Tìm hiểu lịch sử phát triển tích phân

I HC THI NGUYấN TRNG I HC KHOA HC TRN I DNG TèM HIU LICH S PHT TRIN TCH PHN Chuyờn ngnh: Phng phỏp toỏn s cp Mó s : 60.46.01.13 LUN VN THC S TON HC Thỏi Nguyờn, nm 2013 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ MC LC LI NểI U...1 CHNG TèM HIU LCH S PHT TRIN KHI NIM TCH PHN TRC NEWTON V LEIBNIZ 1.1 Din tớch, s v khỏi nim gii hn thi c i 1.1.1 Hỡnh hc Babilon v Hỡnh hc Ai cp 1.1.2 Hỡnh hc Hy Lp thi c i 1.1.3 on thng vụ c v Phng phỏp hỡnh hc gii toỏn i s 1.1.4 Eudoxus v Phng phỏp vột cn 1.2 Nhng úng gúp ca Archimedes hỡnh thnh cỏc khỏi nim tớch phõn 11 1.2.1 o hỡnh trũn 12 1.2.2 Cu phng parabola 13 1.2.3 Archimedes v calculus 16 1.3 Tớnh khụng chia nh c v k thut vụ cựng 17 1.3.1 K thut vụ cựng ca Johannes Kepler 17 1.3.2 Tớnh khụng chia nh c ca Bonavetura Cavalieri 18 1.3.3 Cu phng s hc (Arithmetical Quadratures) 19 1.4 Tip tuyn 21 1.4.1 Phng phỏp gi phng trỡnh ca Fermat 21 1.4.2 Quan h gia tip tuyn v cu phng 23 CHNG TèM HIU LCH S HON CHNH KHI NIM TCH PHN SAU NEWTON VLEIBNIZ.. 26 2.1 Phỏt trin tớch phõn ca Asaac Newton 26 2.1.1 Khỏi nim vi phõn v o hm ca Newton 26 2.1.2 Nguyờn lớ c bn ca phộp tớnh tớch phõn 28 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.1.3 Quy tc xớch v phộp ly tớch phõn bng phộp th 29 2.2 Phỏt trin tớch phõn ca Gottfriend Wilhelm Leibniz 34 2.2.1 Khi u: Tng v Sai phõn 34 2.2.2 Tam giỏc c trng 35 2.2.3 S phỏt minh calculus gii tớch 38 2.2.4 Cỏc kt qu ca Newton v Leibniz 40 2.3 Thi i ca Euler 41 2.3.1 Khỏi nim hm s 41 2.3.2 Tớnh vi phõn ca cỏc hm c bn Euler 43 2.4 Hon thin tớch phõn bi Cauchy v Riemann 44 2.4.1 úng gúp ca Cauchy hon thin khỏi nim tớch phõn 47 2.4.2 úng gúp ca Riemann hon thin khỏi nim tớch phõn 51 KT LUN 52 TI LIU THAM KHO 53 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LI NểI U Trong chng trỡnh Toỏn Trung hc Ph thụng, sỏch giỏo khoa hin hnh thng gii thiu s lc v cỏc nh toỏn hc v mt s kin thc lch s toỏn hc liờn quan n ni dung bi hc Tỡm hiu nhng kin thc v lch s toỏn núi chung, kin thc lch s tớch phõn liờn quan n chng trỡnh toỏn Trung hc Ph thụng núi riờng, theo tụi, l rt cn thit Hn na, ging dy toỏn hc thụng qua lch s toỏn hc cú l cng l rt thỳ v v ỏng quan tõm Vi mong mun tỡm hiu v trang b cho mỡnh mt s kin thc v lch s tớch phõn liờn quan n chng trỡnh Trung hc Ph thụng v mt s bin phỏp cung cp kin thc ny cho hc sinh Trung hc Ph thụng, nhm nõng cao cht lng ging dy b mụn toỏn ca cỏ nhõn trng Trung hc, tụi chn ti Tỡm hiu lch s phỏt trin tớch phõn lm Lun Cao hc Lun cú mc ớch tỡm hiu quỏ trỡnh hỡnh thnh, phỏt trin v nh hỡnh khỏi nim tớch phõn, cỏc ni dung tớnh toỏn tớch phõn v ng dng ca tớch phõn Chỳng tụi cng c gng s dng nhng hiu bit v lch s tớch phõn dy hc toỏn trng Trung hc Ph thụng Lun gm hai chng: Chng 1: Tỡm hiu lch s phỏt trin khỏi nim tớch phõn trc Newton v Leibniz Chng 2: Tỡm hiu lch s hon chnh lớ thuyt tớch phõn sau Newton v Leibniz Lun c hon thnh ti trng i hc Khoa hc, i hc Thỏi Nguyờn di s hng dn ca PGS TS T Duy Phng (Vin Toỏn hc, Vin Hn lõm Khoa hc v Cụng ngh Vit Nam) Trong sut quỏ trỡnh lm lun vn, tụi ó nhn c s hng dn t m, nghiờm tỳc ca Thy Mt s S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ni dung Lun c tham kho t bn dch ca Thy hng dn Tụi xin chõn thnh by t lũng bit n sõu sc n Thy Tụi cng xin cm n cỏc quý thy, cụ ging dy Cao hc ca i hc Khoa hc, i hc Thỏi Nguyờn, ó mang n cho tụi nhiu kin thc b ớch khoa hc v cuc sng Xin chõn thnh cm n Trng Trung hc Ph thụng Kim Sn C, Ninh Bỡnh, ni tụi cụng tỏc, ó to iu kin cho tụi hon thnh nhim v Xin chõn thnh cm n cỏc bn ng mụn ó giỳp tụi thi gian hc ti i hc Thỏi Nguyờn v quỏ trỡnh hon thnh lun Cui cựng, tỏc gi xin c cm n m v ngi v yờu du, cựng nhng ngi thõn gia ỡnh ó luụn luụn ng h v ng viờn tỏc gi cú