Cấu trúc tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân affine

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN QUANG NGỌC CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN AFFINE Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TẠ DUY PHƢỢNG Thái Nguyên - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang Lời nói đầu 3-4 Chƣơng Bất đẳng thức biến phân §1 Bất đẳng thức biến phân toán liên quan 1.1 Bất đẳng thức biến phân 1.2 Bài toán tối ưu mục tiêu 1.2.1 Tối ưu hàm biến 1.2.2 Tối ưu hàm nhiều biến 1.3 Phương trình suy rộng 15 1.3.1 Hệ phương trình (hệ phương trình  n ) 15 1.3.2 Phương trình suy rộng 16 1.4 Bài toán bù 17 1.5 Phép chiếu 20 1.6 Điểm bất động 23 §2 Tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 24 §3 Bất đẳng thức biến phân véctơ 28 §4 Tính liên thơng tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân véctơ 33 Chƣơng Bất đẳng thức biến phân affine 36 §1 Bất đẳng thức biến phân affine 36 1.1 Bất đẳng thức biến phân affine………………………………………… 36 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine………………………… ……… 39 1.3 Bất đẳng thức biến phân véctơ affine yếu…………………….…… … 40 1.4 Bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số…………………… 40 §2 Tính bị chặn tính liên thơng tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức biến phân vectơ affine……………………… ……… 42 §3 Bài tốn tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính tốn tối ưu đa mục tiêu toàn phương lồi …… 55 3.1 Bài toán tối ưu véctơ…………………………………………………… 55 3.2 Bài toán tối ưu vectơ phân thức tuyến tính (LFVOP) 57 3.3 Bài tốn tối ưu véctơ hàm tồn phương lồi (QVOP)……………… … 68 §4 Một số ví dụ tính tập nghiệm tốn tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính 70 4.1 Thí dụ 1…………………………………………………………… … 70 4.2 Thí dụ 2………………………………………………………………… 72 4.3 Thí dụ 3………………………………………………………………… 75 4.4 Thí dụ 4………………………………………………………………… 78 4.5 Thí dụ 5………………………………………………………………… 81 4.6 Thí dụ 6………………………………………………………………… 84 4.7 Thí dụ 7………………………………………………………………… 88 Kết luận 94 Tài liệu tham khảo 95 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Bản thân bất đẳng thức biến phân đối tượng toán học nghiên cứu độc lập Hơn nữa, bất đẳng thức biến phân cịn chứa đựng có liên quan đến nhiều toán khác toán học thực tế (bài toán tối ưu, toán bù, tốn cân bằng, hệ phương trình suy rộng, ), thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Việt Nam chục năm qua Một vấn đề cần trả lời nghiên cứu bất đẳng thức biến phân vấn đề tồn nghiệm tính chất tập nghiệm (tính đóng, tính compact, tính liên thơng, tính co rút, tính ổn định tập nghiệm theo tham số, ) Một lớp toán bất đẳng thức biến phân nghiên cứu nhiều lớp toán bất đẳng thức biến phân affine Tuy lớp toán bất đẳng thức biến phân đơn giản nhất, bất đẳng thức biến phân affine lớp toán có cấu trúc đặc thù chứa số lớp toán quan trọng (tối ưu véc tơ hàm phân thức tuyến tính, tối ưu hàm tồn phương, ) Nghiên cứu bất đẳng thức biến phân affine làm sáng tỏ nhiều vấn đề bất đẳng thức biến phân tổng quát Luận văn cố gắng trình bày số khái niệm kết liên quan đến tồn tính chất tập nghiệm bất đẳng thức biến phân, đặc biệt bất đẳng thức biến phân affine Luận văn gồm hai Chương Mục Chương trình bày tốn bất đẳng thức biến phân toán liên quan Mục Chương trình bày tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Mục Chương trình bày tốn bất đẳng thức biến phân véctơ Mục