Một số phương pháp chiếu giải bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THANH HẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU THÁI NGUYÊN - NĂM 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Toán tử chiếu lên tập lồi đóng 1.1 1.2 Một số khái niệm tính chất 1.1.1 Tập lồi hàm lồi 1.1.2 Dưới vi phân 1.1.3 Tính đơn điệu Phép chiếu lên tập lồi Phương pháp chiếu giải quy hoạch lồi 2.1 2.2 14 Bài toán quy hoạch lồi 14 2.1.1 Mô tả toán 14 2.1.2 Sự tồn nghiệm tối ưu 16 2.1.3 Điều kiện tối ưu 17 Phương pháp chiếu gradient xấp xỉ 26 Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân (VIP) 3.1 33 Bài toán bất đẳng thức biến phân 33 3.1.1 Mơ tả tốn 33 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.2 3.1.2 Sự tồn nghiệm 34 3.1.3 Các toán liên quan 39 Phương pháp chiếu giải toán (VIP) 42 3.2.1 Phương pháp chiếu 42 3.2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường 48 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Lời cảm ơn Trong suốt q trình làm luận văn, tơi nhận hướng dẫn giúp đỡ GS.TSKH Lê Dũng Mưu (Viện Tốn học Việt Nam) Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học khóa (2010 - 2012) mang đến cho tơi nhiều kiến thức bổ ích khoa học sống Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q thầy, bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 05 năm 2012 Người viết Luận văn Nguyễn Thanh Hằng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi vấn đề liên quan Bộ mơn có vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặc biệt tối ưu hoá, bất đẳng thức biến phân, toán cân Một vấn đề quan trọng giải tích lồi phép chiếu Đây công cụ sắc bén đơn giản để chứng minh nhiều định lý quan trọng Định lý tách, Định lý xấp xỉ tập lồi, Định lý tồn nghiệm Bất đẳng thức biến phân Hơn phép chiếu dùng để xây dựng phương pháp giải nhiều lớp toán quan trọng toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác kinh tế, kỹ thuật, vật lý toán, vận trù học Bài toán bất đẳng thức biến phân giới thiệu Hartman Stampacchia vào năm 1966 Những nghiên cứu toán liên quan tới việc giải toán điều khiển tối ưu toán biên phương trình đạo hàm riêng Bài tốn bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng giới thiệu sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" D Kinderlehrer G Stampacchia , xuất năm 1980 sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Application to Free Boundary Problems" C Baiocci A Capelo , xuất năm 1984 Bài toán bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều giới thiệu đầy đủ Finite-Dimensional Variational-Inequalities and Complementarity Problems S Facchinei and J Pang (2003) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Những năm gần đây, toán bất đẳng thức biến phân có bước phát triển mạnh thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Có nhiều phương pháp giải, có phương pháp dựa vào cách tiếp cận điểm bất động Ý tưởng phương pháp chuyển việc giải bất đẳng thức biến phân tốn tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Một cách tiếp cận điểm bất