th hon thnh lun mt cỏch tt nht Thỏi Nguyờn, thỏng 5- 2013 Ngi vit Lun Trn i Dng S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ CHNG TèM HIU LCH S PHT TRIN KHI NIM TCH PHN TRC NEWTON V LEIBNIZ Toỏn hc thc s c hỡnh thnh, phỏt trin v cú ng dng thc t khong th k th V trc Cụng nguyờn, vo thi i ca cỏc nn minh c i: Nn minh Ai Cp, Babylone, nn minh Hy Lp, Ngay cỏc thnh tu toỏn hc thi kỡ ny ó cú nhng mm mng ca phộp toỏn vi phõn v tớch phõn (calculus) Chng ny trỡnh by ý tng s khai hỡnh thnh khỏi nim tớch phõn v nhng úng gúp ca Archimedes, sau ú trỡnh by s phỏt trin khỏi nim tớch phõn thi kỡ trc Newton v Leibniz 1.1 Din tớch, s v khỏi nim gii hn thi c i 1.1.1 Hỡnh hc Babilon v Hỡnh hc Ai cp Lch s phỏt trin toỏn hc nm v gn lin vi lch s phỏt trin ca minh nhõn loi Toỏn hc thi s khai phỏt trin v gúp phn gii quyt cỏc bi toỏn thc t xó hi t da trờn cỏc khỏi nim s v hỡnh Hai lnh vc ny phỏt trin c lp, nhng núi chung liờn quan mt thit vi Thớ d, hỡnh hc phi s dng s biu din cỏc i lng (din tớch, th tớch,), phng trỡnh i s c gii bng phng phỏp hỡnh hc Hỡnh hc Ai Cp Nhng thnh tu hỡnh hc toỏn hc Ai Cp v Hy Lp l c s cho s phỏt trin ca rt nhiu ngnh toỏn hc hin i, ú cú calculus (phộp tớnh vi phõn v tớch phõn) Núi chung cỏc nh nghiờn cu lch s u thng nht rng hỡnh hc cú ngun gc t Ai Cp Thớ d, nh Lch s Hy Lp Herodotus (th k trc cụng nguyờn) ó vit rng, vic thu thu ca nhng tha rung trờn nhng cỏnh ng dc theo sụng Nile c tớnh theo din tớch, nhng hng nm nh qun lớ phi bit s din tớch rung b lp i phự sa S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ sụng Nile bi p, tr thu Rừ rng, iu ny ũi hi phỏt trin nhng k thut o c v tớnh toỏn din tớch Nhng bng t sột ca ngi Hy Lp c i sau c gii mó, ó cho chỳng ta bit nhiu thụng tin v hiu bit hỡnh hc ca ngi xa Thớ d, cỏc bng t sột Rhind Papyrus cha mt s bi toỏn v li gii, ú cú khong 20 bi toỏn tớnh din tớch cỏnh ng v th tớch cỏc kho thúc Mi bi toỏn c phỏt biu di ngụn ng cỏc s c th, ỳng hn l bng cỏc ch, v li gii ca chỳng c vit di dng n thuc (in recipe fashion), m khụng ch rừ cụng thc tng quỏt hoc phng phỏp chung Din tớch hỡnh ch nht bng tớch ca ỏy nhõn chiu cao coi nh ó bit Din tớch hỡnh bỡnh hnh c tớnh bng cỏch a v hỡnh ch nht nh ct v dỏn tam giỏc Din tớch tam giỏc c tớnh bng cỏch nhõn mt na cnh ỏy vi chiu cao, bng na din tớch hỡnh bỡnh hnh (hỡnh bỡnh hnh l hai tam giỏc bng ghộp li) Bi toỏn tớnh din tớch hỡnh thang cõn cú ỏy bng 4, v chiu cao 20 ó c tớnh nh na tng hai ỏy ging nh hỡnh ch nht v nhõn vi chiu cao, kt qu c ỏp s ỳng l 100 (Hỡnh 1.1) Bi toỏn ny v cỏc bi toỏn tng t cho phộp gi thit rng cỏch tớnh din tớch ca ngi Ai Cp da trờn phng phỏp ct c bn (elementary dissection method), hay k thut ct cỏc hỡnh (a giỏc) thnh tam giỏc v dỏn cỏc tam giỏc ny li c hỡnh ch nht (Hỡnh 1.1) h h b b b2 h b b1 Hỡnh 1.1 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ngi Ai Cp ó bit gn ỳng s Mt bng t sột ó mụ t cỏch tớnh din tớch hỡnh trũn bng bỡnh phng ca ng kớnh nh sau: Chia mi cnh hỡnh vuụng ngoi tip ng trũn ng kớnh d lm ba phn v ct i bn tam giỏc bn gúc (Hỡnh 1.2) Khi y din tớch ca bỏt giỏc u (xp x din tớch hỡnh trũn) l 63 A d2 d2 d 81 Vỡ din tớch hỡnh trũn l r , ta suy 3.16 Hỡnh 1.2 Toỏn hc Babilon Ngi Babilon ó bit t v gii cỏc bi toỏn i s nh mt s phng trỡnh v h phng trỡnh bc hai Vớ d, h ó gii c bi toỏn sau õy: Tỡm chiu di mt cnh hỡnh vuụng cho bit din tớch ca nú tr i chiu di ca mt cnh thỡ bng 870 Ngy ta d dng t phng trỡnh x x 870 , v tỡm thy ỏp s l 30 Neugebauer ó phỏt hin b su ca Louvre mt ti liu t thi vua Nabuchodonosor (vua Babilon 605 - 562 trc CN), cú ghi hai chui s: 22 23 29 29 29 1; 22 32 102 10 55 385 Mt cõu hi cho ti cha cú cõu tr li l: Khi tỡm cỏc cụng thc trờn, ngi Babilon ó bit cụng thc tớnh tng cỏc s hng ca mt cp s nhõn v tng bỡnh phng cỏc