Lịch sử phát triển số nguyên tố

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NINH VĂN QUÝ LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN SỐ NGUYÊN TỐ CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học:GS.TSKH HÀ HUY KHOÁI Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu THƯ VIỆN ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH Hà Huy Khoái Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy gia đình Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Phòng đào tạo nghiên cứu khoa học quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Tỉnh Bắc Giang, Trường Trung học phổ thông Bố Hạ, đặc biệt tổ Toán Tin giúp đỡ tinh thần vật chất suốt trình học tập Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Số nguyên tố khái niệm xưa toán học, với học sinh, khái niệm số nguyên tố khái niệm biết đến đầu tiên.Tưởng biết tất điều cần biết số nguyên tố mà thực tế người biết số nguyên tố, việc nghiên cứu số nguyên tố khó dường câu hỏi đặt cho số nguyên tố câu hỏi vĩnh cửu toán học Mặc dù vậy, sau hàng kỷ biết đến vấn đề toán học lý thuyết, khoảng 30 năm trở lại đây, số nguyên tố tham gia vào ứng dụng thiết thực xã hội đại: vấn đề bảo mật thông tin Và đó, người ta nhận rằng, người chưa biết số nguyên tố! Luận văn gồm hai chương Chương 1, trình bày giai đoạn phát triển số nguyên tố Những định lý quan trọng liên quan đến số nguyên tố Chương 2, trình bày số ứng dụng số nguyên tố xã hội đại Nhận thức lí thuyết số nguyên tố tảng số học, học số nguyên tố từ sớm, từ bậc học phổ thông sở, tài liệu viết số nguyên tố Bản luận văn cung cấp thêm tài liệu lịch sử nghiên cứu lí thuyết số nguyên tố trình tìm số nguyên tố lớn Chúng hy vọng luận văn đáp ứng phần lòng yêu thích nghiên cứu số nguyên tố bạn đồng nghiệp, em học sinh Sau thời gian nghiên cứu luận văn hoàn thành Tuy nhiên không tránh khỏi nhiều sai sót Kính mong góp ý quý thầy cô, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bạn đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Mục lục Chương Các giai đoạn phát triển lý thuyết số nguyên tố 1.1 Định nghĩa 1.2 Giai đoạn 1:(Trước công nguyên) 1.2.1 Định lý (Euclid, kỉ III trước công nguyên) 1.2.2 Sàng Eratosthenes 1.3 Giai đoạn 2(Trước kỷ 17) 10 1.4 Giai đoạn 3:(Sau kỷ 17) 10 1.4.1 Định lý 2(Fermat bé) 11 1.4.2 Định lý 3(Wilson) 11 1.4.3 Định lý 4(Định lý số học) 13 1.4.4 Định lý 14 1.4.5 Sự phân bố số nguyên tố: 14 1.4.6 Số nguyên tố Mersenne 17 1.4.7 Số nguyên tố Fermat 20 1.4.8 Một số số nguyên tố lớn biết đến 21 1.4.9 Một số vấn đề chưa giải 23 1.4.10 Số giả nguyên tố 24 1.4.11 Thuật toán đa thức kiểm tra tính nguyên tố 26 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số ứng dụng số nguyên tố xã hội đại 28 2.1 Lý thuyết mật mã (Mã hóa thông tin) 28 2.1.1 Hệ mã mũ 29 2.1.2 Các hệ mật mã khóa công khai 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các giai đoạn phát triển lý thuyết số nguyên tố 1.1 Định nghĩa Số nguyên tố số nguyên lớn 1, không chia hết cho số nguyên dương Số nguyên lớn số nguyên tố gọi hợp số 1.2 Giai đoạn 1:(Trước công nguyên) Số nguyên tố tính chất lần nghiên cứu rộng rãi nhà toán học