động dựa phương pháp chiếu Một lớp toán quan trọng bất đẳng thức biến phân toán Quy hoạch lồi lớp tốn tối ưu hóa Một đặc điểm toán điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối Hơn lý thuyết toán quy hoạch lồi quan tâm nghiên cứu thu nhiều kết quan trọng dựa lý thuyết giải tích lồi tối ưu hóa Có nhiều phương pháp hữu hiệu cho toán này, phương pháp giới thiệu sách Tối ưu lồi (Convex Optimization) tác giả Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe nhà xuất Cambridge University Press in năm 2004 Mục đích luận văn chủ yếu trình bày ứng dụng phép chiếu vng góc vào toán bất đẳng thức biến phân tốn tơí ưu Luận văn bao gồm chương: Chương nhắc lại kiến thức tập lồi hàm lồi, vi phân, tính đơn điệu, phép chiếu lên tập lồi Chương giới thiệu tốn quy hoạch lồi trình bày phương pháp chiếu gradient xấp xỉ Chương giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân trình bày số phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Toán tử chiếu lên tập lồi đóng Dưới đây, ta nhắc lại số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân, Các kiến thức chương lấy chủ yếu từ tài liệu ([1]), ([2]), ([3]) sử dụng chương sau 1.1 1.1.1 Một số khái niệm tính chất Tập lồi hàm lồi Đoạn thẳng nối hai điểm a, b ∈ Rn tập véc tơ x có dạng {x ∈ Rn : x = αa + βb; α ≥ 0; β ≥ 0; α + β = 1} Tập lồi khái niệm giải tích lồi định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊂ Rn gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C; ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C Ví dụ 1.1 • Hình cầu đóng B(a, r) = {x ∈ Rn : x − a ≤ r} • Tồn khơng gian, siêu phẳng, hình tam giác, hình vng, hình trịn, mặt phẳng, nửa mặt phẳng R2 Mệnh đề 1.1 Giao họ tập lồi tập lồi Chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Giả sử {Aα }α∈I họ tập lồi Cần chứng minh A = Aα tập α∈I lồi • Với x1 , x2 ∈ A suy x1 , x2 ∈ Aα (∀α ∈ I) • Với α ∈ I Do Aα lồi nên với λ ∈ [0; 1] ta có λx1 + (1 − λ) x2 ∈ A Theo định nghĩa A = ✷ Aα tập lồi α∈I Mệnh đề 1.2 (Tính chất tập lồi) (i) Nếu C, D ⊂ Rn tập lồi C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D} ; αC = {αx : x ∈ C, α ∈ R} tập lồi Rn , C − D = C + (−1) D tập lồi Rn (ii) Nếu C ⊂ Rn , D ⊂ Rm tập lồi C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rn+m Định nghĩa 1.2 Một tập C ⊂ Rn gọi nón ∀x ∈ C, ∀λ > ⇒ λx ∈ C Một nón gọi nón lồi nón tập lồi Định nghĩa 1.3 Cho C ⊆ Rn tập lồi xo ∈ C (i) Tập NC x0 := w : wt (x − x0 ) ≤ 0; ∀x ∈ C gọi nón pháp tuyến C x0 tập −NC x0 gọi nón pháp tuyến C x0 (ii) Tập NCε x0 := w : wt (x − x0 ) ≤ ε; ∀x ∈ C gọi nón ε pháp tuyến ngồi C x0 Định nghĩa 1.4 Cho hàm f : C → (−∞; +∞], C lồi tập Rn Khi đó: (a) f gọi hàm lồi C f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (b) f gọi lồi chặt C với x, y ∈ C cho x = y với λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) < λf (x) + (1 − λ)f (y) (c) f gọi tựa lồi y ∈ C với x ∈ C cho f (x) ≤ f (y) với λ ∈ [0, 1], ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ f (y) Hàm f gọi lồi C , tựa lồi điểm C (d) f gọi tựa lồi chặt y ∈ C với