s t nhiờn liờn tip di õy cha? s n1 s ; s i n i n j j n(n 1)(2n 1) ; n j j 2n n j 3 j S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Ngy nay, nghiờn cu thnh tu v i s ca ngi Babilon, ngi ta cho rng s d h t c nhng thnh tu nh vy l vỡ h bit da vo h m c s 60 Thớ d, h ó tớnh gn ỳng giỏ tr ca (ch sai khỏc 0.000001 n v): 24 51 10 1.414213 60 602 603 V mt hỡnh hc, ngi Babilon ó bit tớnh chớnh xỏc din tớch ca tam giỏc v hỡnh thang, th tớch hỡnh tr v hỡnh lng tr (bng din tớch ỏy nhõn vi chiu cao) 1.1.2 Hỡnh hc Hy Lp thi c i Khong 2500 v trc, ngi Hy Lp ó tip thu c nhng kin thc toỏn hc, c bit l hỡnh hc, ca ngi Ai Cp v ngi Babilon Nhng kin thc ú ln u tiờn ó c ng dng mt cỏch hiu qu o din tớch cỏc mnh t Ting Hy Lp ch hỡnh hc ngha l o t Cỏc nh toỏn hc Hy Lp, tiờu biu l Thales (na u th k trc cụng nguyờn) v Pythagoras (500 nm trc cụng nguyờn), ó cú nhng úng gúp ln hỡnh hc Trng phỏi Pythagoras ó a vo khỏi nim t s (ratios) v t l (proportion) gia cỏc i lng (cú th l cỏc s hoc cỏc i lng hỡnh hc), cú ng dng thit thc tớnh toỏn s hc v buụn bỏn Khỏi nim t s v t l gia cỏc s c m rng v ỏp dng cho t s di, din tớch Thớ d, Hyppocrates (khong nm 430 trc cụng nguyờn) ó chng minh rng t s din tớch gia hai hỡnh trũn bng bỡnh phng t s ng kớnh (hoc bỏn kớnh) ca chỳng ễng suy kt qu ny bng cỏch v hai a giỏc u ng dng ni tip hai ng trũn ó cho v din tớch hỡnh trũn nhn c bng cỏch tng vụ hn s cnh ca a giỏc u ni tip Nh vy, Hyppocrates ó cú nhng cm nhn v khỏi nim gii hn (limit) v S húa bi trung tõm hc liu Leibniz ó dựng ký hiu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (cỏch ng iu hoỏ t S ó c vit vo thi ú) ch tng vụ hn iu ny liờn h gn gi vi cỏi m ụng gi l tớch phõn hay l tng ca vụ hn cỏc vụ cựng Tớch phõn ca loi ny cng c bit n l tớch phõn bt nh hay nguyờn hm bi mi liờn h ngc c tỡm bi Leibniz ú l o hm ca mt tớch phõn bt nh ca mt hm s chớnh l hm s ú Ngy ta thng vit l: ( f ( x)dx) f ( x) Leibniz cng ó phỏt trin h thng kớ hiu v tớch phõn xỏc nh nh sau: b f ( x)dx A(b) A(a), a õy A l hm din tớch c sinh bi nguyờn hm Ký hiu ydx Leibniz xut thi gian u c dựng ch tớch phõn xỏc nh vi cỏc cn c din t bng li Sau Fourier (1768b 1830) a ký hiu f ( x)dx, ký hiu f ( x)dx mi c dựng ch mt a nguyờn hm bt k ca f ( x) Phộp tớnh nguyờn hm can thip mnh m gii cỏc phng trỡnh vi phõn Trong mt s trng hp, phộp tớnh nguyờn hm hiu qu hn phộp tớnh tớch phõn S tn ti ca cỏc nguyờn hm (nghim ca phng trỡnh y f ( x) hoc phng phỏp ng gp khỳc ca Euler thỡ d hn l xp x cỏc hm liờn tc bng hm bc thang Ngc li, tn ti nhng hm s khụng cú nguyờn hm s cp nhng cú th tớnh c tớch phõn ca nú trờn mt on m hm s liờn tc, vớ d hm s y sin x Nh th, phộp tớnh nguyờn hm x v phộp tớnh tớch phõn l khụng ng nht, bt chp cụng thc Newton39 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ b Leibniz f ( x)dx F (b) F (a) m Cauchy l ngi u tiờn chng minh a 2.2.4 Cỏc kt qu ca Newton v Leibniz C hai nh toỏn hc Newton v Leibniz ó úng gúp hon thnh ba quy lut chớnh vic phỏt trin phộp tớnh vi tớch phõn (calculus) Th nht: Vi k thut tớnh vi phõn v tớch phõn ó c nghiờn cu trc ú, h l nhng ngi u tiờn gii thớch mt quy trỡnh thc hnh tớnh toỏn (algorithmic process) cho mi phộp tớnh Th hai: Mc dự thc cht l vi phõn v tớch phõn ó c khỏm phỏ bi Fermat, nhng Newton v Leibniz ó nhn ớch li ca chỳng nh l mt gii phỏp chung gii nhiu dng bi toỏn Trc Newton v Leibniz, bi toỏn tip tuyn v din tớch c coi nh l nhng li gii riờng bit cho tng bi toỏn Khụng mt trc Newton v Leibniz nhn s hu dng ca phộp tớnh vi tớch phõn nh l mt cụng c toỏn hc tng quỏt Th ba: Mc dự phộp tớnh tớch phõn l mt tin trỡnh ngc ca phộp tớnh o hm cỏc nghiờn cu trc ú, Newton v Leibniz l ngi u tiờn phỏt biu rừ rng v chng minh vic ú mt cỏch cht ch Nh vy, Cavalieri ó thit lp c t s tớnh din tớch ca phn nm di ng