định nghĩa tích phân n f ( x)dx  lim  f ( x )  xi  xi 1  ,  0 (2.4.8) i 1 ký hiệu độ dài lớn đoạn  i đoạn a, b Đây tổng quát hóa trực tiếp định nghĩa Cauchy a n  f ( x )  x  x   f ( x)dx  lim  b 0 i 1 i 1 i i 1 Riemann đơn giản thay điểm xi 1 ban đầu Cauchy điểm x tùy ý  xi1, xi  nhấn mạnh (nếu tích phân tồn tại) 48 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tổng xấp xỉ tiến tới giá trị gần chuẩn  gần 0, độc lập với việc chọn điểm xi Nhƣ vậy, xuất câu hỏi: trƣờng hợp hàm khả tích, trƣờng hợp khơng? Để trả lời câu hỏi này, trƣớc tiên ta bắt đầu với hàm f ( x ) bị chặn phân hoạch P  a, b Đại lƣợng D( P)  D11  D2   Dn n tổng biên độ hàm f ( x ) P,  i  xi  xi 1 Di giá trị trung bình giá trị lớn giá trị nhỏ f ( x ) đoạn thứ i Qua bƣớc thiết lập tích phân thấy tích phân (2.4.8) tồn D ( P )    0, lim  D11  D2   Dn n   (2.4.9)  0 Kế tiếp, Riemann định nghĩa    (d ) giá trị lớn tổng biên độ D(P) với P chuẩn   d Khi đó,  ( d ) rõ ràng hàm giảm d , f khả tích  a, b lim (d )  d 0 Cho   với P, ta ký hiệu s  S ( , P ) tổng độ dài  i đoạn P với giao độ Di   Bây ta thiết lập điều kiện cần đủ cho tồn tích phân hàm bị chặn Nếu f bị chặn với x  a, b a  f ( x)dx tồn b s ( , P ) xấp xỉ với   Tức là,     0, d  cho với P chuẩn   d , tổng s độ dài đoạn P mà biên độ P cịn nhỏ  Nhận thấy, điều kiện cần để hàm f khả tích  s  D11  D2   Dn n  (d ) 49 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/   d , Di   đoạn có tổng độ dài s Vì vậy, s( , P)  ( d )  tiến đến d tiến đến với  cố định với giả thiết a  f ( x)dx tồn b Điều kiện đủ cho tính khả tích, cho     0, chọn d > nhƣ Nếu chuẩn P nhỏ d đoạn biên độ f ( x ) lớn  làm cho D(P) có số lƣợng D (vì đoạn đƣợc bổ sung tới s   ), trơng D biên độ f ( x )  a, b Các đoạn lại làm cho D(P) có số lƣợng lớn  (b  a ) Vì D( P)  D   (b  a ) nên D(P) đƣợc làm nhỏ cách lấy   đủ nhỏ Vì vậy, điều kiện (2.4.9) thỏa mãn a  f ( x)dx tồn b a Định lý Riemann kéo theo  f ( x)dx tồn f liên tục b a, b Trong trƣờng hợp cho   0, d  cho biên độ f ( x ) nhỏ  đoạn có độ dài d Vì vậy, s ( , P)  chuẩn P nhỏ d Riemann hàm số khơng liên tục tập trù mật nhƣng khả tích Ví dụ: Với số thực x, cho  x   x – i  x  , i  x  số nguyên gần x nhất, không x bội lẻ , trƣờng hợp  x   Khi 1   ( x)  với x  x  liên tục x không x bội , 2 trƣờng hợp  x  “bƣớc nhảy” khác giới hạn phải giới 50 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ hạn trái  x  0 –  x  0  Hàm số kỳ lạ Riemann đƣợc định nghĩa  ( x) (2 x) (3x) (kx) f ( x)       k 1 k (2.4.10) m , m, n số nguyên 2n dƣơng với m lẻ, kx khơng bội lẻ với k Do đó, số hạng (2.4.10) liên tục x chứng minh f liên Nếu x không số hữu tỷ dạng tục x Nhƣng x có dạng m x bội lẻ với k bội lẻ 2n n, k  n  p  1 Trong trƣờng hợp số hạng nhảy (âm) (kx) (2.4.10) bƣớc k2 m 1 x  Điều cho thấy f không  2n k n2 (2 p  1)2 liên tục điểm x  m , có bƣớc nhảy 2n  2 f ( x  0)  f ( x  0)    n p 1 (2 p  1) 8n Biểu thức sử dụng cách lấy tổng Euler Với đóng góp Cauchy, Riemann nhà toán học khác kỉ 19, tích phân coi định hình nhƣ lí thuyết tốn học hồn chỉnh, đẹp đẽ có nhiều ứng dụng Bƣớc phát triển tích phân với đóng góp Lebesgues, nhu cầu phát triển nội toán học nhƣ thực tế sống địi hỏi Kết