x ∈ C cho f (x) < f (y) với λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) < f (y) (e) f gọi lồi mạnh C với hệ số β > với x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1), ta có f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β||x − y||2 Hàm lồi mạnh lồi chặt lồi chặt suy lồi Chẳng hạn hàm y = x2 lồi mạnh, lồi chặt lồi Điều ngược lại nói chung khơng Ví dụ hàm affine y = ax + b lồi không lồi chặt, hàm y = x lồi chặt khơng lồi mạnh (0, ∞) Ví dụ 1.2 • Giả sử C ⊆ Rn Hàm đặc trưng C hàm: δC (x) := x ∈ C +∞ x ∈ / C δC (x) hàm lồi C tập lồi • Hàm chuẩn f (x) = x = x, x , x ∈ Rn lồi ✷ Định nghĩa 1.5 Cho hàm f : C → (−∞; +∞], C lồi tập Rn Khi đó, miền hữu hiệu f , kí hiệu domf , xác định domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hàm f gọi thường nếu: domf = ∅ f (x) > −∞, ∀x ∈ domf Mệnh đề 1.3 Cho hàm f : C → R với C ⊆ Rn Nếu f hàm số khả vi ∇f liên tục Khi đó, f hàm lồi f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x , ∀x, y ∈ C Định nghĩa 1.6 Hàm f : C → R ∪ {+∞} gọi liên tục Lipchits quanh x0 có L > lân cận U x0 cho f (x) − f (x ) ≤ L x − x , ∀x, x ∈ U ∩ C Khi đó, L gọi số Lipchits Hàm f gọi liên tục Lipchits C f (x) − f (x ) ≤ L x − x , ∀x, x ∈ C 1.1.2 Dưới vi phân Định nghĩa 1.7 Véc tơ w ∈ Rn gọi đạo hàm f x0 ∈ Rn w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn • Tập hợp tất đạo hàm hàm f x0 gọi vi phân f x0 kí hiệu ∂f (x0 ) Vậy ∂f (x0 ) := {w ∈ Rn : w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ Rn } • Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f (x0 ) = ∅ Ví dụ 1.3 Cho C tập lồi, khác rỗng không gian Rn Xét hàm tập lồi C có dạng δC (x) := x ∈ C, +∞ x ∈ / C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 ✷ Từ (3.3) (3.4) ta có |x| = r hay |x| < r Thơng thường, tốn bất đẳng thức biến phân khơng có nghiệm nhất, nhiên có điều kiện đảm bảo cho tính cho nghiệm Ta xét mệnh đề sau: Mệnh đề 3.3 (xem[6]) Nếu F đơn điệu chặt tốn bất đẳng thức biến phân (3.1) có nghiệm Chứng minh Giả sử (3.1) tồn hai nghiệm x x Khi x ∈ C : F (x ) , x − x ≥ 0, x ∈ C : F (x ) , x − x ∀x ∈ C, ≥ 0, ∀x ∈ C Áp dụng x = x x = x , ta có: F (x ) − F (x ) , x − x ≥ 0, ∀x , x ∈ C Do F đơn điệu chặt nên F (x ) − F (x ) , x − x = 0, ∀x , x ∈ C ✷ Vậy x ≡ x Định lí 3.4 (xem[6]) Giả sử C tập lồi đóng ánh xạ F : C → Rn đơn điệu mạnh liên tục Khi tốn (3.1) có nghiệm Chứng minh Ta cố định x ˜ ∈ C với x ∈ C , tính đơn điệu mạnh ta có: F (x) , x − x˜ ≥ F (˜ x) , x − x˜ + β x − x˜ → +∞ x − x ˜ → +∞ Vì thế, theo điều kiện định lý 3.3 ta có lời giải ✷ tốn (3.1) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 3.1.3 Các toán liên quan Các kiến thức phần chủ yếu lấy từ tài liệu ([4]) Bài toán bất đẳng thức biến phân có liên hệ mật thiết với nhiều toán khác như: Bài toán quy hoạch lồi, toán bù phi tuyến, toán điểm bất động Ta xét toán sau Bài toán quy hoạch lồi Cho C ⊂ Rn tập lồi đóng f : C → R khả vi Đặt F (x) = ∇f (x) (Đạo hàm f ) Định lí 3.5 Giả sử tồn x ∈ C cho: f (x) := {f (y) : y ∈ C} x nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân x ∈ C : F (x) , y − x ≥ 0, y ∈ C Chứng minh Nếu y ∈ C , C hàm lồi nên ta đặt z = x + λ (y − x) = λy + (1 − λ) x ∈ C với ≤ λ ≤ Vì hàm ϕ (λ) = f (x + λ (y − x)) , ≤ λ ≤ đạt cực tiểu λ = nên ≤ ϕ (0) = ∇f (x) , y − x = F (x) , y − x ✷ Điều đảo lại f hàm lồi, cụ thể ta có định lý sau Định lí 3.6 Giả sử f hàm lồi khả vi thỏa mãn: x ∈ C : F (x) , y − x ≥ 0, ∀y ∈ C, f (x) := {f (y) : y ∈ C} Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Chứng minh Thật f lồi nên f (y) ≥ f (x) + F (x) , y − x , với y ∈ C Nhưng F (x) , y − x ≥ 0, ✷ Vì f (y) ≥ f (x) Bài toán điểm bất động Brouwer Cho C tập lồi đóng Rn T : C → C , toán điểm bất động phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho x∗ = T (x∗ ) (3.5) Mệnh đề sau cho ta thấy mối liên hệ toán (V IP ) với toán điểm bất động (3.5) Mệnh đề 3.4 Giả sử ánh xạ F xác định F (x) := x − T (x), ∀x ∈ C Khi đó, toán bất đẳng thức biến phân (V IP ) tương đương với toán điểm bất động (3.5) Chứng minh Giả sử x∗ nghiệm toán (V IP ) F (x) = x − T (x), tức F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Do F (x∗ ) = x∗ − T (x∗ ) nên tồn ξ ∗ = T (x∗ ) cho F (x∗ ) = x∗ − ξ ∗ Ta có F (x∗ ) − ξ ∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C Cho x = ξ ∗ ta ||x∗ − ξ ∗ || ≤ Suy x∗ = ξ ∗ hay x∗ = T (x∗ ) Vậy nên x∗ nghiệm toán (3.5) ✷ Chiều ngược lại hiển nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 Bài toán bù phi tuyến Chú ý C nón lồi Rn tốn (V IP ) trở thành tốn bù: Tìm x∗ ∈ C, F (x∗ ) ∈ C cho F (x∗ ), x∗ = 0, (CP ) C := {y ∈ Rn | x, y ≥ 0, ∀x ∈ C} nón đối ngẫu C Khi đó, ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.5 Nếu C nón lồi, đóng Rn tốn bù (CP ) tương đương với toán bất đẳng thức biến phân (V IP ), theo nghiã tập nghiệm toán trùng Chứng minh Nếu x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân (V IP ) F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C (3.6) Do C nón lồi, x∗ ∈ C nên (x∗ + x) ∈ C, ∀x ∈ C Trong bất đẳng thức trên, thay x (x∗ + x) ta F (x∗ ), x∗ + x − x∗ = F (x∗ ), x ≥ 0, ∀x ∈ C Suy F (x∗ ) thuộc nón đối nhẫu C Còn thay x = vào (3.6), ta F (x∗ ), x∗ ≤ Suy F (x∗ ), x∗ = 0, hay x∗ ∈ C, F (x∗ ) ∈ C nghiệm toán bù (CP ) Ngược lại, x∗ ∈ C nghiệm tốn bù F (x∗ ), x∗ = 0, F (x∗ ) ∈ C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Vì F (x∗ ) ∈ C nên F (x∗ ), x ≥ 0, ∀x ∈ C Ta có F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C, ✷ hay x∗ ∈ C nghiệm toán (V IP ) 3.2 Phương pháp chiếu giải toán (VIP) Trong phần ta giới thiệu vài phương pháp hình chiếu bản, khác để tìm nghiệm cho tốn (3.1) Các kiến thức chủ yếu lấy từ tài liệu ([4]) 3.2.1 Phương pháp chiếu Ta xét phương pháp hình chiếu nhất, dựa định lý Banach điểm bất động Giả sử C ⊂ Rn , theo mệnh đề 3.1 x nghiệm toán (3.1) FCnat (x) = x − PC (x − F (x)) = Trong PC toán tử chiếu C Theo mệnh đề 3.1 tập hợp điểm bất động ánh xạ x → PC (x − F (x)) nghiệm tốn (3.1) ngược lại Vì vậy, ta xây dựng cách giải toán bất đẳng thức biến phân theo phương pháp lặp sau Thuật toán hình chiếu (BPA) Cho x0 ∈ C Bước 0: Cho k = Bước 