thng v ng cong, da vo k thut ny Wallis ó tớnh v trỡnh by mt cỏch tng quỏt cỏch tớnh o hm ca hm din tớch cho mt s hm a thc Fermat ó dựng chui din t cỏch tớnh din tớch ca phn nm bờn di ng cong Cui cựng Newton v Leibniz ó hon chnh cỏc kt qu ny Hai ễng ó chng minh o hm ca hm din tớch bng ỳng biu thc ca hm s ó cho, v t tờn cho kt qu ny l nguyờn hm Hai ễng ó to mt phộp tớnh mi gi l phộp tớnh vi tớch phõn im khỏc ni bt gia cụng trỡnh nghiờn cu ca hai ễng ch Newton ó s dng t s bin thiờn tớch phõn bt nh, din tớch v th tớch 40 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ cũn Leibniz ó dựng tng cỏc vụ cựng (cỏc vi phõn) thc hin So vi cỏc cụng trỡnh trc õy ca Fermat hay Pascal v tớnh din tớch thỡ cú th núi phng phỏp ca Leibniz t rừ rng v tng quỏt hn nhiu Khỏc vi Newton, Leibniz cho rng vic tỡm tip tuyn vi ng cong ph thuc vo t s gia hiu tung v hiu honh cỏc hiu ny tr thnh vụ cựng ễng cng cho rng vic tớnh din tớch ph thuc vo tng cỏc hỡnh ch nht vụ cựng dng trờn cỏc khong vụ cựng ca trc honh Vi nhng nghiờn cu ny nm 1673, nm u tiờn ca nhng nghiờn cu toỏn hc sõu sc ca Leibniz, ễng ó nhn c nhiu kt qu mi cha c phỏt hin bi cỏc nh toỏn hc trc ú Sau nm 1673, Leibniz ng nht bi toỏn ngc ca tip tuyn vi bi toỏn din tớch ễng xõy dng phng phỏp tớnh ca mỡnh da trờn khỏi nim vi phõn (khụng hon ton ging khỏi nim vi phõn hin i) Trỏi vi Newton luụn xột tớch phõn bt nh v tớnh din tớch, th tớch t t s bin thiờn, Leibniz a vo khỏi nim tớch phõn xỏc nh Nm 1673, ụng tỡm c nh lớ v bin i tớch phõn cho phộp thc hin phộp cu phng mt ng cong thụng qua mt ng cong ph 2.3 Thi i ca Leonard Euler 2.3.1 Khỏi nim hm s Trong Introductio, ln u tiờn khỏi nim hm s úng vai trũ trung tõm v trc tip Hm s, thay cho ng cong, tr thnh i tng nghiờn cu trc tip iu ny cho phộp s hc húa hỡnh hc, v h qu l tỏch gii tớch vụ cựng hỡnh hc Trong Chng VI ca Introductio, Euler ó nh ngha logarithm ca x vi c s a, log a x (Euler vit n gin l lx ) nh l mt s y cho a y x Ln u tiờn logarithm c mụ t thụng qua hm m 41 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ u Chng VII ca Introductio, sau nhn xột a 1, ễng biu din a k vi l mt s vụ cựng ễng kớ hiu N a a x N a k N x l s vụ cựng ln Khi y N N x kx k x k x3 k (2.3.1) N 1! 2! 3! Cho x 1, ta cú quan h gia a v k : a k k2 k3 1! 2! 3! Euler a vo s e ni ting ca ễng nh l giỏ tr ca a k 1: e 1 1 1! 2! 3! ễng ó ng nht s e nh l c s ca logarithm t nhiờn v tớnh gn ỳng s e n 23 ch s: e 1 1 2.71828182845904523536028 1! 2! 3! x Phng trỡnh (2.3.1) y cho e N N x n m ta cú th hiu nh l n x e lim Do ú e lim n n n n x Vi k 1, phng trỡnh (2.3.1) cui cựng tr thnh x x x3 e 1! 2! 3! x Tr v vi lụgarithm, Euler vit: y a x a N a k N N 1 Vỡ loga (1 y) N nờn k y N hay y N k Suy 42 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ N N log a (1 y ) N y k Thay a bi e (ngha l k ) v y bi x, ta nhn c 1 log(1 x) N x N hay log(1 x) lim n x n n Khai trin theo nh thc Newton ta cú 11 11 1 x N x N N x N N N x3 N 2! 3! 1 N N N x x x N 2! N 3! N3 Vỡ N l i lng cụ cựng ln, t õy ta cú N N N N log(1 x) N (1 x) x x x 2 N 3! N Suy x x3 log(1 x) x 2! 3! (2.3.2) 2.3.2 Tớnh vi phõn cỏc hm c bn ca Euler Mt im c bit thỳ v nghiờn cu ca Euler v cỏc hm siờu vit s cp Introductio l ễng ó nhn c cỏc khai trin chui vụ hn ca chỳng m khụng h cn dựng n phộp tớnh vi phõn v tớch phõn Trong Calculi Differentialis ễng ó dựng cỏc khai trin ny nhn c cỏc cụng thc ca Leibniz v tớnh vi phõn ca cỏc hm c bn (tớnh vi phõn theo Euler la Euler) n gin l Euler ó b cỏc i lng vụ cựng bc cao cỏc biu thc ca vi phõn dy ca hm s y f ( x ) Thớ d, nu y xn thỡ khai trin nh thc cho 43 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ dy x dx x n ( x n nx n1dx n nx n1dx n(n 1) n2 x dx ) x n n(n 1) n2 x dx , Vy dy nxn1dx Qui tc vi phõn ca mt tớch cng d