Hylạp cổ đại Các nhà toán học trường học Pythagoras (500 TCN đến 300 TCN) quan tâm đến tính chất số nguyên tố Họ quan tâm đến hoàn hảo thân thiện số Cho đến thời gian xuất "Nguyên lý" Euclid (Khoảng 300TCN), số kết quan trọng số nguyên tố chứng minh Trong sách Nguyên lý IX chứng minh có vô hạn số nguyên tố Đây chứng biết từ sớm sử dụng phương pháp phản chứng 1.2.1 Định lý (Euclid, kỉ III trước công nguyên) Tập hợp số nguyên tố vô hạn Chứng minh:(Định lý 1) Giả tập hợp số nguyên tố hữu hạn Gọi p số nguyên tố lớn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét k tích tất số nguyên tố cộng thêm 1: k = · · · · · ·p + Số k ước nguyên tố chia cho số nguyên tố tùy ý ta phần dư Trong dễ thấy ước số bé m > số tự nhiên k số nguyên tố Mâu thuẫn chứng minh định lí Euclid đưa chứng Định lý số học số nguyên viết thành tích số nguyên tố Euclid cho thấy 2n − số nguyên tố 2n−1 · (2n − 1) số hoàn hảo Nhà toán học Euler(Năm 1747) tất số hoàn hảo có dạng 1.2.2 Sàng Eratosthenes Trong khoảng 200 TCN Eratosthenes (Hylạp) nghĩ thuật toán để tính số nguyên tố, gọi sàng Eratosthenes: Trước tiên, ta viết dãy số tự nhiên từ đến n Trong dãy gạch số 1, số nguyên tố Số nguyên tố dãy Tiếp theo ta gạch khỏi dãy tất số chia hết cho Số không chia hết cho 3: Đó số nguyên tố Ta lại gạch khỏi dãy lại số chia hết cho Tiếp tục thế, ta lại gạch khỏi dãy số chia hết cho số nguyên tố bé √ n Các số lại dãy tất số nguyên tố không vượt n Sàng Eratosthenes, mặc ta thuật toán xác định số nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tố không vượt số cho trước, sử dụng để xác định xem số cho có phải số nguyên tố hay không Nguyên nhân thuật toán có độ phức tạp lớn 1.3 Giai đoạn 2(Trước kỷ 17) Sau kết đạt việc nghiên cứu lý thuyết số nguyên tố nhà toán học Hylạp (Trước công nguyên) Thì sau khoảng cách dài lịch sử lý thuyết số nguyên tố không đạt thành tựu đáng kể, thường gọi thời kỳ đen tối 1.4 Giai đoạn 3:(Sau kỷ 17) Những phát triển quan trọng thực Fermat vào đầu kỷ 17 Ông chứng minh suy đoán Albert Giard số nguyên tố có dạng 4n − viết theo cách dạng tổng bình phương Ông nghĩ phương pháp để tìm thừa số số lớn khai triển số 2027651281 = 44021.46061 Ông lần đầu thông báo định lý thư đề ngày 18/10/1640 cho bạn ông Frénicle de Bessy Như thường lệ Fermat không chứng minh Euler lần công bố chứng minh vào 1736 báo, Leibniz có chứng minh với ý tưởng tương tự thảo không công bố vào khoảng trước năm 1683 Điều mà ngày biết đến Định lý Fermat bé (để phân biệt với định lý cuối Ông) 10 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... đoạn phát triển số nguyên tố Những định lý quan trọng liên quan đến số nguyên tố Chương 2, trình bày số ứng dụng số nguyên tố xã hội đại Nhận thức lí thuyết số nguyên tố tảng số học, học số nguyên. .. ước số bé m > số tự nhiên k số nguyên tố Mâu thuẫn chứng minh định lí Euclid đưa chứng Định lý số học số nguyên viết thành tích số nguyên tố Euclid cho thấy 2n − số nguyên tố 2n−1 · (2n − 1) số. .. p số nguyên tố lớn Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Xét k tích tất số nguyên tố cộng thêm 1: k = · · · · · ·p + Số k ước nguyên tố chia cho số nguyên tố