1: Nếu xk = PC xk − F xk Bước 2: Đặt xk+1 = PC xk − F xk dừng lại, với xk nghiệm cho k ← k + 1, quay lại bước Định lý sau đảm bảo cho tụ thuật tốn (BPA) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Định lí 3.7 (xem[4]) Cho F : C → Rn , C tập lồi đóng Rn Giả sử tồn L > β > cho F (x) − F (y) , x − y ≥ β x − y , ∀x, y ∈ C (3.7) F (x) − F (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ C (3.8) L2 < 2β, (3.9) Khi ánh xạ PC (x − F (x)) : C → C ánh xạ co C Vì dãy xk tạo thuật toán hội tụ đến nghiệm toán (3.1) Chứng minh Theo tính chất tốn tử chiếu ta có PC (x − F (x)) − P (y − F (y)) ≤ [x − F (x)] − [y − F (y)] = (x − y) + (F (y) − F (x)) = x−y 2 + F (x) − F (y) − F (x) − F (y) , x − y F (x) − F (y) ≤ L x − y 2, Do (3.8) ta có PC (x − F (x)) − P (y − F (y)) ≤L x−y + x−y = − L2 − 2β − 2β x − y x − y Từ ta thấy rằng, : − L2 − 2β < tức L2 < 2β, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 ánh xạ x → PC (x − F (x)) ánh xạ co Vậy dãy xk tạo thuật toán hội tụ đến ✷ Trong thuật toán (BPA) độ dài bước cố định 1, ta xét thuật toán sau với độ dài thay đổi bước lặp nghiệm toán (3.1) Thuật tốn hình chiếu với độ dài bước biến thiên (PAVS) Cho x0 ∈ C Bước 0: Chọn k = Bước 1: Nếu xk = PC xk − F xk dừng với xk nghiệm Bước 2: Chọn τk > Đặt xk+1 = PC xk − τk F xk , cho k ← k + quay trở lại bước Việc lựa chọn dãy {τk } yếu tố quan trọng cho hội tụ thuật toán (PAVS) Ta chứng minh chọn dãy {τk } thích hợp dãy xk hội tụ đến nghiệm toán (3.1) Để đảm bảo cho hội tụ thuật toán ta cần số kết sau Chúng ta xét trường hợp tổng quát τk F xk thay F xk , tất hàm F k có chung khơng điểm Khi bước lặp xk+1 = xk − F k xk , k = 0, 1, 2, (3.10) Ta nói F tự C tồn c > cho F (x) − F (y) , x − y ≥ c F (x) − F (π) , ∀x, y ∈ C Bổ đề 3.1 (xem[4]) Cho C ⊂ Rn tập lồi đóng, F k : Rn → Rn với k = 0, 1, tự Rn với môđun ck thỏa mãn ρ ≡ inf ck > k Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Nếu S tập nghiệm phương trình F k (x) = inf F k (x) > 0, k ∀x ∈ / S (3.11) dãy xk tạo thuật toán (PAVS) hội tụ tới nghiệm x∗ ∈ S Chứng minh Cho xk , y k hai dãy xác định (3.10), x0 y ta chứng minh lim xk − y k ≡ σ < ∞, (3.12) k→∞ ∞ F k xk − F k y k < ∞ (3.13) k=0 Thật vậy, F tự nên xk+1 − y k+1 ≤ xk − y k − (2ck − 1) F k xk − F k y k ≤ xk − y k − (2ρ − 1) F k xk − F k y k 2 xk − y k khơng tăng, nên có giới hạn, ta gọi σ (3.12) thỏa mãn Để thỏa mãn bất đẳng thức (3.13) ta xét với k = 0, 1, 2, Vậy dãy x1 − y ≤ x0 − y − (2ρ − 1) F x0 − F y x2 − y 2 ≤ x1 − y − (2ρ − 1) F x1 − F y , , xk+1 − y k+1 ≤ x0 − y − (2ρ − 1) F i xi − F i y i Cộng vế với vế bất đẳng thức ta k+1 x −y k+1 k−1 ≤ x −y F i xi − F i y i − (2ρ − 1) i=0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Giả sử x ¯ phần tử thuộc S Nếu bắt đầu bước lặp với y = x¯, ta có y k = x ¯ với k Kết hợp với (3.13) ta có ∞ F k xk < ∞ (3.14) lim xk − x¯ ≡ σ (3.15) k=0 Trong theo (3.12) ta có k→∞ nên dãy xk bị chặn, có điểm tụ Giả sử x∗ giới hạn dãy xk : k ∈ κ Với x∗ ∈ S , hàm F k tự với số ck liên tục Lipchits với số ck , nên F k xk − F k (x∗ ) ≤ F k xk − F k (x∗ ) ≤ xk − x∗ , ∀k ∈ κ, ck k x − x∗ , ∀k ∈ κ.