dng tớnh c: d pq p dp q dq pq pdq qdp dpdq B ly tha bc cao ca vi phõn, ta cú: d pq pdq qdp Ta cú th tớnh c vi phõn ca mt thng p qdp pdq d q q tớnh vi phõn ca hm logarithm, Euler vit dx3 dx dx dx d log x log( x dx) log x log x x x 3x3 B cỏc ly tha bc cao ca vi phõn, ta cú d log x dx x 2.4 Hon thin tớch phõn bi Cauchy v Riemann 2.4.1 úng gúp ca Cauchy hon thin khỏi nim tớch phõn Trong sut th k th XVIII, tớch phõn thng c coi n gin l phộp toỏn ngc ca o hm (antidifferentiation) Hm f(x) ly c tớch phõn bng cỏch tỡm mt nguyờn hm ca hm F(x) cho F(x) = f(x) Tớch phõn xỏc nh ca f(x) trờn on [a,b] sau ú ó c a ra, v cụng thc b f ( x)dx F (b) F (a) a ó c chng minh ng thi, ý tng ca tớch phõn nh gii hn ca mt tng, hoc nh cỏc din tớch ca mt ng cong, ó tr nờn quen thuc 44 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tuy nhiờn, nu ch da vo tớnh toỏn xp x tớch phõn thỡ rt khú a nhng cụng thc tớnh toỏn Nhiu hm s khụng th tỡm nguyờn hm (biu din c qua cỏc hm c bn), mc dự nguyờn hm tn ti, ú khụng c s cn thit ỏp dng cỏc nh lớ c bn ca gii tớch c bit, cỏc khỏi nim v din tớch cũn hon ton trc quan, nú c coi l mt khỏi nim hin nhiờn, v cha cú mt nh ngha chớnh xỏc, thm cha nhn thc c l cn cú nh ngha chớnh xỏc S dng cỏc cụng thc tớnh toỏn tớch phõn ca Newton v Leibniz c coi l thc t, bi vỡ cỏc hm thng gp l liờn tc Trong nhng nm u th k XIX, nghiờn cu ca Fourier a ỏnh sỏng s cn thit phi ly tớch phõn cho cỏc hm khụng liờn tc Cỏc hm nh vy xut hin t nhiờn cỏc bi toỏn thc t, v cỏc h s ca chui Fourier ca nú c th hin nh tớch phõn m khụng phự hp vi mụ hỡnh phõn tớch hn hp ca tớch phõn th k XVIII Cauchy l ngi u tiờn cp n s cn thit phi chng minh s tn ti ca tớch phõn hoc nguyờn hm trc bit n tớnh cht ca chỳng Chớnh Cauchy l ngi u tiờn cung cp mt nh ngha chung v nh lớ v s tn ti ca tớch phõn cho mt lp cỏc hm, m sau ú ó c tho lun sụi ni v nh th tớch phõn v tớnh cht ca nú cú c s lớ thuyt vng chc Trong tỏc phm Resume des leỗons donnees a V Ecole Royale Polytechnique sur le calcul infinitesimal (Túm tt cỏc bi ging ti Trng Bỏch khoa Hong gia V v tớnh toỏn cỏc i lng vụ cựng bộ) nm 1823, ễng ó xõy dng nh ngha ca tớch phõn (sau ny c Riemann hon thin) nh ngha ny l c s xõy dng phng phỏp tớnh cỏc tớch phõn Cauchy xột mt hm x0 , X , f(x) liờn tc (theo ngha hin i) trờn on v chia nh on ny bng n phn bng bi cỏc im 45 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ x0 , x1, , xn Vi phộp chia nh ny din tớch phn hỡnh phng gii hn bi hm y f ( x) v trc honh trờn on x0 , X c xp x bng tng n S f ( xi )( xi xi ) (2.4.1) i Tng ny nhn c bng cỏch cng cỏc din tớch hỡnh ch nht cú ỏy l X xi1, xi v chiu cao l f ( xi1 ) xỏc nh tớch phõn f ( x)dx nh l gii x0 hn ca tng (2.4.1), ễng cho di xi xi ln nht ca cỏc on tin dn ti Tt nhiờn s tn ti ca gii hn ny phi c chng minh chng minh iu ny, ụng ỏp dng kt qu s hc c bn sau õy t Cours dAnalyse: nu 1, , , n l cỏc s dng, v a1, a2 , , an l cỏc s tựy ý, ú: n a i i i a n , (2.4.2) ú a l trung bỡnh cng ca cỏc s a1, a2 , , an , ngha l, a nm gia s ln nht v nh nht ca chỳng Vi i xi xi v f ( xi1 ) , h thc (2.4.2) cho ta S f x0 ( X x0 ) ( X x0 ) (2.4.3) vi mi (0,1), theo nh lớ giỏ tr trung bỡnh Bõy gi Cauchy lm mn P' ca phn trờn P, cú ngha l, mi khong ca phn P' nm mt khong ca P Sau ú, tng S' ca (2.4.1) liờn quan n phn mi ny cú th c vit nh S S1 S2 Sn vi Si l tng ca cỏc s hng ca S tng ng vi cỏc on ca P nm mt khong ca P Sau ú ỏp dng trờn khong th i ny, ta tớnh c: 46 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Si f xi1 i ( xi xi1 ) ( xi xi1 ), ú i (0,1) i 1, n , v n S f xi i (xi xi ) (xi xi ) (2.4.5) i f xi i (xi xi ) (xi xi 1) (2.4.6) i Nu ta vit vi mi i 1, , n Khi ú so sỏnh (2.4.1) v (2.4.5), ta c: n S S i ( xi xi ) ( X x0 ) (2.4.7) i vi mi ca 1, , n T (2.4.7), Cauchy kt lun rng "ngi ta