Khung gabor

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ KHUNG GABOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - Năm 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ KHUNG GABOR Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN QUỲNH NGA Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục LỜI CẢM ƠN MỞ ĐẦU Các khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến đổi Fourier 1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn 1.3 Khung không gian Hilbert 1.4 Định lý Balian-Low 13 Khung Gabor L2 (R) 16 2.1 Khung Gabor 16 2.2 Điều kiện cần 21 2.3 Điều kiện đủ 23 2.4 Không gian Wiener 32 2.5 Các hệ dời chỗ bất biến tổng quát 36 2.6 Các biểu diễn toán tử khung Gabor 44 2.7 Các đối ngẫu khung Gabor 49 2.8 Biến đổi Zak 57 2.9 Khung Gabor chặt 61 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc TS Nguyễn Quỳnh Nga Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến giáo Tơi xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, người đem hết tâm huyết nhiệt tình để giảng dạy trang bị cho nhiều kiến thức sở Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hải Phịng nơi tơi cơng tác giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học q trình làm luận văn Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, người động viên chia sẻ, giúp tơi q trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012 Tác giả Vũ Thị Thu Hà 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nghiên cứu không gian véctơ, khái niệm quan trọng khái niệm sở, nhờ véctơ khơng gian viết tổ hợp tuyến tính phần tử sở Tuy nhiên, điều kiện để trở thành sở chặt: khơng có phụ thuộc tuyến tính phần tử sở Điều làm cho khó tìm chí khơng tìm sở thỏa mãn số điều kiện bổ sung Đây lý để tìm cơng cụ khác linh hoạt khung cơng cụ Khung cho không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn phần tử không gian tổ hợp tuyến tính phần tử khung khơng địi hỏi tính độc lập tuyến tính phần tử khung Khung giới thiệu vào năm 1952 Duffin Schaeffer [3] nghiên cứu chuỗi Fourier khơng điều hịa Cộng đồng tốn học không nhận tầm quan trọng khái niệm này, phải gần 30 năm trước cơng trình xuất Vào năm 1980, Young viết sách có kết khung, lại ngữ cảnh chuỗi Fourier khơng điều hịa Năm 1986, báo Daubechies, Grossmann Meyer [2] đời, lý thuyết khung bắt đầu quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén liệu [4] Lý thuyết toán học giải tích Gabor L2 (R) dựa hai lớp tốn tử L2 (R) là: 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Phép tịnh tiến với a ∈ R, Ta : L2 (R) → L2 (R) , (Ta f ) (x) = f (x − a) , Phép biến điệu với b ∈ R, Eb : L2 (R) → L2 (R) , (Eb f ) (x) = e2πibx f (x) Giải tích Gabor nhằm biểu diễn hàm f ∈ L2 (R) chồng chất tịnh tiến biến điệu hàm cố định g ∈ L2 (R) Bài báo năm 1986 Daubechies, Grossmann Meyer lần kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung Các tác giả