(Do ρ ≡ inf ck ) k ρ Do xk → x∗ k → +∞ nên lim F k xk − F k (x∗ ) = k→∞ Theo (3.14) ta có lim F k xk k→∞ = Từ hai giới hạn này, ta lim F k (x∗ ) = k→∞ kết hợp với (3.11) ta kết luận x∗ ∈ S , (3.15) x ¯ = x∗ xk − x∗ hội tụ đến nên xk hội tụ đến x∗ ✷ Nhận xét: Chứng minh đơn giản với giả thiết F k tự Rn nat Ta ký hiệu FC,τ = x − PC (x − τ F (x)) với τ > ánh xạ tự nat nhiên V I (C, F ) Bổ đề cho thấy FC,τ ánh xạ tự Vậy dãy Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 Bổ đề 3.2 (xem[4]) Giả sử hàm F : C → Rn với C ⊆ Rn tập lồi khác nat rỗng, F tự C với số c Nếu τ ∈ (0, 4c) FC,τ tự C với số − τ 4c Chứng minh Phép chiếu tự với số 1, với hai vectơ x, y ∈ C , ta có PC (x − τ F (x)) − PC (y − τ F (y)) , x − τ F (x) − y − τ F (y) ≥ PC (x − τ F (x)) − PC (y − τ F (y)) Từ bất đẳng thức số thao tác đơn giản, ta có: nat nat nat nat (y) (y) , x − y ≥ FC,τ (x) − FC,τ (x) − FC,τ FC,τ nat nat (y) , F (x) − F (y) (x) − FC,τ +τ F (x) − F (y) , x − y − τ FC,τ Sử dụng tính tự F , bất đẳng thức trở thành nat FC,τ (x) − nat FC,τ (y) , x −y ≥ nat FC,τ (x) − nat FC,τ (y) + τ c F (x) − F (y) nat nat (y) , F (x) − F (y) (x) − FC,τ −τ FC,τ = 1− + τ 4c ≥ 1− τ 4c nat nat (y) FC,τ (x) − FC,τ nat nat FC,τ (x) − FC,τ (y) − τ 4c nat FC,τ (x) − nat FC,τ (y) √ τ c (F (x) − F (y)) ✷ Từ hai bổ đề ta hội tụ thuật toán (PAVS) Xét định lý sau Bổ đề chứng minh Định lí 3.8 (xem[4]) Cho C ⊆ Rn tập lồi đóng F : C → Rn tự C với số c Giả sử SOL(C, F ) = ∅ Nếu < inf τk ≤ sup τk < 2c, k∈N k∈N Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 thuật tốn (PAVS) tạo dãy {xk } hội tụ tới nghiệm toán (3.1) Chứng minh Thuật tốn (PAVS) xem ứng dụng phép lặp lại với nat F k (x) = FC,τ (x) k Khi tập khơng điểm S tương đương với SOL(C, F ) Theo bổ đề 3.2 τ F k tự C với số − 4c , tập đóng chứa dãy {xk } SOL(C, F ) Tuy nhiên với x khơng phải nghiệm tốn (3.1), inf F k (x) > k∈N Áp dụng bổ đề 3.1 suy dãy {xk } hội tụ đến nghiệm toán (3.1) ✷ 3.2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường Phương pháp chiếu hội tụ F có tính tự bức, làm hạn chế phạm vi ứng dụng phương pháp Trong phương pháp đạo hàm tăng cường ta sử dụng tính giả đơn điệu để thay tính đồng Xét thuật toán Thuật toán đạo hàm tăng cường (EgA) Cho x0 ∈ C, τ > Bước 0: Cho k = Bước Tính xk+ ≡ PC xk − τ F xk Bước 2: Nếu xk+ = xk dừng, xk nghiệm Trái lại, đặt xk+1 ≡ PC xk − τ F xk+ , Cho k ← k + quay trở lại bước Ta nói hàm F : C → Rn giả đơn điệu C tập SOL(C, F ), với x∗ ∈ SOL(C, F ) ta có F (x) , x∗ − x ≥ 0, ∀x ∈ C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Để chứng minh hội tụ ta cần đến bổ đề sau Bổ đề 3.3 (xem[4]) Giả sử C ⊂ Rn tập lồi đóng F : C → Rn giả đơn điệu C SOL(C, F ) liên tục Lipchits C với số L > Cho x∗ ∈ SOL(C, F ) Khi với k ta có xk+1 − x∗ 2 ≤ xk − x∗ xk+ − xk − − τ L2 Định lý sau thiết lập hội tụ thuật toán (EgA) Định lí 3.9 (xem[4]) Cho C ⊂ Rn tập lồi đóng F : C → Rn giả đơn điệu C SOL(C, F ) liên tục Lipchits C với số L > Khi τ < 1/L dãy xk tạo thuật toán đạo hàm tăng