s khụng lm thay i rừ rt giỏ tr ca S tớnh bng mt ch phõn chia [phõn vựng] ú cỏc phn t [cỏc on con] phõn bit ca X x0 cú giỏ tr s rt nh, nu chỳng qua mt ch th hai, ú mi thnh phn c chia thnh nhiu cỏch khỏc" T õy ễng nhn thy rng cn thit phi chng minh rng cỏc hm liờn tc ang xột phi l liờn tc tuyt i trờn x0 X , ngha l, vi mi tn ti cho f ( x) f ( x) vi hai im bt k x, x x0 , X , m x x Cho P1, P2 l hai khong tựy ý x0 , X v cho P l hp cỏc on ca P1 v P2 Nu S1, S2, S tin n tng xp x, thỡ (2.4.7) cho ta: S S1 ( X x0 ) v S S2 ( X x0 ) v S1 S2 ( )( X x0 ) 2.4.2 úng gúp ca Riemann hon thin khỏi nim tớch phõn Vo nm 1829, Dirichlet ó cho ng mt bi bỏo v ch rng, nu hm s f ( x ) tun hon vi chu ki v a) l liờn tc trờn tng khong chu kỡ ; 47 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ b) cú hu hn im cc i a phng , , thỡ chui Fourier hi t theo tng im ti f ( x 0) f ( x 0), l trung bỡnh ca gii hn trỏi v gii hn phi ca nú (gi s rng gii hn trỏi v gii hn phi tn ti tt c cỏc im) Ly mt dóy cho cỏc giỏ tr x1, x2 , , xn nm gia a v b v ngn gn ta ký hiu x1 a, x2 x1, , n b xn1 v i l cỏc s dng phõn bit Khi ú, giỏ tr ca tng S f a 11 f x1 2 n f xn1 n n s ph thuc vo vic chn cỏc on i v s dng i Nu i v i cú th chn cho tng trờn tin ti mt gii hn c nh A vi mi i rt nh, thỡ a a b b f ( x)dx Nu nú khụng cú tớnh cht ny thỡ f ( x)dx giỏ tr ny c gi l l khụng tn ti Vỡ vy, Riemann ó chn im tựy ý xi1, xi vi mi i 1,2, , n a b ú xi xi1 i vi on th i l v nh ngha tớch phõn bi n f ( x)dx lim f ( x ) xi xi , (2.4.8) i l ký hiu ca di ln nht ca cỏc on i ca on a, b õy l s tng quỏt húa trc tip ca nh ngha ca Cauchy a n f ( x ) x x f ( x)dx lim b i i i i Riemann ch n gin l ó thay im xi ban u ca Cauchy bi mt im x tựy ý ca xi1, xi v nhn mnh (nu tớch phõn l tn ti) rng cỏc 48 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tng xp x tin ti mt giỏ tr gn ỳng l chun gn bng 0, c lp vi vic chn cỏc im xi Nh vy, xut hin cõu hi: trng hp no thỡ hm kh tớch, trng hp no thỡ khụng? tr li cõu hi ny, trc tiờn ta bt u vi mt hm f ( x ) b chn v mt phõn hoch P ca a, b i lng D( P) D11 D2 Dn n l tng biờn ca hm f ( x ) i vi P, ú i xi xi v Di l giỏ tr trung bỡnh ca giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca f ( x ) trờn mi on th i Qua tng bc thit lp tớch phõn chỳng ta thy rng tớch phõn (2.4.8) tn ti nu v ch nu D ( P ) 0, lim D11 D2 Dn n (2.4.9) K tip, Riemann nh ngha (d ) l giỏ tr ln nht ca tng biờn D(P) vi mi P v chun d Khi ú, ( d ) rừ rng l mt hm gim ca d , v f l kh tớch trờn a, b nu v ch nu lim (d ) d Cho vi mi P, ta ký hiu s S ( , P ) l tng cỏc di i ca cỏc on ca P vi mi giao Di Bõy gi ta thit lp cỏc iu kin cn v cho s tn ti ca tớch phõn ca hm b chn Nu f b chn vi mi x a, b thỡ a f ( x)dx l tn ti nu v ch nu b s ( , P ) xp x bng vi mi Tc l, v 0, d cho vi mi P chun d , tng s ca cỏc di cỏc on ca P m trờn ú cỏc biờn ca P cũn nh hn Nhn thy, iu kin cn hm f kh tớch l s D11 D2 Dn n (d ) 49 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ nu d , vỡ Di trờn cỏc on cú tng di l s Vỡ vy, s( , P) ( d ) tin n d tin n vi c nh vi gi thit a f ( x)dx l tn ti b iu kin trờn l cho tớnh kh tớch, cho v 0, chn d > nh trờn Nu chun ca P l nh hn d thỡ cỏc on trờn ú biờn ca f ( x ) l ln hn lm cho D(P) cú s lng ớt hn D (vỡ cỏc on c b sung ti s ), trụng ú D l biờn ca f ( x ) trờn a, b Cỏc on cũn li lm cho D(P) cú s lng ln hn (b a ) Vỡ vy D( P) D (b a ) nờn D(P) cú th c lm nh bng cỏch ly v nh Vỡ vy, iu kin (2.4.9) l tha v a f ( x)dx l tn ti b a nh lý Riemann lp tc kộo theo f ( x)dx tn ti nu f l liờn tc trờn b a, b Trong trng hp ny cho 0, d cho biờn ca f ( x ) l nh hn trờn mi on cú di ớt hn d Vỡ vy, s ( , P) nu chun ca P l nh hn d Riemann ó ch rng mt hm s cú th khụng liờn tc trờn mt trự mt nhng kh tớch Vớ d: Vi mi s thc x, cho x x i x , ú i x