xây dựng khung L2 (R) có dạng {Emb Tna g}m,n∈Z Từ sau báo có nhiều cơng trình nghiên cứu đời Với mong muốn hiểu biết nhiều lý thuyết khung nói chung khung Gabor nói riêng, định chọn " Khung Gabor " làm đề tài luận văn cao học 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các khái niệm kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến đổi Fourier Cho f ∈ L1 (R), biến đổi Fourier fˆ định nghĩa ∞ fˆ (γ) := f (x) e−2πixγ dx, γ ∈ R −∞ Ta thường ký hiệu biến đổi Fourier f Ff Nếu L1 ∩ L2 (R) trang bị chuẩn L2 (R), biến đổi Fourier phép đẳng cự từ L1 ∩ L2 (R) đến L2 (R) Nếu f ∈ L2 (R) {fk }∞ k=1 dãy hàm L1 ∩ L2 (R) hội tụ đến f không ∞ gian L2 , dãy fˆk hội tụ L2 (R), với giới hạn độc k=1 lập với lựa chọn {fk }∞ k=1 Định nghĩa fˆ := lim fˆk k→∞ Ta mở rộng biến đổi Fourier thành ánh xạ unita từ L2 (R) lên L2 (R) Ta dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng Đặc biệt ta có đẳng thức Plancherel fˆ, gˆ = f, g , ∀f, g ∈ L2 (R) , fˆ = f (1.1) Nếu f ∈ L1 (R), fˆ liên tục Nếu hàm f fˆ thuộc vào L1 (R), công thức nghịch đảo mơ tả cách có hàm f từ giá trị fˆ (γ) : 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lý 1.1.1: Giả sử f, fˆ ∈ L1 (R), ∞ fˆ (γ) e2πixγ dγ, hầu khắp x ∈ R f (x) = (1.2) −∞ Công thức điểm (1.2) với điểm Lebesgue f 1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Ta bắt đầu cách đưa động thúc đẩy xuất phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Cho tín hiệu f (x) , biến số x thường giải thích thời gian, biến đổi Fourier fˆ (γ) cung cấp thông tin độ dao động với tần số γ Trong thực tế xuất vấn đề thông tin thời gian bị biến đổi Fourier, nghĩa là, khơng có thơng tin tần số xuất thời gian Một cách để vượt qua khó khăn “xem xét tín hiệu khoảng thời gian ngắn lấy biến đổi Fourier đây” Phát biểu có nghĩa tốn học ta nhân tín hiệu f với hàm cửa sổ g, số khoảng bé, giảm nhanh, trơn khoảng nhỏ này; cách lấy biến đổi Fourier tích số này, ta có ý tưởng tần số f khoảng thời gian nhỏ Để có thơng tin f toàn trục thời gian ta lặp trình với phép tịnh tiến hàm cửa sổ Thảo luận dẫn đến định nghĩa biến đổi Fourier thời gian ngắn, gọi biến đổi Gabor liên tục Định nghĩa 1.2.1 ([1], [4]) Cố định hàm g ∈ L2 (R) \ {0} Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn hàm f ∈ L2 (R) tương ứng với hàm cửa sổ g tính cách lấy ∞ f (x) g (x − y)e−2πixγ dx, y, γ ∈ R Ψg (f ) (y, γ) = −∞ Chú ý viết theo toán tử biến điệu tốn tử tịnh tiến 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ψg (f ) (y, γ) = f, Eγ Ty g Biến đổi Fourier thời gian ngắn chìa khố để có phép biểu diễn kiểu : ∞ ∞ cf (a, b) e2πibx g (x − a) dbda f (x) = −∞ −∞ 1.3 Khung không gian Hilbert Đặc trưng chủ yếu sở khơng gian Hilbert H f ∈ H biểu diễn tổ hợp tuyến tính (vô hạn) phần tử fk sở: ∞ ck (f )fk f= (1.3) k=1 Hệ số ck (f ) Bây giới thiệu khái niệm khung [1] Khung dãy phần tử {fk }∞ k=1 H, mà cho phép f ∈ H viết