cường hội tụ tới nghiệm toán (3.1) Chứng minh Cho x∗ phần tử SOL(C, F ) Đặt ρ ≡ − τ L2 , theo giả thiết ta có ρ ∈ (0, 1) Từ bổ đề 3.3 ta có dãy xk xk bị chặn , có điểm tụ x ¯ C Giả sử xk → x ¯ với k ∈ κ, k → +∞ Cần chứng minh x¯ ∈ SOL(C, F ) Từ bổ đề ρ ∈ (0, 1) ta có: ∞ xk − xk+ ρ 2 ≤ x0 − x∗ < +∞ k=0 Suy lim xk+ − xk = k→∞ Do x ¯ giới hạn dãy xk+ lim tức là: xk+ = x¯ k(∈K)→∞ Từ định nghĩa xk+ bước thuật toán (EgA), tính liên tục Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 hàm F PC , ta có x¯ = lim xk+ k(∈K)→∞ = lim k(∈K)→∞ PC xk − τ F xk = PC (¯ x − τ F (¯ x)) Điều chứng tỏ x ¯ ∈ SOL(C, F ) Áp dụng bổ đề 3.3 với x¯ = x∗ , ta có dãy xk − x¯ đơn điệu giảm hội tụ, vì: lim xk − x¯ = k→∞ lim xk − x¯ = k(∈K)→∞ ✷ Vậy dãy xk hội tụ x ¯ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Kết luận Luận văn nghiên cứu số phương pháp chiếu giải toán tối ưu bất đẳng thức biến phân Những vấn đề trình bày luận văn là: • Một số khái niệm tính chất giải tích lồi như: Tập lồi, hàm lồi, vi phân,các định lý tách tập lồi, đồng thời, trình bày khái niệm hình chiếu số tính chất • Chứng minh tồn tại, tính số tính chất tốn tử chiếu • Phát biểu tốn quy hoạch lồi (P ), tồn nghiệm tối ưu toán điều kiện tối ưu Sử dụng phương pháp chiếu với gradient xấp xỉ để giải toán quy hoạch lồi khơng trơn • Giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân (V IP ), toán liên quan, tồn nghiệm toán (V IP ) trình bày số thuật tốn chiếu để giải bất đẳng thức biến phân có tính đơn điệu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền (sẽ ra), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, Nxb Khoa học Tự nhiên Công nghệ, Hà Nội [2] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nxb Khoa học kỹ thuật, Hà Nội [3] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thu Thủy (2010), Giáo trình tối ưu phi tuyến, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [4] Facchinei S and Pang J (2003), Finite-Dimensional VariationalInequalities and Complementarity Problems, Springr - Verlag, NewYork [5] Konnov I V (2000), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer-Verlag, Berlin [6] Konnov I V (2007), Equilibrium Models and Variational Inequalities, Mathematics in Science and Engineering [7] Paulo Santos and Susana Scheimberg (2011), An inexact subgradient algorithm for Equilibrium Problems, Computational and Applied Mathematics, 91-107 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... tồn nghiệm Bất đẳng thức biến phân Hơn phép chiếu dùng để xây dựng phương pháp giải nhiều lớp toán quan trọng toán quy hoạch lồi, bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng... minh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 Chương Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân (VIP) 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất. .. quy hoạch lồi trình bày phương pháp chiếu gradient xấp xỉ Chương giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân trình bày số phương pháp chiếu để giải toán bất đẳng thức biến phân Số hóa Trung tâm Học liệu