l s nguyờn gn x nht, nu khụng x l bi l ca , trng hp ny x Khi ú 1 ( x) vi mi x v x l liờn tc ti x nu khụng x l bi ca , 2 trng hp ny x l mt bc nhy hoc khỏc gii hn phi v gii 50 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ hn trỏi ca x x Hm s k l ny ca Riemann c nh ngha bi ( x) (2 x) (3x) (kx) f ( x) k k (2.4.10) m , ú m, n l cỏc s nguyờn 2n dng vi m l, ú kx khụng l bi l ca vi mi k Do ú, mi s hng ca (2.4.10) l liờn tc ti x v nú cú th chng minh rng f l liờn Nu x khụng l s hu t ca dng tc ti x Nhng nu x cú dng m ú x l bi l ca vi k l bi l ca 2n n, k n p Trong trng hp ny s hng nhy (õm) ca (kx) ca (2.4.10) l bc k2 m 1 ti x iu ny cho thy f l khụng 2n k n2 (2 p 1)2 liờn tc ti mi im x m , cú bc nhy 2n f ( x 0) f ( x 0) n p (2 p 1) 8n Biu thc trờn ó s dng cỏch ly tng ca Euler Vi úng gúp ca Cauchy, Riemann v cỏc nh toỏn hc khỏc th k 19, tớch phõn cú th coi l ó nh hỡnh nh mt lớ thuyt toỏn hc hon chnh, p v cú nhiu ng dng Bc tip theo ca phỏt trin tớch phõn vi s úng gúp c bn ca Lebesgues, l nhu cu ca s phỏt trin ni ti ca toỏn hc cng nh ca thc t cuc sng ũi hi Kt lun Chng Chng ny trỡnh by s lc lch s cỏc úng gúp ca Newton, Leibniz, Euler, Cauchy, Riemann xõy dng phộp toỏn vi phõn v tớch phõn hon chnh v cú din mo nh ngy 51 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ KT LUN Lun ó trỡnh by s lc quỏ trỡnh hỡnh thnh v phỏt trin tớch phõn qua cỏc thi kỡ, t s khai n lớ thuyt hon chnh cú din mo nh ngy Trong khuụn kh hn hp ca mt lun cao hc, cng nh hn ch v kin thc ca tỏc gi v hn ch v thi gian, nhiu ca lch s tớch phõn (tng v tớch vụ hn, chui Fourier,), s phỏt trin ca tớch phõn thi kỡ hin i (Lớ thuyt o, tớch phõn Lebesgues,) cha c cp Nhiu nh toỏn hc cú nhng cng hin ln xõy dng, hỡnh thnh, phỏt trin ca tớch phõn (DAlambert, Lagrange, Fourier, Bolzano, Vaierstrass, ) cha c nhc ti Thm nhiu ó cp ti Lun (cỏc cụng trỡnh ca Archimedes, Newton, Leibniz) cng cũn s si Mc dự nhng thiu sút ca Lun l chc chn cú, chỳng tụi tin rng mc ớch ban u t cho Lun l ó t c Qua Lun vn, chỳng tụi ngh rng, chỳng tụi ó trỡnh by, cũn s lc, nhng chng ng phỏt trin c bn ca khỏi nim tớch phõn Cỏ nhõn chỳng tụi cng hc c nhiu qua tỡm hiu lch s tớch phõn Cỏc kin thc thu nhn c chc chn cú ớch cho chỳng tụi quỏ trỡnh hc v ging dy Chỳng tụi cng hi vng rng, lun cú ớch cho cỏc hc sinh, sinh viờn v cỏc Thy, Cụ giỏo hc tp, ging dy v tỡm hiu tớch phõn 52 S húa bi trung tõm hc liu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ TI LIU THAM KHO Nguyn Cang, Lch s toỏn hc, Nh xut bn Tr, 1999 Trn Lng Cụng Khanh, Nghiờn cu didactic v nhng khú khn chớnh ca hc sinh khi tip thu khỏi nim tớch phõn, Lun thc s, Trng i hc S phm thnh ph H Chớ Minh, 2002 Trn Lng Cụng Khanh, So sỏnh th ch v khỏi nim tớch phõn Riemann, K yu Hi tho ln th nht v Didactic- Phng phỏp dy hc Toỏn, Trng i hc S phm thnh ph H Chớ Minh, 17-18/06/2005 Bựi Linh Phng, Bin phỏp nõng cao hiu qu ca vic trang b lch s toỏn dy hc mụn toỏn Trung hc Ph thụng, Lun Thc s, Trng i hc S phm Thỏi Nguyờn, 2009 Phm Lng Quý, Nghiờn cu sinh thỏi ca phộp tớnh tớch phõn, Lun Thc s Toỏn, trng i hc S phm thnh ph H Chớ Minh, 2009 Trn c Thun, Khỏi nim din tớch day-hc toỏn Trung hc C s, Lun Thc s, i hc S phm thnh ph H Chớ Minh, 2008 C H Edwards, Jr, The Hictorical Development of the Calculus, SpringerVerlag, New York, 1979 V A Nikiphorovskii, Con ng i ti tớch phõn (trong b sỏch Lch s Khoa hc v K thut, Vin Hn lõm Khoa hc Nga), Nh xut bn Nauka, Ting Nga, 1985 53 [...]