công thức (1.3) Tuy nhiên, hệ số tương ứng không thiết Vì khung khơng phải sở Sự xuất khung ví dụ phát triển toán học Khung giới thiệu vào năm 1952 Duffin Schaeffer báo quan trọng họ [3]; họ sử dụng khung công cụ việc nghiên cứu chuỗi Fourier khơng điều hịa, tức là, chuỗi thiết lập từ eiλn x n∈Z , {λn }n∈Z họ số thực số phức Rõ ràng là, cộng đồng tốn học khơng nhận tầm quan trọng khái niệm này; phải gần 30 năm trước cơng trình xuất Vào năm 1980, Young viết sách có kết khung Khung giới thiệu cách trừu tượng, lại sử dụng ngữ cảnh chuỗi Fourier khơng điều hịa Sau vào năm 1986 bắt đầu kỷ nguyên sóng nhỏ, Daubechies, Grossmann, Meyer [2] quan sát thấy khung 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn sử dụng để tìm khai triển chuỗi hàm L2 (R) tương tự việc khai triển sử dụng sở trực chuẩn Đây thời điểm nhiều nhà toán học bắt đầu nhận thấy tiềm khung Điều trở nên rõ ràng qua báo quan trọng Daubechies, sách bà báo trình bày tổng quan nghiên cứu Heil Walnut [5] Kể từ đó, số lượng báo liên quan tới khung gia tăng đáng kể Định nghĩa 1.3.1 Một dãy {fk }∞ k=1 phần tử H khung cho H tồn số A, B > cho: ∞ A f | f, fk |2 B f , ∀f ∈ H (1.4) k=1 Các số A, B cận khung Chúng Cận khung tối ưu cận tất cận khung trên, cận khung tối ưu cận trên tất cận khung dưới, lưu ý cận tối ưu cận khung Chúng ta tập trung vào vài định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3.2 (i) Một khung chặt chọn A = B cận khung (ii) Nếu khung khơng cịn khung phần tử tùy ý bị lấy gọi khung Khi nói cận khung cho khung chặt điều có nghĩa giá trị A vừa cận vừa cận Lưu ý điều khác với thuật ngữ khung tổng quát, ví dụ, cận số thỏa mãn điều kiện Bessel Trong trường hợp không gian Hilbert H hữu hạn chiều dãy m {fk }m k=1 khung cho H span {fk }k=1 = H Thật vậy, giả sử {fk }m k=1 khung cho H, tức tồn số A, B > cho: 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Fh, FEk/a T−n/b g b = h, Ek/a T−n/b g b Mệnh đề 2.7.6 Cho {Emb Tna g}m,n∈Z khung với tốn tử khung S = Khi S −1 g nghiệm có chuẩn cực tiểu cho tốn mơmen h, Em/a Tn/b g = δm,0 δn,0 ab Ký hiệu S˜ toán tử khung cho Em/a Tn/b g (2.46) m,n∈Z , ta có S −1 g = abS˜−1 g Chứng minh: Theo định lý 2.6.6 ta có Em/a Tn/b g m,n∈Z nghĩa là, sở Riesz cho H := span Em/a Tn/b g Khi đó, tốn m,n∈Z dãy Riesz, mơmen (2.46) có nghiệm thuộc H Nghiệm S −1 g : thật vậy, S −1 g nghiệm theo định lý 2.7.5, S −1 g ∈ H theo hệ 2.6.4 Mặt khác, ký hiệu S˜ toán tử khung cho Em/a Tn/b g m,n∈Z , ta có δm,0 δn,0 S˜−1 Em/a Tn/b g = abS˜−1 g S −1 g = ab (2.47) m,n∈Z Toàn nghiệm khác (2.46) đạt cách thêm phần tử f ∈ H⊥ vào nghiệm H Do đó, lựa chọn đặc biệt (2.47) làm cực tiểu chuẩn số tồn nghiệm (2.46) Ta biểu thị phương trình (2.44) qua phương trình tốn tử Giả sử H : L2 (R) → Z2 , Hf = f, Em/a Tn/b g m,n∈Z (2.48) Chú ý H liên hợp toán tử tổng hợp liên kết với hệ Gabor Em/a Tn/b g m,n∈Z Thông qua H , (2.44) tương