Chương 1trình bày tính liên thơng tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân véctơ Chương trình bày hai lớp bất đẳng thức biến phân affine cụ thể Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục Trình bày định nghĩa số định lý toán bất đẳng thức biến phân affine,véctơ affine,véctơ affine yếu bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số Mục Nói tính bị chặn liên thông tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức biến phân véctơ affine Mục Trình bày tốn tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính tốn tối ưu đa mục tiêu tồn phương lồi Mục Tính tốn số thí dụ cho tốn tối ưu đa mục tiêu phân thức tuyến tính cách đưa toán bất đẳng thức biến phân affine Các thí dụ [8] , [11] [16] tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine tính tốn chi tiết trình bày tường minh Một số thí dụ trước tính tốn dựa theo điều kiện cần đủ tối ưu (tiêu chuẩn Malivert) toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức tuyến tính Ở chúng tơi trình bày tính tốn theo điều kiện cần đủ để điểm nghiệm toán bất đẳng thức biến phân affine Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, hướng dẫn PGS.TS Tạ Duy Phượng- Viện Toán học Thơng qua luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn tới Thầy hướng dẫn, người tận tình bảo giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn Khoa sau đại học, Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, tập thể lớp Cao học Toán K2, bạn bè, đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ q trình tơi thực luận văn Và cuối cùng, xin cảm ơn Gia đình, vợ giúp đỡ, động viên khích lệ tơi nhiều thời gian nghiên cứu học tập Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn CHƢƠNG I BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN §1 BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 1.1 Bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 1.1 Cho F :  n   n ánh xạ từ  n vào  n K tập  n Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality, viết tắt VI) phát biểu sau Tìm x  K cho F  x  , x  x  0, x  K (1.1) Bất đẳng thức (1.1) thường viết dạng F  x  T  x  x   0, x  K , (1.1’) a, b kí hiệu tích vơ hướng hai véctơ a b không gian  n , AT xT chuyển vị ma trận A véctơ x Ta qui uớc véctơ x   n véctơ cột Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định ánh xạ F tập K , vậy, cần làm rõ, ta kí hiệu tốn bất đẳng thức biến phân VI  F , K  Các điểm x  K thỏa mãn (1.1) gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) hay điểm dừng ánh xạ F Tập tất điểm x  K thỏa mãn (1.1) gọi tập nghiệm bất đẳng thức biến phân (1.1) Tập tất nghiệm bất đẳng thức biến phân kí hiệu Sol  VI  Sol  VI  F , K       Kí hiệu  n  x   n ; x  Khi  n  x   n ; x  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn   Vậy bất đẳng thức F x , x  x  0, x  K viết dạng F ( x ), x  x    \ 0 Ngôn ngữ bất đẳng thức biến phân thuận tiện, thống nhiều tốn, thí dụ, tốn tối ưu, tốn cân bằng, phương trình suy rộng… Dưới xét mối liên quan toán bất đẳng thức biến phân toán khác 1.2 Bài toán tối ƣu mục tiêu 1.2.1 Tối ƣu hàm biến Trước tiên ta xét hàm biến nhận giá trị  Cho f :  a; b   hàm số khả vi  a; b, nghĩa tồn đạo hàm điểm�   4  x1   3     Vậy  x  ( x1 , x2 ) : 2  x2   , x1  x2  nghiệm  AVI  ,    Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 91   1  x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2   2  Trƣờng hợp  x  ( x1 , x2 ) : Có nghiệm tương tự trường hợp   1  x1  x2  0,  x1  x2  0,  x2   2  Trƣờng hợp  x  (0, x2 ) : 3  1 hệ vô nghiệm    x     Từ (6) suy 1  2  4  Do (5)     Do  x  (0, x2 ) : 1  x1  x2  0,  x1  x2  0,  x2   không nghiệm 2  toán  AVI  ,      Trƣờng hợp  x  ( x1 ,0) : 1  x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1   2   x1   Theo giả thiết với x2  ta có hệ  x1  vô nghiệm x     Trƣờng hợp  x  ( x1 , x2 ) :    x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2   2  Có nghiệm tương tự trường hợp   Trƣờng hợp  x  ( x1 , x2 ) :    x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2   2     x  ( x1 , x2 ) : x2  0, x1  0, x2    Trƣờng hợp  x  ( x1 , x2 ) : hệ vô nghiệm    x1  x2  0,  x1  x2  0,  x1  0,  x2   2     x  ( x1 ,0) : x1  0, x1  vô nghiệm Trƣờng hợp x  (0,0)  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 92 1  1  2  3  (3)  23  4  2   vô lý Từ (5)   2 1  2  4  Vậy x  (0,0) khơng nghiệm tốn  AVI  ,    Kết luận:     1  ;  x  (2; x2 ) : 1  x2  0,   x1  x2 Sol  AVI     x  ( x1 ; x2 ) :  ,       x      2  Sol  AVVI   x  (2; x2 ) : 1  x2    x  ( x1 ; x2 ) : x1  x2 , 2  x2    3      Sol  AVVI    Sol  AVI   x  (2; x2 ) : 1  x2   w  2    x  ( x1 ; x2 ) : x1  x2 , 2  x2    3  Các tập nghiệm Sol  AVVI  , Sol  AVVI  khác rỗng, bị chặn liên thơng w Nhận xét Trong thí dụ 2.1 thí dụ ta giữ nguyên hai ma trận ta thay đổi kiện toán tơi thấy thí dụ khơng thoả mãn định lý 2.2 định lý 2.3 tập nghiệm chúng khác trống liên thông không bị chặn Điều chứng tỏ định lý 2.2 định lý 2.3 điều kiện cần Nhận xét Trong thí dụ thí dụ ta nhiễu thơng số tập nghiệm thí dụ tập bị chặn liên thông tập nghiệm yếu tập compắc liên thông, kết thí dụ bị chặn khơng liên thơng Điều chưng tỏ định lý 2.4 định lý 2.5 điều kiện cần Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 93 KẾT LUẬN Trong luận văn cố gắng trình bày số vấn đề cấu trúc tập nghiệm (chủ yếu tính liên thơng) tốn bất đẳng thức biến phân bất đẳng thức biến phân affine theo tài liệu [10] [16] Một số ví dụ tính tốn dựa điều kiện cần đủ tối ưu nhằm minh họa vai trò Định lí 2.1 § Chương Mặc dù cấu trúc tính liên thơng tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức biến phân affine quan tâm, nhiều câu hỏi mở hai lớp toán: lớp tốn tối ưu phân thức tuyến tính lớp tốn tối ưu hàm tồn phương lồi Một số câu hỏi trình thực luận văn đặt Câu hỏi 1: Tập nghiệm Sol  AVVI(.,K )  có phải nửa liên tục Sol w  AVVI(,K )  bị chặn khác rỗng hay không? Câu hỏi 2: Nếu Sol  VVI  bị chặn có suy liên thơng khơng? Tương tự với Sol  AVVI  ? Câu hỏi 3: Tập nghiệm Sol .,VP1  có khác rỗng nửa liên tục  Sol w  ,VP1  bị chặn khác rỗng hay không?( liên quan đến định lý 2.9 chương 2) Câu hỏi 4: Nếu Sol w  ,VP2  bị chặn, có liên thơng hay khơng? Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 94 ... định tập nghiệm theo tham số, ) Một lớp toán bất đẳng thức biến phân nghiên cứu nhiều lớp toán bất đẳng thức biến phân affine Tuy lớp toán bất đẳng thức biến phân đơn giản nhất, bất đẳng thức biến. .. lý toán bất đẳng thức biến phân affine, véctơ affine, véctơ affine yếu bất đẳng thức biến phân affine phụ thuộc tham số Mục Nói tính bị chặn liên thông tập nghiệm tập nghiệm yếu toán bất đẳng thức. .. 20 1.6 Điểm bất động 23 §2 Tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 24 §3 Bất đẳng thức biến phân véctơ 28 §4 Tính liên thơng tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân véctơ