... thành và phát triển tích phân cũng nhƣ mối quan hệ giữa khái niệm tiếp tuyến và khái niệm diện tích 25 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ CHƢƠNG 2 TÌM HIỂU LỊCH SỬ HOÀN CHỈNH TÍCH PHÂN SAU NEWTON VÀ LEIBNIZ 2.1 Phát triển tích phân của Asaac Newton 2.1.1 Khái niệm vi phân và đạo hàm của Newton Newton xây dựng vi phân và đạo hàm bằng cách xét đƣờng cong f  x, y   0 nhƣ quỹ tích. .. Đây chính là cách phát biểu ban đầu của Định lí cơ bản của calculus: tốc độ thay đổi của diện tích dưới đường cong bằng tung độ của nó Đây chính là điểm khởi đầu để Newton phát triển phép tính vi phân và tích phân Kết luận Chƣơng Trong chƣơng này, luận văn đã trình sơ lƣợc lịch sử phát triển toán học thời cổ đại của một số nền văn minh; các ý tƣởng sơ khai của việc hình thành tích phân; sự đóng góp... minh chặt chẽ rằng: một hình viên phân giới hạn bởi một đường thẳng và một parabola có diện tích bằng 4 diện tích của tam giác có cùng đáy và chiều cao với viên phân 3 Chứng minh Vì diện tích ∆ABC bằng một nửa diện tích hình bình hành bBCc mà diện tích hình viên phân nhỏ hơn diện tích hình bình hành (ngoại tiếp nó) nên diện tích ∆ABC lớn hơn một nửa diện tích viên phân Xét hai parabola nhỏ với đáy... diện tích hai tam giác GAB và HAC lớn hơn một nửa tổng diện tích hai viên phân này (Hình 1.5) Ta bắt đầu vét cạn diện tích parabola ban đầu bằng tam giác ABC nội tiếp nó Bƣớc thứ là là đa giác BGAHC Tiếp tục quá trình này, ta dựng đƣợc đa giác có diện tích xấp xỉ diện tích viên phân parabola với sai số bé tùy ý Hình 1.5 Ta sẽ chứng minh rằng tổng diện tích hai tam giác AGB và AHC bằng 1 4 diện tích. .. 2n  1 6 để thiết lập các công thức cầu phƣơng tƣơng đƣơng với tích phân a a2 0 xdx  2 a và a3 0 x dx  3 2 Archimedes còn đóng góp rất nhiều cho phát triển calculus Ông cũng đã chứng minh đƣợc rằng thể tích hình trụ ngoại tiếp hình cầu lớn hơn thể tích hình cầu 1,5 lần; diện tích toàn phần của mặt trụ ngoại tiếp mặt cầu lớn hơn diện tích của mặt cầu 1,5 lần Trên đây chỉ là hai trong số rất nhiều... phƣơng pháp sử dụng những cái không thể phân chia được Theo ông, bề mặt đƣợc tạo thành bởi việc sắp xếp sát nhau những “đƣờng” song song “Đƣờng” ở đây đƣợc hiểu là đoạn thẳng hoặc cung tròn đồng tâm Mỗi “đƣờng” đƣợc gọi là một cái không thể phân chia được của bề mặt cần tính diện tích Hai hình phẳng cùng tạo thành bởi những “đƣờng” cùng độ dài có diện tích bằng nhau Nguyên lý tƣơng tự cho thể tích phát biểu... có lẽ còn chƣa thật rõ ràng Vì diện tích hình tròn có thể xấp xỉ bởi diện tích hình đa giác đều nội tiếp khi số cạnh đủ lớn, diện tích hình tròn không thể bằng diện tích của bất cứ đa giác đều cụ thể nào nội tiếp trong nó Xuất hiện bài toán cầu phƣơng hình tròn: Tìm hình vuông có diện tích bằng diện tích hình tròn đã cho Đây cũng là ví dụ của bài toán, trong đó phân biệt rõ ràng sự khác nhau giữa tính... cơ bản của phép tính vi tích phân 1.2 Những đóng góp của Archimedes trong hình thành các khái niệm tích phân Archimedes (287 - 212 trƣớc công nguyên) đã phát triển phƣơng pháp vét cạn thành một kĩ thuật có sức mạnh phi thƣờng để giải một lƣợng lớn các bài 11 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ toán mà ngày nay là những ứng dụng điển hình của phép tính tích phân Những nghiên cứu của... Khi đó, tổng diện tích các hình chữ nhật bằng 6 d 3n3 (nd )3 x3 S   3 3 3 Khi tìm một kĩ thuật chung để tính diện tích giới hạn bởi các parabola và hyperbola nhờ cấp số nhân, Fermat (1601 - 1665) đã phát biểu bài toán diện tích dƣới dạng đại số Điều này khiến các lời giải của Fermat mang tính tổng 20 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ quát và cho phép phát triển khía cạnh thuật... diện tích của tam giác tại mỗi bƣớc bằng 1 tổng diện tích của các tam giác ở bƣớc trƣớc 4 Nếu kí hiệu a : a (ABC ) và n là hợp của tất cả các tam giác tại bƣớc thứ n thì a(n )  a  a 1a 11a a a a 1 1 1     a   2   n  a (1   2   n ) 4 44 444 4 4 4 4 4 4 Nhƣ vậy, với   0 đủ nhỏ thì diện tích viên phân parabola khác diện tích của n một lƣợng  khi n đủ lớn Đến đây, Archimedes đã sử