đương với Hh = ab{δm,0 δn,0 }m,n∈Z (2.49) Hệ 2.7.7 Cho g ∈ L2 (R) a, b > 0, giả sử {Emb Tna g}m,n∈Z khung Khi S −1 g = abH ∗ (HH ∗ )−1 {δm,0 δn,0 }m,n∈Z 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.50) http://www.lrc-tnu.edu.vn 54 Chứng minh: Ta lại sử dụng Em/a Tn/b g m,n∈Z dãy Riesz Khi tốn tử H (2.48) tồn ánh Do đó, nghiệm có chuẩn cực tiểu (2.49) biểu thị qua giả - nghịch đảo H ta có (2.50) Phương trình (2.50) biết đến biểu diễn Janssen hàm tạo đối ngẫu tắc {Emb Tna g}m,n∈Z Ta đạt biểu thức cụ thể cho S −1 g Đầu tiên ta ý với dãy {cm,n }m,n∈Z ∈ Z2 ,     ∗ HH {cm,n }m,n∈Z = cm ,n Em /a Tn /b , Em/a Tn/b g   m ,n ∈Z m,n∈Z Giả sử {em,n }m,n∈Z sở tắc 2 Z2 ; tức là, em,n dãy Z2 cho em,n = {δm,m δn,n }m ,n ∈Z Bây ta đánh lại số {em,n }m,n∈Z {ek }∞ k=1 cách tuỳ ý cho e1 tương ứng với e0,0 ; ký hiệu dãy đánh số lại tương ứng Em/a Tn/b g m,n∈Z ∗ {gk }∞ k=1 Khi ta biểu diễn HH qua ma trận {ek }∞ k=1 , nghĩa là, ma trận vô hạn mà phần tử thứ jk HH ∗ ek , ej , (2.50) có dạng : ∞ (HH ∗ )−1 j,1 gj −1 S g = ab (2.51) j=1 Nếu ej = em,n ek = em ,n , HH ∗ ek , ej = Em /a Tn /b g, Em/a Tn/b g ma trận Gram cho Em/a Tn/b g m,n∈Z Ta viết ngắn lại (HH ∗ )m,n,m ,n = Em /a Tn /b g, Em/a Tn/b g , m, n, m , n ∈ Z (2.52) Với ký hiệu (HH ∗ )−1 S −1 g = ab m,n∈Z 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên m,n,0,0 Em/a Tn/b g (2.53) http://www.lrc-tnu.edu.vn 55 Vì mục đích thực hành, khơng quan trọng mô tả đối ngẫu khung {Emb Tna g}m,n∈Z mà ta cần biết cách tìm chúng Cách xây dựng để tìm vài đối ngẫu có cấu trúc Gabor cho Li sau: Mệnh đề 2.7.8 Cho g ∈ L2 (R) a, b > 0, giả sử {Emb Tna g}m,n∈Z khung L2 (R) Khi đó, với f ∈ L2 (R) theo {Emb Tna f }m,n∈Z dãy Bessel, hàm h = S −1 g + f − S −1 g, Emb Tna g Emb Tna f m,n∈Z tạo khung đối ngẫu {Emb Tna h}m,n∈Z {Emb Tna g}m,n∈Z Chứng minh: Nếu {Emb Tna f }m,n∈Z dãy Bessel, {Emb Tna g}m,n∈Z có đối ngẫu {km,n }m,n∈Z cho S −1 Emb Tna g, Em b Tn a g Em b Tn a f km,n = S −1 Emb Tna g + Emb Tna f − m ,n ∈Z Emb Tna S −1 g, Em b Tn a g Em b Tn a f = Emb Tna S −1 g + f − m ,n ∈Z Tương tự chứng minh bổ đề 2.7.1 ta thấy Emb Tna S −1 g, Em b Tn a g Em b Tn a f m ,n ∈Z S −1 g, Em b Tn a g Em b Tn a f = Emb Tna m ,n ∈Z Do   S −1 g, Em b Tn a g Em b Tn a f  km,n = Emb Tna S −1 g + f − m ,n ∈Z Ta nói hàm f ∈ L2 (R) tạo dãy Bessel {Emb Tna f }m,n∈Z cho tham số hoá lớp khung đối ngẫu {Emb Tna g}m,n∈Z giữ cấu trúc Gabor Chứng minh định lý 2.2.1: Giả sử {Emb Tna g}m,n∈Z khung Gabor 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 56 L2 (R) Đầu tiên, ta sử dụng bổ đề 2.3.3 cho khung Emb Tna S −1/2 g m,n∈Z Với hàm f bị chặn đo tuỳ ý với giá khoảng độ dài 1/b ta ∞ |f (x)|2 dx = f, Emb Tna S −1/2 g m,n∈Z −∞ ∞ = b |f (x)|2 S −1/2 g (x − na) dx ; n∈Z −∞ S −1/2 g (x − na) = b với hầu khắp x ∈ R Do Từ đây, n∈Z ∞ S −1/2 g 2 S −1/2 g (x) dx = −∞ a S −1/2 g (x − na) dx = = n∈Z ab Để chứng minh