luận Chƣơng Chƣơng trình bày sơ lƣợc lịch sử đóng góp Newton, Leibniz, Euler, Cauchy, Riemann xây dựng phép toán vi phân tích phân hồn chỉnh có diện mạo nhƣ ngày 51 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ KẾT LUẬN Luận văn trình bày sơ lƣợc q trình hình thành phát triển tích phân qua thời kì, từ sơ khai đến lí thuyết hồn chỉnh có diện mạo nhƣ ngày Trong khn khổ hạn hẹp luận văn cao học, nhƣ hạn chế kiến thức tác giả hạn chế thời gian, nhiều vấn đề lịch sử tích phân (tổng tích vơ hạn, chuỗi Fourier,…), phát triển tích phân thời kì đại (Lí thuyết độ đo, tích phân Lebesgues,…) chƣa đƣợc đề cập Nhiều nhà tốn học có cống hiến lớn xây dựng, hình thành, phát triển tích phân (D’Alambert, Lagrange, Fourier, Bolzano, Vaierstrass, ) chƣa đƣợc nhắc tới Thậm chí nhiều vấn đề đề cập tới Luận văn (các cơng trình Archimedes, Newton, Leibniz) cịn sơ sài Mặc dù thiếu sót Luận văn chắn có, chúng tơi tin mục đích ban đầu đặt cho Luận văn đạt đƣợc Qua Luận văn, nghĩ rằng, chúng tơi trình bày, cịn sơ lƣợc, chặng đƣờng phát triển khái niệm tích phân Cá nhân chúng tơi học đƣợc nhiều qua tìm hiểu lịch sử tích phân Các kiến thức thu nhận đƣợc chắn có ích cho chúng tơi q trình học tập giảng dạy Chúng tơi hi vọng rằng, luận văn có ích cho học sinh, sinh viên Thầy, Cô giáo học tập, giảng dạy tìm hiểu tích phân 52 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Cang, Lịch sử toán học, Nhà xuất Trẻ, 1999 Trần Lƣơng Công Khanh, Nghiên cứu didactic khó khăn học sinh khi tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn thạc sĩ, Trƣờng Đại học Sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2002 Trần Lƣơng Cơng Khanh, So sánh thể chế khái niệm tích phân Riemann, Kỉ yếu Hội thảo lần thứ Didactic- Phƣơng pháp dạy học Toán, Trƣờng Đại học Sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh, 17-18/06/2005 Bùi Linh Phƣợng, Biện pháp nâng cao hiệu việc trang bị lịch sử toán dạy học mơn tốn Trung học Phổ thơng, Luận văn Thạc sĩ, Trƣờng Đại học Sƣ phạm Thái Nguyên, 2009 Phạm Lƣơng Quý, Nghiên cứu sinh thái phép tính tích phân, Luận văn Thạc sĩ Tốn, trƣờng Đại học Sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2009 Trần Đức Thuận, Khái niệm diện tích day-học toán Trung học Cơ sở, Luận văn Thạc sĩ, Đại học Sƣ phạm thành phố Hồ Chí Minh, 2008 C H Edwards, Jr, The Hictorical Development of the Calculus, SpringerVerlag, New York, 1979 V A Nikiphorovskii, Con đường tới tích phân (trong sách Lịch sử Khoa học Kĩ thuật, Viện Hàn lâm Khoa học Nga), Nhà xuất Nauka, Tiếng Nga, 1985 53 ... tài Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân làm Luận văn Cao học Luận văn có mục đích tìm hiểu trình hình thành, phát triển định hình khái niệm tích phân, nội dung tính tốn tích phân ứng dụng tích. .. dụng tích phân Chúng tơi cố gắng sử dụng hiểu biết lịch sử tích phân dạy học tốn trƣờng Trung học Phổ thông Luận văn gồm hai chƣơng: Chƣơng 1: Tìm hiểu lịch sử phát triển khái niệm tích phân trƣớc... phƣơng 23 CHƢƠNG TÌM HIỂU LỊCH SỬ HỒN CHỈNH KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN SAU NEWTON VÀLEIBNIZ…….…………….……… …26 2.1 Phát triển tích phân Asaac Newton 26 2.1.1 Khái niệm vi phân đạo hàm Newton