phần đầu định lý 2.2.1 ta phải chứng minh ab với khung {Emb Tna g}m,n∈Z cho tùy ý Bây giờ, từ Emb Tna S −1/2 g khung chặt với cận khung 1, suy S hợp với S −1/2 g = ab ta ab −1 g m,n∈Z Kết mong muốn Để chứng minh phần hai ta phải chứng minh khung {Emb Tna g}m,n∈Z sở Riesz ab = Đầu tiên, giả sử {Emb Tna g}m,n∈Z sở Riesz Khi Emb Tna S −1/2 g sở Riesz có cận khung m,n∈Z −1/2 A = B = 1; điều hàm ý S đẳng thức S −1/2 g g = Do ta chứng minh = ab, ta có = ab mong muốn Ngược lại, ta giả sử ab = Khi S −1/2 g = ab = 1, 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 57 Emb Tna S −1/2 g Emb Tna S −1/2 g m,n∈Z = với m, n ∈ Z Ta kết luận sở trực chuẩn H, {Emb Tna g}m,n∈Z = S −1/2 Emb Tna S −1/2 g m,n∈Z sở Riesz 2.8 Biến đổi Zak Biến đổi Zak cơng cụ hữu ích để phân tích hệ Gabor {Emb Tna g}m,n∈Z trường hợp ab ∈ Q Ta tham khảo phép biến đổi Zak tài liệu tham khảo [1], [7] Cho tham số cố định λ > ta định nghĩa cách hình thức biến đổi Zak Zλ f f ∈ L2 (R) hàm hai biến thực: (Zλ f ) (t, v) = λ1/2 f (λ (t − k))e2πikv , t, v ∈ R (2.54) k∈Z Trong trường hợp λ = ta viết đơn giản f (t − k)e2πikv , t, v ∈ R (Zf ) (t, v) = (2.55) k∈Z Cho hàm f ∈ Cc (R) biến đổi Zak định nghĩa theo điểm, với hàm tổng quát L2 (R) ta phải xác cách giải thích định nghĩa Giả sử Q := [0, 1) × [0, 1) ta chứng minh chuỗi định nghĩa Zλ f thực hội tụ L2 (Q) với f ∈ L2 (R) Bổ đề 2.8.1 Với λ > cho trước, biến đổi Zak Zλ ánh xạ unita từ L2 (R) lên L2 (Q) Chứng minh: Đầu tiên ta xét trường hợp λ = Giả sử f ∈ L2 (R) cho trước Để chứng tỏ Zf định nghĩa tốt hàm L2 (Q), ta xét hàm Fk (t, v) := f (t − k) e2πikv , k ∈ Z 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 58 Các hàm thuộc L2 (Q) Ký hiệu chuẩn chúng Fk L2 (Q) , ta ý Fk L2 (Q) |Fk (t, v)|2 dvdt = k∈Z k∈Z |f (t − k)|2 dt = k∈Z = f Ngoài ra, với j = k , Fk , Fj L2 (Q)  e2πi(k−j)v dv  dt = (2.56) f (t − k)f (t − j)  =  Fk hội tụ L2 (Q) Kết hợp kết đạt cho thấy k∈Z Fk k∈Z Fk = L2 (Q) L2 (Q) = f k∈Z Do Z phép đẳng cự từ L2 (R) vào L2 (Q) Phần lại chứng minh ta sử dụng sở Gabor Em Tn χ[0,1] L2 (R) Bằng tính m,n∈Z tốn trực tiếp với (t, v) ∈ Q, e2πim(t−k) χ[0,1] (t − n − k) e2πikv ZEm Tn χ[0,1] (t, v) = k∈Z χ[0,1] (t − k) e2πikv = e2πimt e−2πinv k∈Z = e2πimt e−2πinv (2.57) Nghĩa là, biến đổi Zak ánh xạ sở trực chuẩn Em Tn χ[0,1] L2 (R) lên sở trực chuẩn e−2πinv e2πimt 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên m,n∈Z m,n∈Z trong L2 (Q) Ta suy http://www.lrc-tnu.edu.vn 59 Z unita Trong trường hợp tổng quát ta ý theo toán tử giãn nở unita x Dλ−1 định nghĩa Da : L2 (R) → L2 (R) , (Da f ) (x) = f a |a| với a = 0, ta Zλ f = Z (Dλ−1 f ) hợp thành toán tử unita, thân Zλ unita Biến đổi Zak định nghĩa tốt hầu khắp Q Từ biểu thức (2.54), Zλ f (t, v) chí định nghĩa hầu khắp R2 có tính tựa tuần hồn bổ đề 2.8.2 (i) Ta thu thập số tính chất khác biến đổi Zak: Bổ đề 2.8.2 Xét biến đổi Zak Zλ , λ > 0, f ∈ L2 (R) Khi đó: (i) Zλ f (t + 1, v) = e2πiv Zλ f (t, v) , Zλ f (1, v + 1) = Zλ f (t, v) (ii) Nếu f liên tục với số C > 0, |f (x)| C , ∀x ∈ R, + |x|2 Zλ f liên tục R2 (iii) Nếu Zλ f liên tục R2 tồn (t, v) ∈ R2 cho Zλ f (t, v) = Chú ý tính tựa tuần hồn (i) thường dẫn đến bước nhảy gián đoạn dịng t = k, k ∈ Z: chí Zλ f liên tục Q khơng liên tục R2 Ví dụ, lấy hàm f mà biến đổi Zak Q: trường hợp Zλ f liên tục Q không liên tục R2 Nếu g ∈ R2 ab = 1, tính tốn (2.57) chứng tỏ Za Emb Tna g = e2πimt e−2πinv Za g Họ e2πimt e−2πinv ký hiệu E(m,n) m,n∈Z m,n∈Z (2.58) sở trực chuẩn L2 (Q), mà ta Đẳng thức (2.58) chứng tỏ {Emb Tna g}m,n∈Z 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 đầy đủ L2 (R) (lần lượt, sở trực chuẩn L2 (R) sở Riesz) E(m,n) Za g m,n∈Z có tính chất tương tự L2 (Q) Nhận xét dùng định lý sau, biểu thị tính chất hệ Gabor {Emb Tna g}m,n∈Z với ab = qua biến đổi Zak Za g Nhớ lại định lý 2.2.1 hệ Gabor với ab = khung sở Riesz Mệnh đề 2.8.3 Giả sử g ∈ L2 (R) a, b > với ab = cho trước Khi ta có: (i) {Emb Tna g}m,n∈Z đầy đủ L2 (R) Za g = , hầu khắp (ii) {Emb Tna g}m,n∈Z dãy Bessel với cận khung B |Za g|2 B , hầu khắp (iii) {Emb Tna g}m,n∈Z sở Riesz L2 (R) với cận khung A, B A |Za g|2 B , hầu khắp (iv) {Emb Tna g}m,n∈Z sở trực chuẩn L2 (R) |Za g|2 = , hầu khắp Chứng minh: Để chứng minh (i), xét không gian V ⊂ L2 (R) cho V = f ∈ L2 (R) : Za bị chặn Các hàm bị chặn trù mật L2 (Q), V trù mật L2 (R) theo bổ đề 2.8.1 Bây ta giả sử f ∈ V Khi f, Emb Tna g L2 (R) = Za f, E(m,n) Za g L2 (Q) = Za f Za g, E(m,n) L2 (Q) (2.59) Thứ giả sử Za g = hầu khắp Nếu f = 0, Za f Za g hàm không, tồn (m, n) ∈ Z2 cho Za f Za g, E(m,n) 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên L2 (Q) =0 http://www.lrc-tnu.edu.vn 61 Do (2.59) chứng tỏ {Emb Tna g}m,n∈Z đầy đủ Để chứng minh điều ngược lại, giả sử Za g = tập đo ∆ ⊆ Q với độ đo dương Giả sử Q\∆ = φ Bằng cách chọn f ∈ L2 (R) cho Za f = χQ\∆ kéo theo f, Emb Tna g = với m, n ∈ Z, {Emb Tna g}m,n∈Z khơng đầy đủ L2 (R) Phần cịn lại chứng minh ta ý với F ∈ L2 (Q) ta có F Za g ∈ L1 (Q) Từ E(m,n) m,n sở trực chuẩn L2 (Q) , 2 F, E(m,n) Za g L2 (Q) = m,n∈Z F Za g E(m,n) m,n∈Z Q F Za g = (2.60) Q Ta có F Za g B F L2(Q) , ∀F ∈ L2(Q) ⇔ |Za g|2 B, hầu khắp (2.61) Q Bổ đề 2.8.2 mệnh đề 2.8.3 đặt hạn chế hàm g theo {Emb Tna g}m,n∈Z sở Riesz với ab = Ví dụ, hàm Gauss g (x) = e−x /2 có biến đổi Zak liên tục với không điểm, theo mệnh đề 2.8.3 suy {Emb Tna g}m,n∈Z sở Riesz 2.9 Khung Gabor chặt Trong ứng dụng khung thật bất tiện việc phân tích khung, địi hỏi lấy nghịch đảo toán tử khung Một cách để tránh vấn đề xem xét khung chặt May mắn khung Gabor chặt tồn đặc trưng: ta thấy đặc trưng định lý 2.5.2, trình bày đặc trưng khác định lý 2.9.2 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 62 Bổ đề 2.9.1 Cho g, h ∈ L2 (R) a, b > Cố định n ∈ Z Khi (i) h trực giao với Emb Tna g với m = tồn số C cho h (x − k/b) g (x − k/b − na) = C, hầu khắp k∈Z (ii) h trực giao với Emb Tna g với m ∈ Z h (x − k/b) g (x − k/b − na) = hầu khắp k∈Z Chứng minh: Bổ đề 2.3.2 chứng tỏ với m, n ∈ Z bất kỳ, 1/b h (x − k/b) g (x − k/b − na)e−2πimbx dx h, Emb Tna g = b1/2 e2πimb Từ m∈Z k∈Z sở trực chuẩn L2 (0, 1/b) kéo theo với n ∈ Z cho trước, h, Emb Tna g = 0, ∀m ∈ Z ⇔ h (x − k/b) g (x − k/b − na) = 0, hầu khắp x ∈ [0, 1/b] k∈Z Từ x → h (x − k/b) g (x − k/b − na) tuần hoàn với chu kỳ 1/b k∈Z chứng minh (ii) Phát biểu (i) suy tương tự từ biểu thức cho h, Emb Tna g Bây ta phát biểu điều kiện tương đương để {Emb Tna g}m,n∈Z khung chặt Sự tương đương (i) ⇔ (ii) kéo theo từ đặc trưng định lý 2.5.2 hệ dời chỗ bất biến tổng quát tạo khung chặt ta chứng minh trực tiếp Định lý 2.9.2 Cho g ∈ L2 (R) a, b > Các mệnh đề sau tương đương: 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 63 (i) {Emb Tna g}m,n∈Z khung chặt L2 (R) với cận khung A = (ii) Ta có: |g (x − na)|2 = b, hầu khắp (a) G (x) := n∈Z g (x − na) g (x − na − k/b) = 0, hầu khắp với (b) Gk (x) := n∈Z k = (iii) g⊥Em/a Tn/b g với (m, n) = (0, 0), g (iv) Em/a Tn/b g m,n∈Z dãy trực giao g 2 = ab = ab Hơn nữa, (i) –(iv) đúng, {Emb Tna g}m,n∈Z sở trực chuẩn L2 (R) g = Chứng minh: (i) ⇒ (ii): Giả sử {Emb Tna g}m,n∈Z khung chặt L2 (R) với cận khung A = Với hàm f ∈ L2 (R) có giá khoảng có độ dài nhiều 1/b ta có f (x)f (x − k/b) = với x ∈ R k ∈ Z\ {0} Qua bổ đề 2.3.3, ∞ | f, Emb Tna g |2 |f (x)|2 dx = m,n∈Z −∞ ∞ = b |f (x)|2 |g (x − na)|2 dx n∈Z −∞ ∞ = b |f (x)|2 G (x) dx −∞ Từ đẳng thức với f ∈ L2 (I), với khoảng I có độ dài nhiều 1/b, kéo theo G (x) = b với hầu khắp x ∈ R Do ∞ | f, Emb Tna g |2 = b m,n∈Z |f (x)|2 G (x) dx −∞ với hàm f ∈ L2 (R) Sử dụng lại bổ đề 2.3.3, ta có với hàm có giá 66Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 64 compact bị chặn f ∈ L2 (R) ∞ b g (x − na)g (x − na − k/b)dx = f (x)f (x − k/b) n∈Z k=0−∞ Thay đổi biến số cho thấy đóng góp tổng tăng từ giá trị k số liên hợp phức đóng góp từ giá trị −k Do  ∞  ∞ f (x)f (x − k/b) Re  k=1 g (x − na)g (x − na − k/b)dx = n∈Z −∞ (2.62) Bây cố định k0 giả sử I khoảng R có độ dài nhiều 1/b Định nghĩa hàm f ∈ L2 (R) bởi: f (x) = e−i arg Gk0 (x) , với x ∈ I , f (x − k0 /b) = với x ∈ I f (x) = khác Khi đó, theo (2.62),  ∞ 0= ∞ Re  k=1  n∈Z −∞  g (x − na)g (x − na − k/b)dx f (x)f (x − k/b) ∞ = Re   f (x)f (x − k0 /b) Gk0 (x)dx −∞ |Gk0 (x)| dx = I Từ kéo theo Gk0 (x) = hầu khắp I Từ I khoảng tùy ý có độ dài nhiều 1/b, ta có Gk0 = Tính toán trực tiếp chứng tỏ G−k0 (x) = Gk0 (x + k0 /b) = 0, ta chứng minh phát biểu (b) (ii) với k = (ii) ⇒ (i): Các giả thiết (ii) suy rằng, áp dụng lại bổ đề 2.3.3, 67Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 65 với hàm bị chặn, giá compact f ∈ L2 (R), ∞ | f, Emb Tna g |2 m,n∈Z = b |g (x − na)|2 dx |f (x)|2 n∈Z −∞ f = Vì hàm bị chặn có giá compact trù mật L2 (R), ta có (i) , (ii) ⇒ (iii): Theo bổ đề 2.9.1(ii), phát biểu (b) (i) tương đương với g⊥Em/a Tn/b g với m ∈ Z, n = Áp dụng bổ đề 2.9.1 (i) với n = 0, hàm G số g⊥Em/a g với m = 0; trường hợp xảy ra, quan hệ g G (x) suy từ ∞ g a |g (x − na)|2 dx |g (x)|2 dx = = −∞ n∈Z a = G (x) dx = aG (x) (iii) ⇒ (iv): suy từ quan sát với m, n, l, k ∈ Z, Em/a Tn/b g, Ek/a Tl/b g = e2πi m−k n a b g, E k−m T l−n g a b Với phần cuối định lý, ta quan sát thấy {Emb Tna g}m,n∈Z khung chặt với cận khung 1, với (m , n ) ∈ Z2 , Em b Tn a g | Em b Tn a g, Emb Tna g |2 = m,n∈Z = Em b Tn a g | Em b Tn a g, Emb Tna g |2 + (m,n)=(m ,n ) Nếu g = suy {Emb Tna g}m,n∈Z hệ trực chuẩn 68Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 66 KẾT LUẬN Luận văn trình bày tổng quan vấn đề sau: - Ba phép biến đổi liên quan chặt chẽ với lý thuyết khung Gabor phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier thời gian ngắn phép biến đổi Zak - Cơ sở lý thuyết khung tổng quát không gian Hilbert - Định lý Balian - Low vài nhược điểm sở, từ dẫn đến cần thiết phải có khái niệm khung - Điều kiện cần đủ để có khung Gabor L2 (R) - Các không gian liên quan chặt chẽ đến giải tích Gabor bao gồm khơng gian Wiener đại số Feichtinger - Các biểu diễn toán tử khung Gabor - Các đối ngẫu khung Gabor - Các hệ dời chỗ bất biến tổng quát - Khung Gabor chặt 69Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 67 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Anh [1] O.Christensen (2003), An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser, Boston [2] I.Daubechies, A Grossmann and Y.Meyer (1986), "Painless nonorthogonal expansions", J.Math Phys., Vol 27, 1271-1283 [3] R.C.Duffin and A.C.Schaeffer (1952), "A class of nonharmonic Fourier series ",Trans Amer Math Soc., Vol 72, 341-366 [4] K.H.Grochenig (2000), Foundations of time - frequency analysis, Birkhauser, Boston [5] C.Heil and D.Walnut (1989), "Continuous and discrete wavelet transforms " , SIAM Rev , Vol 31, 628-666 [6] A.Janssen (1981), "Gabor representation of generalized functions", J.Math.Anal.Appl.,Vol 83, 377-394 [7] A.Janssen (1982), "Bargmann transform, Zak transform, and coherent states", J.Math.Phys , Vol 23, 720-731 70Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... khung Chúng ta tập trung vào vài định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3.2 (i) Một khung chặt chọn A = B cận khung (ii) Nếu khung khơng cịn khung phần tử tùy ý bị lấy gọi khung Khi nói cận khung cho khung. .. trúc Gabor 2.6 Các biểu diễn toán tử khung Gabor Cấu trúc khung Gabor có ảnh hưởng quan trọng đến tốn tử khung Tốn tử viết lại theo nhiều kiểu Nhiều kết thiết yếu khung dựa biểu diễn toán tử khung. .. phần tử H khung cho H tồn số A, B > cho: ∞ A f | f, fk |2 B f , ∀f ∈ H (1.4) k=1 Các số A, B cận khung Chúng Cận khung tối ưu cận tất cận khung trên, cận khung tối ưu cận trên tất cận khung dưới,